2022-2023學年北師大版高一下數(shù)學：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像（附答案解析）

2022-2023學年北師大版高一下數(shù)學：正弦、余弦、正切函數(shù)的

圖象以及性質

選擇題（共8小題）

1.（2021春?未央?yún)^(qū)校級期中）下列函數(shù)中最小正周期為π的是（）

A.y=cos4xB.?=sinxC.y=tan三D.y=∣sinx∣

2

2.（2016春?許昌校級期中）y=sinχ-∣sinx∣的值域是（）

A.[-1,0]B.[0,1]C.[-1,1]D.[-2,0]

3.（2021春?西湖區(qū)期中）若函數(shù)f（x）=Sin（x+2L+φ）為奇函數(shù)，則φ的一個取值可能

4

為（）

AA.n0DB.__冗__小C.--兀---nD.π

42

4.（2021秋?黔西南州期中）下列區(qū)間中，函數(shù)/（x）=2COS（x-?）單調(diào)遞減的區(qū)間是

6

（）

7π

A.（0,π）B.（?,-?2L）C.（--,2L）D.（,3π)

63263

5.（2021秋?安康期中）設函數(shù)f（χ）=cos（3x哈），則下列結論錯誤的是（)

A./（x）的最小正周期為空_

3

B.y=f（x）的圖像關于直線XJL對稱

9

C.y=f（χ）的圖像關于點（一"，0）對稱

9

D./（x）在（0,專）單調(diào)遞減

6.（2018秋?湖南期中）下列函數(shù)中，最小正周期為π且為偶函數(shù)的是（）

A.f(x)=sin∣2x∣

Jr

B.f(x)=tan(X----)

4

C.f(x)=∣cos2x∣

D./(x)=l∑tarΛ

1+tan2x

第1頁（共17頁）

秋?天心區(qū)校級期末)已知函數(shù)|〈三)的

8.(2021f(χ)=sin(ωx+φ)(3>0,∣φ

最小正周期為π,將該函數(shù)的圖象向左平移三■個單位長度后，得到的圖象對應的函數(shù)為

6

偶函數(shù)，則下列說法錯誤的是()

A.函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間［看，等］上單調(diào)遞減

B.函數(shù)y=/(x)的圖象關于直線X哈對稱

C.函數(shù)y=∕(x)的圖象關于點(需，0)對稱

D.函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線X哈對?稱

二.填空題(共4小題)

9.(2019春?玉山縣校級期中)將cos(-1),cos(-2),CoS(-3)按大小排列為.(用

“V”連接)

10.(2020春?瀘縣校級期中)函數(shù)f(x)=tan(2x+^)圖象的對稱中心為

11.(2021秋?青島期中)如圖是函數(shù)/(x)=2Sin(ωx+φ)(ω>0,∣φ∣≤2L)的部分圖象,

2

已知函數(shù)圖象經(jīng)過P(且L,2),Q(3?,0)兩點，則⑴=.

第2頁(共17頁)

12.(2021春?寶塔區(qū)校級期中)函數(shù)/(x)=COSzr+sinx的值域是

三,解答題(共4小題)

13.(2021秋?蘭考縣校級期末)已知函數(shù)f(χ)=√^sin(2x*>

(I)求/(x)的最小正周期；

(∏)求/G)的單調(diào)遞增區(qū)間.

14.(2021秋?重慶期末)已知函數(shù)/(x)=∕sin(ωx+φ)(∕>0,ω>0,陶<上-)的部分

2

圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式，并寫出其單調(diào)增區(qū)間;

(2)在aZBC中，內(nèi)角/,B,C的對邊分別為α,b,c,若/(C)=1,且α,b是方

程χ2-3后+4=0的兩個實數(shù)根，試求aNBC的周長及其外接圓的面積.

15.(2021春?西城區(qū)校級期中)已知函數(shù)［(x)=sinx,g(X)=COsx.

(1)函數(shù)y=∕(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

(2)求函數(shù)y=g2(X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)求函數(shù)f(x)÷√^g(x)的對稱軸方程；

(4)求解不等式f⑵吟)>??

16.(2019春?雁峰區(qū)校級期中)已知函數(shù)f(χ)=Asin(3χT)(A〉0,3〉0)的部

分圖象如圖所示.

(1)求4,3的值:

(2)求/(x)的單調(diào)增區(qū)間;

第3頁(共17頁)

(3)求/(x)在區(qū)間［T，2］上的最大值和最小值.

第4頁(共17頁)

2022-2023學年北師大版高一下數(shù)學：正弦、余弦、正切函數(shù)的

圖象以及性質

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2021春?未央?yún)^(qū)校級期中）下列函數(shù)中最小正周期為n的是（）

A.y=cos4xB.y=sinxC.y=tan三D.y=∣sinx∣

2

【考點】三角函數(shù)的周期性.

【專題】轉化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質；數(shù)學運算.

【分析】由題意利用三角函數(shù)的周期性，得出結論.

【解答】解：由于函數(shù)y=cos4x的最小正周期為空_=工，故排除4

42

由于函數(shù)J，=SinX的最小正周期為2π,故排除8；

TT

由于函數(shù)y=tan三的最小正周期為丁=如，故排除C

2工

2

由于函數(shù)y=Winx∣的最小正周期為上x22L=π,滿足條件，

21

故選：D.

【點評】本題主要考查三角函數(shù)的周期性，屬于基礎題.

2.（2016春?許昌校級期中）y=sinX-IShLrI的值域是（）

A.[-1,0]B.[0,1]C.[-1,1]D.[-2,0]

【考點】正弦函數(shù)的定義域和值域.

【專題】計算題.

【分析】根據(jù)X的取值范圍寫出分段函數(shù)，然后利用正弦函數(shù)的值域求解.

【解答]解:V=SinX+1Siiu?∣

①當x∈[2Aπ,2Λπ+π]（A∈Z）時，OWSinXWl

止匕時，y=sinx+∣sinx∣=sinx-SinX=O

②當x∈（2?π+π,2女π+2π）（?∈Z）時，-IwSinXVO

此時，y=sinxTSinXl=SinX+sinx=2sinx

止匕時y∈[-2,0)

第5頁（共17頁）

綜上，ye[-2,0].

故選：D.

【點評】本題考查了正弦函數(shù)的定義域和值域，考查了分段函數(shù)值域的求法，分段函數(shù)

的值域要分段求，最后去并集，是基礎題.

3.(2021春?西湖區(qū)期中)若函數(shù)/(x)=Sin(x+A+φ)為奇函數(shù)，則φ的一個取值可能

為()

JTTT

A.0B.-?C.—D.π

42

【考點】正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性.

【專題】數(shù)形結合；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質；數(shù)學運算.

【分析】由正弦函數(shù)的奇偶性知，2L+φ=?π,Λ∈Z,從而得解.

4

【解答】解：由題意知，E-+φ=Rn,Z∈Z,

4

所以φ=Zπ-2L,A∈Z,

4

當％=0時，φ=

4

故選：B.

【點評】本題考查正弦函數(shù)的奇偶性，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎題.

4.(2021秋?黔西南州期中)下列區(qū)間中，函數(shù)∕G)=2cos(x-?)單調(diào)遞減的區(qū)間是

()

、小,幾兀、

A?.(z0a,π)?Bd.(/??，-4≡——JT)C.(,TT)?Dγλ.(/J7,3?π)

63263

【考點】余弦函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質；數(shù)學運算.

【分析】由2加0-看W2?π+ττ(?∈Z),可求得函數(shù)/(x)單調(diào)遞減時自變量滿足的不

等式，再對/賦值判斷即可.

【解答】解：由2?πWx-J≡~W2?π+π(A∈Z),得2?π+-≡-WxW2?π+[?(?∈Z),

666

令k=Q,得」LWXW22L,故可排除4B,C；

66

當k=ι時，232L≤χ≤liZL,而(Z2L,3π)ɑ(l??,l??),

66366

第6頁(共17頁)

故。正確,

故選：D.

【點評】本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，屬于中檔題.

5.(2021秋?安康期中)設函數(shù)f(χ)=cos(3x*＞則下列結論錯誤的是()

A.∕?(x)的最小正周期為空

3

B.y=f(x)的圖像關于直線X哈對稱

C.y=f(x)的圖像關于點(旦［，0)對稱

9

D./(x)在(0,工)單調(diào)遞減

6

【考點】余弦函數(shù)的單調(diào)性；余弦函數(shù)的對稱性.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質；數(shù)學運算.

【分析】利用余弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對稱性對NBCD四個選項逐一判斷即可得答

案.

【解答】解：由于函數(shù)f(χ)=cos(3x吟)的最小正周期為7=等，故Z正確；

又當X吟時，f(x)=CoS5=0W±l,故y=∕(x)的圖像不關于直線X吟對稱，故

B錯誤；

兀上兀

當χ=~2J時,/(χ)=COS(-2.)=0,?W(x)的圖像關于點(一0)

36

對稱，故C正確；

當x∈(0,2L)時，3x+2Le(?,ɑ(0,π),故/(x)在(0,T-)單調(diào)遞減,

666

故。正確；

綜上所述，錯誤的選項為8,

故選：B.

【點評】本題考查余弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對稱性，考查運算求解能力，屬于中檔

題.

6.(2018秋?湖南期中)下列函數(shù)中，最小正周期為n且為偶函數(shù)的是()

A.f(x)=sin∣2x∣

B.f(x)=tan(x--?)

第7頁(共17頁)

C.f(X)=∣cos2x∣

D./(x)=l∑tarΛ

1+tan2χ

【考點】正切函數(shù)的單調(diào)性和周期性；三角函數(shù)的周期性.

【專題】轉化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質.

【分析】利用三角函數(shù)的奇偶性、周期性，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結論.

【解答】解：?.?∕(x)=Sinl2x∣為偶函數(shù)，但它的最小正周期為★.等=￡,故排除4

由于/(x)=tan(χ-2L)為非奇非偶函數(shù)，故排除8；

4

'：f(x)=ICOS2x∣為偶函數(shù)，但它的最小正周期為等=故排除C；

22.2

(x)=1-^?RM,=.cos_x-sin±=COS2Λ-為偶函數(shù)，且它的最小正周期為22L=

,22,122

1+tan1X+cosx+sιnx”

π,故。滿足條件，

故選：D.

【點評】本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、周期性，屬于基礎題.

【考點】五點法作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象；函數(shù)的圖象與圖象的變換；誘導公式.

【專題】計算題；三角函數(shù)的圖象與性質.

【分析】利用誘導公式將N=CoS(2X-旦L)轉化為y=sinC2x--?),通過對2式-3_

6,33

范圍的分析，通過對X取特值排除即可得到答案.

【解答】解：?.?y=cos(2x-衛(wèi))

6

第8頁(共17頁)

=CoS(-???--2x)

6

?sin[?-(??-2x)]

26

=Sin(2x--?),

3

又x∈[-工，π],

2

.?.2X-2L∈[-^2L,??,

333

當X=-三時，y=sin(-π--2L-)

23

=-sin(Tr+2I-)

=返＞0,故可排除8,D-,

2

又當x=-2?",y=sin(2x--?)=Sin(-π)=0,可排除C,

33

故選：A.

【點評】本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質，考查誘導公式的作用，突出考查分析與推理,

考查排除法在選擇題中的作用，屬于中檔題.

8.(2021秋?天心區(qū)校級期末)已知函數(shù)f(χ)=si∏(Wχ+φ)(ω≥0,∣φ|〈二-)的

最小正周期為π,將該函數(shù)的圖象向左平移三個單位長度后，得到的圖象對應的函數(shù)為

偶函數(shù)，則下列說法錯誤的是(

A.函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間［看，-ψ

C.函數(shù)y=∕(x)的圖象關于點軍■,0)對稱

D.函數(shù)y=∕(χ)的圖象關于直線χ=^對稱

【考點】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.

【專題】計算題：函數(shù)思想：綜合法：三角函數(shù)的圖象與性質：數(shù)學運算.

【分析】結合己知周期可求3,然后結合函數(shù)的圖象平移及偶函數(shù)的性質可求φ,進而可

求函數(shù)解析式，然后結合正弦函數(shù)的性質檢驗各選項即可.

第9頁(共17頁)

【解答】解：由題意最小正周期為TT=",可得3=2,可得/(x)=Sin⑵+隼)，

CO

將該函數(shù)的圖象向左平移工個單位后，得到的圖象對應的函數(shù)為g(x)=sin(2x+Lr+φ)

63

為偶函數(shù)，

故函數(shù)圖象關于x=0對稱，即當x=0時，函數(shù)取得最值，

所以9+-lσr=iτ+?π,k&z,

32

故φ=2-+Λπ,結合∣φ∣<Lπ,可得φ=2L,

626

所以/(X)=Sin(2x+-Z∑.),

令2?π+2L≤2x+2L≤2?π+3ZL,?∈Z,解得Aπ+2L≤χ≤Λπ+22L,?∈Z,

26263

可得當上=0時，函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間［卷，等］上單調(diào)遞減，力正確；

當x=2??,/(?)=sin(2X2L+2L)=1,函數(shù)取得最大值，符合題意，故8正

6666

確；

當X=亞時，2x+工=π,符合對稱中心，C正確；

126

當X=&寸，2x+A=lπ,不能取得最值，。錯誤.

1263

故選：D.

【點評】本題主要考查了由部分函數(shù)的性質求解函數(shù)解析式及函數(shù)的圖象的平移及正弦

函數(shù)性質的綜合應用，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題.

二.填空題(共4小題)

9.(2019春?玉山縣校級期中)將cos(-1),cos(-2),cos(-3)按大小排列為COS

(-3)<cos(-2)<cos(-1).(用,,<m連接)

【考點】余弦函數(shù)的圖象.

【專題】轉化思想；三角函數(shù)的圖象與性質.

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.

【解答】解：y=cosx在區(qū)間(-π,0)為增函數(shù)，

V-π<-3<-2<-1<0,

.*.cos(-3)<cos(-2)<cos(-1).

故答案為：cos(-3)<cos(-2)<cos(-1).

第10頁(共17頁)

【點評】本題考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性的運用.屬基礎題.

10.(2020春?瀘縣校級期中)函數(shù)/(x)=tan2X+2L)圖象的對稱中心為

3

，k兀兀

'^^4Γ0)，(k∈Z)-

【考點】正切函數(shù)的圖象.

【專題】轉化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質；數(shù)學運算.

【分析】由題意利用正切函數(shù)的圖象的對稱性，得出結論.

【解答】解：對于函數(shù)∕?(x)=tan(2X+2L),令2x+工=",?∈Z,

332

求得X=K三-二，可得它的圖象的對稱中心為(巫-工，0),

4646

故答案為：(?L-匹，0),kez.

46

【點評】本題主要考查正切函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題.

11.(2021秋?青島期中)如圖是函數(shù)/(x)=2Sin(ωx+φ)(ω>0,∣φ∣≤2L)的部分圖象,

2

己知函數(shù)圖象經(jīng)過P(翳，2),Q(WL，0)兩點，則S=-*.

【考點】由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式.

【專題】計算題；函數(shù)思想；分析法；三角函數(shù)的圖象與性質；數(shù)學運算.

【分析】由題意可得出函數(shù)/(x)的最小正周期，求出3,再代入特殊點尸的坐標，即

可求得φ.

【解答】解：根據(jù)函數(shù)/(x)=2Sin(ωx+φ)(ω>0,∣φ∣≤-?-)的部分圖象，

2

可知函數(shù)/G)的最小正周期為T=?lx(工ZLWL)=",所以32匚3，

312123T2

所以/(且L)=2Sin(.S.三+φ)=2,可得Sin(豆Ξ-+φ)=1,

1288

7τ

所以.5..4φ=2L+2Kt(?∈Z)

82

第11頁(共17頁)

解得φ=2?π-——，

8

又因為∣φ∣<JL,

2

Λφ=-2L

8

故答案為：-

8

【點評】本題考查求三角函數(shù)的解析式，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

12.(2021春?寶塔區(qū)校級期中)函數(shù)/(x)=COS2x+sinx的值域是—[-2,9]—.

8

【考點】正弦函數(shù)的定義域和值域.

【專題】計算題；轉化思想；配方法.

【分析】函數(shù)/(x)=CoS2x+sinx變?yōu)殛P于SinX的二次函數(shù)，再由二次函數(shù)的性質求值

域

【解答】解:f(x)=cos2x+sinx=-2sin2x+sinr+l=-2(si?iv-―)2+-

48

又sirιx∈[-1,1]

二當SinX=2時，函數(shù)/(x)取到最大值為且

48

當SirU=-1時，函數(shù)/(x)取到最小值為-2

綜上函數(shù)/(x)=CoS2x+sinx的值域是[-2,旦]

8

故答案為：[-2,?]

8

【點評】本題考查正弦函數(shù)的定義域和值域，求解本題關鍵是將函數(shù)變?yōu)殛P于SinX的二

次函數(shù)，由配方法將本方，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性判斷出函數(shù)的最值，從而得出函數(shù)的

值域，本題是三角函數(shù)求值域的題型中一個很重要的題型，其規(guī)律是轉化為關于三角函

數(shù)二次函數(shù)，將問題變?yōu)槎魏瘮?shù)在閉區(qū)間上的最值問題

≡.解答題(共4小題)

13.(2021秋?蘭考縣校級期末)已知函數(shù)￡6)=7^5壯(2乂吟>

(I)求/(x)的最小正周期；

(II)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【考點】正弦函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)的周期性.

【專題】轉化思想；整體思想；轉化法；三角函數(shù)的圖象與性質；數(shù)學運算.

第12頁(共17頁)

【分析】(/)根據(jù)已知條件，結合正弦函數(shù)的周期公式，即可求解.

(//)函數(shù)y=sin%在一個周期［-n,用內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為「工，?l,令

L22J

-；+2k兀424T，+2k兀(k∈Z),解出X的取值范圍，即可求解.

【解答】解：(I),?^f(χ)=√3≡in(2x+^^),

.V(%)最小正周期TVL=兀.

(II)函數(shù)N=Siru在一個周期Lmπ］內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為［一薪，?］,

令?^^+2k兀42χ?*^i≤3?+2k兀(k∈Z)'

解得^^+k兀<x4一鼻一+k兀(k∈Z)'

?V(χ)的單調(diào)遞增區(qū)間是［f+k兀，-y+kπ］(k∈Z)-

【點評】本題主要考查三角函數(shù)的周期性，以及單調(diào)性，屬于基礎題.

14.(2021秋?重慶期末)已知函數(shù)/(x)=Jsin(ωx+φ)(A>0,ω>0,∣φ∣<2L)的部分

2

圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)/Q)的解析式，并寫出其單調(diào)增區(qū)間；

(2)在BC中，內(nèi)角”,B,C的對邊分別為“，b,c,若/(C)=1,且α,b是方

【考點】由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式.

【專題】數(shù)形結合；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質；解三角形；數(shù)學運算.

【分析】(1)由圖易知，/=2,T=ιr,由3=22L,可得3的值，再代入點(0,1),進

T

第13頁(共17頁)

行計算，即可得φ的值；由正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)由/(C)=1,求得C將/-3V+4=0因式分解，可得4=2料，6=料，

3

再由余弦定理求出C的值，由一^=2R,得外接圓半徑.

sinC

【解答】解：(1)由圖知，/=2,二-三=工，

1264

所以最小正周期T=π,

所以3=空_=2,

T

因為/(x)經(jīng)過點(0,1),所以/(0)=2sinφ=I,即sinφ=-l,

2

因為∣φ∣＜工，所以φ=2L,

26

所以/(x)的解析式為/(x)=2sin(2x+-Z-),

令2x+2L∈[2?π-2L,2?π+2L],A∈Z,則x∈[Aπ-2L,?π+2L],%∈Z,

62236

故/(無)的單調(diào)增區(qū)間為伏π-2L,kπ+2-?,?∈Z.

36

(2)因為/(C)=2sin(2C+—-)=1,所以Sin(2C+?L)=X

662

因為Ce(0,τt),所以C=--I

3

因為α,方是方程x2-3√?+4=0的兩個實數(shù)根，即(x-2√2)(x-√2)=0,

所以不妨取。=2&,b=J],

由余弦定理知，c2-a2+b2-2α∕>cosC=8+2-2?2，談J^?∕=6,

所以C=VJ,

所以4/8C的周長為a+b+c=2√2+√2÷√6=3√2÷√β,

由=2R,得27?=西T=2√?

π

sinC?l.

sirrT

所以ANBC外接圓的半徑Λ=√2?

【點評】本題考查解三角形與三角函數(shù)的綜合，熟練掌握正余弦定理，正弦函數(shù)的圖象

與性質是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

15.(2021春?西城區(qū)校級期中)已知函數(shù)/(x)=SinX,g(x)=cosx.

JTTT

(1)函數(shù)夕=∕(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為「2依-上，2?π+±],任Z

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(2)求函數(shù)y=g2(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)求函數(shù)f(乂)+7^86)的對稱軸方程；

(4)求解不等式f(2χJ=)AL

【考點】正弦函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】轉化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質；數(shù)學運算.

【分析】由題意利用三角函數(shù)的圖象和性質，得出結論.

【解答】解：函數(shù)/(X)=SinX,g(X)=cosx,

Λ(1)函數(shù)y=∕G)的單調(diào)遞增區(qū)間為［2?π-2L,2?π+2L］,A∈Z,

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故答案為：［2?π-?,2Aπ+2L］,后∈Z.

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(2)函數(shù)y=g2(%)=CoS2x=,l+°°s2x,令2?π-n≤2x<2?π,求得hτ-2-≤x≤?π,

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