湖北省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，所以.故選：C.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗命題“”的否定是“”.故選：D.3.“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗為R上單調(diào)遞減函數(shù)，由，可得，為上單調(diào)遞增函數(shù)，由，可得，則由“”可以得到“”，由“”不能得到“”，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)镽，，即是奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)時(shí)，，則，選項(xiàng)B不滿足，D滿足.故選：D.5.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在直線上，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗顯然點(diǎn)都在直線上，由正切函數(shù)定義得，所以.故選：B.6.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，解得，由，得，則，于是，解得，所以.故選：C.7.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由于，故，，，又，故的大小關(guān)系為.故選：A.8.已知正實(shí)數(shù)滿足：，，則的值是（）A. B.2 C. D.3〖答案〗C〖解析〗由兩邊取對(duì)數(shù)可得：，即，由可得：，即，構(gòu)造函數(shù)，由和等價(jià)于和，即，由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，所以等價(jià)于，故.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗對(duì)A：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)?，所以，即，故B正確；對(duì)C：不妨設(shè)，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：因?yàn)?，所以，所以，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的定義域?yàn)镃.函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為D.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期為，A正確；對(duì)于B，由，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋珺正確；對(duì)于C，由，得，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，D正確.故選：ABD.11.鎮(zhèn)江五峰山長(zhǎng)江大橋是世界首座千米級(jí)公鐵兩用懸索橋，其兩個(gè)主塔之間的懸索可近似看作一條“懸鏈線”，“懸鏈線”的函數(shù)〖解析〗式為，其中為懸鏈線系數(shù)，稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為，相應(yīng)地雙曲正弦函數(shù)為，則（）A.雙曲正切函數(shù)是偶函數(shù)B.C.D.若時(shí)，恒成立，則〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，由題意，令，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，由題意，因?yàn)?，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，即當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以，D正確.故選：BCD.12.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，，則（）A.B.C.在上單調(diào)遞減D.方程恰有10個(gè)解〖答案〗AC〖解析〗由直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，得，由函數(shù)是上的奇函數(shù)，得，則，即，，函數(shù)是周期函數(shù)，周期為4，A正確；當(dāng)時(shí)，，則，B錯(cuò)誤；顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則在上單調(diào)遞減，C正確；方程的根，即函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)的部分圖象，如圖，觀察圖象知，函數(shù)與函數(shù)的圖象共有9個(gè)交點(diǎn)，所以方程恰有9個(gè)解，D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.__________.〖答案〗6〖解析〗.故〖答案〗為：6.14.函數(shù)滿足，請(qǐng)寫出一個(gè)符合題意的函數(shù)的〖解析〗式____________________.〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗取，則，滿足題意.故〖答案〗為：(〖答案〗不唯一).15.酒駕新規(guī)來(lái)了，2024年3月1日起實(shí)施，新國(guó)標(biāo)將酒駕的上限從降低到了，也就是說(shuō)，只要駕駛員血液中酒精含量超過(guò)了，就屬于違法行為.某人飲酒后，體內(nèi)血液酒精含量迅速上升到，然后血液酒精含量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，則按照新規(guī)他至少經(jīng)過(guò)__________小時(shí)后才能開(kāi)車.（參考數(shù)據(jù)：）〖答案〗7〖解析〗設(shè)他至少經(jīng)過(guò)x小時(shí)后才能開(kāi)車，則，即，故（小時(shí)），即他至少經(jīng)過(guò)7小時(shí)后才能開(kāi)車.故〖答案〗為：7.16.已知函數(shù)，若?，則__________，的取值范圍為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，由題意知，即，故，則，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的解均為，不滿足?，故；故要使得?，需滿足有解，且顯然其解不是0和n，()，故，解或，結(jié)合，可得或，故，即的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意，則或，當(dāng)時(shí)，，所以.（2）若時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則①，解得；當(dāng)時(shí)，則②，解得，綜上所述：的取值范圍是.18.已知冪函數(shù)為偶函數(shù).（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）解關(guān)于的不等式.解：（1）由題意，因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，顯然成立，故為偶函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不是偶函數(shù)，不符合題意，故函數(shù).（2）因?yàn)?，則不等式等價(jià)于，即，當(dāng)時(shí)，有，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，有，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，有，不等式的解集為，綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.19.已知函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）令函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，由題意，解得故.（2）函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則在函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，單調(diào)遞增且，所以有，得，即當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.20.已知，函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；（2）對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），令，解得，則的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，所以為偶函數(shù)，任取，且，則因?yàn)椋?，則，，又因?yàn)椋瑒t，所以，所以在上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）不等式等價(jià)于，由（1）得，當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最大值0，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值2，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.隨著全球?qū)Νh(huán)保和可持續(xù)發(fā)展的日益重視，電動(dòng)汽車逐步成為人們購(gòu)車的熱門選擇.有關(guān)部門在高速公路上對(duì)某型號(hào)電動(dòng)汽車進(jìn)行測(cè)試，得到了該電動(dòng)汽車每小時(shí)耗電量單位：與速度單位：的數(shù)據(jù)如下表所示：607080901008.81113.616.620為描述該電動(dòng)汽車在高速公路上行駛時(shí)每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下兩種函數(shù)模型供選擇：①，②.（1）請(qǐng)選擇你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（不需要說(shuō)明理由），并求出相應(yīng)的函數(shù)〖解析〗式；（2）現(xiàn)有一輛同型號(hào)電動(dòng)汽車從地出發(fā)經(jīng)高速公路（最低限速，最高限速）勻速行駛到距離為的B地，出發(fā)前汽車電池存量為，汽車到達(dá)地后至少要保留的保障電量（假設(shè)該電動(dòng)汽車從靜止加速到速度為的過(guò)程中消耗的電量與行駛的路程都忽略不計(jì)）.已知該高速公路上有一功率為的充電樁（充電量充電功率充電時(shí)間）.若不充電，該電動(dòng)汽車能否到達(dá)地？并說(shuō)明理由；若需要充電，求該電動(dòng)汽車從地到達(dá)地所用時(shí)間（即行駛時(shí)間與充電時(shí)間之和）的最小值.解：（1）與的函數(shù)關(guān)系，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由增長(zhǎng)速度可知，選擇函數(shù)模型①，由題意有：解得：所以.（2）設(shè)耗電量為，則，任取，，由，，，，則有，即，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，，即最小耗電量大于電池存量減去保障電量，所以該車不在服務(wù)區(qū)充電不能到達(dá)地，又設(shè)行駛時(shí)間與充電時(shí)間分別為，總和為，若能到達(dá)地，則初始電量+充電電量-消耗電量保障電量，即，解得，所以總時(shí)間，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，所以該汽車到達(dá)地的最少用時(shí)為小時(shí).22.已知函數(shù)，函數(shù)與互為反函數(shù).（1）若函數(shù)的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證