2022-2023學(xué)年四川省成都市天府新區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年四川省成都市天府新區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.cosl35°cosl50—sinl350sinl50=（）

A.?B.—?C.1D.

2.已知i為虛數(shù)單位，2=等，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.—iB.iC.1D.—1

3.已知tan（a+$=3,則比uia=（）

A.-gB.；C.-2D.2

4.已知向量方=（2,-1）,E=（k,2），且0+3）〃五，則實(shí)數(shù)k等于（）

A.-4B.4C.0D.

5.若一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長(zhǎng)為a,則這個(gè)球的表面積是（）

A.3rta2B.y/~3na2C.4y/~3na2D.12na2

6.為了得到函數(shù)y=sin（2x—》的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x的圖象（）

A.向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移方個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移*個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移，個(gè)單位長(zhǎng)度

7.2023年7月28日、第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將在成都東安湖體育公園開(kāi)幕.公園十二

景中的第一景東安閣，閣樓整體采用唐代風(fēng)格、萃取太陽(yáng)神烏形象、蜀錦與寶相花紋（芙蓉花

）元素，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)匕凑仗剖礁唛w的建筑形制設(shè)計(jì)建造，已成為成都市文化新地標(biāo)，面向世界展現(xiàn)

千年巴蜀風(fēng)韻.某數(shù)學(xué)興趣小組在探測(cè)東安閣高度的實(shí)踐活動(dòng)中，選取與閣底A在同一水平面

的B,C兩處作為觀測(cè)點(diǎn)，測(cè)得BC=36m,/.ABC=45°,^ACB=105°,在C處測(cè)得閣頂P的

仰角為45。，則他們測(cè)得東安閣的高度4P為（精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：，至"1.41,

1.73）（）

p

B

A.72.0mB.51.0mC.50.8mD.62.3m

8.如圖1,在以BC為底邊的等腰△ABC中，分別是AC,AB上的點(diǎn),AD=2CD,AE=2BE,

將^ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐4一BCCE.若。為BC的中點(diǎn)，40_L平面BCDE,

則二面角4一DE-。的余弦值等于()

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.下列結(jié)論正確的是()

A.等底面積、等高的兩個(gè)柱體，體積相等

B.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐

C.有一個(gè)面是正方形的長(zhǎng)方體是正四棱柱

D.用斜二測(cè)畫法作水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，正方形的直觀圖可能還是正方形

10.已知函數(shù)/(%)=—2cos2x+1，xER,則()

A.-2</(%)<2B.x=褪函數(shù)/(x)的零點(diǎn)

C.函數(shù)/(x)是非奇非偶函數(shù)D.x為/(x)圖象的一條對(duì)稱軸

11.在△ABC中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則下列結(jié)論正確的是()

A.若。2+力2<。2,則△ABC是鈍角三角形

B.若△/BC為銳角三角形，貝必譏4>cosB

C.若二=一1，則△ABC為等腰三角形

cosBcosA

D.若A=45。，a=C，b=C，則△ABC有兩解

12.如圖，在長(zhǎng)方體4BCD-aB1GD1中,441=AB=2AD,

M，N分別為棱G5,CCi的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.M,N,A,B四點(diǎn)共面

B,直線BN與平面ADM相交

C.直線BN和所成的角為*

D.平面4DM和平面4/iGDi所成銳二面角的余弦值為?

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.若復(fù)數(shù)z是方程產(chǎn)+2x+2=0的根，則復(fù)數(shù)z的模為.

14.若向量3=(4,0),3=(1,，豆)，則向量五在向量石上的投影向量坐標(biāo)為.

15.圓錐SO的底面圓半徑04=1,側(cè)面的平面展開(kāi)圖的面積為27r.則此圓錐的體積為

16.己知函數(shù)/(?=sin(3x-；)(?>0)在區(qū)間%兀)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則3的取值范圍

為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

設(shè)4、B、C、D為平面內(nèi)的四點(diǎn)，且4(-1,2),B(l,-1),C(0,l).

(1)若荏=而.求。點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)設(shè)向量方=荏，石=前,若向量k五一行與五+2方垂直，求實(shí)數(shù)k的值.

18.(本小題12.0分)

如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E是4B的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將△4E。、△DCF分

別沿OE、OF折起，使4、C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)4,連接EF,A'B.

(1)求證：A'D1EF；

(2)求三棱錐4-DEF的體積.

19.(本小題12.0分)

如圖、在四邊形48co中，E,F分別為4B,CO的中點(diǎn).

(1)求證：2請(qǐng)=而+就;

(2)若荏=2覺(jué)，|而|=2|而|=2，向量荏，而的夾角為［EG=(EF,求|

JJ

20.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P-ABC。中，底面4BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，P4_L平面4BCD,PA=3,點(diǎn)E,

F分別在線段PB,P。上，且滿足PE=#B,PF=”.

⑴求證：EF〃平面力BCD；

(2)求直線BF與平面ABCD所成角的正切值.

P

21.(本小題12.0分)

蜀繡又名“川繡”，與蘇繡，湘繡，粵繡齊名，為中國(guó)四大名繡之一，蜀繡以其明麗清秀的

色彩和精湛細(xì)膩的針?lè)ㄐ纬闪俗陨淼莫?dú)特的韻味，豐富程度居四大名繡之首.1915年，蜀繡在

國(guó)際巴拿馬賽中榮獲巴拿馬國(guó)際金獎(jiǎng)，在繡品中有一類具有特殊比例的手巾呈如圖所示的三

角形狀，點(diǎn)。為邊BC上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，Z.ADC=60°,AD=2.

(1)若N4C。=45。，求三角形手巾的面積;

(2)當(dāng)需取最小值時(shí)，請(qǐng)幫設(shè)計(jì)師計(jì)算BD的長(zhǎng).

AD

22.(本小題12.0分)

已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)/(X)=asinx+bcosx,稱向量麗=(a,b)為函數(shù)f(x)的聯(lián)合向

量，同時(shí)稱函數(shù)f(x)為向量而的聯(lián)合函數(shù).

(1)設(shè)函數(shù)g(x)=sin(x+y)+cos(y+x).試求函數(shù)g(x)的聯(lián)合向量的坐標(biāo)；

(2)記向量麗=(1,/?)的聯(lián)合函數(shù)為/"(X),當(dāng)/'(X)=|且xG(一:3)時(shí)，求sinx的值；

(3)設(shè)向量麗=(24,-2/1)，4eR的聯(lián)合函數(shù)為a(x),麗=(1,1)的聯(lián)合函數(shù)為u(x),記函數(shù)

/l(x)=u(x)+v2(x),求九。)在［0,7r］上的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：cosl35°cosl5°—sml35°sinl50=cos(135°+15°)=cosl500=—cos30°=—芋?

故選：B.

利用兩角和的余弦公式，誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可求解.

本題主要考查了兩角和的余弦公式，誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化筒求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，

屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：2=告=湍占=l-i,

則復(fù)數(shù)z的虛部為-1.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及虛部的定義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閠an(a+[)=3=齊等%，所以t^a=

4lTmata92

故選:B.

直接利用兩角和的正切公式展開(kāi)，再解方程，即可.

本題考查三角函數(shù)的求值，熟練掌握兩角和的正切公式是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于

基礎(chǔ)題.

4.【答案】a

【解析】解：a=(2,—1),b=(fc,2))

則蒼+1=(2+k,l)，

???(a+b)//a.

.?.2x1=-(2+k),解得k=-4.

故選:A.

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：正方體的體對(duì)角線就是正方體的外接球的直徑，

設(shè)正方體的外接球半徑為R,貝U2R=V?2+a2+a2,解得R=，

所以外接球的表面積為47r(?a)2=37m2.

故選：A.

由己知得正方體的體對(duì)角線就是正方體的外接球的直徑，求得外接球的半徑，再由球的表面積公

式可得選項(xiàng).

本題考查了正方體外接球的表面積計(jì)算，屬于中檔題.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用函數(shù)的圖象的平移變換的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)圖象的平移變換的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能

力，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：為了得到函數(shù)y=sin(2x_1)=sin[2(x-/的圖象，

只需把函數(shù)y=s出2x的圖象向右平移7個(gè)單位即可，

故選：D.

7.【答案】C

【解析】解：在A4BC中，Z.ABC=45°,Z.ACB=105°,則4B4C=30°,

由正弦定理得二磊=r*，即4C=包包第=滔殳=36，至6，

smwBACsmz?lBCs\nz.BAC1

在MPC中，則"4C=90。，乙4cp=45。，

.??△4PC是等腰直角三角形，

:.AP=AC=36y/-2?50.8m，

他們測(cè)得東安閣的高度4P為50.8m.

故選：C.

利用正弦定理可得4C,結(jié)合AAPC是等腰直角三角形，即可得出答案.

本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：如圖1,連接。4交DE于點(diǎn)F,

圖1圖2

:0為BC的中點(diǎn)，AC=AB,OA1BC,

vAD=2CD,AE=2BE,：.BC//DE,

OA1DE,AF=2OF,

將△ADE沿DE折起，則。F-LDE,A'F1DE,

NOFA即為二面角A-DE-O的平面角，

???4'。_L平面BCOE,OFA'O1OF,

cos9%=黑，

故選：A.

如圖1,連接。4,交DE于尸，推導(dǎo)出04_LDE,AF=2OF,則OF1DE,AF1DE,則z■。兄4即為

二面角A-DE-。的平面角，由此能求出二面角A—DE-。的余弦值.

本題考查二面角的定義及余弦值的求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于力，由棱柱、圓柱的體積公式，等底面積、等高的兩個(gè)柱體，體積相等，A正確;

對(duì)于氏底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面射影為底面中心的棱錐是正棱錐，8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,有一個(gè)面是正方形的長(zhǎng)方體是正四棱柱，C正確；

對(duì)于D,用斜二測(cè)畫法作水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，正方形的直觀圖是平行四邊形，。錯(cuò)

誤.

故選：AC.

根據(jù)題意，由正方體的幾何結(jié)構(gòu)和平面圖形的直觀圖，依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案.

本題考查棱柱的幾何結(jié)構(gòu)，涉及直觀圖的作法，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ACD

［解析］解：因?yàn)?'(x)=y/~3sin2x—2cos2x+1=y/~3sin2x-cos2x=2sin(2x—看),

由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，—2Wf(x)W2,A正確；

由于/管)=2si唯=1r0,故x建不是函數(shù)的零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；

/(-x)=2sin(-2x-J)*±/(x),故f(x)為非奇非偶函數(shù)，C正確；

令2x-*=3可得x=?為函數(shù)的一條對(duì)稱軸，O正確.

oL3

故選：ACD.

先利用二倍角及輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

本題主要考查了二倍角公式，輔助角公式的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于4因?yàn)椤?+爐<。2,所以c°sC=E直至<0，

2ab

因?yàn)镃W(0,71),所以C為鈍角，所以△4BC是鈍角三角形，故A正確；

對(duì)于8,因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以4+8冶，所以0<>8<4<看

因?yàn)閥=在(0,鄉(xiāng)上單調(diào)遞增，所以sin(］-8)<sinA,所以s譏4>s譏8,故3正確;

對(duì)于C,由——=-得bcosB,

cosBcosAQCOS/4=

由余弦定理得a?廬+。2-。2=b.a2+c2f2,

2bc2ac

2224224

所以@2(/_|_c2_@2)=爐(小+_fo),ac-a=bc-b,

所以一b2)=(a2-62)(a2+b2),所以(M-h2)(a2+b2-c2)=0,

所以a?—b2=0或a?+b2—c2=0,

所以△力BC為等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,在△ABC,A=45°,a=q,b=73.

則由正弦定理得三=—%,鼻=口，

sinAsinBstn450stnB

得sbiB=?，因?yàn)?。<8<135。，所以B=60?；駼=120。，所以△ABC有兩解，故。正確.

故選：ABD.

對(duì)于4,利用余弦定理分析判斷；對(duì)于B,利用誘導(dǎo)公式分析判斷；對(duì)于C,利用余弦定理統(tǒng)一成

邊形式化簡(jiǎn)判斷；對(duì)于O,利用正弦定理計(jì)算判斷.

本題主要考查解三角形，正余弦定理的應(yīng)用，三角形形狀的判斷，考查邏輯推理能力，屬于中檔

題.

12.【答案】BD

【解析】解：對(duì)于4連接A%,BQ,如圖,

AMu面4BGD1，而B(niǎo)e面ABCiDi，NC面4BGD],

??.M,N,4B四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若尸為中點(diǎn)，連接4F,N為棱CCi的中點(diǎn),

由長(zhǎng)方體性質(zhì)得AF〃8N,BN仁平面ADM,

若BN〃平面ADM,而4尸（1平面4。"=4,矛盾,

??.直線BN與平面ADM相交，故8正確；

對(duì)于C,若H,G分別是441，4/1中點(diǎn)，連接HD】，GDi，

由長(zhǎng)方體性質(zhì)知”。i〃4F，GD[〃B\M,

-AF//BN,.-.HDJ/BN,直線BN與所成角為/GDi”,

設(shè)AB=2a,由已知&G==&Di=a,^\HD1=GDr=HG=/7a，

.?.△HDiG為等邊三角形，NGD"為60。，

???直線BN與所成角為半故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若G是4%中點(diǎn)，貝IJMG〃&BJ/AD,二4、D、M、G共面，

平面ADM和平面的夾角即是面ADMG和面4祖（71。1的夾角，

???面4DMGn面4$心。1=MG,長(zhǎng)方體中初1&G,AAt1MG,

■■乙4GAi為面40MG和面&Bi&A的夾角，如圖，

cos乙4GAi=故。正確.

故選：BD.

對(duì)于A,連接ZDi，BG，根據(jù)AM、B、N與面ABCi。1位置關(guān)系即可判斷；對(duì)于8,尸為。久中點(diǎn)，

連接”，推導(dǎo)出4F〃BN,根據(jù)它們與面4CM的位置關(guān)系即可判斷；對(duì)于C,若H,G分別是

中點(diǎn)，連接GD1,推導(dǎo)出直線BN和BiM所成角為NG/，，再證明△H/G為等邊三角形

即可得大?。粚?duì)于。，若G是必當(dāng)中點(diǎn)，求面40MG和面的夾角即可，根據(jù)面面角的定義

找到其平面角即可.

本題考查四點(diǎn)共面的判斷、線面垂直的判定與性質(zhì)、異面直線所成角、二面角的定義及余弦值的

求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

13.【答案】?

【解析】解：復(fù)數(shù)z是方程/+2尤+2=0的根，

則復(fù)數(shù)￡是方程/+2尤+2=0的根，

故z-z=\z\2=2,解得|z|=y/~2-

故答案為：＜1.

根據(jù)已知條件，推得復(fù)數(shù)5是方程/+2x+2=0的根，再結(jié)合韋達(dá)定理，以及復(fù)數(shù)模公式，即可

求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】(1,「)

【解析】解：a=(4,0)5=(1,7~3)?

二五在另上的投影向量坐標(biāo)為：=

故答案為：(LV~3).

根據(jù)投影向量的計(jì)算公式求出答案即可.

本題考查了投影向量的計(jì)算公式，向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】曹

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)圓錐的高為八，母線長(zhǎng)為，，

圓錐S。的底面圓半徑。4=1,側(cè)面的平面展開(kāi)圖的面積為2兀，則有27r=7TXO4X/,

則，=2,

故該圓錐的高九=V4—1=

故此圓錐的體積V=之答h=穿.

故答案為：號(hào).

根據(jù)題意，設(shè)圓錐的高為九，母線長(zhǎng)為I,由圓錐的側(cè)面積公式求出I,進(jìn)而可得圓錐的高，由圓錐

體積公式計(jì)算可得答案.

本題考查圓錐的體積計(jì)算，關(guān)鍵求出圓錐的高，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】G，l)u(言

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(尤)=sinQx-軟3>0)在區(qū)間第兀)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),

所以7=22兀Y=

0)44

所以?巖，

由X6G，zr),

可得3X_：€?3_:，九3―力,

由0<3登，得一^〈注一并駕，

344412

15

解得<3<

當(dāng)一/<0,即OV3Vl時(shí)，則0VTTO)—/W7T,4--4-

所以;V3<1,

4

5859

苑

當(dāng)

小

解得

O<則<3<2<<

<-3-7T--7T---7T一---

441237T7T47T,44

綜上所述：3的取值范圍為G，i)uGt].

故答案為：G，I)UQ3].

根據(jù)題意可得r=穿之兀一六手從而可求得3的一個(gè)大范圍，根據(jù)xe/m可得蛇一色

(^3—1兀3-令，再由/3—%的范圍分類討論，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

本題考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想和分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】解：⑴設(shè)O(x,y),???4(-1,2),B(l,-1),C(0,l),且同=亦

(2,-3)=(x,y-l),

.?普=一3,解得「：［2,

???D(2,—2)；

(2)a=AB=(2,-3)5=BC=(-1,2).

??ka-b=(2k4-1,-3k—2)>a+2b=(0,1)，且kG一方與3+29垂直，

(ka-b)-(a+2b)=-3k-2=0.解得k=-|.

【解析】⑴設(shè)。(無(wú),y),根據(jù)點(diǎn)4B,C的坐標(biāo)及荏=方可得出(2,-3)=(x,y—l),然后解出*,

y即可；

(2)可求出k日一坂和方+23的坐標(biāo)，然后根據(jù)ka-石與W4-2石垂直得出(ka-K)?(a+2b)=0)

然后進(jìn)行向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算即可求出k的值.

本題考查了根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)的方法，向量坐標(biāo)的加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積的運(yùn)算,

向量垂直的充要條件，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】(1)證明：在正方形4BCD中，有力D1AE,CD1CF

則ADJ.4E,A'D1A'F,

又4EnA'F=A'

A'D_L平面4'EF

而EFu平面4EF,A'D1EF....6'

(2)由等體積可知％-DEF=^D-AiEF=3^A'EF，4。=g12'

【解析】(1)根據(jù)平面圖形折疊后的不變量可得4。A'DA'F,然后利用線面垂直的判定

得到線面垂直，從而得到線線垂直；

(2)利用等體積法，轉(zhuǎn)化求解即可.

本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算

能力.

19.【答案】證明：（1）』E,尸分別為4B,CD的中點(diǎn),

~DF=-CF,~EA=-麗，

"IF=EA+AD+~DF>①

EF=~EB+BC+CF，②

①+②得：2^麗+而+就+前+帚

.-.2EF=AD+BC.

解：（2），.?荏=2配，EG=|EF,

???AG=AE+EG=^AB+^EF=^AB++AD+OF）

=^AB+^-^AB+AD+^AB）

=^AB-^AB+^AD+^AB

2336

=^AB+IAD,

■.■\AB\=2\AD\=2r向量荏，力的夾角為全

：.AB-AD=\AB\\AD\cos^=2xlx；=l,

.?.|宿=J（逆+|硒2

I1>24，>45

=+98T0+。。

\999

=J”+”+”=l,

【解析】（1）由平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可證明；

（2）由平面向量的線性運(yùn)算得而=lAB+|而，再由平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)計(jì)算即可.

本題考查平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】證明：（1）如圖，連接BD,

所以EF〃BD,

因?yàn)镋F仁平面4BCD,BDu平面ABC。，

所以EF〃平面ZBCD；

解：（2）如圖，在線段4。上取點(diǎn)G,使AG="AD,連接FG,BG,

-1o

因PF=、P。,則FG//PA,且FG=（P4=2,

因PA_L平面ZBCD,

所以FGJL平面ABC。，F(xiàn)G1BG,

故"BG即為直線BF與平面/BCD所成角，

因/BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，

1?

所以4G=-/ID=AB=2,

BG=VAB2+AG2=J22+））2=￡￡12,

所以tan/FBG=恁=&=噂，

3

故直線BF與平面ABCD所成角的正切值為甯.

【解析】（1）證明EF〃B。，結(jié)合線面平行的判定定理即得；

（2）作FG〃P4則直線BF與平面ABCO所成角為NFBG,根據(jù)題中線段長(zhǎng)度，求tan"BG即可.

本題主要考查線面平行的判定定理和直線與平面所成的角，屬于中檔題.

21.【答案】解:(1)在△ACD中，440)=45。，AADC=60°,

故4。4c=75°,Z.ADB=120°,

由正弦定理得DCAD

sinz.DACsin乙4CD'

即”=也富，

s2n45

而sin75。=sin(30°+45°)=1？+?*浮=口嚴(yán),

故DC=-常=1+C，

V2—

故80=卬=；(l+/3),

故三角形手巾的面積為

1

SXADC+S&ADB=54。xDCxsinz.ADC+—ADxDBxsin/-ADB=5x2x(1.+V~3)2-

?、,1+C、,V-39+3口

224

(2)設(shè)80=m(m>0),貝iJC。=2m,

則在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcos^ADB=m2+4+2m,

在4AC。中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADCOSLADC=4m24-4—4m,

故4(?2_4m2+4_4m_4(m2+4+2m)-12(l+m)

AB2m2+4+2mm2+4+2m

=4_12(l+m)=4_12(l+m)=4_12

m2+4+2m(m+l)2+3(m+l)+島?'

由于(m+1)+122J(m+1).上=2「，當(dāng)且僅當(dāng)加+1=—］，即m=-1時(shí)取等

、'm+1Y、,m+1m+l

號(hào)，

故4------——>4-=4—2y/~3

6+1)+高2口，

即紇取到最小值即騎取最小值時(shí)，m=「一1,

AB1