第五章三角函數(shù)單元知識總結(jié)與題型歸納-高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)講練（人教A版2019）

第五章三角函數(shù)知識總結(jié)與題型歸納重點(diǎn)一：任意角2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為3、與角終邊相同的角的集合為題型1：終邊相同的角例1：(1)與－2010°終邊相同的最小正角是________．(2)下列各角分別是第幾象限角？請寫出與下列各角終邊相同的角β的集合S，并求出S中適合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°.(3)寫出終邊在x軸上的角的集合．【答案】(1)150°(2)(3)見解析【詳解】解析：(1)因?yàn)椋?010°＝－6×360°＋150°，所以與－2010°終邊相同的最小正角是150°.(2)①60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中適合－360°≤β<360°的元素是：60°＋(－1)×360°＝－300°；60°＋0×360°＝60°.②－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中適合－360°≤β<360°的元素是：－21°＋0×360°＝－21；－21°＋1×360°＝339°.(3)終邊在x軸的非負(fù)半軸的角的集合S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}．終邊在x軸的非正半軸的角的集合S2＝{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}．∴終邊在x軸上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·360°，k∈Z}∪{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝2k·180°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝n·180°，n∈Z}．技巧：1．在某個范圍內(nèi)找與已知角終邊相同的角的方法求在某個范圍內(nèi)與已知角α終邊相同的角時，首先將這樣的角表示成k·360°＋α(k∈Z)的形式，然后由k·360°＋α(k∈Z)在限制范圍內(nèi)，建立不等式，通過求解不等式，確定k的值，求出滿足條件的角．或者采用賦值法求解，看角是否在限制范圍內(nèi)，從而求出滿足條件的角．2．終邊相同角常用的三個結(jié)論(1)終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍．(2)終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍．(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍．針對訓(xùn)練1.已知α＝－1910°. (1)把α寫成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限的角． (2)求θ，使θ與α的終邊相同，且－720°≤θ<0°.【答案】(1)α＝250°－6×360°，第三象限的角(2)－110°或－470°【詳解】(1)法一：作除法運(yùn)算，注意余數(shù)必須非負(fù)，得：－1910÷360＝－6…250，所以α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．法二：設(shè)α＝β＋k·360°(k∈Z)，則β＝－1910°－k·360°(k∈Z)，令－1910°－k·360°≥0°，解得k≤－eq\f(191,36)，k的最大整數(shù)解為k＝－6，求出相應(yīng)的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.重點(diǎn)二：弧度制4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度．5、半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數(shù)的絕對值是6、弧度制與角度制的換算公式：，，．7、若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，，．題型2：弧度與角度例2：(1)將下列各角進(jìn)行角度與弧度的互化(角度精確到0.01)：α1＝－eq\f(11,7)π，α2＝eq\f(511,6)π，α3＝9，α4＝－855°；(2)用弧度表示終邊落在如圖(1)(2)所示的陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合．【答案】（1）（2）【詳解】解析：(1)α1＝－eq\f(11,7)π＝－eq\f(11,7)×180°≈－282.86°；α2＝eq\f(511,6)π＝eq\f(511,6)×180°＝15330°；α3＝9＝9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈515.66°；α4＝－855°＝－855×eq\f(π,180)＝－eq\f(19,4)π.（2）對于題圖(1)，225°角的終邊可以看作是－135°角的終邊，化為弧度，即－eq\f(3π,4)，60°角的終邊即eq\f(π,3)的終邊，∴所求集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(3π,4)＜α＜2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).對于題圖(2)，同理可得，所求集合為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)＜α≤2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋π＋\f(π,6)＜α≤2kπ＋π＋\f(π,2)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)＜α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).針對訓(xùn)練2.（1）如圖，用弧度表示終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角θ的集合．（2）在0°～720°中找出與eq\f(2π,5)終邊相同的角．【答案】D【詳解】解析：（1）330°角的終邊與－30°角的終邊相同，將－30°化為弧度，即－eq\f(π,6)，而75°＝75×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,12)，∴終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)<θ<2kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))).(2)∵eq\f(2π,5)＝eq\f(2,5)×180°＝72°，∴與eq\f(2π,5)終邊相同的角為θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．當(dāng)k＝0時，θ＝72°；當(dāng)k＝1時，θ＝432°.∴在0°～720°中與eq\f(2π,5)終邊相同的角為72°，432°.題型3：扇形的弧長和面積公式例3：已知扇形的周長為8cm.(1)若該扇形的圓心角為2rad，求該扇形的面積；(2)求該扇形的面積的最大值，并指出對應(yīng)的圓心角．【答案】【詳解】解析：設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，面積為S.(1)由題意得：2r＋l＝8，l＝2r，解得r＝2，l＝4，S＝eq\f(1,2)lr＝4(cm2)．(2)由2r＋l＝8得l＝8－2r，r∈(0,4)，則S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(8－2r)r＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，當(dāng)r＝2時，Smax＝4，此時l＝4，圓心角α＝eq\f(l,r)＝2.針對訓(xùn)練3.已知扇形的周長為4cm，當(dāng)它的半徑為________，圓心角為________弧度時，扇形面積最大，這個最大面積是________．【答案】【詳解】解析：設(shè)扇形的圓心角為α，半徑為r，則2r＋|α|r＝4，∴|α|＝eq\f(4,r)－2.∴S扇形＝eq\f(1,2)|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1.∴當(dāng)r＝1時，(S扇形)max＝1，此時|α|＝2.重點(diǎn)三：三角函數(shù)的概念8、設(shè)是一個任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是，它與原點(diǎn)的距離是，則，，．9、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．10、三角函數(shù)線：，，．PvPvxyAOMT11、角三角函數(shù)的基本關(guān)系：；．題型4：利用三角函數(shù)的定義求值例4：已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4a，－3a)(a≠0)，則2sinα＋cosα＝________.【答案】±eq\f(2,5)【詳解】解析：由題意知x＝4a，y＝－3a，故r＝eq\r(4a2＋－3a2)＝5|a|.①當(dāng)a＞0時，r＝5a，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3a,5a)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，則2sinα＋cosα＝－eq\f(2,5).②當(dāng)a＜0時，r＝－5a，2sinα＋cosα＝2×eq\f(－3a,－5a)＋eq\f(4a,－5a)＝eq\f(2,5)綜上，2sinα＋cosα＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)，a＞0，,\f(2,5)，a＜0.))針對訓(xùn)練4.已知點(diǎn)M是圓x2＋y2＝1上一點(diǎn)，以射線OM為終邊的角α的正弦值為－eq\f(\r(2),2)，求cosα和tanα的值．【答案】【詳解】解析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1，y1)．由題意可知，sinα＝－eq\f(\r(2),2)，即y1＝－eq\f(\r(2),2).∵點(diǎn)M在圓x2＋y2＝1上，∴xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝1，即xeq\o\al(2,1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))2＝1，解得x1＝eq\f(\r(2),2)或x1＝－eq\f(\r(2),2).∴cosα＝eq\f(\r(2),2)，tanα＝－1，或cosα＝－eq\f(\r(2),2)，tanα＝1.題型5：三角函數(shù)值的符號問題例5：已知點(diǎn)P(sinθ，sinθcosθ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】C【詳解】解析：由點(diǎn)P(sinθ，sinθcosθ)位于第二象限，可得sinθ＜0，sinθcosθ＞0，可得sinθ＜0，cosθ＜0，所以角θ所在的象限是第三象限．針對訓(xùn)練5.若三角形的兩內(nèi)角α，β滿足sinα·cosβ＜0，則此三角形必為() A．銳角三角形B．鈍角三角形 C．直角三角形D．以上三種情況都有可能【答案】B【詳解】解析：三角形的兩內(nèi)角α，β的終邊一定落在第一、二象限或y軸正半軸上，sinα·cosβ＜0，所以sinα＞0，cosβ＜0，所以角β為鈍角，此三角形為鈍角三角形．題型6：利用三角函數(shù)的基本關(guān)系求值例6：(1)若sinα＝－eq\f(4,5)，且α是第三象限角，求cosα，tanα的值.(2)已知sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，α∈(0，π)，則tanα＝________.【答案】【詳解】解析：(1)∵sinα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝eq\f(4,3).(2)法一：構(gòu)建方程組因?yàn)閟inα＋cosα＝eq\f(7,13)， ①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq\f(49,169)，即2sinαcosα＝－eq\f(120,169).因?yàn)棣痢?0，π)，所以sinα＞0，cosα＜0.所以sinα－cosα＝eq\r((sinα－cosα)2)＝eq\r(1－2sinαcosα)＝eq\f(17,13). ②由①②解得sinα＝eq\f(12,13)，cosα＝－eq\f(5,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5).法二：弦化切同法一求出sinαcosα＝－eq\f(60,169)，即eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝－eq\f(60,169)，分子、分母同除以cos2α，得eq\f(tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(60,169)，整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－eq\f(5,12)或tanα＝－eq\f(12,5).由sinα＋cosα＝eq\f(7,13)＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－eq\f(12,5).針對訓(xùn)練（1）已知tanα＝－2，求sinα，cosα的值（2）已知eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，計(jì)算下列各式的值．①eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)；②sin2α－2sinαcosα＋1.【答案】【詳解】解析：（1）法一：∵tanα＝－2<0，∴α為第二或第四象限角，且sinα＝－2cosα，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②消去sinα，得(－2cosα)2＋cos2α＝1，即cos2α＝eq\f(1,5)；當(dāng)α為第二象限角時，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，代入①得sinα＝eq\f(2\r(5),5)；當(dāng)α為第四象限角時，cosα＝eq\f(\r(5),5)，代入①得sinα＝－eq\f(2\r(5),5).法二：∵tanα＝－2<0，∴α為第二或第四象限角．由tanα＝eq\f(sinα,cosα)，兩邊分別平方，得tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)，又sin2α＋cos2α＝1，∴tan2α＋1＝eq\f(sin2α,cos2α)＋1＝eq\f(sin2α＋cos2α,cos2α)＝eq\f(1,cos2α)，即cos2α＝eq\f(1,1＋tan2α).當(dāng)α為第二象限角時，cosα<0，∴cosα＝－eq\r(\f(1,1＋tan2α))＝－eq\r(\f(1,1＋－22))＝－eq\f(\r(5),5)，∴sinα＝tanα·cosα＝(－2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))＝eq\f(2\r(5),5).當(dāng)α為第四象限角時，cosα>0，∴cosα＝eq\r(\f(1,1＋tan2α))＝eq\r(\f(1,1＋－22))＝eq\f(\r(5),5)，∴sinα＝tanα·cosα＝(－2)×eq\f(\r(5),5)＝－eq\f(2\r(5),5).（2）由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，化簡得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.①法一：換元原式＝eq\f(3×3cosα－cosα,2×3cosα＋3cosα)＝eq\f(8cosα,9cosα)＝eq\f(8,9).法二：弦化切原式＝eq\f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq\f(3×3－1,2×3＋3)＝eq\f(8,9).②原式＝eq\f(sin2α－2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋1＝eq\f(tan2α－2tanα,tan2α＋1)＋1＝eq\f(32－2×3,32＋1)＋1＝eq\f(13,10).題型7：三角函數(shù)式的化簡與證明例7：(1)化簡：eq\f(\r(1－2sin130°cos130°),sin130°＋\r(1－sin2130°)).(2)求證：eq\f(1－2sin2xcos2x,cos22x－sin22x)＝eq\f(1－tan2x,1＋tan2x).【答案】【詳解】解析：(1)∵sin130°＞0，cos130°＜0，∴原式＝eq\f(\r(sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°),sin130°＋\r(cos2130°))＝eq\f(|sin130°－cos130°|,sin130°＋|cos130°|)＝eq\f(sin130°－cos130°,sin130°－cos130°)＝1.(2)證明：∵左邊＝eq\f(cos22x＋sin22x－2sin2xcos2x,cos22x－sin22x)＝eq\f((cos2x－sin2x)2,(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x))＝eq\f(cos2x－sin2x,cos2x＋sin2x)＝eq\f(1－tan2x,1＋tan2x)＝右邊，∴原等式成立．針對訓(xùn)練7.(1)eq\r(\f(1－cosθ,1＋cosθ))＋eq\r(\f(1＋cosθ,1－cosθ))，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))（2）求證：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.【答案】【詳解】解析：（1）原式＝eq\r(\f(1－cosθ2,sin2θ))＋eq\r(\f(1＋cosθ2,sin2θ))＝eq\f(1－cosθ,|sinθ|)＋eq\f(1＋cosθ,|sinθ|)＝eq\f(2,|sinθ|).∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴原式＝eq\f(2,sinθ).（2）法一：左邊＝2(1－sinα＋cosα－sinαcosα)＝1＋(sin2α＋cos2α)－2sinα＋2cosα－2sinαcosα＝(1－2sinα＋sin2α)＋2cosα(1－sinα)＋cos2α＝(1－sinα)2＋2cosα(1－sinα)＋cos2α＝(1－sinα＋cosα)2＝右邊．∴原式成立．法二：令1－sinα＝x，cosα＝y(tǒng)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝1－x，,cosα＝y(tǒng).))由sin2α＋cos2α＝1，消去α得(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，∴左邊＝2x(1＋y)＝2x＋2xy＝x2＋y2＋2xy＝(x＋y)2＝右邊．∴原式成立．重點(diǎn)四：誘導(dǎo)公式12、函數(shù)的誘導(dǎo)公式：，，．，，．，，．，，．口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限．，．，．口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．題型8：誘導(dǎo)公式求值（1）例8：求下列各式的值：(1)coseq\f(25π,3)＋tan(－eq\f(15π,4))；(2)sin810°＋tan765°－cos360°.【答案】【詳解】解析：(1)原式＝cos(8π＋eq\f(π,3))＋tan(－4π＋eq\f(π,4))＝coseq\f(π,3)＋taneq\f(π,4)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos360°＝sin90°＋tan45°－1＝1＋1－1＝1.技巧：針對訓(xùn)練8.(1)tan405°－sin450°＋cos750°；(2)sineq\f(7π,3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))coseq\f(13π,3).【答案】【詳解】解析：(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)coseq\f(π,6)＋taneq\f(π,4)coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(5,4).題型9：誘導(dǎo)公式求值（2）例9：求下列各三角函數(shù)的值：(1)sin(－945°)；(2)cos(－eq\f(16π,3))；(3)sineq\f(4,3)π·cos(－eq\f(19,6)π)·taneq\f(21,4)π.【答案】（1）eq\f(\r(2),2).（2）－eq\f(1,2)（3）eq\f(3,4)【詳解】解析：(1)法一：sin(－945°)＝－sin945°＝－sin(225°＋2×360°)＝－sin225°＝－sin(180°＋45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).法二：sin(－945°)＝sin(135°－3×360°)＝sin135°＝sin(180°－45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).(2)法一：cos(－eq\f(16π,3))＝coseq\f(16π,3)＝cos(eq\f(4π,3)＋4π)＝coseq\f(4π,3)＝cos(π＋eq\f(π,3))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).法二：cos(－eq\f(16π,3))＝cos(eq\f(2π,3)－6π)＝coseq\f(2π,3)＝cos(π－eq\f(π,3))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).(3)原式＝sineq\f(4π,3)·cos(2π＋eq\f(7π,6))·tan(4π＋eq\f(5π,4))＝sineq\f(4π,3)·coseq\f(7π,6)·taneq\f(5π,4)＝sin(π＋eq\f(π,3))·cos(π＋eq\f(π,6))·tan(π＋eq\f(π,4))＝(－sineq\f(π,3))·(－coseq\f(π,6))·taneq\f(π,4)＝(－eq\f(\r(3),2))×(－eq\f(\r(3),2))×1＝eq\f(3,4).針對訓(xùn)練9.求下列各式的值：(1)taneq\f(3π,4)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(55π,6)))＋sineq\f(11π,6)；(2)cos(－120°)sin(－150°)＋tan855°；(3)sineq\f(4π,3)·coseq\f(19π,6)·taneq\f(21π,4).【答案】（1）－eq\f(3,2)－eq\f(\r(3),2)（2）－eq\f(3,4)（3）eq\f(3,4)【詳解】解析：(1)原式＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4)))＋coseq\f(55π,6)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,6)))＝－taneq\f(π,4)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×2π＋\f(7π,6)))－sineq\f(π,6)＝－1＋coseq\f(7π,6)－eq\f(1,2)＝－1＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))－eq\f(1,2)＝－eq\f(3,2)－coseq\f(π,6)＝－eq\f(3,2)－eq\f(\r(3),2).(2)原式＝cos120°(－sin150°)＋tan855°＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°)＝cos60°sin30°＋tan135°＝cos60°sin30°＋tan(180°－45°)＝cos60°sin30°－tan45°＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)－1＝－eq\f(3,4).(3)原式＝sineq\f(4π,3)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(7π,6)))·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(5π,4)))＝sineq\f(4π,3)·coseq\f(7π,6)·taneq\f(5π,4)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,4)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin\f(π,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,6)))·taneq\f(π,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×1＝eq\f(3,4).題型10：條件求值例10：已知sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)，則sin(eq\f(4,3)π－x)＝________.【答案】－eq\f(1,3)【詳解】解析：sin(eq\f(4,3)π－x)＝sin[π＋(eq\f(π,3)－x)]＝－sin(eq\f(π,3)－x)＝－eq\f(1,3).針對訓(xùn)練10.已知sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)，且0＜x＜eq\f(π,2)，則tan(eq\f(2,3)π＋x)＝________.【答案】－eq\f(\r(2),4)【詳解】解析：∵0＜x＜eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)＜eq\f(π,3)－x＜eq\f(π,3).又sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)＞0，∴0＜eq\f(π,3)－x＜eq\f(π,3).cos(eq\f(2,3)π＋x)＝cos[π－(eq\f(π,3)－x)]＝－cos(eq\f(π,3)－x)＝－eq\r(1－sin2\f(π,3)－x)＝－eq\r(1－\f(1,3)2)＝－eq\f(2\r(2),3)，sin(eq\f(2,3)π＋x)＝sin[π－(eq\f(π,3)－x)]＝sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)，∴tan(eq\f(2,3)π＋x)＝eq\f(sin\f(2,3)π＋x,cos\f(2,3)π＋x)＝eq\f(\f(1,3),－\f(2\r(2),3))＝－eq\f(\r(2),4).題型11：化簡求值例11：（1）化簡eq\f(tan(2π－θ)sin(－2π－θ)cos(6π－θ),cos(θ－π)sin(5π＋θ))（2）已知角α是第四象限角，且滿足sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－3cos(α－π)＝1，則tan(π－α)＝() A.eq\r(3)B．－eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)D．－eq\f(\r(3),3)【答案】tanθ【詳解】解析：（1）原式＝eq\f(tan(－θ)sin(－θ)cos(－θ),cos(π－θ)·sin(π＋θ))＝eq\f((－tanθ)(－sinθ)cosθ,－cosθ·(－sinθ))＝tanθ.（2）由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－3cos(α－π)＝1，得－cosα＋3cosα＝1，即cosα＝eq\f(1,2).因?yàn)榻铅潦堑谒南笙藿?，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(3),2).所以tan(π－α)＝－tanα＝－eq\f(sinα,cosα)＝eq\r(3).針對訓(xùn)練11.（1）化簡eq\f(sin(540°＋α)·cos(－α),tan(α－180°)).（2）已知角α的終邊在第二象限，且與單位圓交于點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(3,5)))，求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＋2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)))的值．【答案】（1）－cos2α（2）【詳解】解析：（1）原式＝eq\f(sin(360°＋180°＋α)·cosα,－tan(180°－α))＝eq\f(sin(180°＋α)·cosα,tanα)＝eq\f(－sinα·cosα,\f(sinα,cosα))＝－cos2α.（2）因?yàn)榻铅恋慕K邊在第二象限且與單位圓相交于點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(3,5)))，所以a2＋eq\f(9,25)＝1(a<0)，所以a＝－eq\f(4,5)，所以sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，所以原式＝eq\f(cosα＋2cosα,－2sinα)＝－eq\f(3,2)·eq\f(cosα,sinα)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))×eq\f(－\f(4,5),\f(3,5))＝2.題型12：證明三角恒等式例12：求證：eq\f(cos(π－θ),cosθ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))－1)))＋eq\f(cos(2π－θ),cos(π＋θ)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))＝eq\f(2,sin2θ).【答案】【詳解】解析：左邊＝eq\f(－cosθ,cosθ(－cosθ－1))＋eq\f(cosθ,－cosθcosθ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(1－cosθ＋1＋cosθ,(1＋cosθ)(1－cosθ))＝eq\f(2,1－cos2θ)＝eq\f(2,sin2θ)＝右邊．所以原等式成立．針對訓(xùn)練12.求證：eq\f(tan2π－αsin－2π－αcos6π－α,sinα＋\f(3π,2)cosα＋\f(3π,2))＝－tanα.【答案】【詳解】解析：左邊＝eq\f(tan－α·sin－α·cos－α,sin[2π－\f(π,2)－α]·cos[2π－\f(π,2)－α])＝eq\f(－tanα·－sinα·cosα,sin[－\f(π,2)－α]cos[－\f(π,2)－α])＝eq\f(sin2α,－sin\f(π,2)－αcos\f(π,2)－α)＝eq\f(sin2α,－cosα·sinα)＝－eq\f(sinα,cosα)＝－tanα＝右邊．∴原等式成立．題型13：誘導(dǎo)公式的應(yīng)用例13：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α，β0＜α＜eq\f(π,2)＜β＜π的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為eq\f(4,5)，eq\f(5,13).(1)求tanβ的值；(2)求eq\f(sin(α＋π)＋cos(π－β),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β)))的值．【答案】【詳解】解析：(1)因?yàn)棣碌慕K邊與單位圓交于點(diǎn)B，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為eq\f(5,13)，所以sinβ＝eq\f(5,13).因?yàn)閑q\f(π,2)＜β＜π，所以cosβ＝－eq\f(12,13).所以tanβ＝eq\f(sinβ,cosβ)＝－eq\f(5,12).(2)因?yàn)棣恋慕K邊與單位圓交于點(diǎn)A，A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為eq\f(4,5)，所以sinα＝eq\f(4,5).因?yàn)?＜α＜eq\f(π,2)，所以cosα＝eq\f(3,5)，故eq\f(sin(α＋π)＋cos(π－β),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β)))＝eq\f(－sinα－cosβ,cosα－sinβ)＝eq\f(－\f(4,5)＋\f(12,13),\f(3,5)－\f(5,13))＝eq\f(4,7).針對訓(xùn)練13.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(m,2eq\r(2))，sinα＝eq\f(2\r(2),3)且α為第二象限角． (1)求m，cosα，tanα的值； (2)若tanβ＝eq\r(2)，求eq\f(sinαcosβ＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sinβ,cos(π＋α)cos(－β)－3sinαsinβ)的值．【答案】【詳解】解析：(1)由題意，m＜0，則由sinα＝eq\f(2\r(2),\r(m2＋8))＝eq\f(2\r(2),3)，解得m＝－1.∴cosα＝eq\f(－1,\r((－1)2＋(2\r(2))2))＝－eq\f(1,3)，tanα＝－2eq\r(2).(2)由(1)知，tanα＝－2eq\r(2)，又tanβ＝eq\r(2)，∴eq\f(sinαcosβ＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sinβ,cos(π＋α)cos(－β)－3sinαsinβ)＝eq\f(sinαcosβ＋3cosαsinβ,－cosαcosβ－3sinαsinβ)＝eq\f(tanα＋3tanβ,－1－3tanαtanβ)＝eq\f(－2\r(2)＋3\r(2),－1－3×(－2\r(2))×\r(2))＝eq\f(\r(2),11).重點(diǎn)五：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)13、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）遞增區(qū)間：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）遞增區(qū)間：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）時，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時，ymin＝﹣1無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ+，k∈Z對稱中心：（kπ+，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ，k∈Z對稱中心：（，0）（k∈Z）無對稱軸周期題型14：正余弦函數(shù)圖像的應(yīng)用例14：(1)求下列函數(shù)的定義域：y＝eq\r(2sin2x－1)(2)方程x2－cosx＝0的實(shí)數(shù)解的個數(shù)是________．【答案】（1）eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋kπ≤x≤\f(5π,12)＋kπ，k∈Z)))).（2）2【詳解】解析：(1)由2sin2x≥1得sin2x≥eq\f(1,2).把2x當(dāng)作整體t，畫y＝sint的圖象．在[0,2π]內(nèi)，滿足sint≥eq\f(1,2)有eq\f(π,6)≤t≤eq\f(5π,6)，所以eq\f(π,6)≤2x≤eq\f(5π,6).故在實(shí)數(shù)集R上2x滿足eq\f(π,6)＋2kπ≤2x≤eq\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z，即eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(5π,12)＋kπ，k∈Z，所以定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋kπ≤x≤\f(5π,12)＋kπ，k∈Z)))).（2）作函數(shù)y＝cosx與y＝x2的圖象，如圖所示，由圖象可知原方程有兩個實(shí)數(shù)解．針對訓(xùn)練14.(1)求下列函數(shù)的定義域：y＝eq\r(sinx)＋eq\r(25－x2).(2)函數(shù)f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的圖象與直線y＝k有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍．【答案】【詳解】解析：(1)根據(jù)函數(shù)表達(dá)式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,25－x2≥0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ≤x≤2kπ＋πk∈Z，,－5≤x≤5.))在數(shù)軸上表示如圖所示．由圖示可得，函數(shù)定義域?yàn)閇－5，－π]∪[0，π]．(2)f(x)＝sinx＋2|sinx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3sinx，x∈[0，π]，,－sinx，x∈π，2π].))圖象如圖，若使f(x)的圖象與直線y＝k有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖象可得k的取值范圍是(1,3)．題型15：求正、余弦函數(shù)的周期例15：求下列函數(shù)的周期：(1)y＝sin(2x＋eq\f(π,3))(x∈R)；(2)y＝|sinx|(x∈R)．【答案】（1）π（2）π【詳解】解析：(1)法一：令z＝2x＋eq\f(π,3)，∵x∈R，∴z∈R，函數(shù)y＝sinz的最小正周期是2π，就是說變量z只要且至少要增加到z＋2π，函數(shù)y＝sinz(z∈R)的值才能重復(fù)取得，而z＋2π＝2x＋eq\f(π,3)＋2π＝2(x＋π)＋eq\f(π,3)，所以自變量x只要且至少要增加到x＋π，函數(shù)值才能重復(fù)取得，從而函數(shù)f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3))(x∈R)的周期是π.法二：f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3))中ω＝2，∴T＝eq\f(2π,|2|)＝π.(2)作出y＝|sinx|的圖象如圖：由圖象知，y＝|sinx|的周期為π.技巧：求三角函數(shù)最小正周期的常用方法(1)公式法：將函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，再利用T＝eq\f(2π,|ω|)求得．(2)定義法：一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個x值，都滿足f(x＋T)＝f(x)，那么非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．(3)圖象法：利用變換的方法或作出函數(shù)的圖象，通過觀察得到最小正周期．[提醒]y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝eq\f(π,|ω|).針對訓(xùn)練15.的求下列函數(shù)的周期．(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)x－\f(π,4)))，x∈R；(2)y＝|cosx|，x∈R.【答案】（1）12π（2）π【詳解】解析：(1)因?yàn)閟ineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)(x＋12π)－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)x＋2π－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)x－\f(π,4)))，所以由周期函數(shù)的定義知，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)x－\f(π,4)))的周期為12π.(2)y＝|cosx|的圖象如圖(實(shí)線部分)所示，由圖象可知，y＝|cosx|的周期為π.題型16：判斷三角函數(shù)奇偶性例16：判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝sinx＋tanx；(2)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x＋\f(3π,2)))；(3)f(x)＝eq\f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx).【答案】（1）奇（2）偶（3）非奇非偶函數(shù)【詳解】解析：(1)定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，關(guān)于原點(diǎn)對稱．因?yàn)閒(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，所以函數(shù)y＝sinx＋tanx是奇函數(shù)．(2)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))＝－coseq\f(3x,4)，x∈R.又f(－x)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3x,4)))＝－coseq\f(3x,4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))是偶函數(shù)．(3)由1＋sinx≠0解得x≠2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z))))，顯然定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱．故函數(shù)f(x)＝eq\f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx)是非奇非偶函數(shù)．針對訓(xùn)練16.的(多選)關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)有以下說法，正確的是() A．對任意的φ，f(x)都是非奇非偶函數(shù) B．存在φ，使f(x)是奇函數(shù) C．對任意的φ，f(x)都不是偶函數(shù) D．不存在φ，使f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)【答案】BD【詳解】解析：當(dāng)φ＝π時，f(x)＝sin(x＋π)＝－sinx，是奇函數(shù)．當(dāng)φ＝eq\f(π,2)時，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx，是偶函數(shù)．所以A、C錯誤，B正確．無論φ為何值，f(x)不可能恒為0，故不存在φ，使f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，故D正確．題型17：三角函數(shù)奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用例17：(1)已知f(x)＝coseq\f(π,3)x，則f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝________.(2)若函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ－\f(π,6)))(0＜φ＜π)是偶函數(shù)，則φ＝________，最小正周期T＝________.(3)若f(x)是以2為周期的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(－1,0)時，f(x)＝2x＋1，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))的值．(4)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝x－sinx，求當(dāng)x<0時f(x)的解析式．【答案】(1)－1(2)eq\f(2π,3)π(3)(4)見解析【詳解】解析：(1)因?yàn)閒(1)＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，f(2)＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，f(3)＝cosπ＝－1，f(4)＝coseq\f(4π,3)＝－eq\f(1,2)，f(5)＝coseq\f(5π,3)＝eq\f(1,2)，f(6)＝cos2π＝1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，又f(x)的周期為T＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝336×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝eq\f(1,2)＋(－eq\f(1,2))＋(－1)＝－1.(2)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝0對稱，故當(dāng)x＝0時函數(shù)取得最值，即f(0)＝±2，所以2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ－\f(π,6)))＝±2，所以φ－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，φ＝eq\f(2π,3)＋kπ，k∈Z.又因?yàn)?＜φ＜π，所以φ＝eq\f(2π,3).最小正周期為π.(3)因?yàn)閒(x)是以2為周期的函數(shù)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－2×2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).又f(x)是奇函數(shù)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).又當(dāng)x∈(－1,0)時，f(x)＝2x＋1.所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1))＝0.(4)設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sinx.又f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x－sinx(x<0)．技巧：與三角函數(shù)奇偶性有關(guān)的結(jié)論(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)為奇函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)；(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)為偶函數(shù)，則φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)為奇函數(shù)，則φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)為偶函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)．針對訓(xùn)練17.(1)下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是π的函數(shù)是()A．y＝cos|2x|B．y＝|sin2x|C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－2x))(2)定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期為π，且當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，f(x)＝sinx，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))等于()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(3),2)【答案】【詳解】解析：(1)y＝cos|2x|是偶函數(shù)，y＝|sin2x|是偶函數(shù)，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))＝cos2x是偶函數(shù)，y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－2x))＝－sin2x是奇函數(shù)，根據(jù)公式得其最小正周期T＝π.(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).題型18：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性例18：（1）求函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))x∈R的單調(diào)區(qū)間．（2）比較下列各組數(shù)的大小．(1)sin194°和cos160°；(2)sineq\f(7,4)和coseq\f(5,3)；(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,8)))和sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,8))).【答案】（1）增區(qū)間為(4kπ－eq\f(5,3)π，4kπ＋eq\f(π,3))，k∈Z，減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ＋\f(π,3)，4kπ＋\f(7,3)π))，k∈Z，（2）①sin194°>cos160°②sineq\f(7,4)>coseq\f(5,3)③sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,8)))<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,8)))【詳解】解析：（1）設(shè)z＝eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3)，則y＝sinz.當(dāng)z∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)時，y＝sinz為增．∴2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)得4kπ－eq\f(5,3)π≤x≤4kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z.當(dāng)z∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))時，y＝sinz為減．∴2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(3,2)π得4kπ＋eq\f(π,3)≤x≤4kπ＋eq\f(7,3)π，k∈Z.故y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的增區(qū)間為(4kπ－eq\f(5,3)π，4kπ＋eq\f(π,3))，k∈Z，減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ＋\f(π,3)，4kπ＋\f(7,3)π))，k∈Z，（2）①sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°.cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°.從而－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.②∵coseq\f(5,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(5,3)))，又eq\f(π,2)<eq\f(7,4)<π<eq\f(π,2)＋eq\f(5,3)<eq\f(3π,2)，y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是減函數(shù)，∴sineq\f(7,4)>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(5,3)))，即sineq\f(7,4)>coseq\f(5,3).③∵coseq\f(3π,8)＝sineq\f(π,8)，∴0<coseq\f(3π,8)<sineq\f(3π,8)<1<eq\f(π,2).而y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內(nèi)遞增，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,8)))<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,8))).針對訓(xùn)練18.(1)求y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的單調(diào)增區(qū)間．(2)若函數(shù)f(x)＝sinωx(ω＞0)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍為________．【答案】（1）eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)＋kπ，kπ＋\f(π,8)))（2）eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))【詳解】解析：（1）因?yàn)閥＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，由－π＋2kπ≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ(k∈Z)得－eq\f(3π,8)＋kπ≤x≤kπ＋eq\f(π,8)(k∈Z)，所以y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)＋kπ，kπ＋\f(π,8)))(k∈Z)．（2）令eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，又ω＞0，∴eq\f(π,2ω)＋eq\f(2kπ,ω)≤x≤eq\f(3π,2ω)＋eq\f(2kπ,ω)，k∈Z.∵函數(shù)f(x)＝sinωx(ω＞0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2ω)≤\f(π,3)，,\f(3π,2ω)≥\f(π,2)，))∴eq\f(3,2)≤ω≤3.題型19：三角函數(shù)最值問題例19：求下列函數(shù)的值域：(1)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))；(2)y＝|sinx|＋sinx；(3)y＝cos2x－4cosx＋5.【答案】（1）[－eq\r(3)，2]（2）[0,2]（3）[2,10]【詳解】解析：(1)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))，∴2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4π,3))).令u＝2x＋eq\f(π,3)，又y＝sinu在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(4π,3)))上單調(diào)遞減，∴－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1，∴－eq\r(3)≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤2，∴函數(shù)的值域?yàn)閇－eq\r(3)，2]．(2)∵y＝|sinx|＋sinx＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2sinx，sinx≥0，,0，sinx＜0，))又sinx≥0時，0≤2sinx≤2，∴函數(shù)y＝|sinx|＋sinx的值域?yàn)閇0,2]．(3)令t＝cosx，則－1≤t≤1.∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，∴t＝－1時，y取得最大值10，t＝1時，y取得最小值2.∴y＝cos2x－4cosx＋5的值域?yàn)閇2,10]．針對訓(xùn)練19.（1）求函數(shù)y＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))的最大值和最小值．（2）已知函數(shù)f(x)＝2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋a＋b的定義域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，值域是[－5,1]，求a，b的值．【答案】【詳解】解析：（1）y＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3＝2sin2x＋2sinx＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,2).∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴eq\f(1,2)≤sinx≤1.當(dāng)sinx＝1時，ymax＝5；當(dāng)sinx＝eq\f(1,2)時，ymin＝eq\f(5,2).（2）因?yàn)?≤x≤eq\f(π,2)，所以eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6)，所以－eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))≤1.當(dāng)a＞0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－5，,3a＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－5，,a＝2.))當(dāng)a＜0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,3a＋b＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,a＝－2.))因此a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.題型20：正切函數(shù)的定義域、值域例20：求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))；(2)y＝eq\r(\r(3)－tanx).【答案】【詳解】解析：(1)由x＋eq\f(π,4)≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)得，x≠kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，所以函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，其值域?yàn)?－∞，＋∞)．(2)由eq\r(3)－tanx≥0得，tanx≤eq\r(3).結(jié)合y＝tanx的圖象可知，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，滿足tanx≤eq\r(3)的角x應(yīng)滿足－eq\f(π,2)<x≤eq\f(π,3)，所以函數(shù)y＝eq\r(\r(3)－tanx)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)<x≤kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))，其值域?yàn)閇0，＋∞)．針對訓(xùn)練20.的函數(shù)f(x)＝tan2x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))上的最大值與最小值的差為() A．2eq\r(3)B．eq\f(2\r(3),3) C．2D．eq\f(2,3)【答案】【詳解】解析：由函數(shù)f(x)＝tan2x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))上單調(diào)遞增，可得f(x)max＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)))＝eq\r(3)，f(x)min＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2×\f(π,6)))＝－eq\r(3).所以最大值與最小值的差為2eq\r(3).題型21：正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)例21：(1)若f(x)＝tan(ωx)(ω＞0)的周期為1，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的值為()A．－eq\r(3)B．－eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),3)D．eq\r(3)（2）比較taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))與taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))的大?。敬鸢浮浚?）D（2）taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))>taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))【詳解】解析：(1)∵f(x)＝tan(ωx)(ω＞0)的周期為eq\f(π,ω)＝1，∴ω＝π，即f(x)＝tanπx，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).（2）taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3π－\f(π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－taneq\f(π,4)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π－\f(2π,5)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,5)))＝－taneq\f(2π,5)， ∵0<eq\f(π,4)<eq\f(2π,5)<eq\f(π,2)，且y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內(nèi)遞增， ∴taneq\f(π,4)＜taneq\f(2π,5)，∴－taneq\f(π,4)>－taneq\f(2π,5)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))>taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5))).針對訓(xùn)練21.（1）函數(shù)y＝taneq\f(x,2)是() A．最小正周期為4π的奇函數(shù) B．最小正周期為2π的奇函數(shù) C．最小正周期為4π的偶函數(shù) D．最小正周期為2π的偶函數(shù)（2）