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文檔簡介
2023-2024學年河北省衡水市棗強縣棗強中學高二數(shù)學第一學期期末經(jīng)典試題
考生須知:
1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色
字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。
2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。
3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1.已知點A為雙曲線V—/=i的左頂點,點5和點。在雙曲線的右分支上,AABC是等邊三角形,則AABC的面
積是
A.BB,正
32
C.3A/3D.6V3
2.等差數(shù)列{4}的首項為正數(shù),其前"項和為S”.現(xiàn)有下列命題,其中是假命題的有。
A.若S“有最大值,則數(shù)列{4}的公差小于0
B.若4+%3=°,則使E,>0的最大的n為18
C.若為〉°,%+%o<°,則{S“}中£最大
D.若名〉。,。9+%0<°,則數(shù)列中的最小項是第9項
3.定義在尺上的函數(shù)〃無)的導函數(shù)為/'(x),若對任意實數(shù)x,有/(%)>/'(%),且〃龍)+1
為奇函數(shù),則不等式/(%)+/<0解集是
A.(YO,0)B.(0,+oo)
4.已知牡〃是兩條不同的直線,。,分是兩個不同的平面,則下列結(jié)論正確的是O
A.若加//“,〃//1,則〃z//eB若mlla,ml10,則。//月
C若mlla,m工/3,則T)若a10,m//a,n/10,貝!
22
5.已知雙曲線云=1(。〉0/〉0)左右焦點為月,F(xiàn)2,過&的直線與雙曲線的右支交于P,。兩點,且
PF2=2F2Q,若△「口耳為以。為頂角的等腰三角形,則雙曲線的離心率為()
A.幣B.-^2
C.叵D.73
3
6.數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合也可以組成世間萬物的絢麗畫面,-些優(yōu)美的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的產(chǎn)物.曲線C:
(匹+)為四葉玫瑰線.
y23=16X2y2
①方程(V+V)3=i6x2y2(孫<0)表示的曲線在第二和第四象限;
②曲線C上任一點到坐標原點0的距離都不超過2;
③曲線c構(gòu)成的四葉玫瑰線面積大于4兆;
④曲線C上有5個整點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點).
則上述結(jié)論中正確的個數(shù)是()
A.lB.2
C.3D.4
7.已知向量a=(—L2,l),Z?=(l,l,-1),則以下說法不正確的是()
A.tzlZ?B.|a|〉W
C.cos(a+b,a,)=D.|a+Z?|=|a-&|
22
8.已知方程上一+工=1表示的曲線是焦點在x軸上的橢圓,貝〃的取值范圍
10-//-4
A.(4,7)B.(4,7)1.(7,10)
C.(7,10)D.(4,10)
9.已知命題p:VneN*,n2>n-l>則命題p的否定可為。
A.VnGN*>YT<n-ln2<n-l
C.BneN*?rr<n—1D.3neN*,rr<n—l
10.在空間直角坐標系。-孫Z中,已知點”是點N(3,4,5)在坐標平面O町內(nèi)的射影,則的坐標是()
A.(3,0,5)B.(0,4,5)
C.(3,4,0)D.(0,0,5)
11.已知函數(shù)八%)的導函數(shù)為1(%),若y=/'(X)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=/(x)的圖象可能是()
12.已知動直線/:x+my-2=0的傾斜角的取值范{圍n是n匕\,則實數(shù)機的取值范圍是。
I3J
C.$1D.(1,V3)
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.狄利克雷(Dirichlet,PeterGustavLejeune,1805~1859)是十九世紀德國杰出的數(shù)學家,對數(shù)論、數(shù)學分析
l,xeQ
和數(shù)學物理有突出貢獻.狄利克雷曾提出了“狄利克雷函數(shù),,D(x)=若/(無)=2工,根據(jù)“狄利克雷函數(shù)”可求
0,xe^Q
/[D(V2022)]=.
22
14.已知橢圓=+2r=1(?!?〉0)的左、右焦點分別為月、工,關(guān)于原點對稱的點4、8在橢圓上,且滿足
ab
JTJT
|A3|=|片閶,若令N耳鉆=。且,則該橢圓離心率的取值范圍為
15.設(shè)Sn是等差數(shù)列{詼}的前“項和,若數(shù)列{%}滿足an+SnUA/+BM+C且A>0,則工+8-C的最小值為
A
16.已知直線4:x=-1,l2:y=x+l,P為拋物線C:/=4x上一點,則P到這兩條直線距離之和的最小值為
三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(12分)用長度為80米的護欄圍出一個一面靠墻的矩形運動場地,如圖所示,運動場地的一條邊記為x(單位:
米),面積記為S(單位:平方米)
墻
(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系;
(2)求S的最大值
18.(12分)已知在長方形A3C。中,AD=2AB=2y/2,點E是AO的中點,沿BE折起平面ABE,使平面ABEL平
面BCDE.
(1)求證:在四棱錐中,ABLAC.
(2)在線段AC上是否存在點尸,使二面角的余弦值為好?若存在,找出點尸的位置;若不存在,說明理
5
由.
19.(12分)已知橢圓C對稱中心在原點,對稱軸為坐標軸,且B—與1兩點
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)M、N分別為橢圓與x軸負半軸、y軸負半軸的交點,P為橢圓上在第一象限內(nèi)一點,直線與y軸交于點S,
直線PN與x軸交于點T,求證:四邊形MSTN的面積為定值
20.(12分)如圖,直角梯形AEfB與菱形所在平面互相垂直,AE〃班AELAB,AB^AE=2,BF=1,
/ABC=120°,M為40中點.
(1)證明:直線5M〃面。底尸;
(2)求二面角"—EC—E的余弦值.
21.(12分)已知A,3兩地的距離是130加.根據(jù)交通法規(guī),A,3兩地之間的公路車速v(單位:km/h)應滿
(尤3、
足丫目50,100].假設(shè)油價是7元/乙以或加/〃的速度行駛時,汽車的耗油率為3+—L/h,當車速為80碗/〃時,
Ik)
汽車每小時耗油13L,司機每小時的工資是91元.
(1)求女的值;
(2)如果不考慮其他費用,當車速是多少時,這次行車的總費用最低?
22.(10分)某校從高三年級學生中隨機抽取100名學生的某次數(shù)學考試成績,將其成績分成[50,60),[60,70),
[70,80),[80,90),[90,100]的5組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求圖中工的值;
(2)估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù);
(3)若成績在[50,60)內(nèi)的學生中男生占40%.現(xiàn)從成績在[50,60)內(nèi)的學生中隨機抽取2人進行分析,求2人中恰
有1名女生的概率.
參考答案
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1、C
【解析】設(shè)點3在x軸上方,由AABC是等邊三角形得直線AB斜率左=3.
3
又直線過4(-1,0)點,故方程為了=¥^+^.
代入雙曲線方程V-y=1,得點3的坐標為(2,6).
同理可得,點C的坐標為(2,-』).
故AABC的面積為[2-(-1)]G=3石,選C.
2、B
【解析】由s“有最大值可判斷A;由0+43=佝+40=0,可得出〉0,%0<°,利用S18=%;弓°義18可判斷
BC;%〉0,。9+%0<°得%〉°,|?g|=?9<-ai0=|a10|,
可判斷D.
【詳解】對于選項A,TS"有最大值,二等差數(shù)列{4}一定有負數(shù)項,
.?.等差數(shù)列{4}為遞減數(shù)列,故公差小于0,故選項A正確;
對于選項B,V&+%3=。9+%0=°,且。1〉0,
。9〉0,旬〈0,
.\S17=17?9>0,%=殳1-18=0,
則使S〃>o的最大的〃為17,故選項B錯誤;
對于選項C,,:%〉0,。9+。10<0,
丹〉0,q()<0,
故{S,}中S9最大,故選項c正確;
對于選項D,Va9>Q,佝+%o<0,
?*.o9>0,\ag\=ag<-al0=|a10|,
故數(shù)列{|。」}中的最小項是第9項,故選項D正確.
故選:B.
3、B
【解析】設(shè)g(x)=/^.由〃%)〉廣(%),得=故函數(shù)g(x)在尺
ex(e]e
上單調(diào)遞減.由/(%)+1為奇函數(shù)〃o)=—I,所以g(o)=*=—l.不等式/(x)+/<0等價于歲<—1,
即g(x)<g(。),結(jié)合函數(shù)g(x)的單調(diào)性可得x>0,從而不等式/■(%)+6、<。的解集為(0,+0)),故答案為B.
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
【方法點晴】本題考查了導數(shù)的綜合應用及函數(shù)的性質(zhì)的應用,構(gòu)造函數(shù)的思想,閱讀分析問題的能力,屬于中檔題.常
見的構(gòu)造思想是使含有導數(shù)的不等式一邊變?yōu)椋?(%)>/'(x)得——?一「,,當是形如,?.:「時
構(gòu)造g(x)=〃:);當是,?一、時構(gòu)造遍前=£,*?一‘,在本題中令g(x)=/^,(:).從而求導
flV<:u,從而可判斷=g單調(diào)遞減,從而可得到不等式的解集
4、C
【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,逐一核對四個選項得答案
【詳解】解:對于A:若,〃//",〃//&,則機//1或mutz,故A錯誤;
對于B:若mlla,ml1/3,則。///或。與£相交,故B錯誤;
對于C:若加//以加,,,根據(jù)面面垂直的判定定理可得故C正確;
對于D:若戊_1尸,加//。,〃///則加與〃平行、相交、或異面,故D錯誤;
故選:C
5、C
【解析】由雙曲線的定義得出尸耳。中各線段長(用。表示),然后通過余弦定理得出的關(guān)系式,變形后可得離心
率
【詳解】由題意耳閶=|PQ|—|Q閭=|尸閭=2a,
又PFa=2FQ,所以|叫=a,從而4|=3a,|尸制=4a,|P9=3a,
△尸片心中,cos/4產(chǎn)工=(4a)2+(2.)2—(2c)2=5〃二片,
2X4QX2〃4a2
咫Q中產(chǎn)I_2_a__2f
3a3
所以正J=2,7/=3C2,所以e=£=4H,
4a23a3
故選:C
6、B
【解析】對于①,由孫<0判斷,對于②,利用基本不等式可判斷,對于③,以。為圓心,2為半徑的圓的面積與曲
線C圍成的面積進行比較即可,對于④,將必+/=4和(/+,2)3=16/3;2聯(lián)立,求解出兩曲線的切點,從而可判
bkr*
斷
【詳解】對于①,由肛V。,得羽丁異號,方程(X2+/)3=16%2,2(孫<0)關(guān)于原點及產(chǎn)工對稱,
所以方程(/+產(chǎn))3=16/y2(到〈0)表示的曲線在第二和第四象限,所以①正確,
22『十"22
對于②,因為X+y>2xy(x>0,丁〉0),所以孫(,所以(/+/y=仄/產(chǎn)<i6.d=4(x+/),
-24
所以/+/<4,所以由曲線的對稱性可知曲線C上任一點到坐標原點0的距離都不超過2,所以②正確,
對于③,由②可知曲線C上到原點的距離不超過2,而以。為圓心,2為半徑的圓的面積為4萬,所以曲線C構(gòu)成的四
葉玫瑰線面積小于4%,所以③錯誤,
對于④,將好+/=4和(/+必)3=16/,2聯(lián)立,解得了2=,2=2,所以可得圓一產(chǎn)+丁=4與曲線C相切于點
(也,也),(-72,72),(-叵-回,(、£-JI),而點(1,1)不滿足曲線方程,所以曲線在第一象限不經(jīng)過任
何整數(shù)點,由曲線的對稱性可知曲線在其它象限也不經(jīng)過任何整數(shù)點,所以曲線C上只有1個整點(0,0),所以④錯
誤,
故選:B
7、C
【解析】可根據(jù)已知的。和b的坐標,通過計算向量數(shù)量積、向量的模,即可做出判斷.
【詳解】因為向量a=(—L2,l),b=(1,1-1),所以a?6=—lxl+2xl+lx(—l)=0,故。,人,所以選項A正確;
H=J(-1)2+22+12=痣,|&|=712+l2+(-l)2=^3,所以同〉W,故選項B正確;a+b=(0,3,0),所以
COs(a+b,a)=^^=^==^-^^-)故選項c錯誤;?-/,=(-2,1,2),所以,+4=3,卜一4=3,故
|a+Z>|=|a-Z?|,所以選項D正確.
故選:C.
8、A
【解析】根據(jù)條件,列出滿足條件的不等式,求『的取值范圍.
【詳解】曲線表示交點在x軸的橢圓,
7-4>0
10-/>0,解得:4<Z<7.
故選A
【點睛】本題考查根據(jù)橢圓的焦點位置求參數(shù)的取值范圍,意在考查基本概念,屬于基礎(chǔ)題型.
9、D
【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,準確改寫,即可求解.
【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系可得:
命題“P:VHeN,,7,>“—i”的否定式為“m〃eN*,rr<n-\n.
故選:D.
10、C
【解析】點在平面。町內(nèi)的射影是工丁坐標不變,z坐標為o的點.
【詳解】點N(3,4,5)在坐標平面。町內(nèi)的射影為(3,4,0),故點M的坐標是(3,4,0)
故選:c
11、D
【解析】根據(jù)導函數(shù)大于0,原函數(shù)單調(diào)遞增;導函數(shù)小于0,原函數(shù)單調(diào)遞減;即可得出正確答案.
【詳解】由導函數(shù)得圖象可得:龍>0時,/'(龍)<0,所以/(X)在(一8,0)單調(diào)遞減,
排除選項A、B,
當光>0時,尸(九)先正后負,所以"%)在(0,+。)先增后減,
因選項C是先減后增再減,故排除選項C,
故選:D.
12、B
【解析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系可得1<-1<石,即可求機的范圍.
m
【詳解】由題設(shè)知:直線斜率范圍為(1,6),即1<-,〈百,可得一1<根<—走.
m3
故選:B.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13、1
【解析】由“狄利克雷函數(shù)”解析式,先求出。(、/55五),再根據(jù)指數(shù)函數(shù)/*)的解析式求力。(、/^五)]即可.
【詳解】由題設(shè),D(V2022)=0,則/[D(J2022)]=/(O)=2°=1.
故答案:1
【解析】由|AB|=|耳引得小沔鳥為矩形,則BK=2Lsine,AK=2c-cos9=BK,故e='=——-——,結(jié)
asin夕+cos6
合正弦函數(shù)即可求得范圍
【詳解】由已知可得AB=2c,且四邊形入耳5月為矩形
所以BF]=2c-sin0,AFX=2c-cos6-BF2,
又因為m+5耳=2%所以2c?sine+2c?cos6=2a
e—_c—______1_____]
得離心率asin0+cos6A/2sin[e+:
7171jr7171,可得sin.+i]^-^-,1
因為公所以5'5
15,273
【解析】因為{斯}為等差數(shù)列,設(shè)公差為d,由a“+S”=A"2+B〃+c,
=2
得ai+(n—l)d+na\+gn(n—l)d=an-^SnAn+Bn+C9
即—?—_4)層+(〃1+——B)n+(ai—d—C)=0對任意正整數(shù)n都成立
22
所以^-(d—4)=0,ai+—d—B=0f訪一d—C=0,所以A=^-d,B=ai+—d9C=a1—d,所以
2222
3A-B+C=0.—+B-C=—+3A>2J3.
AA
16、V2
【解析】過P作垂足分別為M,N,由直線4為拋物線的準線,轉(zhuǎn)化1PMi+|/W|=|PN|+|PF|,當
MP,廠三點共線時,IPNI+IP可取得最小值
【詳解】過P作加,乙,尸N,/2,垂足分別為
拋物線C:/=4x的焦點為b(1,0)
直線4:x=T為拋物線的準線
由拋物線的定義,1加1=1%I
故|尸河|+|PN|=|尸N|+|PF|,當N,P,尸三點共線時,|PN|+|P可取得最小值
11-0+11f-
故最小值為點R到直線4的距離:并+『=母
故答案為:0
三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17、(1)S=80X-2X2,(0<X<40)
(2)800平方米
【解析】(1)由題意得矩形場地的另一邊長為3。_2、)米,通過矩形面積得出S關(guān)于%的函數(shù)表達式;
(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值即可
【小問1詳解】
解:由題意得矩形場地的另一邊長為-3_米,
又80-2%>0,得40>x>0,
所以S=x(80-2x)=80X-2X2(0<x<40)
【小問2詳解】
解:由(1)得S=80x—2/=一2(%—20y+800,(0<x<40),
當且僅當尤=20時,函數(shù)取得最大值800平方米
18、(1)證明見解析
(2)點歹為線段AC的中點
【解析】(1)由平面幾何知識證得CELBE,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì),線面垂直的判定和性質(zhì)可得證;
(2)取3E的中點O,以。為原點,分別以0AEC的方向為丫軸,了軸,z軸建立空間直角坐標系,假設(shè)在線段
AC上存在點凡設(shè)AR9AC,運用二面角的向量求解方法可求得X,可得點F的位置.
【小問1詳解】
證明:因為在長方形中,AD=2AB=2版,點E是40的中點,所以BE=CE=2,又BC=2叵,所以
BC2=BE2+EC-,所以CELBE,
又平面平面BCDE,面ABE面5CDE=,所以CEJL平面A3E,所以A3_LCE.又A3JLAE,AEICE=E,
所以平面AEC,即得AB_LAC.
【小問2詳解】
解:存在點凡b為線段AC的中點.
由(1)得AABE和ABEC均為等腰直角三角形,取5E的中點。,則又平面ABEL平面8C0E,面
面BCDE=BE,所以49,面3C£>£,
以。為原點,分別以。1,08,EC的方向為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,取平面A8E的一個法向
量為m=(0,1,0).
則A(0,0,1),B(1,0,0),C(-1,2,0),E(-1,0,0),EA=(1,0,1),AC=(",2,-1),
設(shè)AF=2AC,則而=EA+7AC=(1」,27,1-2),又EB=(2,0,0),
n-EF=0(l-A)x+22y+(l-2)z=0
設(shè)平面5E尸的法向量為〃=(%,y,z),可得<,即得2x=o'可取得
n-EB=0
mn1
解得上稱,
所以cos<mn>=\m\\n\[—22
如z門x25,
即當點尸為線段AC的中點時,二面角A-BE-F的余弦值為鼻.
19、(1)/+2_=1
4
(2)證明見解析
【解析】(1)設(shè)橢圓方程為e2+改2=1(加>0,〃>0),利用待定系數(shù)法求得私”的值,即可得出答案;
(2)設(shè)升<0,1),yoe(O,2),易得4/2+為?=4,分別求出直線PM和直線PN的方程,從而可求
出S,T的坐標,再根據(jù)SSMNT=J"T||SN|即可得出答案.
【小問1詳解】
解:依題意設(shè)橢圓方程為爾?+盯2=1(加>0,〃>0),
z、/r-x—m+3n=l
將公(,6),B--,1代入得,;,
[4
解得得m=1,n=—,
4
2
...所求橢圓方程為必+乙=1;
4
【小問2詳解】
證明:設(shè)尸(如為),^£(0,1),yoe(O,2),M(-l,O),2V(O,-2),
產(chǎn)點坐標滿足好+匯=1,即442+為2=4,
4
』7(%+1),可得S0,」^
直線PM:>=
%+1Ix0+l)
c%+2
直線尸N:y+2^——%,可得T
%3小
1-^+2
21%+2毛+1
1(2%+為+2『
2(%+2)(%o+1)
:14/2+4/%+8%+為2+4%+4
2xQyQ+2xQ+y0+2
二14(/%+2工0+%+2)—
2/為+25+為+2-
20、(1)證明見解析
⑵等
【解析】(D由平面AEFB_L平面A5C。,可得AE1.平面A5C。,連接5。,可得5NLAD,以M為原點,MB,MD
為尤,V軸,豎直向上為z軸建立空間直角坐標系,利用向量法計算3M與平面。石尸的法向量勺=(%,X,zJ的數(shù)量積
為0即可得證;
UU111
(2)分別計算出平面MEC和平面EC尸的法向量%=(%,%*2),生=(x3,y3,z3),然后利用向量夾角公式即可求
解.
【小問1詳解】
證明:因為平面AEFB_L平面A3。,平面AEFEc平面43cz>=AB,且AELAB,
所以平面ABC。,連接50,則△ABZ)等邊三角形,所以HMLAD,
以M為原點,M3,地為尤,丁軸,豎直向上為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
則A(0,-1,0),6(73,0,0),C(A2,0),D(0,l,0),E(0,-l,2),F(50,1),設(shè)4=(/%,zj為平面DEF的法向量,
uuiuuumDE?〃]=()J
因為DE=(0,—2,2),DE=(后—1,1),則有》c,取々=(0,LD,
Dr?4=U
ULILLUUULL
又因為BM=(-73,0,0).所以BMny=0,
因為府U平面OEF,所以BM〃平面。石尸;
【小問2詳解】
UU111
解:分別設(shè)%=(々,%,z2),%=(無3,,3,Z3)為平面MEC和平面ECF的法向量,
UULUULIULME?a=0皿
因為ME=(0,-1,2),MC=(百,2,0),則有<取巧=1,26,回
UUU—ULUEC?%=0皿/-1-
因EC=(V
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