數(shù)列求和方法(帶例題和練習(xí)題)

數(shù)列的求和數(shù)列求和主要思路：1．求數(shù)列的和注意方法的選?。宏P(guān)鍵是看數(shù)列的通項(xiàng)公式；2．求和過(guò)程中注意分類討論思想的運(yùn)用；3．轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用；數(shù)列求和的常用方法一、利用常用求和公式求和利用以下常用求和公式求和是數(shù)列求和的最根本最重要的方法.等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：4、公式法求和考前須知〔1〕弄準(zhǔn)求和項(xiàng)數(shù)的值；〔2〕等比數(shù)列公比未知時(shí)，運(yùn)用前項(xiàng)和公式要分類。例1．求和()二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例2．求和：例3．求數(shù)列前n項(xiàng)的和.三、倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和即可用倒序相加發(fā)，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和就是此法推導(dǎo)的例4．求的值例4變式訓(xùn)練1：求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.例4變式訓(xùn)練2：數(shù)列{an}：，求S2002.例4變式訓(xùn)練3：在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，假設(shè)的值.四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，假設(shè)將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例5．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。例5變式訓(xùn)練1：求之和.例5變式訓(xùn)練2：求數(shù)列的前n項(xiàng)和：；例6．求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，…五、裂項(xiàng)相消法：這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)〔通項(xiàng)〕分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終到達(dá)求和的目的.通項(xiàng)分解〔裂項(xiàng)〕如：〔1〕〔2〕〔3〕假設(shè)為等差數(shù)列，公差為d，那么；〔4〕〔5〕(6)(7)例7．求數(shù)列的前n項(xiàng)和.例8．在數(shù)列{an}中，，又，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.例8變式訓(xùn)練1：求數(shù)列的前n項(xiàng)和：；參考答案：例2解：時(shí)………①設(shè)……….②〔設(shè)制錯(cuò)位〕①－②得〔錯(cuò)位相減〕∴時(shí)略例3解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)…………………①………………②〔設(shè)制錯(cuò)位〕①－②得〔錯(cuò)位相減〕∴例4．解：設(shè)………….①將①式右邊反序得…………..②〔倒序〕又因?yàn)棰?②得〔反序相加〕＝89∴S＝44.5 例4變式訓(xùn)練1：解：設(shè)Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵〔找特殊性質(zhì)項(xiàng)〕∴Sn＝〔cos1°+cos179°〕+〔cos2°+cos178°〕+〔cos3°+cos177°〕+···+〔cos89°+cos91°〕+cos90°〔合并求和〕＝0例4變式訓(xùn)練2：解：設(shè)S2002＝由可得……∵〔找特殊性質(zhì)項(xiàng)〕∴S2002＝〔合并求和〕＝＝＝＝5例4變式訓(xùn)練3：解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì)〔找特殊性質(zhì)項(xiàng)〕和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得〔合并求和〕＝＝＝10例5．略例5變式訓(xùn)練1：解：由于〔找通項(xiàng)及特征〕∴＝〔分組求和〕＝＝＝例5變式訓(xùn)練2：∵，∴……例6．解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得〔分組〕當(dāng)a＝1時(shí)，＝〔分組求和〕當(dāng)時(shí)，＝例7．解：設(shè)〔裂項(xiàng)〕那么〔裂項(xiàng)求和〕＝＝例8．解：∵∴〔裂項(xiàng)〕∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和〔裂項(xiàng)求和〕＝＝例8變式訓(xùn)練1：∵，∴．?dāng)?shù)列求和練習(xí)一、選擇題1．設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,那么的前項(xiàng)和= 〔〕A． B． C． D．2．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且4,2,成等差數(shù)列?假設(shè)=1,那么= 〔〕A．7 B．8 C．15 D．163．?dāng)?shù)列，……的前n項(xiàng)和為 〔〕A． B． C． D．4．等差數(shù)列中,,記,那么的值為 〔〕A．130 B．260 C．156 D．1685．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,那么 〔〕A．38 B．20 C．10 D．96．等差數(shù)列是5,中,第n項(xiàng)到n+6項(xiàng)的和為,那么當(dāng)最小時(shí),n的值為 〔〕A．6 B．4 C．5 D．37．等差數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，，，那么的值為8．將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制是 〔〕A． B． C． D．9．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,那么以下等式成立的是 〔〕A． B． C．D．10．二次函數(shù)，當(dāng)n依次取時(shí)，其圖像在x軸上所截得的線段的長(zhǎng)度的總和為 〔〕A．1 B． C． D．11．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和 〔〕A． B． C． D．12．等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為Sn與Ｔn，對(duì)一切自然數(shù)n，都有=，那么等于()A． B． C． D．13．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是，假設(shè)前n項(xiàng)的和為10，那么項(xiàng)數(shù)n為 〔〕A．11 B．99 C．120 D．12114．三角形的三邊構(gòu)成等比數(shù)列，它們的公比為q，那么q的取值范圍是 〔〕A． B． C． D．15．?dāng)?shù)列{}的前n項(xiàng)和為 〔〕A． B． C． D．二、填空題16．等差數(shù)列{}前n項(xiàng)和為?+-=0,=38,那么m=_______17．，且對(duì)任意正整數(shù)假設(shè)，那么，那么_____________。18．?dāng)?shù)列中，=__________.19．列{an}的通項(xiàng)公式是an=1-2n,其前n項(xiàng)和為Sn,那么數(shù)列{}的11項(xiàng)和為_(kāi)____20．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和，那么．21．等差數(shù)列的前次和為，且，那么過(guò)點(diǎn)和〔〕的直線方向向量的坐標(biāo)可以是_____________．22．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和，那么數(shù)列的前項(xiàng)和23．在數(shù)列那么數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為；24．在等差數(shù)列中,是其前項(xiàng)的和,且,,那么數(shù)列的前項(xiàng)的和是__________?25．在小時(shí)候，我們就用手指練習(xí)過(guò)數(shù)數(shù).一個(gè)小朋友按如下圖的規(guī)那么練習(xí)數(shù)數(shù)，數(shù)到2008時(shí)對(duì)應(yīng)的指頭是。(填出指頭的名稱，各指頭的名稱依次為大拇指、食指、中指、無(wú)名指、小指).三、解答題26．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,假設(shè),且它的前項(xiàng)的平均值是.(1)求等差數(shù)列的公差;(2)求使成立的最小正整數(shù).27．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，且，是數(shù)列的前項(xiàng)和．(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(Ⅱ)假設(shè)數(shù)列滿足，且是數(shù)列的前項(xiàng)和，求與．28．正項(xiàng)數(shù)列中，前項(xiàng)和。〔1〕求證：數(shù)列是等差數(shù)列；〔2〕假設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值。29．在等比數(shù)列{an}中，，公比，且，a3與a5的等比中項(xiàng)為2?！?〕求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；〔2〕設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)最大時(shí)，求n的值。30．等差數(shù)列，且第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是一個(gè)等比數(shù)列的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng).〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕設(shè)使得對(duì)任意的；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.專題24數(shù)列求和參考答案一、選擇題1．A2．C3．C4．A5．C6．C7．C8．C9．D10．B11．D12．B13．C14．D15．C二、填空題16．1017．100018．260019．-6620．6621．222．23．24．25．食指三、解答題26．解:(1)(2)∵∴且,∴使成立的最小正整數(shù)為727．解：(Ⅰ)設(shè)數(shù)列的公差為，由