1.3帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（原卷版）

1.3帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)導(dǎo)學(xué)要點(diǎn)一、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)1．洛倫茲力的作用效果洛倫茲力只改變帶電粒子速度的方向，不改變帶電粒子速度的大小，或者說(shuō)洛倫茲力不對(duì)帶電粒子做功，不改變粒子的能量。2．帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律沿著與磁場(chǎng)垂直的方向射入磁場(chǎng)的帶電粒子，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。洛倫茲力總與速度方向垂直，正好起到了向心力的作用。eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(公式：qvB＝m\f(v2,r),半徑：r＝\f(mv,qB),周期：T＝\f(2πm,qB)))3．圓心、半徑、運(yùn)動(dòng)時(shí)間的分析思路(1)圓心的確定：帶電粒子垂直進(jìn)入磁場(chǎng)后，一定做圓周運(yùn)動(dòng)，其速度方向一定沿圓周的切線方向，因此圓心的位置必是兩速度方向垂線的交點(diǎn)，如圖(a)所示，或某一速度方向的垂線與圓周上兩點(diǎn)連線中垂線的交點(diǎn)，如圖(b)所示．(2)運(yùn)動(dòng)半徑大小的確定：一般先作入射點(diǎn)、出射點(diǎn)對(duì)應(yīng)的半徑，并作出相應(yīng)的輔助三角形，然后利用三角函數(shù)求解出半徑的大小．(3)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定：首先利用周期公式T＝eq\f(2πm,qB)，求出運(yùn)動(dòng)周期T，然后求出粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角α，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝eq\f(α,2π)T.(4)圓心角的確定：①帶電粒子射出磁場(chǎng)的速度方向與射入磁場(chǎng)的速度方向間的夾角φ叫偏向角．偏向角等于圓心角即φ＝α，如圖所示．②某段圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角是這段圓弧弦切角的二倍，即α＝2θ.[特別提醒]帶電粒子(不計(jì)重力)以一定的速度v進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡：(1)當(dāng)v∥B時(shí)，帶電粒子將做勻速直線運(yùn)動(dòng)．(2)當(dāng)v⊥B時(shí)，帶電粒子將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．(3)當(dāng)帶電粒子斜射入磁場(chǎng)時(shí)，帶電粒子將沿螺旋線運(yùn)動(dòng)．4、帶電粒子在三類(lèi)有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡特點(diǎn)(1)直線邊界：進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性。(2)平行邊界：存在臨界條件。(3)圓形邊界：沿徑向射入必沿徑向射出。要點(diǎn)突破突破一：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)1．軌跡圓心的兩種確定方法（1）已知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡上兩點(diǎn)的速度方向時(shí)，作這兩速度方向的垂線，交點(diǎn)即為圓心，如圖所示。（2）已知粒子軌跡上的兩點(diǎn)和其中一點(diǎn)的速度方向時(shí)，畫(huà)出粒子軌跡上的兩點(diǎn)連線(即過(guò)這兩點(diǎn)的圓的弦)，作它的中垂線，并畫(huà)出已知點(diǎn)的速度方向的垂線，則弦的中垂線與速度方向的垂線的交點(diǎn)即為圓心，如圖所示。2．三種求半徑的方法（1）根據(jù)半徑公式r＝eq\f(mv,qB)求解。（2）根據(jù)勾股定理求解，如圖所示，若已知出射點(diǎn)相對(duì)于入射點(diǎn)側(cè)移了x，則滿足r2＝d2＋(r－x)2。（3）根據(jù)三角函數(shù)求解，如圖所示，若已知出射速度方向與入射方向的夾角為θ，磁場(chǎng)的寬度為d，則有關(guān)系式r＝eq\f(d,sinθ)。3．四種角度關(guān)系（1）如圖所示，速度的偏向角(φ)等于圓心角(α)。（2）圓心角α等于AB弦與速度方向的夾角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)。（3）相對(duì)的弦切角(θ)相等，與相鄰的弦切角(θ′)互補(bǔ)，即θ＋θ′＝180°。（4）進(jìn)出同一直線邊界時(shí)速度方向與該直線邊界的夾角相等。4．兩種求時(shí)間的方法（1）利用圓心角求解，若求出這部分圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角，則t＝eq\f(θ,2π)T。（2）利用弧長(zhǎng)s和速度v求解，t＝eq\f(s,v)。5.分析帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的要點(diǎn)（1）確定粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡、半徑、圓心角等是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。（2）掌握粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑公式和周期公式是分析此類(lèi)問(wèn)題的依據(jù)。例一如右圖所示，一束電子的電荷量為e，以速度v垂直射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、寬度為d的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，穿過(guò)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與原來(lái)電子入射方向的夾角是30°，則電子的質(zhì)量是多少？電子穿過(guò)磁場(chǎng)的時(shí)間又是多少？突破二：現(xiàn)代科技中的應(yīng)用裝置原理圖規(guī)律速度選擇器若qv0B＝Eq，即v0＝eq\f(E,B)，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)磁流體發(fā)電機(jī)等離子體射入，受洛倫茲力偏轉(zhuǎn)，使兩極板帶正、負(fù)電，兩極間電壓為U時(shí)穩(wěn)定，qeq\f(U,d)＝qv0B，U＝Bdv0電磁流量計(jì)eq\f(U,D)q＝qvB，所以v＝eq\f(U,DB)，所以Q＝vS＝eq\f(πDU,4B)霍爾元件當(dāng)磁場(chǎng)方向與電流方向垂直時(shí)，導(dǎo)體在與磁場(chǎng)、電流方向都垂直的方向上出現(xiàn)電勢(shì)差典例精析題型一帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑和周期例一已知?dú)浜伺c氦核的質(zhì)量之比m1∶m2＝1∶4，電荷量之比q1∶q2＝1∶2，當(dāng)氫核與氦核以v1∶v2＝4∶1的速度垂直于磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)后，分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則氫核與氦核運(yùn)動(dòng)半徑之比r1∶r2＝________，周期之比T1∶T2＝________.若它們以相同的動(dòng)能射入磁場(chǎng)，其圓周運(yùn)動(dòng)半徑之比r1′∶r2′＝________，周期之比T1′∶T2′＝________.變式遷移1：質(zhì)子(11H)和α粒子(24He)從靜止開(kāi)始經(jīng)相同的電勢(shì)差加速后垂直進(jìn)入同一勻強(qiáng)磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則這兩個(gè)粒子的動(dòng)能之比Ek1∶Ek2＝________，軌道半徑之比r1∶r2＝________，周期之比T1∶T2＝________.題型二帶電粒子在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)例二如右圖所示，在第一象限有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向與y軸平行；在x軸下方有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向與紙面垂直．一質(zhì)量為m、電荷量為－q(q＞0)的粒子以平行于x軸的速度從y軸上的P點(diǎn)處射入電場(chǎng)，在x軸上的Q點(diǎn)處進(jìn)入磁場(chǎng)，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O離開(kāi)磁場(chǎng)．粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡與y軸交于M點(diǎn)．已知OP＝l，OQ＝2eq\r(3)l.不計(jì)重力．求：(1)M點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O間的距離；(2)粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)所用的時(shí)間．變式遷移2：如右圖所示，在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)邊界上，有兩個(gè)質(zhì)量、電荷量均相等的正、負(fù)離子(不計(jì)重心)，從O點(diǎn)以相同的速度射入磁場(chǎng)中，射入方向均與邊界成θ角，則正、負(fù)離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，下列判斷錯(cuò)誤的是()A．運(yùn)動(dòng)的軌道半徑相同B．重新回到磁場(chǎng)邊界時(shí)速度大小和方向都相同C．運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同D．重新回到磁場(chǎng)邊界的位置與O點(diǎn)距離相等題型三帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題例三如右圖所示，在真空區(qū)域內(nèi)，有寬度為L(zhǎng)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，MN、PQ是磁場(chǎng)的邊界，一質(zhì)量為m，帶電荷量為－q的粒子，先后兩次沿著與MN夾角為θ(0°<θ<90°)的方向垂直于磁感線射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．第一次粒子以速度v1射入磁場(chǎng)，粒子剛好沒(méi)能從PQ邊界射出磁場(chǎng)；第二次粒子以速度v2射入磁場(chǎng)，粒子剛好垂直P(pán)Q射出磁場(chǎng)．不計(jì)粒子重力，v1，v2均為未知量，求eq\f(v1,v2)值．變式遷移3：長(zhǎng)為L(zhǎng)的水平極板間，有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，板間距離也為L(zhǎng)，極板不帶電．現(xiàn)有質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電粒子(重力不計(jì))，從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁場(chǎng)以速度v水平入射，如下圖所示．欲使粒子不打在極板上，可采用的方法是()A．使粒子速度v＜eq\f(BqL,4m)B．使粒子速度v＞eq\f(5BqL,4m)C．使粒子速度v＞eq\f(BqL,4m)D．使粒子速度eq\f(BqL,4m)＜v＜eq\f(5BqL,4m)強(qiáng)化訓(xùn)練一、選擇題1．兩相鄰勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不同、方向平行．一速度方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直的帶電粒子（不計(jì)重力），從較強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域進(jìn)入到較弱磁場(chǎng)區(qū)域后，粒子的A．軌道半徑減小，角速度增大B．軌道半徑減小，角速度減小C．軌道半徑增大，角速度增大D．軌道半徑增大，角速度減小2．兩個(gè)質(zhì)量相同、所帶電荷量相等的帶電粒子a、b，以不同的速率對(duì)準(zhǔn)圓心O沿著AO方向射入圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．不計(jì)粒子的重力，下列說(shuō)法正確的是（）A．a(chǎn)粒子帶正電，b粒子帶負(fù)電B．a(chǎn)粒子在磁場(chǎng)中所受洛倫茲力較大C．b粒子動(dòng)能較大D．b粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng)3．如圖，MN為鋁質(zhì)薄平板，鋁板上方和下方分別有垂直于圖平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（未畫(huà)出）．一帶電粒子從緊貼鋁板上表面的P點(diǎn)垂直于鋁板向上射出，從Q點(diǎn)穿過(guò)鋁板后到達(dá)PQ的中點(diǎn)O，已知粒子穿越鋁板時(shí)，其動(dòng)能損失一半，速度方向和電荷量不變，不計(jì)重力．鋁板上方和下方的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小之比為A．2B．C．1D．4..如右圖所示，帶負(fù)電的粒子以速度v從粒子源P處射出，若圖中勻強(qiáng)磁場(chǎng)范圍足夠大(方向垂直紙面)，則帶電粒子的可能軌跡是()A．a(chǎn) B．bC．c D．d5.如右圖所示，ab是一彎管，其中心線是半徑為R的一段圓弧，將它置于一給定的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于圓弧所在平面，并且指向紙外．有一束粒子對(duì)準(zhǔn)a端射入彎管，粒子有不同的質(zhì)量、不同的速度，但都是一價(jià)正離子()A．只有速度v大小一定的粒子可以沿中心線通過(guò)彎管B．只有質(zhì)量m大小一定的粒子可以沿中心線通過(guò)彎管C．只有質(zhì)量m與速度v的乘積大小一定的粒子可以沿中心線通過(guò)彎管D．只有動(dòng)能Ek大小一定的粒子可以沿中心線通過(guò)彎管6．【多選】如下圖所示，正方形容器處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一束電子從孔a垂直于磁場(chǎng)沿ab方向射入容器中，一部分從c孔射出，一部分從d孔射出，容器處于真空中，則下列結(jié)論中正確的是()A．從兩孔射出的電子速率之比vc∶vd＝2∶1B．從兩孔射出的電子在容器中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比tc∶td＝1∶2C．從兩孔射出的電子在容器中運(yùn)動(dòng)的加速度大小之比ac∶ad＝eq\r(2)∶1D．從兩孔射出的電子在容器中運(yùn)動(dòng)的角速度之比ωc∶ωd＝2∶17．如圖所示，某帶電粒子（重力不計(jì)）由M點(diǎn)以垂直于磁場(chǎng)以及磁場(chǎng)邊界的速度v射入寬度為d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，穿出磁場(chǎng)時(shí)速度方向與原來(lái)射入方向的夾角為θ=30°。磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．由此推斷該帶電粒子（）A．帶正電 B．在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線C．電荷量與質(zhì)量的比值為 D．穿越磁場(chǎng)的時(shí)間為8．如圖，直角坐標(biāo)xOy平面內(nèi)，有一半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直于紙面向里，邊界與x、y軸分別相切于a、b兩點(diǎn)。一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶電粒子從b點(diǎn)沿平行于x軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，離開(kāi)磁場(chǎng)后做直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)x軸時(shí)速度方向與x軸正方向的夾角為60°，下列判斷正確的是()A．粒子帶正電 B．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為RC．粒子運(yùn)動(dòng)的速率為 D．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為9．【多選】如圖所示，在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的邊界上，有兩個(gè)質(zhì)量和電荷量均相同的正負(fù)離子(不計(jì)重力)，從點(diǎn)O以相同的速率先后射入磁場(chǎng)中，入射方向與邊界成θ角，則正負(fù)離子在磁場(chǎng)中()A．運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同B．運(yùn)動(dòng)軌道的半徑相同C．重新回到邊界時(shí)速度的大小和方向相同D．重新回到邊界的位置與O點(diǎn)距離相等10．圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，三個(gè)比荷相同的帶電粒子a、b、c，以不同的速率沿著AO方向?qū)?zhǔn)圓心O射入磁場(chǎng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。若帶電粒子只受磁場(chǎng)力的作用，則下列說(shuō)法正確的是（）A．磁場(chǎng)方向一定垂直于紙面向外B．粒子a、b、c一定都帶正電C．粒子c所受的向心力一定最大D．粒子c在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間一定最長(zhǎng)11．如圖為洛倫茲力演示儀的結(jié)構(gòu)圖，勵(lì)磁線圈產(chǎn)生的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，電子束由電子槍產(chǎn)生，其速度方向與磁場(chǎng)方向垂直。電子速度大小可通過(guò)電子槍的加速電壓來(lái)控制，磁感應(yīng)強(qiáng)度可通過(guò)勵(lì)磁線圈的電流來(lái)調(diào)節(jié)。下列說(shuō)法正確的是（）A．僅減小電子槍的加速電壓，電子束徑跡的半徑變小B．僅增大電子槍的加速電壓，電子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期變大C．僅減小勵(lì)磁線圈的電流，電子束徑跡的半徑變小D．僅增大勵(lì)磁線圈的電流，電子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期變大12.如右圖所示，一個(gè)靜止的質(zhì)量為m、帶電荷量為q的粒子(不計(jì)重力)，經(jīng)電壓U加速后垂直進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁感中，粒子打至P點(diǎn)，設(shè)OP＝x，能夠正確反應(yīng)x與U之間的函數(shù)關(guān)系的是()13.如右圖所示，a和b帶電荷量相同，以相同動(dòng)能從A點(diǎn)射入磁場(chǎng)，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑ra＝2rb，則可知(重力不計(jì))()A．兩粒子都帶正電，質(zhì)量比ma/mb＝4B．兩粒子都帶負(fù)電，質(zhì)量比ma/mb＝4C．兩粒子都帶正電，質(zhì)量比ma/mb＝1/4D．兩粒子都帶負(fù)電，質(zhì)量比ma/mb＝1/414．【多選】如右圖所示，直角三角形ABC中存在一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，比荷相同的兩個(gè)粒子沿AB方向射入磁場(chǎng)，分別從AC邊上的P、Q兩點(diǎn)射出，則()A．從P射出的粒子速度大B．從Q射出的粒子速度大C．從P射出的粒子，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間長(zhǎng)D．兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間一樣長(zhǎng)一、解答題15．如圖所示，一電荷量為q的帶電粒子，以速度v垂直射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、寬度為d的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，射出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與原來(lái)粒子的入射方向的夾角θ=60°，求：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r；（2）帶電粒子的電性和質(zhì)量m；（3）帶電粒子穿過(guò)磁場(chǎng)的時(shí)間t．16．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的第四象限有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=2.0T，在y軸上P點(diǎn)有一粒子源，沿紙面向磁場(chǎng)發(fā)射速率不同的粒子，均沿與y軸負(fù)方向間夾角=的方向，已知粒子質(zhì)量均為m=5.0×10－8kg，電荷量q=1.0×10－8C，LOP=30cm，取π=3。（不計(jì)粒子間相互作用及粒子重力）(1)若某粒子垂直x軸飛出磁場(chǎng)，求該粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；(2)若某粒子不能進(jìn)入x軸上方，求該粒子速度大小滿足的條件。17.如圖所示，在坐標(biāo)系xOy平面第I象限內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一比荷為108C/kg的帶電粒子從y軸上的P點(diǎn)以速度v=4104m/s沿著與