2022年北京啟蒙學(xué)校高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2022年北京啟蒙學(xué)校高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被問到是否去過B市時，甲說：我沒去過，乙說：丙去過，丙說：丁去過，丁說：我沒去過.在以上的回答中只有一人回答正確，且只有一人去過B市.根據(jù)以上條件，可以判斷去過B市的人是（

）A．甲

B．乙

C.丙

D．丁參考答案：A分析：利用反證法的思想對每個選項進(jìn)行逐一排除可得結(jié)果．詳解：假設(shè)甲去過B市，則甲、乙、丙說的都不正確，丁說的正確，符合題意．故A正確．假設(shè)乙去過B市，則甲、丁說的正確，乙、丙說的不正確，矛盾．故B不正確．假設(shè)丙去過B市，則甲、乙、丁說的正確，丙說的不正確，矛盾．故C不正確．假設(shè)丁去過B市，則甲、丙說的正確，乙、丁說的不正確，矛盾，故D不正確．故選A．

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)（

）A.i B.－i C. D.參考答案：A【分析】利用等式把復(fù)數(shù)z計算出來，然后計算z的共軛復(fù)數(shù)得到答案.【詳解】，則.故選A【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計算和共軛復(fù)數(shù),意在考查學(xué)生對于復(fù)數(shù)的計算能力和共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于簡單題.3.在等比數(shù)列{an}中，如果a3?a4=5，那么a1?a2?a5?a6等于（）A．25 B．10 C．﹣25 D．﹣10參考答案：A【考點】等比數(shù)列的通項公式．【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：a1?a6=a2?a5=a3?a4=5，代入可得答案?。窘獯稹拷猓河傻缺葦?shù)列的性質(zhì)可得：a1?a6=a2?a5=a3?a4=5，故a1?a2?a5?a6=5×5=25故選A4.極坐標(biāo)方程ρ2cos2θ=1所表示的曲線是()A．圓 B.兩條相交直線

C.橢圓

D.雙曲線參考答案：D5.的值為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A略6.如果一個空間幾何體的主視圖與左視圖為全等的等邊三角形，俯視圖為一個半徑為1的圓及其圓心，那么這個幾何體的全面積為(

)A、

B、

C、

D、參考答案：B略7..函數(shù)=，若方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A.（－∞，1） B.（－∞，1]C.（0，1） D.[0，+∞）參考答案：A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)，畫出函數(shù)的圖像，結(jié)合函數(shù)和的圖像有且只有兩個交點，來求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，故.當(dāng)時，，故.以此類推，當(dāng)時，.由此畫出函數(shù)和的圖像如下圖所示，由圖可知的取值范圍是時，和的圖像有且僅有兩個交點.即方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根.故本小題選A.【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)解析式的求法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查方程的根和函數(shù)的零點問題，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.8.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若=(

)A．1 B．﹣1 C．2 D．參考答案：A【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】充分利用等差數(shù)列前n項和與某些特殊項之間的關(guān)系解題．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故選A．【點評】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項和公式以及等差中項的綜合應(yīng)用，已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則有如下關(guān)系S2n﹣1=（2n﹣1）an．9.某地區(qū)為了綠化環(huán)境進(jìn)行大面積植樹造林，如圖所示，在區(qū)域{（x，y）|x≥0，y≥0}內(nèi)植樹，第1棵樹在點A1（0，1）處，第2棵樹在點B1（1，1）處，第3棵樹在點C1（1，0）處，第4棵樹在點C2（2，0）處，接著按圖中箭頭方向每隔1個單位種1棵樹．第n棵樹所在點的坐標(biāo)是（46，0），則n=（）A．1936 B．2016 C．2017 D．2208參考答案：D【考點】歸納推理．【分析】將OA1B1C1設(shè)為第一個正方形，種植3棵樹，依次下去，歸納出第二個正方形，第三個正方形種植的棵樹，由第n棵樹所在點坐標(biāo)是（46，0），可求n．【解答】解：OA1B1C1設(shè)為第一個正方形，種植3棵樹，依次下去，第二個正方形種植5棵樹，第三個正方形種植7棵樹，構(gòu)成等差數(shù)列，由第n棵樹所在點坐標(biāo)是（46，0），則n=46×3+×2=2208棵樹．故選D10.袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為（）A． B． C． D．1參考答案：B【考點】古典概型及其概率計算公式．【分析】首先判斷這是一個古典概型，從而求基本事件總數(shù)和“所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球”事件包含的基本事件個數(shù)，容易知道基本事件總數(shù)便是從15個球任取2球的取法，而在求“所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球”事件的基本事件個數(shù)時，可利用分步計數(shù)原理求解，最后帶入古典概型的概率公式即可．【解答】解：這是一個古典概型，從15個球中任取2個球的取法有；∴基本事件總數(shù)為105；設(shè)“所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球”為事件A；則A包含的基本事件個數(shù)為=50；∴P（A）=．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11..二項式的展開式中的常數(shù)項是_______.（用數(shù)字作答）參考答案：60【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式求解.【詳解】有題意可得，二項式展開式的通項為：令可得，此時.【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，考查通項公式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12.如圖，AB是⊙O的直徑，∠E=25°，∠DBC=50°，則∠CBE=________

．參考答案：57.50

13.某地區(qū)為了了解70～80歲老人的日平均睡眠時間(單位：h)，隨機(jī)選擇了50位老人進(jìn)行調(diào)查．下表是這50位老人日睡眠時間的頻率分布表.

序號(I)分組(睡眠時間)組中值(GI)頻數(shù)(人數(shù))頻率(FI)1[4,5)4.560.122[5,6)5.5100.203[6,7)6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9]8.540.08在上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析中，一部分計算見流程圖，則輸出的S的值是________．參考答案：6.4214.某校開設(shè)A類選修課3門，B類選擇課4門，一位同學(xué)從中共選3門.若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有

種（用數(shù)字作答）。參考答案：30略15.已知直線3x+4y﹣3=0與6x+my+14=0相互平行，則它們之間的距離是_____．參考答案：2【分析】由兩直線平行，可先求出參數(shù)的值，再由兩平行線間距離公式即可求出結(jié)果.【詳解】因為直線，平行，所以，解得，所以即是，由兩條平行線間的距離公式可得.故答案為2【點睛】本題主要考查兩條平行線間的距離，熟記公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.16.已知x，y∈R+，且x+4y=1，則x?y的最大值為．參考答案：【考點】基本不等式．【分析】變形為x與4y的乘積，利用基本不等式求最大值【解答】解：，當(dāng)且僅當(dāng)x=4y=時取等號．故應(yīng)填．17.

四棱錐的三視圖如右圖所示,四棱錐的五個頂點都在一個球面上，、分別是棱、的中點，直線被球面所截得的線段長為，則該球表面積為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的右焦點為，離心率為，設(shè)直線的斜率是，且與橢圓交于，兩點．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（Ⅱ）若直線在軸上的截距是，求實數(shù)的取值范圍．（Ⅲ）以為底作等腰三角形，頂點為，求的面積．參考答案：見解析（Ⅰ）由已知得，，解得：，又，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（Ⅱ）若直線在軸上的截距是，則可設(shè)直線的方程為，將代入得：，，解得：，故實數(shù)的取值范圍是：．（Ⅲ）設(shè)、的坐標(biāo)分別為，的中點為，則，，，，因為是等腰的底邊，所以，∴，∴，解得：，∴，，∴．19.已知一次函數(shù)f(x)滿足，．（1）求這個函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)，求函數(shù)g(x)的零點．參考答案：（1）（2）零點是和．【分析】（1）設(shè)，代入數(shù)據(jù)得到解得答案.（2）函數(shù)，當(dāng)時解得答案.【詳解】解：（1）設(shè)由條件得：，解得，故；（2）由（1）知，即，令，解得或，所以函數(shù)的零點是和．【點睛】本題考查了一次函數(shù)，函數(shù)的零點，意在考查學(xué)生的計算能力.20.已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S3=0，S5=﹣5．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{}的前n項和．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）設(shè)出等差數(shù)列{an}的首項和公差，直接由S3=0，S5=﹣5列方程組求出，然后代入等差數(shù)列的通項公式整理；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的通項公式，代入數(shù)列{}的通項中進(jìn)行列項整理，則利用裂項相消可求數(shù)列{}的前n項和．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則．由已知可得，即，解得a1=1，d=﹣1，故{an}的通項公式為an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）?（﹣1）=2﹣n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知．從而數(shù)列{}的前n項和Sn==．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．21.已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是（﹣，0），（，0），并且經(jīng)過點（，）．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為k的直線l經(jīng)過點（0，﹣2），且與橢圓交于不同的兩點A、B，求△OAB面積的最大值．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，在求a時利用橢圓的定義比較簡單；（2）利用弦長公式先求出|AB|，然后利用面積公式構(gòu)建關(guān)于斜率k的函數(shù)，通過換元法利用基本不等求△OAB面積的最大值．【解答】解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由橢圓的定義可得．∴，又，∴b=1，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)直線l的方程為y=kx﹣2，由，得（1+3k2）x2﹣12kx+9=0，依題意△=36k2﹣36＞0，∴k2＞1（*）

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，∴，由點到直線的距離公式得，∴．

設(shè)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式取等號，所以，△OAB面積的最