北京市海淀區(qū)【中考數(shù)學(xué)】2022-2023學(xué)年提升訓(xùn)練-幾何圖形變換綜合壓軸題（含解析）

北京市海淀區(qū)【中考數(shù)學(xué)】2022-2023學(xué)年專題提升訓(xùn)練

一幾何圖形變換綜合壓軸題

1.如圖，在RtZ?48C中，ZACB=90°,/4=30°,點(diǎn)。為48的中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線8C上

的動點(diǎn)(不與點(diǎn)8點(diǎn)C重合)，連接OC、OP,將線段OP繞點(diǎn)尸順時針旋轉(zhuǎn)60",得到線

段P0,連接80.

(1)觀察猜想：如圖①，線段8。與C尸的數(shù)量關(guān)系是；ZCBQ=；

(2)探究證明：

如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長線上時，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成

立，請說明理由.

圖①圖②

2.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4在第一象限，軸于8,NC-Ly軸于C,A(a,b),且

“，6滿足∣3α-4ft∣+√a-3b+10=θ?

(1)求點(diǎn)X的坐標(biāo)；

(2)如圖2,點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)以每秒1個單位的速度沿N軸正方向運(yùn)動，點(diǎn)E從點(diǎn)5出發(fā),

以每秒2個單位的速度沿X軸負(fù)方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為f,當(dāng)SAIa)＜以^E時，求f的取

值范圍；

(3)如圖3,將線段BC平移，使點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)M恰好落在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)

為M連接BN交y軸于點(diǎn)P,當(dāng)OM=3。P時，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

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BxEBχBχ

圖1

3.探究

(1)如圖①，在等腰直角三角形NBC中，ΛACB=9G°,作CAM48交N8于點(diǎn)M,點(diǎn)。

為射線CM上一點(diǎn)，以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心將線段CD逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連接DE

交射線CB于點(diǎn)凡連接8。、BE

CE

填空：

①線段80、8E的數(shù)量關(guān)系為.

②線段BC、Z)E的位置關(guān)系為.

推廣：

(2)如圖②，在等腰三角形N8C中，N∕CB=0,作CΛΛL∕18交/8于點(diǎn)M,點(diǎn)。為BC

外部射線CM上一點(diǎn)，以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心將線段CD逆時針旋轉(zhuǎn)β度得到線段CE,連接DE、

BD、BE,請判斷(1)中的結(jié)論是否成立，并說明理由.

應(yīng)用：

(3)如圖③，在等邊三角形N8C中，N8=3.作交4C于點(diǎn)“，點(diǎn)。為射線8w

上一點(diǎn)，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心將線段BD逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BE,連接DE交射線BA于

點(diǎn)尸，連接/。、ZE.當(dāng)以4、D、M為頂點(diǎn)的三角形與E尸全等時，請直接寫出QE的值.

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在4/3C中，∕B=∕C,M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將線段/A/繞點(diǎn)ZI按順時針方向旋轉(zhuǎn)與NBNC

相等的角度，得到線段4M連接NB.

(I)如圖1,若M是線段BC上的任意一點(diǎn)，請直接寫出NN/8與NM4C的數(shù)量關(guān)系

是;NB與MC的數(shù)量關(guān)系是;

(2)如圖2,點(diǎn)E是48延長線上一點(diǎn),若“是/C8E內(nèi)部射線8。上任意一點(diǎn)，連接MC,

(1)中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由.

(二)拓展應(yīng)用

如圖3,在a∕ι5ιCI中，AlBI=7,ZJ∣5ιCι=60°,Z5ιJιCι=75o,尸是8ιCI上的一點(diǎn)，

ClP=J5,連接小P，將由P繞點(diǎn)小按順時針方向旋轉(zhuǎn)75°,得到線段小0,連接8∣Q,

則AZLSIQ的面積是.

5.己知在RtZUBC中，ZACB=90°,AC=BC,Cr)_L48于。.

(1)如圖1,將線段CD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CF,連接AF交Cr)于點(diǎn)G,連接DF,

求證：AG=GF;

(2)如圖2,點(diǎn)E是線段C8上一點(diǎn)，連接ED,將線段EQ繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到ER

連接力尸交。于點(diǎn)G,若求理_；

AC7CG

(3)如圖3,點(diǎn)K、E分別在邊/3、BC上，將線段EK繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90"得到EF,

連/尸交CD于點(diǎn)G,連接KG,KG//BC,則&L=2,CE=3,則NF的長為.

KB3

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6.在448C中，45=∕C,M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將線段4W繞點(diǎn)”按順時針方向旋轉(zhuǎn)與/員4C

相等的角度，得到線段/N,連接N8.

【感知】如圖①，若〃是線段8C上的任意一點(diǎn)，易證445N名AXCM,可知NN4?=N

MAC,BN=MC.

【探究】如圖②，點(diǎn)E是/8延長線上的點(diǎn)，若點(diǎn)A/是ZCBE內(nèi)部射線8。上任意一點(diǎn)，

連接MC,(1)中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由.

【拓展】如圖③，在ADEF中,DE=S,NDEF=60°,NEDF=75°,P是E尸上的任意

點(diǎn)，連接。尸，將。P繞點(diǎn)。按順時針方向旋轉(zhuǎn)75°,得到線段。0,連接EQ,則E0的最

小值為?

圖①圖②圖③

7.同學(xué)們應(yīng)該都見過光線照射在平面鏡上出現(xiàn)反射光線的現(xiàn)象.如圖1,NB是放置在第一象

限的一個平面鏡，一束光線CD經(jīng)過反射后的反射光線是。E,OH是法線，法線垂直于鏡面

AB.入射光線8和平面鏡所成的角N8OC叫做入射角，反射光線。E與平面鏡所成的角N

ZoE叫做反射角.鏡面反射有如下性質(zhì)：入射角等于反射角，根據(jù)以上材料完成下面問題：

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(1)如圖1,法線。，交X軸于點(diǎn)H交y軸于點(diǎn)”，試探究NOFC與Nr)之間的數(shù)量

關(guān)系并加以證明；

(2)如圖2,第一象限的平面鏡/8交X軸于點(diǎn)8,交N軸于點(diǎn)/,X軸負(fù)半軸上也放置了一

塊平面鏡，入射光線CZ)經(jīng)過兩次反射后得到反射光線EG,DH是法線.射線。和EG的

反向延長線交于點(diǎn)P.

①若第一象限平面鏡與X釉夾角為26°,問入射角NBOC為多少時，反射光線EG與48

平行？

②若NDCE>NDEC,平面鏡/8繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，是否存在一個定值億使得NDCE-NDEC

=k∕OHF總是成立,若存在請求出值，若不存在，請說明理由.

8.已知BC為等邊三角形，取4/8C的邊/8,BC中點(diǎn)。，E,連接。E,如圖1,易證△

OBE為等邊三角形,將AOBE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度乙(8D=α,其中0<α<180°.

圖1圖2圖3

(1)如圖2,當(dāng)a=30°,連接49,CE,求證：AD=CE;

(2)在408E旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)a超過一定角度時，如圖3,連接力。，CE會交于一點(diǎn)，記交

點(diǎn)為點(diǎn)尸，AD交BC于點(diǎn)、P,CE交BD于點(diǎn)連接8尸，請問8尸是否會平分/C3O?如

果是，求出a,如果不是，請說明理由；

(3)在第(2)問的條件下，試猜想線段Z凡8尸和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

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9.如圖1,點(diǎn)C是線段48上一點(diǎn)，將。繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE,將CB繞點(diǎn)C旋

轉(zhuǎn)，使點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)。落在CE上，連接8E,AD,并延長幺。交BE于點(diǎn)F.

(1)求證：AFA.BE-,

(2)連接CE猜想/F,EF,CF存在的等量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論.

(3)如圖2,延長48到G,使5G=C8,將線段8G沿直線BE上下平移，平移后的線段

記為夕G',若N∕8E=60°,當(dāng)C9+CG的值最小時，請直接寫出tanNG,CG的值.

圖1圖2

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(-6,0),B(0,8),N8=10,點(diǎn)C在線段QB上，現(xiàn)將

△/。C翻折，使得線

段40的對應(yīng)邊/。落到/3上，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)。，折痕為/C.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)連接O。，過點(diǎn)。作LCD于點(diǎn)”，求的長；

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿著C-D-Z運(yùn)動，速度為每秒1個單位，

時間為,,是否存在“直，使得440尸的面積為12,若存在求出，的值；若不存在，請說明

理由.

11.【問題發(fā)現(xiàn)】在某次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明同學(xué)遇到了如下問題:

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(1)如圖1,在等邊4/8C中，點(diǎn)P在內(nèi)部，且H=3,PC=4,ZAPC=?50a,求PB的

長.經(jīng)過觀察、分析、思考，他對上述問題形成了如下想法：將AZPC繞點(diǎn)/按順時針方向

旋轉(zhuǎn)60°,得到A∕8O,連接PD,尋找必、PB、PC三邊之間的數(shù)量關(guān)系…

請你根據(jù)上面分析，完成該問題的解答過程；

【學(xué)以致用】參考小明思考問題的方法，解決下面問題：

(2)如圖2,在等邊4/18C中，/C=7,點(diǎn)P在4/BC內(nèi)，且乙4PC=90°,ZfiPC=120°.求

AAPC的面積；

(3)如圖3,RtΔ^SCφ,ZACB=90a,NC=BC,點(diǎn)尸在4{BC內(nèi)，且B4=I,PS=√^17.

PC=2√2>求的長.

12.(1)(問題發(fā)現(xiàn))如圖1,BC和△/￡)E均為等邊三角形，點(diǎn)8,D,E在同一條直線上.填

空：

①線段8D,CE之間的數(shù)量關(guān)系為；

②NBEC=°.

(2)(類比探究)如圖2,Z?N5C和△/￡>E均為等腰直角三角形，NACB=N4ED=90°,

AC=BC,AE=DE,點(diǎn)、B,D,E在同一條直線上，請判斷線段8。，CE之間的數(shù)量關(guān)系及

/8EC的度數(shù)，并給出證明.

(3)(解決問題)如圖3,在△力BC中，N4CB=90°,N∕=30°,4B=5,點(diǎn)D在4B邊

上，DEUC于點(diǎn)E,AE=3,將A4DE繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn),當(dāng)。E所在直線經(jīng)過點(diǎn)5時，CE的長

是多少？(直接寫出答案)

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A

圖1圖2圖3

13.已知菱形4SCD的邊長為2,ZA=60°,點(diǎn)E、尸分別在邊40、AB上,將aXEF沿EF

折疊，使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'恰好落在邊CD上.

1

(1)延長C3、AF交于點(diǎn)H,求證：AUI=AL2；

AEDE

(2)若H點(diǎn)為8的中點(diǎn)，求EF的長；

C3)AA,交E尸于點(diǎn)G,再將四邊形紙片8。'尸折疊，使C點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)C'恰好落在Z'

F上,折痕MV分別交邊8、BC于點(diǎn)M、N,連接C'G,則C'G的最小值為.

14.黃金三角形就是一個等腰三角形，且其底與腰的長度比為黃金比值返二L?如圖1,在黃

(1)當(dāng)點(diǎn)。是線段的中點(diǎn)時，雪=；當(dāng)點(diǎn)。是線段/8的三等分點(diǎn)時，雪

ADAD

(2)把ABZJE繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置，連接4),CE,判斷出的值是否變化,

AD

并給出證明；

(3)把ABOE繞點(diǎn)8在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若N8=6,BD=2,請直接寫出線段CE的長的

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取值范圍.

15.如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片/BC和DEC重合放置，其中∕C=90°,ZB=30o.

【操作發(fā)現(xiàn)】

①如圖2,固定a∕8C,使aOEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).當(dāng)點(diǎn)。恰好落在48邊上時，則NNeO的

度數(shù)是；

(2)?BDC的面積與aZEC的面積之間的數(shù)量關(guān)系是.

【探究論證】

當(dāng)△/)日?繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時，猜想ABOC的面積與△力EC的面積的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由.

【拓展應(yīng)用】

已知/∕8C=60°,點(diǎn)。是其角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4,DE〃4B交BC于點(diǎn)E(如圖

4).若在射線84上存在點(diǎn)尸，使ADC尸與ABOE的面積相等，請直接寫出相應(yīng)的B尸的長.

16.對于平面直角坐標(biāo)系XOy中的點(diǎn)尸和圖形",給出如下定義：圖形邛關(guān)于經(jīng)過點(diǎn)(加，0)

且垂直于X軸的直線的對稱圖形為沙，若點(diǎn)尸恰好在圖形沙上，則稱點(diǎn)尸是圖形匹關(guān)于點(diǎn)

(m,0)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

(1)若點(diǎn)尸是點(diǎn)0(3,2)關(guān)于原點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為；

(2)如圖，在C中，A(1,1),B(6,O),C(4,-2).

①點(diǎn)C關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)為。，將線段8。沿X軸向左平移d(d>0)個單位長度得到線段

EF(￡,尸分別是點(diǎn)B,。的對應(yīng)點(diǎn))，若線段E尸上存在兩個4/3C關(guān)于點(diǎn)(1,0)的“關(guān)

聯(lián)點(diǎn)”，則1的取值范圍是.

②已知點(diǎn)Λ∕(w+1,0)和點(diǎn)N(W+3,0),若線段MN上存在4/8C關(guān)于點(diǎn)(機(jī)，0)的“關(guān)

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聯(lián)點(diǎn)”，求加的取值范圍.

17.如圖①，LABC?DE均為等邊三角形，點(diǎn)。、E分別在邊/8、ACl..將AZOE繞點(diǎn)

/沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，連接B。、CE.

(1)如圖②，可以根據(jù)三角形全等判定定理______證得△/￡)B之ZUEC.

(J)邊邊邊；(8)邊角邊；(C)角邊角；(D)角角邊.

(2)如圖③，求證：AADB-AEC.

(3)當(dāng)點(diǎn)。、E、C在同一條直線上時，NEDB的大小為度.

18.已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/是X軸負(fù)半軸上一點(diǎn)且。力=3,點(diǎn)8在第二象限內(nèi)，到

X軸的距離是3,到夕軸的距離是2.

(1)直接寫出點(diǎn)Z,點(diǎn)5的坐標(biāo)：點(diǎn)N(,),點(diǎn)、B(,)；

(2)在圖①中的y軸上找到一點(diǎn)P,使得三角形/8P的周長最小，則這個最小周長是；

(3)在圖①中，若△48C是等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)C在｛8的左側(cè)時，請直接寫出點(diǎn)C的

坐標(biāo);

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(4)如圖②，在中，ZABC=90o,∕B=8C,點(diǎn)。不與點(diǎn)力重合，是X軸上一個

動點(diǎn)，點(diǎn)E是/。中點(diǎn)，連接把BE繞著點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到尸E即(N8EF=90°,

BE=FE),連接BACF、CD.直接寫出NFa)的度數(shù).

19.已知四邊形/8。中，AB±AD,BCLCD,AB=BC,NNBC=I20°,ZMBN=60°,Z

MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交/O,OC(或它們的延長線)于E,F.

(1)當(dāng)/M8N繞8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到ZE=CF時(如圖1),試猜想線段4E?CF、M之間存在的

數(shù)量關(guān)系為.(不需要證明)；

(2)當(dāng)NMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？

若成立，請給予證明；若不成立，線段/E、5、E廣又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想,

不需證明.

20.(1)如圖1,在正方形/8C。中，∕Λ4G=45°,請直接寫出。G,8尸與尸G的數(shù)量關(guān)系,

不需要證明.

(2)如圖2,在Rt△力BC中，ZSJC=90o,AB=AC,E,尸分別是BC上兩點(diǎn)，ZEAF=

45°.

①寫出8E,CF,E尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

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②若將(2)中的a∕EF繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)至如圖3所示的位置，上述結(jié)論是否仍然成立？若不成

立，直接寫出新的結(jié)論，無需證明.

(3)如圖4,△力E尸中，ZEAF=45°,ZG_LEF于G,且GF=2,GE=3,貝IJSyEF=.

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答案

1.解：(1)在RtΔ1ZBC中，NACB=9Q°,N∕=30°,

ΛZABC=60a,

在RtC中，N∕C8=90°,點(diǎn)。為48的中點(diǎn)，

：.OC=-^AB=OB,

2

...△C08為等邊三角形，

.,.ZCOfi=60°,

二NCOP+NBoP=60°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，NPoQ=6Q°,OP=OQ,

：.ZBOQ+ZBOP=6Q°,

.,.ZCOP=ZBOO,

在ACOP和aBOQ中，

'OC=OB

.ZCOP=ZBOQ-

OP=OQ

.?ΔCOP^∕?BOQ(SAS),

：.BQ=CP,ZOBQ=ZOCP=60°,

：.ZCBQ=ZCBO+ZOBQ=nθ°,

故BQ=CP;120°；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長線上時，(1)中結(jié)論成立，

理由如下：:NCoB=NPoQ=60：

.*.ZCOB+ZBOP=NPOQ+ZBOP,即ZCOP=ZBOQ,

在aCOP和48O°中，

fOC=OB

<NeOP=NBoQ'

OP=OQ

ACOPQABOQ(”S),

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：.BQ=CP,ZOBQ=ZOCP=60o,

.?.NCBQ=Nc8。+/080=120°.

2.解：(1)∣3a-4?∣+√a-3b+10=0-

.?3a-4b=0

"la-3b+10=0,

.??g

lb=6

：.A(8,6)；

(2)由(1)知,A(8,6),

'：ABLx軸于B,ACVy軸于C,

.?.ZC=8,AB-6)

由運(yùn)動知，OD=t,OE-It,

當(dāng)點(diǎn)E在08上時，即0Vt<4,則。E=8-2f,

.\S^AOD=—OD'AC=—tX^=4t,SΔAOE=-OE?AB=-×(8-2/)×6=3(8-2/),

一2222

,SAAoDS&AOE，

.,.4z<3(8-20,

：.t<—,即0<f<絲，

55

當(dāng)點(diǎn)E在8。的延長線上時，即f>4,

則0E=2t-S,

.".S^AOD=—OD'AC=—tX^=4t,SΛAOE=-OE?AB=^×(2/-8)×6=3(2/-8),

2222

,SAAOD<S&AOE,

Λ4z<3(2r-8),

Λ∕>12,

即0<7<絲或>12；

5

(3)如圖，設(shè)點(diǎn)“(0,機(jī))，

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：.M(O,m)(WeO),則OM=-m,

由平移的性質(zhì)得，N(-8,加+6),

過點(diǎn)N作NE_LX軸于E,

.?OB=OE=S,NE=m+6,

SWN=LBEXNE=LX16X∣m+6∣=8∣W+6∣,

22

SABOKS橫IfioPNE=工XOBXoP+工COP+NE)XoE=LX8OP+工(0P+?m+6?)X8=

2222

4OP+4OP+4?m+6?,

*：S4BEN=SdBoKS梯形OPNE，

/.8∣m+6∣=40尸+40尸+4歸+6],

,

..0P=^?m+6?f

V0M=30P,

：.-m=3×-j-∣w+6∣,

.?.m=-■或WI=-18>

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①

?：CA=CB,NACB=90°,CMVAB.

ΛZACM=ZBCM=45o,

9：ZECD=90o,

：,/ECF=/DCF=45°,

?：CD=CE,CB=CB,

:.XCBDQACBE(SAS?,

：.BD=BEi

YCD=CE,

???8C垂直平分線段DE,

：.BCLDE.

故BD=BE,BC.LDE.

（2）結(jié)論：（1）中的結(jié)論仍然成立.

理由：如圖②中，

?：CA=CB,ZACB=a,CMVAB.

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.,.NZCM=ΔBCM=^a,

2

,.?NECD=a,

：.ZECF=ZDCF=-a,

2

'：CD=CE,CB=CB,

：.ACBD烏ACBF(SZS),

：.BD=BE,

'：CD=CE,

.?.8C垂直平分線段DE,

：.BCLDE.

(3)如圖③中,

③

當(dāng)FE絲A/MD時,AF=AM,

VZAFD=ZAMD=90°,

'：AD=AD,

.".Rt∕?ADF^Rt∕?ADM(HL),

：.ADAF=ADAM=3Q°,

：.ZDBA=ZDAB=30c,

：.DA=DB,

`:DFIAB,

：.NBDF=60°，BF=AF=

2

第17頁/總56頁

:BD=BE,

...△2。E是等邊三角形，

，。尸=EF=B尸?tan30°=O,

2

ΛZ）E=2EF=√3?

如圖③-1中，當(dāng)點(diǎn)。在BM的延長線時，則止=4%=?∣,Z）E=2Z）F=3√3?

圖。-1

如圖③-2中，當(dāng)EF=4M=DF時,也滿足條件，此時。E=50=48=3,

圖③-2

綜上所述，滿足條件的OE的值為√5或3√S或3.

4.解：（一）（1）結(jié)論：ZNAB=ZMAC,BN=MC.

理由：如圖1中，

第18頁/總56頁

,

?ZMAN=ZCABf

：.NNAB+/BAM=/BAM+NMAC,

：./NAB=/MAC,

,

:AB=ACfAN=AM,

：?/XNABqAMAC(SAS),

：.BN=CM.

故NNAB=NMAC,BN=CM.

(2)如圖2中，(1)中結(jié)論仍然成立.

圖2

理由：VZMAN=ZCABf

：.∕NAB+/BAM=NBAM+NMAC,

：.ZNAB=ZMACf

?；AB=AC,AN=AM,

???△NAB/AMAC(SAS)f

：.BN=CM.

（二）如圖3中,

第19頁/總56頁

圖3

方法一：在ZICI上截取小N=4ι8ι,連接PM作NHLBICl于H,作小MJ_8iCi于M.

VZCiAiBi=ZPAiQf

：.ZQAiBi=ZPAiNf

VAiQ=AiP,AiBi=ANf

.??QAιBι^?P4↑N(SAS),

LBiQ=PN,

在RtZ?4ι5M∕中,VZJι5ιM=60o,ATBI=7,

IBiM=L

2

；?小M=JAIBI2-BιN=?j√^，

'：ΔMA?C?^ΔB?A?C?-^B?A?M=15°-30°=45°,

?'?A\C\—yp2.AIM=-^Vδ,

.?.NCι=∕C∣-AIN=∕^^-7,

在Rt4ΛWCι中，VZCi=45",

???^=^ι?2y-=∣√3-y√2>

s,c

?'?ΛPC1N=fPCιNH=y×√2×1√3-j√2)~f

7SPC,AMZΛΓ

?A1PC1=?II=?×J2×-j√3=j√6'

SSs=,

?ΔA1PN=ΔA1PC1^?PC1Np^-?)=?

方法二：

如圖4,過點(diǎn)0作。G_L4|8于點(diǎn)G,過點(diǎn)尸作尸"_L/C1于點(diǎn)”,

第20頁/總56頁

9o

?ZQA↑G=ZR4?HfZA↑GQ=ZPHA↑=90,ZlQ=ZI?,

Λ?A↑QG^?A↑PH(AAS)9

VZA?B?C?=60o,NBMel=75°,

ΛZCι=180o-ZA↑B↑C↑-NBMhG=45°，

Λ?P∕∕Cι是等腰直角三角形,

√2

???QG=I,

...△小810的面積為￡*7*l=y?

畛

5.(1)證明：如圖1中,

CDLABf

第21頁/總56頁

：.CD=DB=AD,

"CCD=CF,NDCF=NADC=90°,

：.AD//CF,AD=CF,

，四邊形ADFC是平行四邊形，

.,.AG=GF.

(2)解：如圖2中，連接BR過點(diǎn)E作EALBe交/8于J.

，可以假設(shè)CE=2hAC=Ik,

"AC=BC-EC=Ik,NZC8=90°,

：.BE=BJ=5k,AB=I近k,

'：CD±AB,

IBD=AD=NZk,

2

：.CD=AD=BD=^^-k,

2

'."EJ∕∕AC,

?BJ=BE=Σ

*"AJECT

Λ∕lJ=-∣-×7√2?=2√2?>

Λ0√=??/??-,

2

:NDEF=NBEJ=90°,

NBEF=NJED,

第22頁/總56頁

VZABC=45o,JEtBC,

JNEBJ=NE=45°,

：.EB=EJ,

λ

:EB=EJ,EF=DEt

:.ABEF烏ZED(SZS),

：.BF=DJ=^^-k,NEBF=NEJD=45°，

2

:.NFBA=NGDA=9G°,

:,GD//BF,

"AD=DB,

.'.AG=GF,

：.DG=LBF=^!^-k,

24_

JCG=CD-DG=^^-k-漢?/='I?k,

244

3√2,

-A-k

.DG=4=3

“CG11√2k11-

(3)如圖3中，連接8凡過點(diǎn)尸作尸∕ΛLBC于，.

A

圖3

?：AK：KB=4：3,

,可以假設(shè)4K=4A?,BK=3k,則工%,DK=DB-BK=L,

22

第23頁/總56頁

?：NKBE=∕KFE=45°,

:,K,B,F,E四點(diǎn)共圓,

???/KBF+NKEF=180°,

?；NKEF=90°,

ΛZKBF=ZADC=90°,

.?DG∕∕BFf

?：AD=DB,

：.AG=GFf

:?BF=2DG,

tJKG//BC,

：.ZDKG=ZABC=45o,

?.?NKDG=90°,

：.DG=DK=工匕

2

：?BF=k,

A^F=7BK2+BF2=7k2+(3k)2=V10^VAB2÷BF2=7(7k)2+k2?5

/.EK=EF=^^KF=√5?,

?：FHLBC,ZFBH=45°,

.??BH=FH=冬,EHrEF2-FH2=J(泥切2_凈2=嚶比

：.BE=BH+EH=2Mk,

YMBC=AB,

Λ√2(2√2?+3)=Ik,

:?k=近,

Λ^F=5-?∕2×V2=lθ?

故答案為10.

6.解：【探究】如圖②中，結(jié)論成立.

理由：:NMAN=NCAB,

第24頁/總56頁

.?.NNAB+NBAM=ZBAM+ZMAC,

；.NBAN=NCAM,

"：AB=AC,AN=AM,

：./\NAB^/\MAC(SAS),

：.BN=CM.

【拓展】如圖③中，在。尸上取一點(diǎn)”，使。∕7=f>E=8,連接尸H,過點(diǎn)“作尸于

M,

圖③

由旋轉(zhuǎn)知，DQ=DP,ZPDQ=ISo,

'：AEDF=15°,

NPDQ=NEDF,

：.ZEDQ=AHDP,

：.ADEQ與ADHP(SAS),

：.EQ=HP,

要使E0最小，則有，尸最小，而點(diǎn)”是定點(diǎn)，點(diǎn)尸是E尸上的動點(diǎn),

當(dāng)HΛ∕J"EF(點(diǎn)尸和點(diǎn)M重合)時，HP最小,

即：點(diǎn)尸與點(diǎn)M重合，E。最小，最小值為"W,

過點(diǎn)。作OGJ_EF于G,

在Rt△￡>EG中，OE=8,NDEG=60°,

/.ZFDG=30°,

：.EG=-DE=A,

2

第25頁/總56頁

：?DG=MEG=4如,

VZF=180o-75o-60o=45o,Nz)G尸=90°

：.ZF=AGDF=ASo,

：?DG=GF=4心

ΛZ)F=√2∞=4√6

C.FH=DF-D∕7=4√6-8,

在Rt中，N尸=45°,

：.HM=^~FH=^-(4√6-8)=4√3-4版,

即：E。的最小值為4√^-4√^.

?4√3-4√2?

7.解：⑴ZDFC=ZDAHf

理由如下：?；/ADF+/DAH+N4OF+NDFO=360°,NADF=NAOF=9?！?

,NDAH+NDFO=180°,

又〈NDEO+NDEC=180°,

.?.ZDAH=ZDFC；

(2)①設(shè)N8。C=x。=NADE,

VZDBF=26o,∕FDB=90°,

ΛZDFB=64o,

VZBDC=XQ,

ΛZFDC=90o-xo=∕EDF,

β

.?∕EDF+/DEF=ZDFB9

Λ90o-χo+NDEF=64°,

ΛZDEF=Xo-26°,

：?/DEP=2/DEF=2x°-52°,

?*EG∕∕AB,

：.NADE=ZDEP,

：.x°=2xo-52o,

第26頁/總56頁

Λx=52,

.?.當(dāng)入射角/2。C為52°時，反射光線EG與48平行；

②左=2,

理由如下：VZDCF=1800-NCDF-NDFC,NEDF=NDFC-NDEC,ZEDF=ZCDF,

.?.NOCE=I80°-NDFC-(NDFC-NDEC)=I80°-2ADFC+ADEC,

'：ZDFC=ZOFH,ZOFH=900-ZOHF,

/.ZDCE=ISO0-2(90°-ZOHF)+ZDEC,

ZDCE-ADEC=IAOHF,

又?.?ZDCE-NDEC=kNOHF,

J.k=2.

8.證明：(1)-∕?ABC,4D8E都是等邊三角形，

：.AB=BC,BD=BE,NABC=NDBE=60°,

ZABD=ZCBE,

在AZBD和ACBE中，

,AB=CB

,ZABD=ZCBE)

BD=BE

,△4BDqACBE(SAS),

：.AD=CEi

(2)不存在,

理由如下：如圖3,過點(diǎn)、B作BNL4D于M過點(diǎn)B作LCE于"，

圖3

?.'∕?ABC,Z?O8E都是等邊三角形，

：.AB=BC,BD=BE,NABC=NDBE=6?！悖?/p>

第27頁/總56頁

.?.ZABD=ZCBE,

在BD和ACBE中，

,AB=CB

<ZABD=ZCBE)

BD=BE

；.AziBD名ACBE(SAS),

?,?AD-CE<S^ABD=S&CBE,NBAD=NBCE,

.?.^×AD×BN=-×CE×BH,

22

MBN=BH,

又YBF=BF,

：.RtABFN冬RtABFH(HL),

：.NAFB=NEFB,

:NBAD=NBCE,NCPF=NAPB,

：.ZAFC=ZABC=6Q°,

：.NAFB=NEFB=6Q°,

INCFB=NDFB=120°,

當(dāng)BF平分NC8。時，則ZCBF=NDBF,

：.NBCF=180o-ZCBF-ZCFB=180°-NDBF-NDFB=NADB,

：.ZDAB=ZADB,

:.AB=DB,與題干。B=ZBC=LB相矛盾，

22

尸不會平分NC8￡)；

(3)AF=CF+BF,

理由如下：如圖4,在“廠上截取MF=BF,連接BM,

圖4

第28頁/總56頁

；N4FB=6Q°,MF=FB,

，是等邊三角形，

：.MB=BF,NMBF=NABC=60°,

.?.Z.ABM=ZCBF,

在44ffΛ∕和4C8尸中，

'CB=AB

<ZABM=ZCBF-

,BM=BF

:.AABMQZXCBF(SAS),

IAM=CF,

:AF=AM+MF,

：.AF=CF+BF.

9.(1)證明：如圖1中，

：.CA=CE,NACD=NECB=90°,

:將C5繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D落在CE上,

.?.CD=CB,

：.XACD叁XECB(S4S),

/.N"NE,

VZA+ZADC=90°,NADC=NEDF,

.?.NE+NEDF=90°,

；.NEFD=90°,

第29頁/總56頁

：.AFLBE.

(2)解：如圖1中，連接CE結(jié)論：AF-EF=&CF.

理由：過點(diǎn)C作C7,CE交4F于T.

?：∕DFB+∕DCB=900+90°=180°,

ΛD,C,B9/四點(diǎn)共圓，

：?NDFC=∕DBC=45°,

VZFCΓ=90°,

：?NCTF=NCFT=45°,

：.CT=CF,FΓ=√2CF,

?：/ACE=/TCF=90°,

JZACT=ZECF,

λ

:CA=CEfCT=CFt

IXACT空XECF(SAS)f

：.AT=EF,

：?AF?EF=AF=AT=FT=MCF.

(3)解：如圖2中，設(shè)CB=BG=m.

YCB=BG=B'G,,B,G,//BC,

第30頁/總56頁

.?.四邊形CBG'B'是平行四邊形,

：.CB'=BG'，

：.CB'+CG'=CG'+G'B,

作點(diǎn)C關(guān)于直線GG'的對稱點(diǎn)7,連接87交GG'于G',此時CG'+G'8的值最小,

作777〃CG交GG'于H,設(shè)CT交G4于。.

"CO=OKΛTHO=Z.OGC,ZHOT=ZCOG,

.?.△77/0經(jīng)ZXCGO(AAS),

：.TH=CG=2m,OG=OH,

在RtZXCGO中，?：NCGO=NCBE=60°,CG=2m,

.,.0G=OH=CG?cos60°=m,

`:HT//BG,

.".HG1：GG'=HT：GB=2:1,

?*?HG1-?^~m>GG'=2√”,

33

近加,CK=2m-

過點(diǎn)G'作G'KLBG于K,則GK=工GG'=工加，G1K=

23333

√3

-GyK^

tanNGCG'

cκ-旦5

3m

10.解：(1)設(shè)C(O,m),

"A(-6,0),B(0,8),

??OA—6,OB=8,

由翻折的性質(zhì)可知，ZCDA=ZAOC=90°,OC=CD=m,

?：S"OB=S^AOC^S”CB,

C.L?OA?OB=^OC?OA+^?AB?CD,

222

Λ6×8=6∕M+10TH,

.,.m=3,

：.C(0,3).

第31頁/總56頁

(2)如圖2中,

圖2

由翻折的性質(zhì)可知，04=40=6,CO=OC=3,

*8=10,

：.BD=AB-AD=[O-6=4f

C-BDt48=4：10=2：5,

.*.SABoD=-9S^AOB=-×-×β×9,=—,

5525

VOC：OB=3：8,

._3

?*?SCDO=_S&BOD，

Δ8

u：OHLCD,

.?^L×3×OH=-×-,

285

5

(3)如圖3中，設(shè)尸(掰，").

第32頁/總56頁

圖3

:?SNOA=12,

ΛJ-×6×W=12,

2

??"=4,

???當(dāng)點(diǎn)P在線段44上時，PA=PB=5,此口寸P(3.4),

：.PD=AD-PA=6-5=1.

ΛCD+PZ)=3+1=4,

Λ∕=4(s)?

當(dāng)點(diǎn)P在線段CO上時，CP'=t,則有S四娜/08-S。C=S△尸04,

...2XLX3X6-LX6X(3-/)-?lχ衛(wèi)Xf=I2,

2225

.?t=-(s).

3

綜上所述，滿足條件的t的值為4s或工.

3

11.解：(1)：ZXZBC是等邊三角形，

ΛZABC=60°,

將PC繞點(diǎn)力按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到ANBO,連接心，如圖1所示：

則AAPD是等邊三角形，N4PC=N4DB=150°,PC=DB=4,

：.ZADP=60o,DP=AP=3,

：.NPDB=90°,

ΛPS=VDP2+DB2=√32+42^5≡

第33頁/總56頁

解：（2）將a∕P5繞點(diǎn)Z按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△/2'C,連接尸P,如答圖1所

75：

則是等邊三角形，N4P'C=∕∕P8=360°-90°-120°=150°,

：.PP'=AP,NAP'P=ZAPP1=60°,

：.ZPP'C=90O,ZP'PC=30°,

.,.PP'=U∑PC,BPAP=-^-PC,

22

VZAPC=90°,

.?AP2+PC2=AC2,即(叵PC)2+PC2^72,

2

ΛPC=2√7.

.,.JP=√21,

J.SΔAPC=^AP?PC=1-×√21X2√7=7√3;

(2)如答圖2中，把?繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到ABCD.

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知；BD=PA=↑,CD=CP=2?,NPCD=90°,

...△PCD是等腰直角三角形，

：.PD=nPC=近X2*l=4,NCDP=45°,

?.?PD2+BD2=42+12=17,PB2=(√17)2=17,

.?PD2+BD2=PB2,

：.NPDB=90°,

ΛZBDC=135",

ΛZJPC=ZCDB=135",

,：ZCPD=45°,

：.ZAPC+ZCPD=?^,0a,

：.A,P,。共線，

.,.AD=AP+PD=5,

第34頁/總56頁

在RtZ?∕O8中，=√22=√26.

^=√AD2+BD25+1

答圖2

答圖1

12.解：（1）①?.?Zk∕CB和△/<￡>E均為等邊三角形，

：.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60a,N4DE=N4ED=60°,

.,.NBAC-ZDAC=NDAE-NDAC,

即/民"）=NOE,

在aZBO和△&￡■中，

,AB=AC

<ZBAD=ZCAE.

AD=AE

；.AABDg"CE（SAS）,

：.BD=CE,NBDA=NCEA,

；點(diǎn)8,D,E在同一直線上，

.?.NZOB=180-60=120°,

ΛZAEC=UOQ,

.*.NBEC=ZAEC-ZAED=120-60=60°,

綜上，可得/ZEB的度數(shù)為60°；線段B。與CE之間的數(shù)量關(guān)系是：BD=CE.

②NBEC=NAEC-NAED=120-60=60。；

故8。=CE；60；