重慶縉云教育聯(lián)盟2024屆高三高考第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1重慶縉云教育聯(lián)盟2024屆高三高考第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋撇怀?，例如滿足，但不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A2.，則的共軛復(fù)數(shù)等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，故選：D.3.已知函數(shù)滿足：，，成立，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，則，所以，令，則，所以，令，則，所以，令，則，所以，則當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以，所以.故選：C.4.已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，則下列說法正確的是（）A.則 B.則C.則 D.則〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A：因?yàn)樗曰蚧蚺c相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)樗曰?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：兩個(gè)平面平行，一個(gè)平面中的任意一條直線平行于另外一個(gè)平面，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)樗曰?，故D錯(cuò)誤；故選：C.5.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，令函數(shù)，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此，由，得，有，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即函數(shù)在單調(diào)遞增，，即，因此，所以.故選：A6.已知函數(shù)，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（）A.0 B.3 C.6 D.12〖答案〗C〖解析〗由題意得，，，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令可得，時(shí)，，時(shí)，，在同一直角坐標(biāo)系中畫出，在上有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，所以所有的實(shí)根之和為，故選：C.7.已知，，，，，則的最大值為（）A. B.4 C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖所示：不妨設(shè)，滿足，，，又，即，由橢圓的定義可知點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓上運(yùn)動(dòng)，，所以該橢圓方程為，而，即，即，這表明了點(diǎn)在圓上面運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)為圓心，為半徑，又，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，故只需求的最大值即可，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上面運(yùn)動(dòng)，所以不妨設(shè)，所以，所以當(dāng)且三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題8.已知，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.E.〖答案〗BCD〖解析〗已知，令，有，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，有，令，有，，B選項(xiàng)正確；展開式的通項(xiàng)為，，，C選項(xiàng)正確，E選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)正確.故選：BCD9.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，、是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則（）A.若，則到準(zhǔn)線距離的最小值為B.若，且，則到準(zhǔn)線的距離為C.若，且，則到準(zhǔn)線的距離為D.若過焦點(diǎn)，，為直線左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，則面積的最大值為E.若，則到直線距離的最大值為〖答案〗ACDE〖解析〗選項(xiàng)A，記拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)不過點(diǎn)時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，設(shè)點(diǎn)、、到直線的距離分別為、、，所以，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)BC，設(shè)、，則，，由可知，，即，整理得，又，所以，所以到準(zhǔn)線的距離為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)檫^焦點(diǎn)，，所以，則．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，所以，所以，可得．根據(jù)圖形的對(duì)稱性，不妨設(shè)，因?yàn)闉橹本€左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，由圖象易知當(dāng)過點(diǎn)的直線平行于且與拋物線相切時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，此時(shí)，的面積最大．令，易知此時(shí)點(diǎn)在拋物線上方，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)〖解析〗式為，則，解得，則，所以點(diǎn)到直線的距離，此時(shí)，故選項(xiàng)D正確；選項(xiàng)E，令、，因?yàn)?，所以，即．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，所以，解得，所以直線的方程為，即直線恒過定點(diǎn)，易知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大值為，故選項(xiàng)E正確；故選：ACDE.10.德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.函數(shù)的值域是C.對(duì)于任意的，都有D.在圖象上不存在不同的三個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形E.在圖象存在不同的三個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形〖答案〗ACE〖解析〗由于，對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)任意，則，；設(shè)任意，則，總之，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，的值域?yàn)?，，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)，則，；當(dāng)，則，，C正確；對(duì)于選項(xiàng)DE，取，，得到為等邊三角形，D錯(cuò)誤E正確.故選：ACE.三、填空題11.已知為圓：上一點(diǎn)，則的取值范圍是___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，則直線與有公共點(diǎn).圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑為3，∴圓心到直線距離，即，∴，∴，即的取值范圍是.故〖答案〗為：.12.已知二項(xiàng)式的展開式中第二、三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于45，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為_______．〖答案〗〖解析〗∵，解得，展開式的通項(xiàng)為，令，得，常數(shù)項(xiàng)為．故〖答案〗為：.13.橢圓上的點(diǎn)P到直線的最大距離是______；距離最大時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)直線與橢圓相切．由消去x整理得.由得.當(dāng)時(shí)符合題意(舍去)此時(shí)，，即切點(diǎn)為即與橢圓相切,橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離即為兩條平行線之間的距離:故〖答案〗為：；14.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中研究過一種叫“鱉（biē）臑（nào）”的幾何體，它指的是由四個(gè)直角三角形圍成的四面體，那么在一個(gè)長方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)，所組成的四面體中“鱉臑”的個(gè)數(shù)是________.〖答案〗〖解析〗如圖以平面為基準(zhǔn)，在平面內(nèi)取三點(diǎn)，顯然（1）（2）合題意，（3）（4）不合題意，同理，將換成，，，各能找到兩個(gè)“鱉（biē）臑（nào）”，所以當(dāng)三點(diǎn)確定在一個(gè)平面上時(shí)，可以確定8個(gè)“鱉（biē）臑（nào）”，共有6個(gè)面，所以可確定個(gè)“鱉（biē）臑（nào）”.但上圖（1）在以平面為基準(zhǔn)時(shí)又被算了一次，圖（2）在以平面為基準(zhǔn)時(shí)又被算了一次，所以每一種情況都被重復(fù)計(jì)算了一次，故共能確定個(gè)“鱉（biē）臑（nào）”.故〖答案〗為：.（1）（2）（3）（4）四、解答題15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知．（1）求；（2）若為的中點(diǎn)，且，求．解：（1）由余弦定理形式和，因此．又，即，由正弦定理得：，整理得：，．，，，．（2）由，得，得．在中，由余弦定理得，為的中點(diǎn)，，即，（其中），．由正弦定理得，，，即．，由，可得；，．16.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求證：（2）在與間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列?若存在，求出這樣的3項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．（1）證明：因?yàn)?，，所以即，①?dāng)時(shí)，②②①得：即，當(dāng)時(shí)，，所以，所以是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上所述：.（2）解：因?yàn)?，，由題意知：，所以假設(shè)在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，即化簡(jiǎn)得：，又因?yàn)閙，k，p成等差數(shù)列，所以，所以即，又，所以即，所以，這與題設(shè)矛盾.所以在數(shù)列中不存在3項(xiàng)，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.17.已知函數(shù)（a為常數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在兩個(gè)不相等的正數(shù)，滿足，求證：.（3）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：.（1）解：由，得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得；所以，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明：由，得，故欲證，只需證：，即證，又，，，不妨設(shè)，，等價(jià)于，令（），等價(jià)于（），，所以在單調(diào)遞增，而，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立.所以，所以.（3）證明：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，所以，，不妨設(shè)，，即，要證：，需證：只需證：，只需證：，只需證：，只需證：，令，只需證：，令，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，故.也可由對(duì)數(shù)均值不等式（），即，令（），則，即，所以.18.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為和，設(shè)的面積為，內(nèi)切圓半徑為，當(dāng)時(shí)，記頂點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）已知點(diǎn)，，，在上，且直線與相交于點(diǎn)，記，的斜率分別為，．(i)設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，證明：存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，；(ii)若，當(dāng)最大時(shí)，求四邊形的面積．（1）解：由題意得，易知，由橢圓定義可知，動(dòng)點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)，且長軸長為的橢圓上，又不能在直線上，∴的方程為：．（2）(i)證明：（法一）設(shè)，，，易知直線的方程為，聯(lián)立，得，∴，∴，，即，同理可得，，∴，欲使，則，即，∴，∴存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，．（法二）設(shè)，，，易知的斜率不為零，否則與重合，欲使，則將在軸上，又為的中點(diǎn)，則軸，這與過矛盾，故，同理有，則，可得，易知，，且，，∴，即，同理可得，，欲使，則，∴，∴，∴存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，．(ii)解：由(i)易知，且，∴，即，同理可得，，∵，∴，記，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)此時(shí)，，且直線和的夾角為，則，不難求得，此時(shí)，易知，且，∴四邊形的面積為．19.某工廠引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備，為對(duì)其進(jìn)行評(píng)估，從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本，測(cè)量其直徑后，整理得到下表：直徑/mm5859616263646566676869707173合計(jì)件數(shù)11356193318442121100經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計(jì)值.（1）為評(píng)估設(shè)備對(duì)原材料的利用情況，需要研究零件中某材料含量和原料中的該材料含量之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8對(duì)觀測(cè)值，求與的線性回歸方程.（2）為評(píng)判設(shè)備生產(chǎn)零件的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判（表示相應(yīng)事件的概率）；①；②；③.評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)為甲；僅滿足其中兩個(gè)，則等級(jí)為乙；若僅滿足其中一個(gè)，則等級(jí)為丙；若全部不滿足，則等級(jí)為丁，試判斷設(shè)備的性能等級(jí).（3）將直徑小于等于或直徑大于的零件認(rèn)為是次品．從樣本中隨意抽取2件零件，再從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，計(jì)算其中次品總數(shù)的數(shù)學(xué)期望.附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，；②參考數(shù)據(jù)：，，，.解：（1），，，，，，所以與的線性回歸方程為；（2），，，，，，，，，設(shè)備M的性能等級(jí)為丙級(jí).（3）樣本中直徑小于等于的共有2件，直徑大于的零件共有4件，所以樣本中次品共6件，可估計(jì)設(shè)備M生產(chǎn)零件的次品率為0.06.由題意可知從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，其中次品數(shù)設(shè)為Y1，則，于是；從樣本中隨意抽取2件零件其次品數(shù)設(shè)為Y2，由題意可知Y2的分布列為：Y2012P故.則次品總數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望.五、本題分為Ⅰ、Ⅱ兩部分，考生選其中一部分作答.20.把底面為橢圓且母線與底面垂直的柱體稱為“橢圓柱”．如圖，橢圓柱中底面長軸，短軸長為下底面橢圓的左右焦點(diǎn)，為上底面橢圓的右焦點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，為過點(diǎn)的下底面的一條動(dòng)弦（不與重合）．（1）求證：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面（2）若點(diǎn)是下底面橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是點(diǎn)在上底面的投影，且與下底面所成的角分別為，試求出的取值范圍．（3）求三棱錐的體積的最大值．（1）證明：由題設(shè)，長軸長，短軸長，則，所以分別是中點(diǎn)，而柱體中為矩形，連接，由，故四邊形為平行四邊形，則，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，則，故，面，面，故平面.（2）解：由題設(shè)，令，則，又，所以，，則，所以，根據(jù)橢圓性質(zhì)知，故.（3）解：由，要使三棱錐的體積最大，只需面積和到面距離之和都最大，，令且，則，所以，顯然時(shí)，有最大；構(gòu)建如上圖直角坐標(biāo)系且，橢圓方程為，設(shè)，聯(lián)立橢圓得，且，所以，，而，所以，令，則，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在上遞增，故；綜上，.21.如圖1，已知，，，，，.（1）求將六邊形繞軸旋轉(zhuǎn)半周（等同于四邊形繞軸旋轉(zhuǎn)一周）所圍成的幾何體的體積；（2）將平面繞旋轉(zhuǎn)到平面，使得平面平面，求異面直線與所成的角；（3）某“”可以近似看成，將圖1中的線段、改成同一圓周上的一段圓弧，如圖2，將其繞軸旋轉(zhuǎn)半周所得的幾何體，試求所得幾何體的體積.解：（1）和繞軸旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體可以得到兩個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐，體積之和為；正方形繞軸旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體為一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，體積為.所以，總的體積.（2）如圖3，取中點(diǎn)為，連接，則.因?yàn)椋悬c(diǎn)為，所以.又平面平面，平面平面，所以，平面，即平面.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖3建立空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，，，，所以，，，，，，所以，，，所以，，所以，異面直線與所成的角的余弦值為，所以，.（3）由已知可得，圓心為點(diǎn)，則半徑.六邊形繞軸旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體的體積，等于直角梯形繞直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體體積的2倍.直角梯形繞直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，為一個(gè)上、下底面半徑分別為1、3，高為1的圓臺(tái)，體積；剩下的兩部分為全等的弓形，先研究弓形繞軸旋轉(zhuǎn)半周，得到幾何體為球缺.現(xiàn)在用祖暅原理來求解該球缺的體積，如圖5