高中數(shù)學人教A版選修2-3教案2-3-1離散型隨機變量的均值2

2.3離散型隨機變量的均值與方差2．3.1離散型隨機變量的均值(教師用書獨具)●三維目標1.知識與技能(1)通過實例，理解取有限個值的離散型隨機變量均值(數(shù)學期望)的概念和意義．(2)能計算簡單離散型隨機變量的均值(數(shù)學期望)，并能解決一些實際問題．(3)會求兩點分布和二項分布的均值．2．過程與方法通過實例理解取有限值離散型隨機變量均值的含義，通過對比體會隨機變量的均值與樣本的平均值的聯(lián)系與區(qū)別．3．情感、態(tài)度與價值觀體驗數(shù)學的價值，增強學習數(shù)學的興趣．●重點、難點重點：離散型隨機變量均值的概念與計算．難點：離散型隨機變量均值的性質(zhì)及應(yīng)用．引導(dǎo)學生結(jié)合分布列的知識，認識均值的概念，通過例題與練習讓學生在應(yīng)用離散型隨機變量均值概念的過程中深入地理解其概念及性質(zhì)．(教師用書獨具)●教學建議教學時以形象的混合糖的定價問題的解釋為例，引出離散型隨機變量的均值的定義，引導(dǎo)學生根據(jù)均值的定義推導(dǎo)E(ax＋b)，接著計算兩點分布和二項分布的均值，讓學生在推導(dǎo)過程中加深理解均值的含義．●教學流程創(chuàng)設(shè)問題情境，提出問題．?引導(dǎo)學生回答問題，理解離散型隨機變量的均值及性質(zhì)．?通過例1及變式訓(xùn)練，使學生掌握求離散型隨機變量的均值．?通過例2及互動探究，使學生掌握二項分布的均值的應(yīng)用．?通過例3及變式訓(xùn)練，使學生掌握均值的實際應(yīng)用．?歸納整理，進行課堂小結(jié)，整體認識所學知識．?完成當堂雙基達標，鞏固所學知識，并進行反饋、矯正．課標解讀1.理解離散型隨機變量的均值的意義和性質(zhì)，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值．2．掌握兩點分布、二項分布的均值．3．會利用離散型隨機變量的均值，解決一些相關(guān)問題.離散型隨機變量的均值【問題導(dǎo)思】某城市隨機抽樣調(diào)查了1000戶居民的住房情況，發(fā)現(xiàn)戶型主要集中于160m2、100m2、60m2三種，相應(yīng)住房的比例為1∶5∶4，能否說該市的人均住房面積為eq\f(160＋100＋60,3)≈106.7m2嗎？顯然此種計算不合理，忽略了不同住房面積的居民所占的權(quán)重，造成了“被平均”現(xiàn)象．如何計算人均住房面更為合理？【提示】戶型面積與權(quán)數(shù)相結(jié)合即160×eq\f(1,10)＋100×eq\f(5,10)＋60×eq\f(4,10)＝90(m2)．1．離散型隨機變量的均值或數(shù)學期望(1)定義：若離散型隨機變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望．(2)意義：它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．(3)性質(zhì)：如果X為(離散型)隨機變量，則Y＝aX＋b(其中a，b為常數(shù))也是隨機變量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.2．兩點分布和二項分布的均值(1)若X服從兩點分布，則E(X)＝p.(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np.求離散型隨機變量的期望在甲、乙等6個單位參加的一次“唱讀講傳”演出活動中，每個單位的節(jié)目集中安排在一起，若采用抽簽的方式隨機確定各單位的演出順序(序號為1,2，…，6)，求：(1)甲、乙兩單位的演出序號至少有一個為奇數(shù)的概率；(2)甲、乙兩單位之間的演出單位個數(shù)ξ的分布列與期望．【思路探究】(1)可先求“甲乙兩單位的演出序號至少有一個為奇數(shù)”的對立事件的概率．(2)先求出ξ的取值及每個取值的概率，然后求其分布列和期望．【自主解答】只考慮甲、乙兩單位的相對位置，故可用組合計算基本事件數(shù)．(1)設(shè)A表示“甲、乙的演出序號至少有一個為奇數(shù)”，則eq\x\to(A)表示“甲、乙的演出序號均為偶數(shù)”，由等可能性事件的概率計算公式得P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).(2)ξ的所有可能值為0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝eq\f(5,C\o\al(2,6))＝eq\f(1,3)，P(ξ＝1)＝eq\f(4,C\o\al(2,6))＝eq\f(4,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(3,C\o\al(2,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(2,C\o\al(2,6))＝eq\f(2,15)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15).從而知ξ的分布列為ξ01234Peq\f(1,3)eq\f(4,15)eq\f(1,5)eq\f(2,15)eq\f(1,15)∴E(ξ)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(4,15)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(2,15)＋4×eq\f(1,15)＝eq\f(4,3).1．準確列出分布列是求均值的關(guān)鍵．2．求離散型隨機變量ξ的均值的步驟：(1)根據(jù)ξ的實際意義，寫出ξ的全部取值；(2)求出ξ的每個值的概率；(3)寫出ξ的分布列；(4)利用定義求出均值．其中第(1)、(2)兩條是解答此類題目的關(guān)鍵，在求解過程中應(yīng)注重分析概率的相關(guān)知識．甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為eq\f(1,2)與eq\f(2,5)，投中得1分，投不中得0分．甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求兩人得分之和X的數(shù)學期望．【解】依題意，記“甲投一次命中”為事件A，“乙投一次命中”為事件B，則P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,5)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(3,5).甲、乙兩人得分之和X的可能取值為0、1、2，則X的分布列為：X012Peq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,5)E(X)＝0×eq\f(3,10)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,5)＝eq\f(9,10).∴每人在罰球線各投球一次，兩人得分之和X的數(shù)學期望為eq\f(9,10).二項分布的均值某運動員投籃命中率為p＝0.6.(1)求投籃1次時命中次數(shù)X的數(shù)學期望；(2)求重復(fù)5次投籃時，命中次數(shù)Y的數(shù)學期望．【思路探究】(1)投籃1次命中次數(shù)X服從兩點分布，故由兩點分布的均值公式可求得；(2)重復(fù)5次投籃，命中次數(shù)X服從二項分布，代入公式E(X)＝np可得．【自主解答】(1)投籃1次，命中次數(shù)X的分布列如下表：X01P0.40.6則E(X)＝p＝0.6.(2)由題意，重復(fù)5次投籃，命中的次數(shù)Y服從二項分布，即Y～B(5,0.6)．則E(Y)＝np＝5×0.6＝3.1．如果隨機變量X服從兩點分布，則其期望值E(X)＝p(p為成功概率)．2．如果隨機變量X服從二項分布即X～B(n，p)，則E(X)＝np，以上兩特例可以作為常用結(jié)論，直接代入求解，從而避免了繁雜的計算過程．若本例中命中率為0.8.求重復(fù)5次投籃時，命中次數(shù)Y的數(shù)學期望．【解】重復(fù)5次投籃，命中的次數(shù)Y服從二項分布，即Y～B(5,0.8)，∴E(Y)＝np＝5×0.8＝4.數(shù)學期望的實際應(yīng)用隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：元)為X.(1)求X的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即X的數(shù)學期望)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%，如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？【思路探究】根據(jù)利潤的意義寫出ξ的取值→寫出ξ的分布列→求出數(shù)學期望E(X)→利用期望回答問題【自主解答】(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.P(X＝6)＝eq\f(126,200)＝0.63，P(X＝2)＝eq\f(50,200)＝0.25，P(X＝1)＝eq\f(20,200)＝0.1，P(X＝－2)＝eq\f(4,200)＝0.02.故X的分布列為：X621－2P0.630.250.10.02(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為E(x)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．依題意，E(x)≥4.73，即4.76－x≥4.73.解得x≤0.03，所以三等品率最多為3%.1．本題利用數(shù)學期望解決實際問題，運用了方程與不等式的思想，利用已知條件構(gòu)建不等式，通過解不等式求得三等品率的最大值．2．離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，在解決實際問題的過程中，關(guān)鍵是把實際問題模型化，然后利用有關(guān)概率的知識去分析相應(yīng)的各事件可能性的大小，并列出分布列，最后用數(shù)學期望等知識解決問題．學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同．每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎．(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)(1)求在1次游戲中，(ⅰ)摸出3個白球的概率；(ⅱ)獲獎的概率．(2)求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學期望E(X)．【解】(1)(ⅰ)設(shè)“在1次游戲中摸出i個白球”為事件Ai(i＝0,1,2,3)，則P(A3)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))·eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(2,3))＝eq\f(1,5).(ⅱ)設(shè)“在1次游戲中獲獎”為事件B，則B＝A2∪A3.又P(A2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))·eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,3))＋eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))·eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(2,3))＝eq\f(1,2)，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＝eq\f(7,10).(2)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2.P(X＝0)＝(1－eq\f(7,10))2＝eq\f(9,100)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)eq\f(7,10)×(1－eq\f(7,10))＝eq\f(21,50)，P(X＝2)＝(eq\f(7,10))2＝eq\f(49,100).所以X的分布列是X012Peq\f(9,100)eq\f(21,50)eq\f(49,100)X的數(shù)學期望E(X)＝0×eq\f(9,100)＋1×eq\f(21,50)＋2×eq\f(49,100)＝eq\f(7,5).不能準確理解題意致錯根據(jù)統(tǒng)計，一年中，一個家庭萬元以上財產(chǎn)被竊的概率為0.01，保險公司開辦一年期萬元以上家庭財產(chǎn)保險，參加者交保險費100元，若在一年之內(nèi)，萬元以上財產(chǎn)被竊，保險公司賠償a元(a＞100)，問a如何確定，可使保險公司獲益？【錯解】設(shè)保險公司獲益ξ元，則可得ξ的分布列如表1：表1ξ100－aP0.990.01所以E(ξ)＝100×0.99＋(－a)·0.01＝99－0.01a由E(ξ)＞0，得100＜a＜9900.故當100＜a＜9900時，可使保險公司獲益．【錯因分析】由于沒有理解題意而把隨機變量的取值弄錯了，因為當該家庭失竊時，保險公司需賠償a元，但是已收取了100元，故其損失為(－a＋100)元．【防范措施】對于以實際問題為背景的應(yīng)用題，解題時要準確理解題意，明確各量之間的關(guān)系，避免出