2022年湖南省長沙市寧鄉(xiāng)縣第十三高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

2022年湖南省長沙市寧鄉(xiāng)縣第十三高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AC=2，AB=1，∠BAC=60°，則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為（）A．13π B．14π C．15π D．16π參考答案：D【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】求出BC，可得△ABC外接圓的半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積．【解答】解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=60°，∴由余弦定理可得BC=，∴△ABC外接圓的半徑為1，設(shè)球心到平面ABC的距離為d，則由勾股定理可得R2=（）2+12=4，∴三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為4πR2=16π．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定三棱錐P﹣ABC的外接球的半徑是關(guān)鍵．2.執(zhí)行右圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A略3.與方程θ=（ρ≥0）表示同一曲線的是（）A．θ=（ρ∈R） B．θ=（ρ≤0） C．θ=（ρ∈R） D．θ=（ρ≤0）參考答案：B【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】方程θ=（ρ≥0）表示過極點(diǎn)且與極軸的夾角為的射線，進(jìn)而得出答案．【解答】解：方程θ=（ρ≥0）表示過極點(diǎn)且與極軸的夾角為的射線，而（ρ≤0）也表示此曲線．故選：B．4.已知，其中為虛數(shù)單位，則（

）A.

B.

C. D.

參考答案：D略5.下列命題與“”的表述方法不同的是

（

）A.有一個(gè)使得；

B.有些，使得；C.任選一個(gè)使得；

D.至少有一個(gè)使得。參考答案：C略6.點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線x+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A．(6,-3)

B．(3,-6)

C．(-6,-3)

D．(-6,3)參考答案：C7.兩條平行直線3x﹣4y+12=0與3x﹣4y﹣13=0間的距離為（）A． B． C． D．5參考答案：D【考點(diǎn)】兩條平行直線間的距離．【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；方程思想；直線與圓．【分析】直接利用平行線之間的距離公式求解即可．【解答】解：兩條平行直線3x﹣4y+12=0與3x﹣4y﹣13=0間的距離為：=3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線之間的距離公式的求法，考查計(jì)算能力．8.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則m=A.0 B.3 C.0或3 D.4參考答案：B因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，，且，所以，故選B.9.記集合A={（x，y）|x2+y2≤16}，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，（x，y）∈A}表示的平面區(qū)域分別為Ω1，Ω2．若在區(qū)域Ω1內(nèi)任取一點(diǎn)P（x，y），則點(diǎn)P落在區(qū)域Ω2中的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】幾何概型．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】由題意，根據(jù)幾何概型的公式，只要求出平面區(qū)域Ω1，Ω2的面積，利用面積比求值．【解答】解：由題意，兩個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的圖形如圖，其中，，由幾何概型的公式可得點(diǎn)P落在區(qū)域Ω2中的概率為；故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何概型的概率求法，解答本題的關(guān)鍵是分別求出平面區(qū)域Ω1，Ω2的面積，利用幾何概型公式求值．10.若直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則下列結(jié)論正確的是（A）

（B）（C）

（D）參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.命題“使”的否定是

.參考答案：略12.（理）已知，，，若、、共同作用于一個(gè)物體上，使物體從點(diǎn)（1，-2，1）移到點(diǎn)（3，1，-2），則合力所做的功為

.參考答案：413.已知直線過點(diǎn),直線過點(diǎn),若,則常數(shù)的值是

.參考答案：14.若函數(shù),則的值為__________．參考答案：3【分析】先求，把代入可得.【詳解】，，，，故填3.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，明確是一個(gè)常數(shù)是求解本題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15.若數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，則a6=

．參考答案：11【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知，直接利用a6=S6﹣S5求得答案．【解答】解：由，得．故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的項(xiàng)的方法，是基礎(chǔ)題．16.若曲線在點(diǎn)P處的切線平行于直線，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______.參考答案：（1，0）試題分析：設(shè)點(diǎn)，則，即.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.17.兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別是

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.若實(shí)數(shù)滿足，求證：參考答案：略19.中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且．（1）求角的大小；（2）若為邊上的中線，，，求的面積．參考答案：（1），由正弦定理，得，…………3分又∵，∴．……5分（2）在中，由余弦定理得，∴…①，………………8分在中，由正弦定理得，由已知得.∴，∴……②，由①，②解得，……………………10分∴．………………12分20.（本小題12分）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=n2＋n,試問是否存在常數(shù)p，q，使等式并用數(shù)學(xué)歸納法證明，若不存在說明理由。

參考答案：令n=1，2，得方程組,即有p+q=8,4p+2q=22,解得p=3,q=5∴用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：(2)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=，右邊=故等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即當(dāng)n=k＋1時(shí)，＝＝即n=k+1時(shí)等式成立。由（1），（2）可知對(duì)一切自然數(shù)n，等式都成立。21.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣x（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的極值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）在x=1處取得極大值，f（x）極大值=f（1）=﹣1．22.已知全