2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)訓(xùn)練《平面向量的應(yīng)用》(含答案)

2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練《平面向量的應(yīng)用》

-、單選題（本大題共12小題，共60分）

1.（5分）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=4,AD=2,Z.DAB=60o,M在線段DC

上，且滿足DM=若N為平行四邊形ABCD內(nèi)任意一點（含邊界），則局?尿的

最大值為（）

a

A.13B.0C.8D.5

2.（5分）半圓的直徑AB=4,。為圓心，C是半圓上不同于4、B的任意一點，若P為

半徑OC上的動點，則（pλ+?）.命的最小值是（）

A.2B.0C.-2D.4

3.（5分）如圖所示，邊長為2的菱形ABCD中，NBAD=I20。，點E,F分別為對角線

4.（5分）,將等腰直角三角板ADC與一個角為30。的直角三角板ABC拼在一起組成如

圖所示的平面四邊形ABCD,其中4DAC=45。，/B=30。.若法=加+J虎，則

A.3+3BHT

C.2D.

5.（5分）如圖，已知??=Z,G=b,fiB=3茄，用之工表示疝），則兄>=（）

T37IT37

A.Qd—bB.-ɑH—b

444

ITlTRTIT

C.-Qd—bD.-Qd—b

4444

6.（5分）在平面內(nèi)，定點A,B,C,D滿足|6入I=∣I?∣=∣1?∣,DA.DB=DB.DC=

DC.D?=-2,動點P,M滿足∣7?∣=1,PM=MC,貝”加1|的最大值是（）

C37+66D37+2檢

AA.——43

4B-7?4?4

則（是是鈍角三角形”的（）

7.（5分）己知48,C為不共線的三點,”A?.fλ>0”“AABC

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.（5分）如圖，四邊形OABC是邊長為1的正方形，OD=3,點P為ZIBCD內(nèi)（含邊界）

的動點，則∣θλ+（?∣的取值范圍為（）

A?嚕5]B.[√2,4]

C2√10.

C.[√2,√5]D」r『4]1

9.（5分）向量Vb,W在正方形網(wǎng)絡(luò)中的位置如圖所示，若W=+μ匕（λ,μ∈R）,則

C.4D.2

10.（5分）已知ZIABC的外接圓半徑為1,圓心為0,且3&+4&+5&2=6,則

6??A?的值為（）

1166

--C--

A.5B.55D.5

11?（5分）點P是△4Be所在平面內(nèi)一點，^CB=λPA+PB,其中4CR,則點P一定

在（）

A.△?!BC的內(nèi)部B.AC邊所在直線上

C.48邊所在直線上D.BC邊所在直線上

12.(5分)已知4(-3,0),B(0,2),。為坐標(biāo)原點，點C在NAOB內(nèi)，IOCl=2√Σ,且

ZAOC=設(shè)→OC=λ→0A+→OB(XeR),則λ的值為()

A.1Ba11C.-2D.-

323

二、填空題(本大題共5小題，共25分)

13.(5分)若點P為ZABC的外心，且Pλ+!?=P?,則ZACB=.

14.(5分)在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，4為直線，：y=2x上在第一象限內(nèi)的點，B(5,0),

以AB為直徑的圓C與直線/交于另一點D.若AHcB=0,則點4的橫坐標(biāo)為.

15.(5分)已知點力(4,0),。為原點，對于圓。：/+y2=4上的任意一點p,直線,：

y=kx-1上總存在點Q滿足條件辦+OA=2訪，則實數(shù)k的取值范圍是.

16.(5分)已知正方形ABCD的邊長為2,P是正方形ABCD的外接圓上的動點，則λ??

AP的范圍是.

17.(5分)在平面內(nèi)，已知ABIAC,且DB=DC=2,BP=AC,若1<DP42,貝IJ

DA的取值范圍是.

三、解答題(本大題共6小題，共72分)

18.(12分)在/ABC中，角A,B,C的對邊分別為α,b,c.已知4=45。，CoSB=去

(I)求CoSC的值;

(2)若BC=20,。為AB的中點，求CD的長.

19.(12分)如圖，已知橢圓《+《=l(α>b>O)的離心率e=白，過點A(O,—b)和

B(a,0)的直線與原點的距離為與

(1)求橢圓的方程.

(2)已知定點E若直線y=kx+2(k≠0)與橢圓交于C、。兩點.問：是否

存在k值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由.

20.(12分)如圖，在AZBC中，NBaC=60。，NBAC的平分線交BC于點。.若AB=4,

且G=I品+iU?(∕l∈R),SR∣AD∣.

21.（12分）銳角三角形ABC中，角4B,C所對的邊分別為α,b,c,且=

cCosB

tanF+tanC.

（1）求角C的值；

（2）若c=2b,。為AB的中點，求中線CD的范圍.

22.（12分）一艘船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡.根據(jù)測量，水流速度為3km",方向正東,

風(fēng)的方向為北偏西30。，受風(fēng)力影響，靜水中船的漂行速度為3km".為了要使該船由

南向北沿垂直于河岸的方向以2√5km∕∕ι的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向.

23.（12分）如圖，為了防止電線桿傾斜，在兩側(cè)對稱地用鋼絲繩把它拉緊.已知每條鋼

絲繩的拉力都是500N,每條鋼絲繩與電線桿的夾角都是，兩條鋼絲繩拉力的合力大小

為F.

（1）如果。=30。，求F的大小；

（2）試研究：當(dāng)0。<。<90。時，隨著的增大，F(xiàn)的變化趨勢.

四、多選題（本大題共5小題，共25分）

24.（5分）13ABC中，BC=2,BC邊上的中線AD=2,則下列說法正確的有（）

A.A??辰為定值B.AC2+AB2=10

C.∣≤COSZBAC<;1D.NBAD的最大值為60°

25.（5分）點。是平面α上一定點，A,B,C是平面a上AABe的三個頂點，?B,NC分

別是邊AC,AB的對角.以下五個命題正確的是（）：

A.動點P滿足（?=OA+λ（→ab+≠c'）（λ>0）,則/ABC的重心一定在滿足

∣AB∣sinB∣AC∣sinC

條件的P點集合中

B.動點P滿足（?=OA+λ（娶+4^-）（λ>0）,貝必ABC的內(nèi)心一定在滿足條件的

l^B∣∣AC∣

P點集合中

C.動點P滿足（?=OA+MTAB+JC）（λ>0）,貝必ABC的垂心一定在滿足

∣AB∣cosB∣AC∣cosC

條件的P點集合中

D.動點P滿足（?=OA+J?+PC,則ZlABe的外心一定在滿足條件的P點集合中

26.（5分）已知中，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為α,b,c,且c=√TU,

bcosC+ccosB=2,若點P是邊Be上一點，Q是AC的中點，點。是△4BC所在平面內(nèi)一

點，0A+20B+30C=0,則下列說法正確的是0

A.若（A%+晶）?品1=O,］）i）??AB+AC?=6

B.若&在C?方向上的投影向量為C?,則∣∕?∣的最小值為當(dāng)

C.若點P為BC的中點，貝屹辦+（?=G

→T

D.若（空+當(dāng)）.於=0,則G?（AB+幾）為定值18

MB∣MCI

27.（5分）八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖

2中的正八邊形ABCDEFGH,其中OA=I,則以下結(jié)論正確的是（）.

A.HD-BF=0B.OA-OD=--

2

C.OB+OH=-√20ED.∣AH-FH∣=√2-√2

28.（5分）在日常生活中，我們會看到兩人共提一個行李包的情境（如圖）.假設(shè)行李包

所受重力為G,兩個拉力分別為尸1，F(xiàn)2,若IF（|=∣F2∣,F1與尸2的夾角

為。.則以下結(jié)論正確的是0

A.∣Fi|的最小值為TIGl8.8的范圍為［0,兀］

C.當(dāng)"狎，IF;|=γ∣G∣D.當(dāng)。=爭寸，∣F,∣=IGl

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.

可得4(0,0),B(4,0),D(l,√3),C(5,√3).

VDM=JDC,ΛM(2,√3).

設(shè)N(X,y),%∈[0,5],y∈[0,√3].

則晨4?AN=2x+√3y,

令2x+V3y=3可得y=-專x+今t.

二當(dāng)且僅當(dāng)上述直線經(jīng)過點(5,b)時t取得最大值，

t=2X5+V3Xy/3—13.

故選：A.

如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.利用向量數(shù)量積運算的有關(guān)知識即可得出.

此題主要考查了向量數(shù)量積運算的有關(guān)知識，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)

2.【答案】C;

【解析】

此題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，結(jié)合圖形分析是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

根據(jù)圖形知。是線段AB的中點，所以晶+而=2命，再根據(jù)向量的點乘積運算分析方向

與大小即可求出.

解：如圖:

???。為AB的中點，

→→

???PA÷PB=2。VerrightarroWP0,

?(PA+PB)??=20verrightarrowPO?PC=-2|POIlPC|,

由條件知當(dāng)PO=PC=1時，最小值為一2XIXl=—2.

故選C.

3.【答案】A;

【解析】

此題主要考查的是平面向量中向量的加法，減法，及向量的數(shù)量積，

因為X?=λ?+??=λ?+jBb=λ?+∣(AD-AB)=i(AD+2。VerrightarrOWAB),

又AE=-CF,所以AE?CF=—?(2。VerrightarroWAB+AD)2.

9

因為AB=AD=2,NBAD=I20°,

所以A??AB=-2.

所以或=AB+BE=AB+∣BD=AB+?(?b-AB)=∣(AD+2oVerrightarroWAB).

又晶=-CF,

TTlT1→2

所以AE?CF=--(20verrightarrowAB+AD)2=--(4AB+4。VerrightarroWAB-

→→2

AD+AD)=

'3

故選4

4.【答案】A;

【解析】

該題考查了共面向量基本定理、含30。與45。角的直角三角形的性質(zhì)，考查了推理能力

和計算能力，屬于中檔題.

解：如圖所示，

不妨取DA=I,則DC=I,AC=√2,AB=2√2,BC=√6.

.?.XB=DA+ABcos750=1+2√2×?=√3,

4

0

yβ=ABsin75=V3÷1.

???β(√3,√3÷1).

?DB=√3DA+(√3+1)DC

?X=V3,y=√3+1,

:?xy=3+V3.

故選A.

5.【答案】B;

【解析】【分析】

本題為向量的加，減運算的簡單應(yīng)用，結(jié)合圖形容易得出答案，題中由的=3Z?,由

向量的減法法則：BD=AD-AB1DC=AC-G,代入上式計算可以得出結(jié)果.

【解答】

解：如圖，

A

BD=AD-AB1DC=AC-AD,

且筋=3DC,(AD-AB)=3(ΛC-AD).

即：4AD=AB+3AC,

TITQTITRT

所以4D=2AB+±AC=2α+?b

4444

故選B.

6.【答案】B;

【解析】

此題主要考查向量的兒何應(yīng)用，屬于中檔題.

?∣DA∣=∣E?∣=?DC?,可得。為ZIABe的外心，又6λ?品=品?L?=Γ??Eλ,可

得。為AABC的垂心，貝IJD為/ABC的中心，即AABe為正三角形，可得/ABC的邊長，

以4為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，求得8,C的坐標(biāo)，再設(shè)P(CoSO,sinθ),(0≤θ<2π),

由中點坐標(biāo)公式可得M的坐標(biāo)，運用三角函數(shù)的恒等變換公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域,

即可得到最大值.

解：由IDAl=IDBl=IDCI，可得。為ZABC的外心,

TT—?→—>→

又DA?DB=DB-DC=DC?DA,可得

DB?(E)A-DC)=O,DC-(DB-6λ)=0,

BPDBCA=DCAB=O,

即有Γ?J.(fλ,DClAB,可得。為4ABC的垂心,

則D為/ABC的中心，即/ABC為正三角形.

由liλ?I?=-2,BP?^∣Γ)A∣■∣DA∣cosl20o=-2,

解得IIAl=2,4ABC的邊長為4cos30。=2√3,

以A為坐標(biāo)原點，AD所在直線為X軸建立直角坐標(biāo)系xθy,

則B(3,-?C(3,√3),0(2,0),

由IAPl=I,可設(shè)P(CoSO,sinθ),(0≤θ<2π)>

由扁=江，可得M為PC的中點，即有M(亨,安，)，

則IBK—(33+COS0)2+ζV3÷sinθ+_(3-cosθ)2+(3√3+sinθ)2_37-6cosθ+6√3sinO

22444

37+12Sin(O午

4，

當(dāng)Sin(O-》=1,即O=爭時，取得最大值，且為

故選B.

7.【答案】A;

【解析】由啟.&>0,得到∕?.A<0,SP∣AB∣.∣AC∣coszBAC<0,即

COSZBAC<0,可以得到NBAe為鈍角，即AABC是鈍角三角形；但AABC是鈍角三角

形時，角4可能是鈍角或銳角，不一定得到A?.cλ>O:所以√kcλ>0”是“AABC

是鈍角三角形”的充分不必要條件.

8.【答案】B;

【解析】

該題考查了平面向量的坐標(biāo)運算，向量的幾何運用，屬于中檔題.

以。為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)PQ,y),用％,y表示出∣θk+(?∣,利用兩

點間的距離公式轉(zhuǎn)化為P點到M(-1,0)點的距離，由此即可得解.

解：以0為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示:

則C(0,1),?(l,0),0(3,0),

設(shè)P(X,y),則6λ+(?=(x+l,y),

.?.∣OA+OP∣=√(x+l)2+y2,

設(shè)M(-I,O),則∣6λ+(?∣=∣NFP∣,

由圖可知當(dāng)P與C重合時，INiPl取得最小值VL

當(dāng)P與。重合時，I疝Pl取得最大值4,

???∣θk+(?∣的取值范圍是[√I,4].

故選B.

9.【答案】C;

【解析】

該題考查了平面向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.

設(shè)正方形的邊長為1,則易知c=(-1,—3),a=(—1,1),b=(6,2),可得(—1,—3)=

λ(-l,l)+μ(6,2),從而求得結(jié)果.

設(shè)小正方形格子的邊長為1,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則易知U=(-1,-3),a=(-1,1),b=(6,2)；

TTT

?：c=λα+μb,

???(-l,-3)=λ(-l,l)+μ(6,2),

解得，λ=-2,μ=-∣

?-=4；

μ

故選C.

10.【答案】A;

【解析】解：因為3δλ+4(?+5(?=3,

所以36λ+4(?=-5OC,

TTTTT

所以9OA2+24OA.OB+16OB2=25OC2,

因為4,B,C在圓上，所以∣6λ∣=∣(?∣=∣(?=1.

代入原式得δλo?=0,

所以6EA?=-?(3OA+4OB).(OB-OA)

→→TTTT

=-∣1(3OA.OB+4OB2-3OA2-4OA.OB)

=—1?

S

故選：4.

先將一個向量用其余兩個向量表示出來，然后借助于平方使其出現(xiàn)向量模的平方，用

上外接圓半徑，然后進(jìn)一步分析結(jié)論，化簡出要求的結(jié)果.

該題考查了平面向量在幾何問題中的應(yīng)用.要利用向量的運算結(jié)合基底意識，將結(jié)論

進(jìn)行化歸，從而將問題轉(zhuǎn)化為基底間的數(shù)量積及其它運算問題.

11.【答案】B;

【解析】【分析】

本題主要考查向量的共線定理，要證明三點共線時一般轉(zhuǎn)化為證明向量的共線問題，

根據(jù)C?=∕?-而，代入C?=4∕%+P?,根據(jù)共線定理可知無與日1共線，從而可

確定P點一定在AC邊所在直線上，屬于中檔題.

【解答】

解："CB=PB-PC,CB=λPA+PB,PB-PC=λPA+PB,則一而=4/，：.

PC//PA,即而與晶共線，.?.P點一定在AC邊所在直線上，

故選B.

12.【答案】D;

【解析】

此題主要考查平面向量的幾何表示和線性運算，，屬基礎(chǔ)題.

依題意，結(jié)合圖形，由坐標(biāo)相同易得答案.

則(-2,2),

又TOC=λ—>OAd—>OB(λER),

所以-3λ=-2,解得λ=%,

故選D.

13.【答案】120°;

【解析】解：???P為4ABC的外心，二線段長PA=PB=PC,

又?.?Pλ+而=PC,結(jié)合平面向量加法的平行四邊形法則可知四邊形PABC是平行四邊

形，

???四邊形PABC是菱形，且/PAC與/PBC是全等的等邊三角形，

ZACB=ZPCA+ZPCB=120°.

故答案為120。

由外心的性質(zhì)可知，線段長PA=PB=PC,結(jié)合向量加法的平行四邊形法則可知，四

邊形PABC是平行四邊形，所以該四邊形是有一對內(nèi)角為60。的菱形，所以NACB=

120°.

此題重點考查平面向量加法的幾何意義，三角形外心的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，注意結(jié)

合圖形分析.

14.【答案】3:

【解析】

此題主要考查向量的數(shù)量積，向量的幾何運用，屬于中檔題.

根據(jù)點。為以AB為直徑的圓上的點，所以ADJ.BD,又ABICD得ZlADB為等腰直角

三角形.由此來求得點4的坐標(biāo).

解：設(shè)4(α,2a),D(d,2d),其中α>0,且d≠α,

則6?=(5-d,-2d),[)A=(α-d,2a-2d).

由直徑所對圓周角為直角，及ABjLCD,得AADB是等腰直角三角形.

所以Dk與6?垂直且模相等，

所以｛&a-d—2d,2a-2d=5—d或｛&5—d=2d—2a,-2d=α—d,

解得｛&a=3,d=1,或｛&a=-1,d=1,

所以a=3.

故答案為3.

15.【答案】［0爭

【解析】【試題解析】

【分析】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及向量的三角形法則以及直線的斜率公式，屬于綜

合題.

根據(jù)題意，設(shè)設(shè)P(2cos9,2sin0),由向量的三角形法則分析可得Q是PA的中點，即可

得Q的坐標(biāo)，將Q的坐標(biāo)代入直線/的方程，變形可得Zc=磬?,分析k的幾何意義，

Z+COSσ

結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，分析可得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，P是圓0：χ2+y2=4上任意一點，

則設(shè)P(2cosO,2sin61),

若點Q滿足條件法+辦=20Q,則Q是PA的中點，

則Q的坐標(biāo)為(2+COSo,sin。)，

若Q在直線1：y=kx—l_h,貝IJSin。=∕c(2+cos。)—1,

變形可得k=噂用,

2+COS0

即A表示單位圓上的點(cos。,Sine)

與點M(-2,-l)連線的斜率，如圖所示：

2

設(shè)過點M的直線y+1=m(x+2)與圓/+y1相切,

則有浮4=1,

√l+mz

解可得m=O或會

則有O≤萼2≤P即k的取值范圍為[0,勺;

Z+COStz??

故答案為：[0,[].

16.【答案】[-2√Σ+2,2√2+2];

【解析】解：如圖所示，?(-l,-l),B(If.

設(shè)P(√∑cos0,√∑sin9).

.?.AB?AP=(2,0)?(√2cosθ+l,√2sinθ+1)

=2Λ∕2COSΘ+2,

???—1≤cosθ<1,

.?.AB-/的范圍是[一2夜+2,2√2+2],

故答案為：[―2√Σ+2,2√Σ+2].

如圖所示,A(-l,-l),B(l,-l).?P(√2cosθ,√2sinθ),可得λ??*=(2,0)?

(√2cosθ+l,√2sinθ+1)=2√2cosθ+2,利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

此題主要考查了向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積運算、余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】[2,√7];

【解析】解：由ABIAC,BP=AC,

可得四邊形ABPC為矩形，

在矩形ABPC中，有|DA『+∣DP∣2=∣DC∣2+∣DB∣2

貝IJlDAI2=8-∣DP∣2

又14DP42,

所以|DA『e[4,7],即24∣DA∣≤√7,

故答案為：[2,√7].

根據(jù)條件有四邊形ABPC為矩形，根據(jù)矩形中的一個特殊性質(zhì)，平面內(nèi)任一點D,有

∣DA∣2+∣DP∣2=∣DC∣2+|DB『可得答案.

該題考查向量的幾何性質(zhì)，向量運算，屬于難題.

18.【答案】解：(1)在21ABe中，由COSB=KBe(O,兀)，得SinB=|,

則COSC=cos(π—A—B)=-CoS(A+B)

=—cosAcosB+SinyISinB

√241√23√2

■■■X-■X-,?

252510

(2)在4ABC中，???sinβ=∣,A=450,BC=20,

12√2,

?.?。為八8的中點，二&>=：(&+&),

—?2→2→2—>

?CD=-(CA+CB+20verrightarrowCA?CB)

=i[288+400+2×12√2×20×(-^)]=148,

.?.CD=2√37.;

【解析】該題考查了正弦定理，向量的數(shù)量積以及兩角和的余弦公式，考查了計算能

力，屬于中檔題.

(1)利用COSC=-cosAcosB+sin∕sin8即可求解；

(2)由正弦定理得AC=I2√Σ由。為AB的中點，利用向量的數(shù)量積，即可求得CD的

長.

19.【答案】解：(1)由已知直線AB方程為：bx-ay-ab=0,

c_√6

α―3

依題意&#XOO7B岫=3，

?fa2+b22

c2=a2-b2

a=√3

解得&#%0078h=1,

c=V2

v2

橢圓方程為ξ?+y2=1；

χA2

(2)假若存在這樣的k值，由o^+y=1得：

y=kx+2

(1+3fc2)x2+12kx+9=0,

.?.Δ=(12k)2-36(1+3A:2)>0,①解得：上<一1或卜>1,

設(shè)C(XI,y。，D(x2,y2),

x÷X=----

則｛12產(chǎn)3'②

X1Xz=----不2

12l+3fc

2

而力為=(kx1+2)(∕CX2+2)=kx1x2+2k(x1+x2)+4,

要使以CD為直徑的圓過點E(—1,0),

當(dāng)且僅當(dāng)CEJ.DE時，則(?.品=0,(?=(-l-x1,-y1),[?=(-1-x2,-y2),

即+(Xl+l)(x2+1)=0>

2

???(∕c+l)x1x2+(2k+l)(x1+&)+5=0,③

將②式代入③整理解得k=-1.

6

經(jīng)驗證，k=]>l?滿足題意.

6

綜上可知，存在Zc=使得以CD為直徑的圓過點E.;

6

【解析】此題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，同時考查直線與橢圓的位置

關(guān)系及平面向量的幾何運用，屬于較難題.

(1)由已知得關(guān)于α,b,C的方程組，求出α,b,C即可求解；

(2)聯(lián)立直線與柳圓的方程，然后利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積求解即可.

20.【答案】解：因為B,D,C三點共線，所以;+4=1,解得;I="

44

如圖，過點D分別作AC,48的平行線交4B,4C于點M,N,則/而=JA,AM=

4

,∕?.經(jīng)計算得AN=AM=3,AD=3√3,即|6I=

【解析】本題主要考查向量的線性運算和平行四邊形法則，以及平面幾何知識求解線

段的長.

21?【答案】解:⑴由磊=tanB+tanC,得

√3sinΛSinB,sinCsinB?cosC+cosB?sinCSin(B+C)_SirM

=---------1=

sinC?cosF----CosBcosC--------------cosB?cosCcosB?cosCCOSB?COSC

所以SinC=√3cosC,C∈(0lπ),

tanC=y∕3,C=^-;

(2)C?=∣(Ol+?,

CD2=i(CΛ+CB)2=i(α2+h2+ab),

由余弦定理有：c2=az+b2-ab,BR12=a2+62-ae,

所以CD2=1(12+2ab)=3+∣a∕?,

由正弦定理E■=-?-=?=-?=4,a=4sinΛ,b=4sinB,

SlnASinBSinC??

2

CD2=3+-ab=3+8sinΛsinB

2

=3÷8sin?sin(γ—4)

=3+8sin∕(JCOSi4+∣sin√l)

=3÷4V3sinλcos√l+4sin2?

=3÷2√3sin2Λ+2(1—cos2A)=5+4(γsin2Λ—∣cos2?)

=5+4sin(24一巴)，

6

因為△ABC為銳角三角形，

所以0<2<]且4+C>全

則4€韻》2Λ-^∈(=?,

貝IJSin(24-》∈(∣,1],

故CU∈(7,9],CD∈(√7,3].;

【解析】

此題主要考查正弦定理、余弦定理，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查三角函數(shù)的

性質(zhì)，屬于中檔題.

(1)由正弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡，可求出tanC,進(jìn)而得角C的值；

(2)由余弦定理及向量知識得CD?=3+∣αb,再由正弦定理可得CEP=3+∣ah=3+

8siιυ4sinB,化簡后求解即可.

22.【答案】解：如圖，設(shè)水的速度為3,風(fēng)的速度為房，v1+v2=a.

易求得a的方向是北偏東30。，a的大小是3km∕h.

設(shè)船的實際航行速度為京，方向由南向北，

大小為2√3∕cm∕∕ι.

船本身的速度為%,則a+%="，即ι?=v-a，

由數(shù)形結(jié)合知，房的方向是北偏西60°,大小是bkm".;

【解析】此題主要考查向量在物理中的應(yīng)用，向量加減混合運算以及幾何意義，屬于

中檔題.

根據(jù)題意設(shè)水的速度為3,風(fēng)的速度為房，船的實際航行速度為K,由向量的物理運

用即可求得結(jié)果.

23.【答案】解：(1)把兩根繩的拉力看成沿繩方向的兩個分力，

以它們?yōu)猷忂叜嫵鲆粋€平行四邊形，其對角線就表示它們的合力，

由圖根據(jù)幾何關(guān)系知，兩繩拉力的合力F=2×500cos30o=500√3N；

(2)F=2×5OOcos0=1000cosΘ,

V0°<0<90°,.?.當(dāng)。增大時,CoSe在減小，

故當(dāng)0。<0<90。時，F(xiàn)隨。的增大而減少.

【解析】此題主要考查向量的物理應(yīng)用，屬于中檔題.

(1)已知兩分力的大小和方向，根據(jù)平行四邊形定則做出合力，根據(jù)幾何關(guān)系求出合力

大小和方向；

(2)根據(jù)角度變化分析，力的變化.

24.【答案】ABC;

【解析】此題主要考查了向量數(shù)量積的運算，正弦定理，考查了計算能力，屬于中檔

題.

可畫出圖形，根據(jù)題意可得出2/=A?+辰，BC=AC-Z?,兩邊平方聯(lián)立即可

判斷4B兩個選項，由數(shù)量積公式判斷C選項，由正弦定理即可判斷出。選項.解：如

圖，?.?AD是BC邊上的中線，

A

τ2—>T—>2

.?.AB+2AB?AC+AC=16,①

?.?I?=AC-A?且BC=2.

22

.?.AB-2AB?AC+AC=4,②

→2→2

①+②得，AC+AB=10,5?iAC2+AB2=10,故B正確.

①一②得，AB?AC=3,故4正確.

?ΛC2+AB2=10得出10>2∣AC∣∣AB∣,則IACllABl≤5,

當(dāng)且僅當(dāng)IACl=IABl時等號成立，

則IABIlACICOS4BAC=3≤5coszBAC,

所以I《cosZ.BAC<;1.故C正確；

在團(tuán)ABD中，由正弦定理得：把等=等《點

所以0<;NBAD≤3

6

故NBAD的最大值為30。，故。錯誤.

故選ABC.

25.【答案】ABC;

【解析】

解：對于4因為（?=6λ+λ（LA+LA?

?ABsi∏βACSinC/

所以（?-6λ=入（百一+/一），

UABsinBACsinCI

所以占=＞（尸南一+尸卒一］，

?ABsinBACsinCI

又根據(jù)正弦定理，有兇=B?則|辰|SinC=∣AB∣SinB,

SInBsinCIIII

所以兄＞=尸口（啟+辰），

ABSinB'/

所以AP與OverrightarrowAB+AC共線，

又因為B+/經(jīng)過線段Be的中點D,

所以AP也經(jīng)過線段BC的中點、D,

所以點P的軌跡也經(jīng)過線段BC的中點。,

所以21ABe的重心一定在滿足條件的P點集合中，故4正確;

→→

對于B,因為借與否分別表示AB與OverrightarrowAC方向上的單位向量,

IABIIACI

所以獸i+谷的方向與Z?BAC的角平分線一致,

IABIIACI

又因為OP=OA+λIj4rτ+prτJ,

VABlHZ

所以卻=(?-6λ=λ(τ^i+∕1),

?IABIIAΨ

所以d的方向與4BAC的角平分線一致，

所以ZlABe的內(nèi)心一定在滿足條件的P點集合中，故B正確;

對于C,因為(?=δλ+λ(尸竿一+尸A

?ABcosBACCOSC

所以易=(?-6X=λ(∣r-+產(chǎn)平-

?ABcosFACcosC

萼α=λ(?

所以易.靛∣BC∣)=0,

所以dJ.命,

所以ZIABC的垂心一定在滿足條件的P點集合中，故C正確;

對于D,設(shè)Be的中點為D,連接PD,

→→

則2。VerrightarrOWPD=PB+PC>

又因為(?=0A+I?+PC,

所以*=OP-OA=?+PC,

—?

所以AP=20verrightarrowPD,

所以4、P、。三點共線，且P為4ABC的重心，所以。錯誤;

故選ABC.

此題主要考查向量的幾何運用問題，

分別根據(jù)向量平行、垂直的判斷與證明，向量的數(shù)量積，根據(jù)三角形的重心、內(nèi)心、

垂心的定義，逐項判斷即可，屬于中檔題.

26.【答案】ACD;

【解析】

本題考向平面向量的綜合運用，屬于難題.解：對于4,設(shè)BC中點為。，由C?+A)?

BC=O可知BC上的中線Ao與BC垂直，

所以△4BC是等腰三角形，AB=AC=b=c,B=C,

所以bcosC+ccosB=VlU(CoSC+COSB)=2VlOcosfi=2,則CoSB=詈=器，

所以BD=