河南省鄭州市鄭東新區(qū)玉溪初級中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

--2024學(xué)年上學(xué)期第一學(xué)月學(xué)情調(diào)研九年級數(shù)學(xué)試題卷（時間：90分鐘分值：120分形式：閉卷）一、選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．下列等式是一元二次方程的是（）A．（為常數(shù)） B．C． D．2．菱形的兩條對角線長分別為6和10，則該菱形的面積為（）A．12 B．24 C．30 D．363．方程的根為（）A．，B．，C． D．4．在平行四邊形中，增加一個條件，使得這個四邊形是菱形，那么增加的條件可以是（）A．對角線相等 B．有一個內(nèi)角為 C．一組對邊相等 D．對角線相互垂直5．若關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值是（）A． B． C．3 D．6．在數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們判斷一個由四根木條組成的四邊形是否為矩形，下面是一個學(xué)習(xí)小組擬定的方案，其中正確的方案是（）A．測量四邊形的三個角是否為直角 B．測量四邊形的兩組對邊是否相等C．測量四邊形的對角線是否互相平分 D．測量四邊形的其中一組鄰邊是否相等7．將方程配方成的形式，下列配方結(jié)果正確的是（）A． B． C． D．8．若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則常數(shù)的值可以是（）A． B． C． D．9．下列四個命題：①一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；②一組對邊平行，一條對角線平分另一條對角線的四邊形一定是平行四邊形；③對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；④一組對角互補的平行四邊形是矩形．其中真命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．410．如圖，四邊形是矩形，，，點P是邊上一點（不與點A，D重合），連接．點M，N分別是的中點，連接，，，點E在邊上，，則的最小值是（）A． B．3 C． D．二、填空題（5小題，每小題3分，共15分）11．用配方法解方程時，方程的兩邊同時加上，使得方程左邊配成一個完全平方式．12．如圖，菱形的兩條對角線，交于點，若，，則菱形的面積為．13．若關(guān)于的一元二次方程有一個根為，則實數(shù)的值為．14．如圖，中，，，，D是上一動點，過點D作于點E，于點F，連接，則線段的最小值是.15．如圖，在矩形中，點為矩形內(nèi)一點，且，，則四邊形的面積是．三、解答題（8小題，共75分）16．（12分）解方程：（1）x2﹣144＝0．（2）（3）；（4）17．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）當(dāng)時，判斷方程根的情況；（2）當(dāng)時，求方程的根．18．（8分）如圖，菱形的對角線交于點O，且，連接．（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）若，求的長．19．（9分）如圖，折疊矩形的一邊，使點落在邊的點處，已知，，求：（1）線段的長；（2）線段的長．20．（9分）如圖是一個9×8的網(wǎng)格圖，每個小正方形的邊長均為1，每一個小正方形的頂點叫做格點．圖中已畫出了和線段，其端點A、B、E、G均在小正方形的頂點上，請按要求畫出圖形．（1）畫出以為邊的正方形；（2）畫一個以為一條對角線的菱形．21．（9分）已知：如圖，在菱形中，點，，分別為，，的中點，連接，，，．（1）求證：；（2）當(dāng)時，請判斷四邊形的形狀，并說明理由．22．（10分）如圖，學(xué)校準(zhǔn)備在圍墻邊用柵欄圍成一個矩形場地（靠墻一面不用柵欄），用于修建自行車棚，若所用柵欄的總長度為34米，墻的最大可用長度為18米，為了出入方便，在垂直于墻的一邊留了一個2米寬的門（門用其他材料），設(shè)柵欄的長為x米，解答下列問題：（1）________米．（用含x的代數(shù)式表示）（2）若圍成的自行車棚的面積為平方米，求柵欄的長．（3）圍成的自行車棚的面積能為平方米嗎？請說明理由．23．（10分）【問題情境】如圖1，點為正方形內(nèi)一點，，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到（點的對應(yīng)點為點），延長交于點，連接．【猜想證明】（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）如圖2，若，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；【解決問題】（3）如圖1若，，求．第一次月考卷答案一、選擇題（10小題，每小題2分，共20分）1．【答案】C【分析】只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程，其基本形式為．根據(jù)一元二次方程的定義逐項分析判定即可．【詳解】解：A.（為常數(shù)），若，則該方程不是一元二次方程，故不符合題意；B.可整理得，不是一元二次方程，故不符合題意；C.，是一元二次方程，符合題意；D.，不是整數(shù)方程，故不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，理解并掌握一元二次方程的定義是解題關(guān)鍵．2．【答案】C【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半進行計算即可．【詳解】解：由題意，得：該菱形的面積為；故選C．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半．3．【答案】B【分析】利用直接開方法即可求解．【詳解】解：，開方得：，解得：，，原方程的解為，，故選B．【點睛】本題考查了直接開方法解一元二次方程，熟練掌握其方法是解題的關(guān)鍵．4．【答案】D【分析】根據(jù)菱形的判定進行解答即可．【詳解】解：A．對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項不符合題意；B．有一個內(nèi)角為的平行四邊形是矩形，故選項不符合題意；C．平行四邊形的對邊本來就是相等的，故選項不符合題意；D．對角線相互垂直的平行四邊形是菱形，故選項符合題意．故選：D．【點睛】此題考查了菱形的判定、矩形的判定等知識，熟練掌握菱形的判定是解題的關(guān)鍵．5．【答案】D【分析】先二次項化系數(shù)為1，將常數(shù)項移到方程的右邊，然后方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半，即可求解．【詳解】解：，二次項化系數(shù)為1得：，移項得：，配方得：，整理得：，故選：D．6．【答案】A【分析】根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：A、測量其中三個角是否為直角，能判定矩形，符合題意；B、測量兩組對邊是否相等，能判定平行四邊形，不符合題意；C、測量對角線是否相互平分，能判定平行四邊形，不符合題意；D、測量四邊形的其中一組鄰邊是否相等，不能判定形狀，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查的是矩形的判定定理，牢記矩形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵，難度較小．7．【答案】D【分析】先二次項化系數(shù)為1，將常數(shù)項移到方程的右邊，然后方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半，即可求解．【詳解】解：，二次項化系數(shù)為1得：，移項得：，配方得：，整理得：，故選：D．【點睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．8．【答案】D【分析】先把方程化為一般式，再根據(jù)兩個不相等的實數(shù)根得到判別式大于零，解出不等式的解集，從而可對各項進行判斷．【詳解】解：方程化為一般式為，根據(jù)題意得：，解得：，所以的值可以是，故選：．【點睛】本題考查了根的判別式，熟練掌握一元二次方程的根與有如下關(guān)系：時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；時，方程有兩個相等的實數(shù)根；時，方程無實數(shù)根，是解答本題的關(guān)鍵．9．【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和矩形的判定進行判斷即可．【詳解】解：①一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，可能是等腰梯形，故①為假命題；②如圖：在四邊形中，，平分，∴，又，∴，∴，又，∴四邊形為平行四邊形；∴一組對邊平行，一條對角線平分另一條對角線的四邊形一定是平行四邊形，是真命題；③對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，為真命題；④根據(jù)平行四邊形的對角相等和一組對角互補，可得，平行四邊形的一個內(nèi)角為直角，所以一組對角互補的平行四邊形是矩形．是真命題；故選C．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和矩形的判定方法．熟練掌握平行四邊形的判定和矩形的判定方法是解題的關(guān)鍵．10．【答案】C【分析】根據(jù)直線三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，，通過證明四邊形是平行四邊形，可得，則，作點C關(guān)于直線的對稱點M，則，點B，P，M三點共線時，的值最小，最小值為．【詳解】解：四邊形是矩形，，，點M，N分別是的中點，，，，，，，，又，四邊形是平行四邊形，，，如圖，作點C關(guān)于直線的對稱點M，連接，，則，當(dāng)點B，P，M三點共線時，的值最小，最小值為，在中，，，，的最小值，故選C．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，直線三角形斜邊中線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，線段的最值問題等，解題的關(guān)鍵是牢固掌握上述知識點，熟練運用等量代換思想．二、填空題（6小題，每小題2分，共16分）11．【答案】9【分析】要使方程左邊配成一個完全平方式，需要等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．據(jù)此即可得到答案．【詳解】解：，，，，即方程的兩邊同時加上9，使得方程左邊配成一個完全平方式，故答案為：9．【點睛】本題考查的是解一元二次方程——配方法，此類題型解題的關(guān)鍵是方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．12．【答案】【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半進行求解即可．【詳解】解：∵菱形的兩條對角線，交于點，，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，熟知菱形面積計算公式是解題的關(guān)鍵．13．【答案】【分析】將代入方程得關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有一個根為，故將代入，得：，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義，解一元一次方程，掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．14．【答案】【分析】連接，根據(jù)，得到，結(jié)合得到四邊形是矩形，即可得到，結(jié)合點到直線距離垂線段最短得到時最小即可得到答案；【詳解】解：連接，∵，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴時最小，∵，，∴，∵，∴，解得：，故答案為：；【點睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，點到直線的距離，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)矩形性質(zhì)得到時最?。?5．【答案】【分析】如圖，連接，由勾股定理得，，由，可知，則，，，如圖，作交于，使，作于，則，，，則，，由勾股定理得，，則，，解得，，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，由勾股定理得，，∵，∴，∴，，，如圖，作交于，使，作于，則，，，∴，∴，由勾股定理得，，∴，∴，解得，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，含的直角三角形，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于正確表示四邊形面積．三、解答題（9小題，共64分）16．【答案】（1），（2）【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：整理得，，∴，則或，解得，，（2）∵，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的各種方法并靈活選擇是解題的關(guān)鍵．17．【答案】（1）方程沒有實數(shù)根（2）【分析】（1）利用判別式的符號，來判斷方程根的情況；（2）利用因式分解法，解一元二次方程．【詳解】（1）解：當(dāng)時：方程為：，，，方程沒有實數(shù)根；（2）解：當(dāng)時，方程為：，，解得：．【點睛】本題考查一元二次方程根與判別式，以及解一元二次方程；熟練掌握判別式與根的個數(shù)的關(guān)系，以及因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．18．【答案】（1）矩形，見解析（2）6【分析】（1）先證明四邊形為平行四邊形，由菱形的性質(zhì)可證明，從而可證明四邊形是矩形；（2）依據(jù)矩形的性質(zhì)可得到，然后依據(jù)菱形的性質(zhì)可得到，得即可．【詳解】（1）解：四邊形是矩形．理由如下：，∴四邊形是平行四邊形，又∵菱形對角線交于點O，∴，即，∴四邊形是矩形；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，∵四邊形是菱形，∴．∴．19．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)求得，在中，勾股定理即可求解；（2）設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理建立方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵折疊矩形的一邊，使點落在邊的點處，，，∴，在中，∴；（2）解：設(shè)，由折疊的性質(zhì)可得，，在中，，∴，解得．即的長為．【點睛】本題考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．20．【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】（1）在A、B左側(cè)兩個單位，上方一個單位找到格點C、D即可；（2）利用菱形的性質(zhì)，即可求解；【詳解】（1）解：如圖所示，四邊形就是所求作正方形；（2）解：如圖所示，菱形為所求．【點睛】本題考查了網(wǎng)格作圖，解題關(guān)鍵是熟練運用正方形、菱形、全等三角形的性質(zhì)進行畫圖．21．【答案】（1）見解析（2）當(dāng)時，四邊形是正方形，理由見解析【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出，，由已知證出，由證明即可；（2）由三角形中位線定理證出，，，得到，證出四邊形是菱形，再證出，四邊形是正方形．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，，∵點，，分別為，，的中點，∴，在和中，，∴；（2）解：當(dāng)時，四邊形是正方形，理由如下：∵四邊形是菱形，∴，，∵點，，分別為，，的中點，∴，，，，∴，∴四邊形是菱形，∵，，∴，∴，∴四邊形是正方形．【點睛】本題考查了正方形的判定、菱形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵．22．【答案】（1）（2）柵欄的長為14米（3）自行車棚的面積不能為平方米，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意，可知且有，整理即可得出用含的代數(shù)式表示矩形的長的式子；（2）根據(jù)矩形場地面積為平方米列出方程，解出此時的值然后求出柵欄的長即可；（3）根據(jù)矩形場地面積為平方米列出方程，再根據(jù)一元二次方程的根的判別式即可得出答案．【詳解】（1）解：依題意得：，，米，故答案為：；（2）解：根據(jù)圖形，可列方程