新教材同步輔導(dǎo)2023年高中數(shù)學(xué)課時評價作業(yè)十八函數(shù)的極值

課時評價作業(yè)(十八)函數(shù)的極值

A級基礎(chǔ)鞏固

1.當(dāng)函數(shù)y=x?2、取極小值時,x=()

11

A.—B.-C.-In2D.In2

ln2ln2

解析：由廠廠2',得y，笈+x-2J-In2.

令/力，得2*(1+*?In2)4).

因為2%,所以1奴?In2=0,解得x=-^~.

In2

答案:B

2.|多選題|已知函數(shù)片『(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示，則下列四個結(jié)論正確的是

()

A.f(x)在區(qū)間(-3,1)內(nèi)是增函數(shù)

B.當(dāng)x=-l時,F(x)有極小值

C.f(x)在區(qū)間(2,4)內(nèi)是減函數(shù),在區(qū)間(-1,2)內(nèi)是增函數(shù)

D.當(dāng)X4時,f(x)有極小值

解析：由題圖知f(x)在區(qū)間(-3,-1)和⑵4)內(nèi)是減函數(shù),在區(qū)間(-1,2)內(nèi)是增函數(shù),當(dāng)

x=-i時,函數(shù)f(x)有極小值,當(dāng)x之時，函數(shù)r(x)有極大值.

答案:BC

3.若函數(shù)f(x)=ax-lnx在x考處取得極值,則實數(shù)a的值為返.

解析：由題意,可知f'(x)=a*,r(f)=o,

所以a*小,解得a^/2.

4.函數(shù)F(x)上+lnx的極小值點為2.

X—

解析：由題意，知函數(shù)/U)的定義域是(0/8).

由f'(x)=9上工(1—得x=2.

xx\X/

當(dāng)0G<2時,r'(x)'(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時,F'(x)>0,函數(shù)廣(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)產(chǎn)2

時，函數(shù)f(x)取得極小值,故2為F(x)的極小值點.

5.(2023?廣東佛山二模)已知函數(shù)F(x)-x有2個極值點見鳥則

X1+X2+f(x)+f〈x》過

解析：由題意可知，f'(X)=3/-1,令3/-14),得產(chǎn)土岸

所以f(x)的極值點為X磬和x=《

不妨令xi]*2=號,

貝ljx\+x2Kfix〉+f(x34),

所以x\+x2+f(x〉+f〈xj4).

6.設(shè)函數(shù)f{x}=x?(x-c)2在xC處有極大值,則。毛.

解析：因為/*'(才)=3/-40"?,/1(入)在廣2處有極大值,所以/'乂2)4),即解得

c=2或c=6.

當(dāng)cC時,/(x)考/_8獷4=(3廠2)(x-2).則當(dāng)x>2時,6(x)為，函數(shù)F(x)單調(diào)遞增，不符

合題意,所以cW2,所以c=6.

7?設(shè),(X)備，其中a為正實數(shù)-

⑴當(dāng)a號時，求F(x)的極值點;

⑵若/"(X)為R上的單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.

解:對,但求導(dǎo)得’3+：焉產(chǎn)

(1)當(dāng)a1時,令f'(x)=0,則4/-8x+3=O,解得不弓,也號.

當(dāng)X變化時,f'(X)和f(x)的變化情況如下表:

3

X+

卜8,3(14)2(p°°)

f'kx

+0-0+

)

f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值互調(diào)遞增

所以|是f(x)的極小值點,(是f(x)的極大值點.

⑵若F(x)為R上的單調(diào)函數(shù),則￡(X)在R上不變號.

結(jié)合f'(x)和條件己為,知笳-2"420在R上恒成立,

所以42才MaNa(aT)W0,

故0QW1.

B級能力提升

8.匡睡(2023?新高考全國H卷)若函數(shù)f(x)皿n4號(a*0)既有極大值也有極小

值,則()

A.bcX)B.abX^C.BD.ac<Q

解析：由題可知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+8),

且g(x)_Q-_bJZcax2-bx~2c

xx2x3x3，

令ff(x)力，即aV-bx~2c工,

因為F(x)既有極大值也有極小值,所以ax-bx-2c=O有兩個正根,設(shè)其為由,X2,則

不為2上?,荀生二^>0,d二片拎ac八,

aa

所以abX>,ac<0,

所以?ac=abe<Q,即bc<0.

故選BCD.

答案:BCD

9.若函數(shù)f(x)3-p"qx的圖象與x軸相切于點(1,0),則函數(shù)f(x)的極小值為()

A.0B.-4C.-6D.1

2727

f

角窣析：由題意，知F(x)=3x-2px-qff(1)=3~2p~Q=OfAl)=1-0-q=0,

聯(lián)立，得方程組脛W解得器2：

所以F(x)=x-2x+x,f'(x)=3jf/x+l.

由f'(x)=3/-Ax+14),解得x=l或舄.

易知1是函數(shù)f(x)的極小值點.

所以/1(x)極小值⑴=0.

答案:A

10」多空題|已知函數(shù)f(x)=xL3ax-l(aW0)在x=T處取得極值,若直線尸》與y=f{x)

的圖象有三個不同的交點，則m的取值范圍為(-3,1).若有兩個不同的交點，則m的取值為心

或1.

解析:因為/■(x)在x=T處取得極值,且f'(x)Ta,

所以(-l)-3X(-l)2-3a4),

所以a=l.

所以f{x)=/-3x-i,6(x)=3寸一3.

由f'(x)=0,解得xi=T,用=1.

當(dāng)x<T時，f'(x)X;當(dāng)-1<￥<1時，f'(x)<0;當(dāng)x，l時，f'(x)>0.

所以由函數(shù)/1(?的單調(diào)性可知,f(x)在X=-1處取得極大值A(chǔ)-1)=1,在X=1處取得極小

值/,(1)-3.作出函數(shù)f(x)的大致圖象,如圖所示.

因為直線i與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個不同的交點,所以結(jié)合f(x)的圖象可知,m的

取值范圍是(-3,1).

根據(jù)圖象可知，當(dāng)勿=-3或m=l時,直線y=m與y=f{x)的圖象有兩個不同的交點.

11.已知函數(shù)F(x)4-alnx(a￡R).

⑴當(dāng)a=l時,求函數(shù)人x)在廣1處的切線方程；

⑵求函數(shù)Hx)的極值；

⑶若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+2上是增函數(shù),試確定a的取值范圍.

解：(1)當(dāng)a=l時,_f(x)-x-lnx,

則￡(x)=2x-,則f'⑴=1,/■⑴=1,

X

所以函數(shù)Ax)在處的切線方程為尸X.

⑵f(x)的定義域為(0,+8),F(X)之『2.

X

①當(dāng)aWO時,『‘(X)為恒成立,所以函數(shù)F(x)不存在極值.

②當(dāng)aX)時,令f'(x)或得x號(負(fù)值舍去).

當(dāng)0々4時,f'(x)<0;當(dāng)x>"時,f'(x)丸

所以當(dāng)x號時,函數(shù)/U)有極小值,極小值為《亨芹學(xué)埠

⑶因為函數(shù)f(x)在區(qū)間⑵+2上是增函數(shù)，

所以當(dāng)xd(2,+2時，/(x)之了上,0,即aW2f對xG(2,9)恒成立，所以W8.

X

C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新

12」多選題|若使函數(shù)f(x)w(lnx-ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值可以是()

解析：F'(x)=lnx-ax，C=Lnx-2ax+l.由題意知f'(x)■)有兩個根，所以In

x-2ax+14有兩個根，即尸Inx+\與y與ax恰有兩個交點.若直線yNax恰與曲線尸Inx+\

一=2a,

相切于點(皿㈤，且以nx+l的導(dǎo)數(shù)/4則

y0=2ax0,解得2a=1,要使函數(shù)尸Inx+1

yo=ln%0+1,

的圖象與y與ax的圖象恰有兩個交點，只需0<2a<l,即

答案:ACD

13」多選題|(2022?新高考全國I卷)已知函數(shù)f(x)=^-x+l,則()

A.f(x)有兩個極值點

B.f(x)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心

D.直線gx是曲線y=f{x}的切線

解析：因為“X)寸-戶1,所以6(x)=3x~l.

令f\x)X,解得x<號或若;令￡(x)<0,解得號G號.所以f(x)在區(qū)間

(-8,-苧),(苧,+8)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(-日,/)內(nèi)單調(diào)遞減.

又函數(shù)『(X)的值域為R,且《-苧)義誓為,d苧)卷"x,所以f(x)有兩個極值點，

有且僅有一個零點.故選項A正確,選項B錯誤.

又f{x}+f{-X)=x-x+\-x+x+\A則F(x)關(guān)于點(0,1)對稱,故選項C正確.

假設(shè)直線產(chǎn)2x是曲線y=f5的切線,其切點為(a"),則門。2T=2,解得仁=:或

(2a=b,3=2

產(chǎn)=%顯然點(1,2)和(-1,-2)均不在曲線y=fU上,故選項D錯誤.

S=2.

答案:AC

14.(2023?新高考全國H卷)

⑴證明：當(dāng)0々<1時,x-/Ginx<x\

(2)已知函數(shù)f{x}=cosa^-ln(l-/),若x=0為f{x}的極大值點,求a的取值范圍.

⑴證明：設(shè)g(x)刁r-/-sinx,(0,1),貝ljg'(x)=l-2『cosx,

設(shè)力(x)宙'(x),則"(x)=-2Mnx<0,

所以g'(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,所以g'(x)念'(0)或

所以g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,所以g(x)念(0)4),

即x-x-sinx<0,(0,1),所以x-x<sinx、(0,1),

設(shè)〃(x)女-sinx,(0,1),貝!J〃'(x)-l-cosxX,

所以〃(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，

所以〃(x))〃(0)4),xR(0,1),即jr-sinxX),(0,1),

所以sinx〈x,(0,1).

綜上可得,當(dāng)0<Y<l時,x-x<sinx〈x.

(2)解：由題易得￡(x)二-Hsinax+^\,

1-XZ

設(shè)r(x)=ff(x),貝！JVf(x)二一一cosax+2+2；

則f'(0)R,/(())=-]+2.

①若r70)=2-a>0,即