2024年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（新高考Ⅰ卷02）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12024年高考第一次模擬考試（新高考Ⅰ卷02）數(shù)學(xué)第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C．2 D．1〖答案〗C〖解析〗由題意得，則，故選：C.2．已知集合，，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，且，因?yàn)樗?故選：C.3．某戲曲學(xué)院圖書館藏有四部戲曲名著各10本，由于該戲曲學(xué)院的部分學(xué)生對《牡丹亭》這部戲曲產(chǎn)生了濃厚的興趣，該戲曲學(xué)院圖書館決定購買一批《牡丹亭》戲曲書籍（其他三部數(shù)量保持不變）若干本．若要保證購買后在該戲曲學(xué)院圖書館所藏有的這四大戲曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戲曲書籍的概率不小于0.6，則該戲曲學(xué)院圖書館需至少購買《牡丹亭》戲曲書籍（

）A．25本 B．30本 C．35本 D．40本〖答案〗C〖解析〗設(shè)需購買《牡丹亭》戲曲書籍本，則購買后該戲曲學(xué)院圖書館所藏有的這四大戲曲名著共本，從中任取1本有種取法，《牡丹亭》戲曲書籍共本，從中任取1本有種取法，從該戲曲學(xué)院圖書館所藏有的這四大戲曲名著中任取一本，能取到一本《牡丹亭》戲曲書籍的概率為，根據(jù)題意可得，解得，即該戲曲學(xué)院圖書館需至少購買《牡丹亭》戲曲書籍35本.故選：C4．某工廠新購置并安裝了先進(jìn)的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過該設(shè)備過濾后排放，以減少對空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量（單位：）與過濾時(shí)間（單位：）的關(guān)系為（，是正常數(shù)）.若經(jīng)過過濾后減少了的污染物，在此之后為了使得污染物減少到原來的還需要的時(shí)長大約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因?yàn)榻?jīng)過過濾后減少了的污染物，所以，解得.當(dāng)時(shí)，，解得.故還需要大約93h.故選：5．如圖，在中，，，P為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為（

）

A． B．3 C． D．〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)镃，P，D三點(diǎn)共線，所以，即，所以，又，所以.故選：C.6．法國數(shù)學(xué)家傅里葉用三角函數(shù)詮釋美妙音樂，代表任何周期性聲音和震動(dòng)的函數(shù)表達(dá)式都是形如的簡單正弦型函數(shù)之和，這些正弦型函數(shù)各項(xiàng)的頻率是最低頻率的正整數(shù)倍（頻率是指單位時(shí)間內(nèi)完成周期性變化的次數(shù)，是描述周期運(yùn)動(dòng)頻繁程度的量），其中頻率最低的一項(xiàng)所代表的聲音稱為第一泛音，第二泛音的頻率是第一泛音的2倍，第三泛音的頻率是第一泛音的3倍…….例如，某小提琴演奏時(shí)發(fā)出聲音對應(yīng)的震動(dòng)模型可以用如下函數(shù)表達(dá)：，（其中自變量表示時(shí)間），每一項(xiàng)從左至右依次稱為第一泛音?第二泛音?第三泛音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)（從左至右依次為第一泛音?第二泛音），給出下列結(jié)論：①的一個(gè)周期為；②的圖象關(guān)于直線對稱；③的極小值為；④在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)〖答案〗A〖解析〗對于①，的最小正周期為，故頻率為，由題意得的頻率為，故最小正周期為，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，的最小正周期為，故的最小正周期為，故①錯(cuò)誤；對于②，，則，故，故的圖象不關(guān)于直線對稱，②錯(cuò)誤；對于③，，，又，令得，，故故在區(qū)間上單調(diào)遞增，令得，，故故在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在處取得極小值，此時(shí)，故，故的極小值為，③正確；對于④，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)，④錯(cuò)誤.故選：A7．已知正三棱柱的底面邊長為，高為3，截去該三棱柱的三個(gè)角（如圖1所示，D，E，F(xiàn)分別是三邊的中點(diǎn)），得到幾何體如圖2所示，則所得幾何體外接球的表面積是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗易知△DEF的外心即為的外心，如圖，設(shè)△DEF的外心為，△ABC的外心為，則所得幾何體外接球的球心O在直線上，因?yàn)檎庵玫酌孢呴L為，所以，，所以由正弦定理可得：，所以，同理，，設(shè)外接球的半徑為R，則，聯(lián)立解得：，，所以外接球的表面積為.故選：A.8．設(shè)，，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗先來證明當(dāng)時(shí)，.令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，即得；令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，即得；所以當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，由，因?yàn)?，所以，則，所以，又，所以，所以.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題9．如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）

A．四面體的體積為B．向量在方向上的投影向量為C．直線與直線垂直D．直線與平面所成角的正弦值為〖答案〗AB〖解析〗以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖所示：

則，，，，，，，對于A，因?yàn)?，故正確；對于B，因?yàn)?，，所以，，，所以在方向上的投影向量為：，故正確；對于C，因?yàn)?，，，所以與不垂直，即直線與直線不垂直，故錯(cuò)誤；對于D，，在正方體中，易知平面，得平面，即平面的法向量，設(shè)直線與平面的夾角為，則，故錯(cuò)誤.故選：AB10．已知函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法中正確的有（

）A．為周期函數(shù)B．的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱C．在區(qū)間上是減函數(shù)D．關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解〖答案〗ABC〖解析〗選項(xiàng)A：，是周期函數(shù)，故A正確；選項(xiàng)B：，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故B正確；選項(xiàng)C：時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，故C正確；選項(xiàng)D：，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)方程有解，即，同時(shí)成立時(shí)方程有解，但和無法同時(shí)滿足，所以方程沒有實(shí)數(shù)解，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為 B．直線與拋物線相切C．為定值 D．〖答案〗ABD〖解析〗對于A：因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線：上，則，解得，所以拋物線：，其準(zhǔn)線為，故A正確；對于B：令，則，可得，即拋物線在A點(diǎn)處切線斜率與直線AB斜率相同，所以直線AB與拋物線C相切，故B正確；對于C：由題意可知，直線PQ斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為，聯(lián)立方程，消去y得：，可得，得，且，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對于D：由題意可知，因?yàn)椋瑒t，所以，故D正確.故選：ABD．

12．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對于任意實(shí)數(shù)，都有，且滿足，則（

）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．不等式的解集為C．若方程有兩個(gè)根，，則D．在處的切線方程為〖答案〗AC〖解析〗對于A，，由可得，所以，且定義域?yàn)?，故為奇函?shù)，A正確，由于，所以為常數(shù)，則又在中，令，則，故，故，所以，對于B,可得，又，故，則，故B錯(cuò)誤，對于C，為單調(diào)遞增函數(shù)，而為開口向上，且對稱軸為的二次函數(shù)，且是的兩個(gè)交點(diǎn)，的兩個(gè)交點(diǎn)設(shè)為，則，且，又為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，C正確，由得，所以在處的切線方程為，D錯(cuò)誤，故選：AC.第II卷（非選擇題）三、填空題13．已知的展開式中的系數(shù)為，則．〖答案〗〖解析〗由二項(xiàng)式定理可知的通項(xiàng)為，故展開式中含的項(xiàng)分別為，則的展開式中含的項(xiàng)為，則，解得．故〖答案〗為：．14．已知，點(diǎn)在圓上，且，則的取值范圍為．〖答案〗〖解析〗由，可知點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，即點(diǎn)在圓上，所以問題等價(jià)于圓與圓有交點(diǎn)，所以，所以，解得或．故〖答案〗為：.15．已知曲線與曲線（）相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，則.〖答案〗〖解析〗易知：必有.設(shè)兩曲線的交點(diǎn)為，，，由題意：，兩式相除得：，∵，∴.代入得：解得.故〖答案〗為：16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，連接并延長，交拋物線于點(diǎn)，若中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則當(dāng)最大時(shí)，．〖答案〗16〖解析〗由題可得拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)，則由拋物線定義可得，即，由題意可得中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則，由余弦定理可得，則，且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，此時(shí)為等邊三角形，軸，直線AD斜率為或，如圖，設(shè)此時(shí)AD方程為，將其與拋物線聯(lián)立有，消去y得，可知，設(shè)D，由韋達(dá)定理有，則，所以由拋物線定義有.故〖答案〗為：.四、解答題17．已知數(shù)列滿足：，數(shù)列為等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求和：．解：(1)因?yàn)?，，?shù)列為等比數(shù)列，所以，，則，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則.(2).18．已知中，內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足.(1)若，求；(2)求的取值范圍.解：(1)解法一：因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫傻?，即，又因?yàn)?，由余弦定理得，即，?lián)立方程組，可得，即，所以，由余弦定理定理得，因?yàn)椋?解法二：因?yàn)?，由正弦定理得，整理得，又因?yàn)?，可得，所以，即，可得，即，因?yàn)?，所以，所以，所?(2)由(1)知，可得，且，所以，由三角形三邊關(guān)系，可得，可得，令，可得，其中，所以函數(shù)，所以，所以的取值范圍是.19．如圖，是四棱柱，側(cè)棱底面，底面是梯形，，．

(1)求證：平面平面；(2)E是底面所在平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E使得與平面夾角的正弦值為？若存在，求點(diǎn)E到平面距離的最小值；若不存在，請說明理由．(1)證明：取中點(diǎn)，連接，則，所以四邊形是菱形，是正三角形，所以，，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)榈酌?，平面，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?2)解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，設(shè)，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，取得：，所以，，因?yàn)榕c平面夾角的正弦值為，所以，即：，所以，所以由點(diǎn)到平面的距離公式得：，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面距離的最小，最小值為20.已知函數(shù)．(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：(1)由已知得，故函數(shù)在，上單調(diào)遞減；(2)由在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，令，得，令，得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.21．某中學(xué)在運(yùn)動(dòng)會期間，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生參加繩子打結(jié)計(jì)時(shí)的趣味性比賽，并對學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如下表：性別速度合計(jì)快慢男生65女生55合計(jì)110200(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān)？(2)現(xiàn)有n根繩子，共有2n個(gè)繩頭，每個(gè)繩頭只打一次結(jié)，且每個(gè)結(jié)僅含兩個(gè)繩頭，所有繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束.（i）當(dāng)，記隨機(jī)變量X為繩子圍成的圈的個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）求證：這n根繩子恰好能圍成一個(gè)圈的概率為附：0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.635(1)解：依題意，完善列聯(lián)表如下，性別速度合計(jì)快慢男生6535100女生4555100合計(jì)11090200所以.故有的把握，認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān).(2)（i）解：由題知，隨機(jī)變量的所有可能取值為，，，所以的分布列為123所以.（ii）證明：不妨令繩頭編號為，可以與繩頭1打結(jié)形成一個(gè)圓的繩頭除了1，2外有種可能，假設(shè)繩頭1與繩頭3打結(jié)，那么相當(dāng)于對剩下根繩子進(jìn)行打結(jié)，令根繩子打結(jié)后可成圓的種數(shù)為，那么經(jīng)過一次打結(jié)后，剩下根繩子打結(jié)后可成圓的種數(shù)為，由此可得，，所以，所以，顯然，故；另一方面，對個(gè)繩頭進(jìn)行任意2個(gè)繩頭打結(jié)，總共有；所以.22．已知點(diǎn)是圓：上一動(dòng)點(diǎn)（為圓心），點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)，是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、的斜率分別為和，且，則的面積是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由；(3)設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，延長至，使，點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)的直線交曲線于、兩點(diǎn)，求面積的最大值．解：(1)因?yàn)?/p>