2024年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（北京卷02）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12024年高考第一次模擬考試（北京卷02）數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗因?yàn)樗?，故選：A.2．復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限〖答案〗D〖解析〗，，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：D.3．已知向量，若，則實(shí)數(shù)（

）A．5 B．4 C．3 D．2〖答案〗B〖解析〗，因?yàn)?，所以，解?故選：B4．已知直線(xiàn)與平面滿(mǎn)足，則下列判斷一定正確的是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋傻?，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，且，所?故選：D.5．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知，，的面積為，則的周長(zhǎng)是（

）A．4 B．6 C．8 D．18〖答案〗B〖解析〗，由正弦定理得，，又，所以，因?yàn)椋?，故，因?yàn)?，所以，由三角形面積公式可得，故，由余弦定理得，解得或（舍去），故三角形周長(zhǎng)為.故選：B.6．已知是公差為（）的無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：數(shù)列是遞增數(shù)列，乙：對(duì)任意，均有，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件〖答案〗B〖解析〗充分性：因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，取數(shù)列為：，，，符合數(shù)列為無(wú)窮等差數(shù)列，且是遞增數(shù)列，但，故充分性不滿(mǎn)足；必要性：因?yàn)閷?duì)于任意的，均有，所以得，又因?yàn)閿?shù)列為無(wú)窮等差數(shù)列，所以公差大于零，所以可得數(shù)列為遞增數(shù)列，故必要性滿(mǎn)足.綜上所述：甲是乙的必要不充分條件，故B項(xiàng)正確.故選：B.7．我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造性的提出了“割圓術(shù)”，劉徽認(rèn)為圓的內(nèi)接正邊形隨著邊數(shù)的無(wú)限增大，圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)就無(wú)限接近圓的周長(zhǎng)，并由此求得圓周率的近似值．如圖當(dāng)時(shí)，圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為，故，即．運(yùn)用“割圓術(shù)”的思想，下列估算正確的是（

）

A．時(shí)， B．時(shí)，C．時(shí)， D．時(shí)，〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓的內(nèi)接正十二邊形被分成個(gè)如圖所示的等腰三角形，其頂角為，即，作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，且，

因?yàn)?，在中，，即，所以，，則，所以，正十二邊形的周長(zhǎng)為，所以，.故選：A.8．函數(shù)（，，）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則可能的取值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6〖答案〗C〖解析〗由題意可得函數(shù).因?yàn)榕c的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，即，即.由誘導(dǎo)公式可得：所以即，或.因?yàn)樗越獾茫汗十?dāng)時(shí)，.故選：C.9．已知雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)為，以為直徑的圓交雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸右側(cè)，若，則該雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由題意，以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，由，解得或，∴，．又為雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)，則，∴，，∵，∴，即，∴，又，∴.故選：C.10．在一個(gè)正方體中，為正方形四邊上的動(dòng)點(diǎn)，為底面正方形的中心，分別為中點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，線(xiàn)段與互相平分，則滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)的值有A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榫€(xiàn)段D1Q與OP互相平分，所以四點(diǎn)O，Q，P，D1共面，且四邊形OQPD1為平行四邊形．若P在線(xiàn)段C1D1上時(shí)，Q一定在線(xiàn)段ON上運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)P為C1D1的中點(diǎn)時(shí)，Q與點(diǎn)M重合，此時(shí)λ＝1，符合題意．若P在線(xiàn)段C1B1與線(xiàn)段B1A1上時(shí)，在平面ABCD找不到符合條件Q；在P在線(xiàn)段D1A1上時(shí)，點(diǎn)Q在直線(xiàn)OM上運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)P為線(xiàn)段D1A1的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合，此時(shí)λ＝0符合題意，所以符合條件的λ值有兩個(gè)故選C.第II卷（非選擇題）二、填空題11．已知函數(shù)，則．〖答案〗〖解析〗依題意，，所以.故〖答案〗為：12．若的展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16，則展開(kāi)式中的系數(shù)為.〖答案〗〖解析〗因的展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16，則.則展開(kāi)式中第項(xiàng)為.令可得，則的系數(shù)為.故〖答案〗為：13．已知命題若為第一象限角，且，則．能說(shuō)明p為假命題的一組的值為，．〖答案〗〖解析〗因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，若，則，取，則，即，令，則，因?yàn)?，則，即，則.不妨取，即滿(mǎn)足題意.故〖答案〗為：.14．已知定義在上的函數(shù)具備下列性質(zhì)，①是偶函數(shù)，②在上單調(diào)遞增，③對(duì)任意非零實(shí)數(shù)、都有，寫(xiě)出符合條件的函數(shù)的一個(gè)〖解析〗式（寫(xiě)一個(gè)即可）.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意的，，即函數(shù)為偶函數(shù)，滿(mǎn)足①；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，滿(mǎn)足②；對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)、，，滿(mǎn)足③.故滿(mǎn)足條件的一個(gè)函數(shù)〖解析〗式為.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15．對(duì)于定義在上的函數(shù)，及區(qū)間，記，若，則稱(chēng)為的“區(qū)間對(duì)”.已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①若和是的“區(qū)間對(duì)”，則的取值范圍是；②若和不是的“區(qū)間對(duì)”，則對(duì)任意和也不是的“區(qū)間對(duì)”；③存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意和都是的“區(qū)間對(duì)”；④對(duì)任意，都存在實(shí)數(shù)，使得和不是的“區(qū)間對(duì)”；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.〖答案〗②③④〖解析〗由題意得，對(duì)于①：若和是的“區(qū)間對(duì)”，不妨設(shè)，，所以，當(dāng)，，即,當(dāng)，，即，因?yàn)椋?，則的取值范圍為.故①錯(cuò)誤.對(duì)于②：若和不是的“區(qū)間對(duì)”，則，即，所以對(duì)任意的，當(dāng)，即時(shí)此時(shí)在區(qū)間上，在上，所以，當(dāng)，，所以，所以成立，即和不是的“區(qū)間對(duì)”，故②正確.對(duì)于③：存在，由①知，當(dāng)，，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，當(dāng)，總有，因?yàn)椋?，即，故符合題意；當(dāng)時(shí)，總有，因?yàn)?，，即，故符合題意；因?yàn)?，，即，故符合題意；綜上所述：存在，使得對(duì)任意和都是的“區(qū)間對(duì)”故③正確.對(duì)于④：由①知，當(dāng)，不妨設(shè)，由②知，存在使，故符合題意；當(dāng)時(shí)，存在，當(dāng)，，當(dāng)，，所以，故符合題意；當(dāng)，存在，當(dāng)，，當(dāng)，，所以，故符合題意；綜上所述：對(duì)任意，都存在實(shí)數(shù)，使得和不是的“區(qū)間對(duì)”故④正確.故〖答案〗為：②③④.三、解答題16．已知函數(shù)的圖象與直線(xiàn)的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，且______.在以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中，并解答（若選擇多個(gè)分別解答，以選擇第一個(gè)計(jì)分.）①函數(shù)為偶函數(shù)；

②；③，(1)求函數(shù)的〖解析〗式；(2)若將的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，并指出相應(yīng)的的值.解：(1)由題意知函數(shù)的圖象與直線(xiàn)的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，故函數(shù)最小正周期，即，故；選①：函數(shù)為偶函數(shù)，即為偶函數(shù)，故，又，故，則；選②：，則，即則或，即或，結(jié)合，故，則；選③：，，則時(shí)，函數(shù)取最大值，故，結(jié)合，故，則；(2)將的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，即，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，可知當(dāng)，即時(shí)，取最大值2；當(dāng)，即時(shí)，取最小值1.17．如圖，棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2，，側(cè)棱與底面的所成角為平面為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)證明：平面；(3)求二面角的余弦值．(1)證明：棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2，所以底面為菱形，故,平面平面,且,平面,平面,且平面,(2)證明：連接,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),,且平面，平面，平面(3)解：平面所以側(cè)棱與底面的所成角為，即,作,由(1)知，,且,平面,平面,且平面,,故即二面角的平面角，由(1)知，平面,且平面,,,且,,,,.故二面角的余弦值為18．根據(jù)《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，高三男生和女生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)如下（單位：cm）：立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)高三男生高三女生優(yōu)秀及以上及以上良好~~及格~~不及格及以下及以下從某校高三男生和女生中各隨機(jī)抽取名同學(xué)，將其立定跳遠(yuǎn)測(cè)試成績(jī)整理如下（精確到）：男生女生假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每個(gè)同學(xué)的測(cè)試成績(jī)相互獨(dú)立．(1)分別估計(jì)該校高三男生和女生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)的優(yōu)秀率；(2)從該校全體高三男生中隨機(jī)抽取人，全體高三女生中隨機(jī)抽取人，設(shè)為這人中立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)為優(yōu)秀的人數(shù)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；(3)從該校全體高三女生中隨機(jī)抽取人，設(shè)“這人的立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)既有優(yōu)秀，又有其它等級(jí)”為事件，“這人的立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)至多有個(gè)是優(yōu)秀”為事件．判斷與是否相互獨(dú)立．（結(jié)論不要求證明）解：(1)樣本中立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為，獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為，所以估計(jì)該校高三男生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)的優(yōu)秀率為；估計(jì)高三女生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)的優(yōu)秀率為．(2)由題設(shè)，的所有可能取值為．估計(jì)為；估計(jì)為；估計(jì)為；估計(jì)為．估計(jì)的數(shù)學(xué)期望．(3)估計(jì)為；估計(jì)為；估計(jì)為，，所以與相互獨(dú)立．19．已知橢圓，、為橢圓的焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓的方程和離心率．(2)設(shè)點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，點(diǎn)滿(mǎn)足滿(mǎn)足，求證：點(diǎn)在定直線(xiàn)上．(1)解：由橢圓的定義知，，故，所以橢圓的方程為，故，所以橢圓的離心率為.(2)證明：若直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，則聯(lián)立可得：，則，解得：，設(shè)，，則，，由可得：，即，設(shè)，由可得：，即，即，則，因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，所以點(diǎn)在定直線(xiàn)上，若直線(xiàn)的斜率不存在，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，，，所以，則，所以，解得：，滿(mǎn)足點(diǎn)在定直線(xiàn)上.20．已知函數(shù)，且曲線(xiàn)在處與軸相切．(1)求的值；(2)令，證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；(3)求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．(1)解：，由題意可知是在處的切線(xiàn)方程，所以且，故(2)證明：由(1)知，所以，所以，令，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，因此在單調(diào)遞增，故，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增(3)解：由(2)知:當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，且，故存在，使得因此當(dāng)和當(dāng)因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，由于，，因此存在使得，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在時(shí)取極小值，故有1個(gè)極值點(diǎn).21．已知為有窮數(shù)列.若對(duì)任意的,都有（規(guī)定）,則稱(chēng)具有性質(zhì).設(shè)(1)判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)？若具有性質(zhì),寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的集合;(2)若具有性質(zhì),證明:;(3)給定正整數(shù),對(duì)所有具有性質(zhì)的數(shù)列,求中元素個(gè)數(shù)