2023年高考數(shù)學壓軸題-圓錐曲線第10講：斜率問題二（原卷版）

第十講：斜率問題(二)

【學習目標】

基礎(chǔ)目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡單性質(zhì)，三角形，四邊形面積的推導過程；

應用目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的性質(zhì)，注重設(shè)直線的方程，并聯(lián)立方程組解決問題；

拓展目標：能夠熟練應用題干信息，將文字翻譯成式子求解斜率.

素養(yǎng)目標：通過數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨立思考和邏輯分析能力，提升學生

的數(shù)學運算和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).

【基礎(chǔ)知識】

1、弦長公式

若N在直線y=Ax+m上，代人化簡，得IΛ∕Λ∏=√Γ7F∣占-%I=Ja+*+%)2-4x應］；

2、過定點(,%,%)的直線方程

(1)當直線斜率存在時，y-y0=k(x-x0),當直線斜率不存在時，χ=χ0i

(2)當直線斜率不為零時，χ-χ0=nKy-yJ,當直線斜率為零時，V=%；

3、當/區(qū),凹時，線段48的中垂線：P-"：力=(-*二*)(χ-

2必一為2

【考點剖析】

考點一：求斜率1(直線方程)

例L已知橢圓C：y+^-=l,直線/經(jīng)過橢圓C的左焦點尸(TO)與其交于點A,B.

(1)求橢圓C的方程和離心率；

(2)已知點”(LO),N(2,0),直線％,與直線x=2分別交于點尸，Q,若∣M5∣∣N0∣=1,求直線/的

方程

變式訓練1：已知橢圓氏。*l(α>6>0)的離心率為當上頂點為/(O,1).

⑴求橢圓E的方程；

(2)過點P(θ,√i)且斜率為％的直線與橢圓E交于不同的兩點M,N,且IMNI=半，求上的值.

變式訓練2已知橢圓C:>6>。)過點4(-2,0),

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/過C的右焦點交C于",N兩點，AMAN=6,求直線/的方程.

變式訓練3：過平面上點P作直線l,：y=^,l2：y=-^x的平行線分別交N軸于點M,N且IoMr+QNI?=8.

(1)求點尸的軌跡C方程；

(2)若過點。(0,1)的直線/與軌跡C交于A,8兩點，若SRAOB=用,求直線/的方程.

考點二：求斜率2(直線方程)

例L已知橢圓E：W+，=ig>6>o)的離心率為當

,依次連結(jié)E的四個頂點構(gòu)成的四邊形面積為2√L

(1)求E的方程;

⑵設(shè)E的左，右焦點分別為耳，經(jīng)過點"(-2,0)的直線/與E交于A,8兩點，且片/〃鳥8,求/的

斜率.

變式訓練1：已知雙曲線u[-9=i(">o力>0)的左，右焦點為E，工，離心率為遂.

ab”

⑴求雙曲線C的漸近線方程；

(2)過耳作斜率為左的直線/分別交雙曲線的兩條漸近線于48兩點，若Hgk忸尸J,求左的值.

變式訓練2：已知動點M到點F(O,?)的距離與它到直線y=的距離相等.

⑴求動點M的軌跡C的方程；

(2)過點P(y,-1)作C的兩條切線PA,PB,切點分別為A,B,求直線AB的方程.

變式訓練3：動點M到點尸。，0）的距離比它到直線/：X+1=O的距離小!，記M的軌跡為曲線C.

⑴求C的方程；

⑵已知圓。:（x-2）2+y2=l,設(shè)P,A,B是C上不同的三點，若直線PA,PB均與圓D相切，若P的縱坐

標為√L求直線AB的方程.

考點三：求斜率3（中垂線）

例L已知橢圓C：W+《=1（q>6>0）的離心率為遮，短軸長為2,直線京r-%=0與橢圓C交于48

a2b22

兩點.

⑴求橢圓C的方程；

⑵是否存在實數(shù)%,使得點”（；,0）在線段ZB的中垂線上？若存在，求出女的值；若不存在，說明理由.

變式訓練1：已知橢圓馬+t=1伍>6>0)的離心率為變，右焦點尸到上頂點的距離為√L

ab^2

⑴求橢圓的方程；

(2)是否存在過點尸且與X軸不垂直的直線/與橢圓交于4B兩點，使得點e(?0)在線段AB的中垂線上?

4

若存在，求出直線/;若不存在，說明理曲.

X2y2(a>0,b>0)過點且與雙曲線小學-1=ι有相同

變式訓練2：已知雙曲線C：=1

的漸近線.

⑴求雙曲線C的方程；

⑵若直線/：f(x+卯≠0)與雙曲線C交于M,N兩點，且線段AW的垂直平分線過點8(0,1),求

直線/的方程.

22

變式訓練2：已知雙曲線C*-方=1(a>0,?>0)的一個焦點是尸(2,0),離心率e=2.

⑴求雙曲線C的方程；

(2)若斜率為1的直線/與雙曲線C交于兩個不同的點M,N,線段MN的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形

的面積為4,求直線/的方程.

變式訓練3：已知橢圓C=p-+^-=l(α>6>0)的左、右焦點分別為6,6.橢圓C的長軸長與焦距比為0:1,

過E(3,0)的直線1與C交于A、B兩點.

⑴當1的斜率為1時，求AFMB的面積；

⑵當線段AB的垂直平分線在y軸上的截距最小時，求直線I的方程.

【當堂小結(jié)】

1、知識清單：

(1)橢圓，雙曲線，拋物線弦長和面積；

(2)垂直平分線;

(3)平分垂直的應用和證明；

2、易錯點：弦長公式的計算，垂直平分線的表示；

3、考查方法：數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；

4、核心素養(yǎng)：數(shù)學運算，數(shù)學抽象.

【過關(guān)檢測】

1.已知拋物線U∕=2px(p>0),其通徑為4.

⑴求拋物線的標準方程；

(2)過拋物線焦點F作直線1,使得直線1與拋物線交于P、Q兩點，且滿足弦長∣PQ∣=8,求直線1的斜率.

2.橢圓C的方程為0+4=1(“>6>0),右焦點為F(√I,O),離心率為四.

a'h-3

⑴求橢圓C的方程；

(2)若直線/與圓/+/=〃3>0)相切，與橢圓交于/,N兩點，且IMNl=√Σ,求直線/的方程.

3.已知橢圓：E：［+4=l(q>6>0)的一個頂點為/(0,1),焦距為2√L

a'^D

⑴求橢圓E的方程；

⑵過點P(-2,l)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C,直線AB,AC分別與X軸交于點M,N,

當IMNl=2時，求k的值.

4.已知橢圓/=的離心率為［且點在橢圓上.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)設(shè)點8為橢圓的右頂點，直線XB與y軸交于點過點M作直線與橢圓交于尸,。兩點，若

MB-T^P=6MA-Mρ,求直線尸。的斜率.

5.已知橢圓C:二+

a

(1)求橢圓C的方程;

(2)橢圓C的右焦點為尸，過點A作兩條傾斜角互補的直線分別交橢圓于8,C兩點，證明：BCHAF.

6.已知雙曲線C:*?卡=Im>0,b>0)的左，右焦點為片,用，離心率為6

⑴求雙曲線C的漸近線方程；

(2)過耳作斜率為k的直線1分別交雙曲線的兩條漸近線于A,B兩點，若MAI=忸鳥I,求k的值.

7.在平面直角坐標系中，頂點在原點、以坐標軸為對稱軸的拋物線C經(jīng)過點(1,2).

⑴求拋物線C的方程；

(2)已知拋物線C關(guān)于X軸對稱，過焦點廠的直線交C于48