廣東省惠州市2023-2024學年高一上學期1月期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省惠州市2023-2024學年高一上學期1月期末數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.1.已知集合，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗解不等式得或，記，因為AB，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.3.若=，則sin=（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D.4.已知定義在上的函數(shù)表示為：x0y102設(shè)，的值域為M，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為滿足，所以，由表中數(shù)據(jù)可知：的取值僅有三個值，所以.故選：B.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的〖解析〗式可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由圖象可知：為奇函數(shù)，且、，對于A：，不符合；對于B：定義域為，關(guān)于原點對稱，又，所以為偶函數(shù)，不符合；對于C：定義域為，不滿足，不符合.故選：D6.已知函數(shù)=，滿足對任意，都有成立，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為對任意，都有成立，所以為上的增函數(shù)，所以，解得，即.故選：C.7.數(shù)學家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)一個三角形的三邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式．現(xiàn)有一個三角形的周長為12，，則此三角形面積的最大值為（）A.4 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，則，當且僅當時，等號成立，此時三角形的面積有最大值，且最大值為．故選：C.8.已知函數(shù)，若，且，設(shè)，則的最小值為（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，函數(shù)如下圖所示：顯然有，所以直線與函數(shù)相交兩點記為，顯然，，即，，對稱軸為，當時，有最小值.故選：A.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每個小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.若“，”為真命題，“，”為假命題，則集合可以是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗依題意可知中存在小于的元素且不存在大于或等于的元素，則集合和均符合題意.故選：AD.10.下列選項中，滿足的有（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗對A：由函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即，故A錯誤；對B：，，由，故、，則，故，故B正確；對C：由函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，故，即，故C錯誤；對D：由函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故，即，故D正確.故選：BD.11.現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度最好不要超過60，一杯茶泡好后置于室內(nèi)，1分鐘、2分鐘后測得這杯茶的溫度分別為80，65，給出兩個茶溫T（單位：）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時間t（單位：分鐘）的函數(shù)模型：①；②.根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.選擇函數(shù)模型① B.該杯茶泡好后到飲用至少需要等待3分鐘C.選擇函數(shù)模型② D.該杯茶泡好后到飲用至少需要等待分鐘〖答案〗AD〖解析〗選擇函數(shù)模型①，則當時，，當時，，符合要求，選擇函數(shù)模型②，則當時，，不符合要求，故選選擇函數(shù)模型①，即A正確，C錯誤；令，則有，即，即，故該杯茶泡好后到飲用至少需要等待分鐘，故B錯誤，D正確.故選：AD.12.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點和點，且在區(qū)間上單調(diào)，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由圖象可知：，所以，因為的圖象過，所以，因為，所以或，因為在區(qū)間上單調(diào)，所以，所以，①當時，，因為圖象過，所以，所以，所以，，又，所以，此時，顯然在附近單調(diào)遞增，這與圖象矛盾，故B錯誤；②當時，，因為圖象過，所以，所以，所以，，又，所以，所以，當時，令，此時在上單調(diào)遞減，故A正確；因為，故C正確；因為，，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分；其中第16題的第一個空2分，第二個空3分.13.已知扇形的圓心角為，弧長為，則扇形的面積為___________．〖答案〗〖解析〗扇形的圓心角為，弧長為，則扇形的半徑為r4，面積為Slrπ×4＝2．故〖答案〗為：2．14.若，則____________.〖答案〗〖解析〗當時，，不符合要求，故，則，即，則.故〖答案〗為：.15.若用二分法求方程在初始區(qū)間內(nèi)的近似解，則第二次取區(qū)間的中點___________.〖答案〗〖解析〗令，，，則，，故.故〖答案〗為：.16.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).據(jù)此，對于函數(shù)，其圖象的對稱中心是_____________，且有___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)的對稱中心為，則為奇函數(shù)，所以，即，化簡可得，所以，解得，所以圖象的對稱中心為；因為圖象的對稱中心為，所以，所以，所以，所以，所以原式.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.計算下列各式的值；（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.18.如圖，在平面直角坐標系中，銳角和鈍角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊分別與單位圓交于，兩點，且.（1）求的值；（2）若點的橫坐標為，求的值.解：（1）依題意，，所以.（2）因點的橫坐標為，而點在第一象限，則點，即有，于是得，，，，所以.19.設(shè)函數(shù).（1）求的最小正周期和對稱中心；（2）若函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.解：（1），則，令，解得，即的最小正周期為，對稱中心為.（2）函數(shù)的圖象向左平移，即可得，則當時，，故，即，即函數(shù)在區(qū)間上的值域為.20.已知函數(shù)，（1）已知為單調(diào)遞增函數(shù)，請判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；（2）若，求證：方程在區(qū)間上有且僅有一個實數(shù)解.解：（1）在上單調(diào)遞減，證明如下：的定義域為，任取，且，所以，因為為單調(diào)遞增函數(shù)且，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，所以上單調(diào)遞減.（2）令，因為為單調(diào)遞增函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又因為，，由零點的存在性定理可知：在上有且僅有一個零點，即方程在區(qū)間上有且僅有一個實數(shù)解.21.已知.（1）探究函數(shù)是否具有奇偶性，并說明理由；（2）設(shè)，，若，，使得，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）為偶函數(shù)，理由如下：由恒成立可得的定義域為，，故為偶函數(shù).（2）若，，使得，即在，時，有，，由函數(shù)、、都隨的增大而增大，故在上單調(diào)遞增，故，，則當時，有，此時有，即，即符合要求，當時，，此時有，即或，即符合要求，當時，，此時有，即，即，綜上所述，.22.某養(yǎng)殖公司有一處矩形養(yǎng)殖池ABCD，如圖所示，AB=50米，BC=米.為了便于冬天給養(yǎng)殖池內(nèi)的水加溫，該公司計劃在養(yǎng)殖池內(nèi)鋪設(shè)三條加溫帶OE，EF和OF，考慮到整體規(guī)劃，要求O是邊AB的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，且∠EOF=.（1）設(shè)∠BOE=，試將△OEF的周長表示為的函數(shù)，并求出此函數(shù)的定義域；（2）在（1）的條件下，為增加夜間水下照明亮度，決定在兩條加溫帶OE和OF上安裝智能照明裝置，經(jīng)核算，在兩條加溫帶增加智能照明裝置的費用均為每米400元，問：如何設(shè)計才能使安裝智能照明裝置的費用最低？說明理由，并求出最低費用.解：（1）因為，所以，當在點時，此時最小，又，所以，所以，當在