陜西省百師聯(lián)盟2024屆高三下學期開年摸底聯(lián)考數(shù)學試題（全國卷）（理）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省百師聯(lián)盟2024屆高三下學期開年摸底聯(lián)考數(shù)學試題（全國卷）（理）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，即，解得，所以，由，可得，解得，所以，所以.故選：B2.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因為，又，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，位于第三象限.故選：C.3.在某知識競賽中，共設有10道題目，每題1分，經(jīng)統(tǒng)計，10位選手的得分情況如下表：得分678910人數(shù)12421則這10位選手得分的方差為（）A.12 B.8 C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，所以方差.故選：D4.實數(shù)滿足約束條件則目標函數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗可行域表示的平面區(qū)域如圖所示，設，則，當直線過點時，取得最小值，故選：A.5.若雙曲線的實軸長為2，離心率為，則雙曲線的左焦點到一條漸近線的距離為（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗由已知得，解得，則雙曲線的左焦點，一條漸近線，故雙曲線的左焦點到一條漸近線的距離為.故選：A.6.已知上底面半徑為，下底面半徑為的圓臺存在內(nèi)切球（與上，下底面及側(cè)面都相切的球），則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗圓臺的軸截面為等腰梯形，上底面半徑為，下底面半徑為，則腰長為，故梯形的高為，則該圓臺的體積為.故選：D.7.已知實數(shù)滿足，設，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，又為減函數(shù)，所以，即，又，故，所以，故選：D.8.若能被整除，則正整數(shù)的最小值為（）A.53 B.54 C.55 D.56〖答案〗C〖解析〗因為，其中，所以，因為能被整除，則只需能被整除，所以的最小值為.故選：C9.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若在處取得極大值，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，其向左平移個單位長度得，又若在處取得極大值，則，則，解得，又，所以的最小值為.故選：C.10.已知等差數(shù)列的前項和為,若,當時,有，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，則，，則，所以.故選：B.11.在中，為邊上一點，，且的面積為，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，解得，所以為等腰三角形，則，在中由正弦定理可得，即，解得，因為，所以為銳角，所以，所以.故選：A12.已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù),且對,都有,定義在上的函數(shù)為的導函數(shù)，則以下結(jié)論一定正確的是（）A.為偶函數(shù) B.C. D.為偶函數(shù)〖答案〗D〖解析〗對于選項A，因為為奇函數(shù)，所以，則有，故為奇函數(shù)，故A錯誤；對于選項B，因為，所以，又，故，即函數(shù)周期為4，則，故B錯誤；對于選項C，因為，所以，即，即.因為，所以，所以，故C錯誤；對于選項D，由選項C可知，，所以為偶函數(shù)，故D正確.故選：D.二、填空題13.已知單位向量滿足，則_______．〖答案〗〖解析〗因為單位向量滿足，兩邊平方得，又，所以，故〖答案〗為：.14.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的值為2，則輸出的的值為_______．〖答案〗〖解析〗當輸入的值為2時，第一次執(zhí)行，第二次執(zhí)行，滿足，退出循環(huán)，則，輸出的值為.故〖答案〗為：15.已知，若，則的最大值為______．〖答案〗〖解析〗將視為的函數(shù)，故，其中，，所以當時的最大值為1，設，當時，取得最大值，所以的最大值為.故〖答案〗為：.16.已知拋物線的焦點為，直線與拋物線相切于點（異于坐標原點，與軸交于點，若，則向量與的夾角為_______．〖答案〗〖解析〗由題意可得，設，由可得，則，所以直線的斜率，則直線的方程為，令，解得，所以，所以，，解得（負值舍去），當時，，則，所以向量與的夾角為，同理當時向量與的夾角也為，故向量與的夾角為.故〖答案〗為：三、解答題（一）必考題17已知數(shù)列中，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．解：（1）因為，，當時，解得，又，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項均是以首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）因，所以，所以，設，，則，所以，整理得，同理可得，所以.18.如圖，在三棱臺中，，，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：取的中點，連接、、、，因為，所以，又，，，所以，所以，所以，因為，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以.（2）解：過點作的垂線，垂足為，過點作垂直于，垂足為，連接，由（1）平面，平面，所以平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，由，，可得，，，，過點作的平行線，交于點，所以、、三條直線兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的法向量為，則，取，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.某數(shù)學興趣小組模擬“刮刮樂”彩票游戲，每張彩票的刮獎區(qū)印有從10個數(shù)字1，2，3，…，10中隨機抽取的3個不同數(shù)字，刮開涂層即可兌獎，中獎規(guī)則為：若3個數(shù)的積為3的倍數(shù)且不為5的倍數(shù)時，中三等獎；若3個數(shù)的積為5的倍數(shù)且不為3的倍數(shù)時，中二等獎；若3個數(shù)的積既為3的倍數(shù)，又為4的倍數(shù)，又為7的倍數(shù)時，中一等獎；其他情況不中獎.（1）隨機抽取一張彩票，求這張彩票中獎的概率；（2）假設每張彩票售價為元，且獲得三、二、一等獎的獎金分別為5元，10元，50元，從出售該彩票可獲利的角度考慮，求的最小值．解：（1）若獲得三等獎則可能是出現(xiàn)：①、、；②、、中出現(xiàn)個，、、、、五個中出現(xiàn)個；③、中出現(xiàn)個，、中出現(xiàn)個，還有一個；④、、；⑤、、中出現(xiàn)個，、、、四個中出現(xiàn)個；則獲得三等獎的概率，若獲得二等獎則可能是出現(xiàn)：①、中出現(xiàn)個，、、、、五個中出現(xiàn)個；②、中出現(xiàn)個，、、、、五個中出現(xiàn)個；則獲得二等獎的概率，若獲得一等獎則可能是出現(xiàn)：①一個，、中出現(xiàn)個，、中出現(xiàn)個；②一個，一個，、、、四個中出現(xiàn)個；則獲得一等獎的概率，所以隨機抽取一張彩票，則這張彩票中獎的概率.（2）一張彩票的獎金的取值可能為、、、元，其分布列為：所以，所以若盈利，則，又，所以的最小值為.20.已知橢圓的右焦點為，離心率為為橢圓上一點，為坐標原點，直線與橢圓交于另一點，直線與橢圓交于另一點（與點不重合），面積的最大值為．（1）求橢圓的標準方程；（2）點為直線上一點，記的斜率分別為，若，求點的坐標．解：（1）由已知得，解得，故橢圓的標準方程為；（2）當斜率為零時，，設，則，解得，此時，當斜率不為零時，設，，聯(lián)立，消去得，則，，因為，所以得得所以，，所以，即點的坐標為.21.已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若直線與曲線相切，試判斷函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)，并說明理由．解：（1）函數(shù)的定義域為，且，當時恒成立，所以在上單調(diào)遞減，當時，令，解得，所以當時，當時，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，綜上可得：當時在上單調(diào)遞減；當時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由，設切點為，則，易知，所以，又，即，即，設，則，所以當時，則單調(diào)遞增，當時，則單調(diào)遞減，所以，所以，則，令，即，令，則，令，則，所以當時，則單調(diào)遞減，當時，則單調(diào)遞增，又，，當時，所以當時，則單調(diào)遞減，當時，則單調(diào)遞增，所以，所以方程無實根，所以函數(shù)與的圖象無交點.（二）選考題[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點,軸非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）若為曲線上到直線的距離最小的點，求點在平面直角坐標系中的坐標．解：（1）對于直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），消去參數(shù)得，即直線的普通方程為；對于曲線的極坐標方程為，利用變形得，即曲線的直角坐標方程為；（2）設與直線平行的直線方程為，聯(lián)立，消去得令得或，當時，直線與的交點為曲線上到直線的距離最小的點，解方程得，此時即點