2022-2023學(xué)年遼寧省錦州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2022-2023學(xué)年遼寧省錦州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.直線x+y-3=0的傾斜角是（）

A.30oB.450C.135oD.150°

2.算盤是中國古代的一項重要發(fā)明，迄今已有2600多年的歷史.現(xiàn)有一算盤，取其兩檔（如

圖一），自右向左分別表示十進(jìn)制數(shù)的個位和十位，中間一道橫梁把算珠分為上下兩部分，梁

上一珠撥下，記作數(shù)字5,梁下四珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖二算盤表示整數(shù)51）,若撥動圖

1的兩枚算珠，則可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為（）

十位個位十位個位

圖一圖二

A.6B.8C.10D.15

3.如圖，在四面體CMBC中，M是棱。力上靠近點4的三等分點,

N,P分別是BC,MN的中點.設(shè)瓦？=五，OB=b，OC=c,則向

量而可表示為（）

A,?ɑ+?h+?e

444

B.+

C.:有+gb+

d?扣+3+也

4.若雙曲線條-A=I（α>0,b>0）的焦點到漸近線的距離等于實軸長，則雙曲線的離心率

為（）

A.√2B.√3C.√5D.2

5.(X+2y)(x-y＞的展開式中My4的系數(shù)為()

A.-15B.5C.-20D.25

6.直線2的方向向量為訪=（1,0,-1）,且2過點4（1,1,1）,則點P（-l,2,l）至"的距離為（）

A.√2B.√3C.√6D,2√2

7.如圖，直三棱柱ABC-&B1G的所有棱長均相等，P是側(cè)A1A

面441GC內(nèi)一點，若點P到平面BBIClC的距離IPEI=爭PA/,\'、、、/

則點P的軌跡是（）Az?*/

b'B

A.圓的一部分B.橢圓的一部分C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分

8.已知實數(shù)X,y滿足XlXl—摯=1,則∣√5x-y-6∣的取值范圍是（）

A.[6-√6,3）B.[6-√6,6）C.[3-y,3）D.[3-y,6）

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.在（2x-套）8的展開式中，下列說法正確的有（）

A.所有項的二項式系數(shù)和為256B.所有項的系數(shù)和為1

C.二項式系數(shù)最大的項為第4項D.有理項共4項

10.已知雙曲線C:I-I=1，P是該雙曲線上任意一點，F(xiàn)1，&是其左、右焦點，力（6,0）,

則下列說法正確的是（）

A.若∣PFz∣=8,則IPFll=12

B.∣P4∣的最小值為√正

C.∣PF∕的最小值為1

D.若AFiPFz是直角三角形，則滿足條件的P點共4個

11.已知曲線C：也+j=1，則下列結(jié)論正確的有（）

A.曲線C關(guān)于原點對稱

B.曲線C是封閉圖形，且封閉圖形的面積大于2兀

C.曲線C不是封閉圖形，且圖形以X軸和y軸為漸近線

D.曲線C與圓光2+y2=4有4個公共點

12.已知邊長為2的正三角形ABC中，。為BC中點，動點P在線段OB上（不含端點），以4P為

折痕將△4PB折起，使點8到達(dá)B'的位置.記NAPC=α,異面直線eC與AP所成角為/?,則對

于任意點P,下列成立的是（）

A.M-Fc>0B.a>β

C.存在點B',使得B'P1CPD.存在點B',使得ZO1平面E'PC

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.直線小x+ay+2a-1=0,l2:ax+y+1=0,若及〃％，則實數(shù)a的值是.

14.已知向量方，b?不是空間向量的一組基底，Afi-2a+bfAC-a+c?AD=b+λc>

若4B,C,。四點共面.則實數(shù)；I的值為一.

15.設(shè)ɑ∈Z,且0≤α<13,若5^023+cι能被13整除，則α=—.

16.在AABC中，AC=6,BC=8,ZC=90o,P為△4BC所在平面內(nèi)的動點，且PC=2,

則AZlBP面積的最大值是—，福.麗的取值范圍是—.

四、解答題(本大題共6小題，共70.()分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

電影張津湖》講述了在極寒嚴(yán)酷環(huán)境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神

為長津湖戰(zhàn)役勝利做出重要貢獻(xiàn)的故事，現(xiàn)有4名男生和3名女生相約一起去觀看該影片，他

們的座位在同一排且連在一起.

(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？

(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？

(3)甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？

18.(本小題12.0分)

已知點4(-1,0),B(2,0),N(-4,4),動點M滿足牖=；,記動點M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)求過點N與曲線C相切的直線方程；

(3)曲線C與圓*2+、2-2'=0相交于？，F(xiàn)兩點，求∣EF∣.

19.(本小題12.0分)

如圖，正方體4BC。一aBIClDl的棱長為2,點E為BBl的中點.

(I)求證：AlCIAC1；

(2)求直線Λ4ι與平面DlAE所成角的正弦值：

⑶求點兒到平面DiAE的距離.

20.(本小題12.0分)

動點P到定點F(0,l)的距離之比它到直線y=-2的距離小1,設(shè)動點P的軌跡為曲線C,過點F的

直線交曲線C于4,B兩個不同的點，過點A,B分別作曲線C的切線，且二者相交于點M.

(1)求曲線C的方程；

(2)求證：AB-KF=O^

(3)求4ABM的面積的最小值.

21.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面4BCD為直角梯形，4D∕∕BC,?ADC=90°,平面PAD_L底

^ABCD,Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2,BC=^AD=1,CD=√3?

(1)求證：平面MQBI平面PAD；

(2)若PM=gpC,求異面直線4P與BM所成角的余弦值；

(3)在線段PC上是否存在一點M,使二面角M-BQ-C大小為30。？若存在，請指出點M的位

置，若不存在，請說明理由.

22.(本小題12.0分)

已知橢圓C：≡∣+^f=l(ɑ>e>0)的左、右頂點分別為4B,。為坐標(biāo)原點，直線AX=I與

C的兩個交點和。，B構(gòu)成一個面積為傷的菱形.

(1)求C的方程.

(2)圓E過。，B,交/于點M,N,直線4M,AN分別交C于另一點P,Q.

①求/?4p?∕?4Q的值；

②證明：直線PQ過定點.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：設(shè)直線x+y-3=0的傾斜角為火86[0。,180。).

?tanθ=-1,

???θ=135°.

故選：C.

利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出.

本題考查了直線斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本題以算盤為載體，考查簡單的歸納推理、算盤的算法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)

題.

根據(jù)分類加法和分步乘法計數(shù)原理即可求得.

【解答】

解：撥動兩枚算珠可分為以下三類：

(1)在個位上撥動兩枚，可表示2個不同整數(shù).

(2)同理在十位上撥動兩枚，可表示2個不同整數(shù).

(3)在個位、十位上分別撥動一枚，由分步乘法計數(shù)原理易得，可表示2X2=4個不同整數(shù).

所以，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，一共可表示2+2+4=8個不同整數(shù).

故選：B.

3.【答案】D

【解析】解：M是棱OA上靠近點4的三等分點，N,P分別是BC,MN的中點，

OA=α,OB=b，OC=

OP=iθM+?θ)v+?(θβ+OC)=?+∣O^+?=?+?+7c.

2224'y344344

故選：D.

根據(jù)向量的線性運算，即可求解.

本題主要考查空間向量及其運算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：???雙曲線焦點到漸近線的距離等于實軸長，

即點F(c,0)到直線bx±ay=0的距離等于2α

PCl—?

即了「一即b=2α,

2

y∣a+b

可得e2=S=ι+(=5,即e=√5?

故選：C

根據(jù)題意，點F(GO)到直線bx±ay=0的距離等于2a.由點到直線的距離公式，建立關(guān)于a、b、c

的方程，化簡得出b=2a,再利用雙曲線基本量的平方關(guān)系和離心率公式，即可算出該雙曲線的

離心率.

本題給出雙曲線滿足的條件，求該雙曲線的離心率.著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性

質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：(X+2y)Q-y)5的展開式中含∕y4的項為XXCJX(_y)4+2yXC02(_y)3=

-15x2y4,

所以∕y4的系數(shù)為-15,

故選：A.

利用二項式定理求出含My4的項，由此即可求解.

本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：直線2的方向向量為沆=(Lo,—1),且I過點4(1,1,1),

又點P(-l,2,l),

則方=(-2,1,0).

則∣4P∣=√5,

V..I而沅I_∣-2xl+0xl+(-DXol_歷

乂?I而I_√2-yj2,

???則點P(-l,2,l)到Z的距離為J(√5)2-(√2)2=√3-

故選：B.

由空間向量數(shù)量積的運算，結(jié)合向量的投影的運算求解即可.

本題考查了空間向量數(shù)量積的運算，重點考查了向量的投影的運算，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：如圖，作EDjL&B,做為FIBIC1，連接PD,

因幾何體為直三棱柱，則Ccl1平面AlBIG,又&FU平面AlBIC1，

則CCIjL&F,又CClU平面CICBB1，BIClU平面CICBB「

B1C1∩CC1=C1,則4/1平面ClCBB].

又由題可得PEj■平面GCBBl,則PE〃71$,

因EOlCIC,C1B11C1C,則EO〃GB「

又EDU平面EP。，EPU平面EPO,EPCtED=E,

A1FU平面&BIC1，F(xiàn)C1U平面AIBlC1，A1F∩FC1=F,

則平面EPD〃平面4BιCι?

因平面AIGa4n平面EPD=PD,平面AICICan平面4/6=A1C1,則PD〃4c「

5

故NPOE=ZZl1C1B1=≡結(jié)合PEIPEC1CBB1,EDU平面ClCBB「

可得PEJ_ED,則IPEl=IPDIS嗚=爭PDb

又IPEl=爭P4/，貝IJIPDl=IP4|,

由題有CGIAIC1，結(jié)合PD〃/11G，則CClIPD,

即IPOl為點P到直線CCI距離.

故點P到定點&距離等于點P到直線BBI距離，

則點P軌跡為拋物線的一部分.

故選：D.

作EOIBlB,做&FJ.B1C1，連接PD.可證得“OE=44/16=g及BBlIPC,則IPEI=

爭Pall=?PD?=IPyIIl據(jù)此可得答案.

本題考查了立體幾何中的動點軌跡問題，屬于中檔題.

∣√3x-y-6|的幾何意義是曲線上的點到直線√5x-y-6=O距離的2倍.

雙曲線的漸近線與√5x-y—6=O平行，所以：2X鑼=6,

J√3+l

由題意可知直線與橢圓/+1=I在第四象限的部分相切時，距離取得最小值，設(shè)切線為：√3x-

y—t=0,

y∕3x—y-C=O

2,可得6——2√5t%+產(chǎn)—3=0,Δ=12t2—24(t2—3)=0,解得t=—通，

%29÷yv=1

t=乃舍去，

所以最小值為：2乂9智=6-逐.

√3+l

所以—y—6］的取值范圍是：［6—6).

故選:B.

分類討論，畫出圖形，利用∣√5x-y-6|的幾何意義，轉(zhuǎn)化求解即可.

本題考查曲線與方程，注意分析XIXl-岑=1對應(yīng)的曲線，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中

檔題.

9.【答案】AB

【解析】解：選項A：所有項的二項式系數(shù)和為28=256,故A正確；

選項B：令X=1,則(2xl-4)8=l,

故所有項的系數(shù)的和為1，故B正確；

選項C：二項式系數(shù)的最大的項的上標(biāo)為I=4,

故二項式系數(shù)最大的項為第5項，故C不正確；

選項。：通項為幾+1=(?(2x)8f(一哥=(_i)k.28f.俏.χ8/∕c=0,

當(dāng)k=0,2,4,6,8時為有理項，共5項，故力不正確，

故選：AB.

利用二項式定理以及展開式的通項，賦值法對應(yīng)各個選項逐個判斷即可.

本題考查二項式定理，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：???雙曲線C??-?=1，

45

a=2,b—fc=3,

對4選項，???∣∣PF21-IPFIll=∣8-IPFlIl=2a=4,

二∣PF∕=12或4,且12>c+α,4>c—a,

??.IPFll=I2或4,.?.A選項錯誤；

對B選項，設(shè)P(X,y),則I-A=I,.?.y2=乎一5，

454

.??∣PZ∣=√(%-6)2+y2=J(X—6)2+竽_5=Ji(X—1尸+15,

二當(dāng)X=等償>α=2)時，IP川的最小值為Vl5??.B選項正確；

對C選項，?；∣PF[I的最小值為C-α=1,???C選項正確；

對。選項，???若ARPFz是直角三角形，當(dāng)以Fl或F2為直角頂點時各2個,

當(dāng)以P為直角頂點時有2個，.?.滿足條件的P點共6個，???D選項錯誤；

故選：BC.

對A,C,。選項，根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解；

對B選項，根據(jù)函數(shù)思想，即可求解.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，函數(shù)思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

11.【答案】AD

【解析】

【分析】

本題考查曲線的方程與方程的曲線，考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查分析問題與解決問題的能

力，是中檔題.

在曲線方程中分別以-X替換》,以-y替換y方程不變判斷4由曲線方程的特征判斷B與C；通過

解方程組判斷D.

【解答】

解：由于(x,y)與(一居-y)都滿足方程1+也=1,故曲線C關(guān)于原點對稱，A正確；

當(dāng)Xτ+8時，IylTI曲線C不是封閉曲線，且X軸不是圖形的漸近線，故BC錯誤；

聯(lián)立‘+A1,解得卜=一嚕或卜=%或卜=E或卜=￡

/2+y2=4Iy=-√2(y=72Iy=-√2(y=√2

二曲線C與圓/+y2=4有4個公共點，故。正確.

故選：AD.

12.【答案】ABC

【解析】

【分析】

利用空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可判斷4選項；利用空間向量夾角的數(shù)量積表示可判斷B選項；利

用線面垂直的性質(zhì)可判斷C選項；利用反證法可判斷。選項.

本題考查異面直線所成的角，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.

【解答】

解：對于A選項，因為可?前=可.(正—國)=PA-PC-PA-TBPA-(PC-PB)=PA-BC^

由圖可知，＜刀,反f＞為銳角，故方.沅=雨.瓦t＞0，4對；

對于B選項，因為IBCl=IB'P∣+∣PC∣>∣B'C∣,因為CoSa=ICOs<同,或>|=翳篙，

cosβ=?cos<PA,Wc>?=??=??,

∣P4∣-∣B,C∣?PA??B'C?

所以，CoSa<cosβ,

因為。、/?均為銳角且函數(shù)y=Cosx在（0,方上單調(diào)遞減，故α>∕?,B對；

對于C選項，???A0?LPC,過直線Ao作平面α,使得PCl平面α,設(shè)B'Cna=E,連接OE,

因為PCI平面α,OEU平面α,貝∣JθEIPC,

在翻折的過程中，當(dāng)P'B〃。E時，B'PLPC,故存在點B',使得B'P1CP,C對；

對于。選項，若4。1?平面B'PC,???OB'u平面B'PC,則4。_L。8',

.?.?0B,?=JIBNl2-MBI2=1,事實上，1=?B'P?+?P0?>?0B'?,矛盾，故假設(shè)不成立，D錯.

故選：ABC.

13.【答案】-1

【解析】解：直線。：x+ay+2a-1=0,l2?ax+y+1=0,l1∕∕l2>

則1×l=a2,解得α=1或α=-1,

當(dāng)α=l時，兩直線重合，不符合題意，舍去，

當(dāng)a=-l時，兩直線不重合，符合題意，

故α=—1.

故答案為：-1.

根據(jù)己知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】-2

【解析】解：4,B,C,。四點共面，

則荏，AC，而共面，

故存在實數(shù)m，n,使得而=m通+n前，

AB=2α+h>AC=a+c>AD=b+λc<

b+λc=(2m+n)a+mb+nc>

???向量五，石，H是空間向量的一組基底，

2m+n=O(n=—2

?m=1，解得m=19

—Tt<λ——2

故實數(shù)4的值為-2.

故答案為：-2.

根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的共面定理，即可求解.

本題主要考查空間向量的共面定理，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】1

【解析】解：512°23+a=(52-1)2023+a

2021

=522023_ci023,522022+,52—-,52—嗡碧+a,

.?.512023+a被13整除的余數(shù)為：-l+a,而a∈Z,且0≤a<13,

若512023+a能被13整除，

?—1+ɑ=0,可得a=1,

故答案為：L

將512023化為(52-1)2023,求出被13整除的余數(shù)，再結(jié)合已知條件即可求解.

本題考查利用二項式定理求余數(shù)問題，屬中檔題.

16.【答案】34[-16,24]

【解析】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

由AC=6,BC=8,ZC=90°,P為aABC所在平

面內(nèi)的動點，且PC=2,

則4(6,0),B(0,8),P(2cosθ,2sinθ),θ∈[0,2π],

則AB=10,

設(shè)點。到直線4B的距離為d,

則TXABXd=4CXBC,

H∏?6x824

即d=而=丁,

則點P到直線AB的距離的最大值為署+2,

則44BP面積的最大值是"×10X(y+2)=34；

又說?RP=(2cosθ—6,2SiTIe)?(2cosθ,2sinθ-8)=4—12cosθ—16sinθ=4-20sin(θ+φ),

3

其中tα∏w=

又sin(9+φ)∈[—1,1],

則福?麗6[-16,24],

即西?麗的取值范圍是[-16,24],

故答案為:34；[-16,24].

先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算及三角函數(shù)值域的求法求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，重點考查了三角函數(shù)值域的求法，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)根據(jù)題意，先將3個女生排在一起，有掰=6種排法，

將排好的女生視為一個整體，與4個男生進(jìn)行排列，共有鹿=120種排法，

由分步乘法計數(shù)原理，共有6×120=720種排法；

(2)根據(jù)題意，先將4個男生排好，有川=24種排法，

再在這4個男生之間及兩頭的5個空位中插入3個女生有貓=60種方法，

故符合條件的排法共有24×60=1440種；

(3)根據(jù)題意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有題=24種排法，

由于甲、乙相鄰，故再把甲、乙排好，有2種排法，

最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人的5個空擋中有&=20種排法，

故符合條件的排法共有24×2×20=960種.

【解析】(1)根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將3個女生排在一起，再將排好的女生視為一個整體,

與4個男生進(jìn)行排列，由分步計數(shù)原理計算可得答案；

(2)根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將4個男生排好，再在這4個男生之間及兩頭的5個空位中插入3

個女生，由分步計數(shù)原理計算可得答案；

(3)根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：先排甲、乙、丙以外的其他4人，再把甲、乙兩人看成一個整體,

最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人的5個空擋中，由分步計數(shù)原理計算可

得答案.

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)因為點4(-1,0),B(2,0),動點M滿足黯=；,

設(shè)M(Xy),

所以

J(x-2)2+y2

化簡得(X+2)2+y2=4.

(2)由(1)可知曲線C為圓心為(一2,0),半徑為2的圓.

設(shè)過點N的切線方程為％=fc(y-4)-4,即Ay-%-4fc-4=0,

所以圓心(-2,0)到切線的距離為半徑,

∣-2+4k+4∣_

所以?r

所以k=0或k=

所以直線％=4或——%—4×(―^)—4=0,

即切線方程為X=4或4y+3%-4=0.

(3)曲線C：(%+2)2+y2=4,①

Hlx2+y2-2y=0,(2)

①一②得y=2%,

∣2×(-2)∣4

圓心(-2,0)到直線y=2%的距離&22

y∣2+l西

所以弦長IEFl=2y∕22—d2=

【解析】⑴因為點4(—1,0),B(2,0),動點M滿足弓需■=；,設(shè)M(X,y),j?lJ5=?.化簡,

11J(χ-2)2+y2

即可得出答案.

?-2+4k+4?_

(2)設(shè)過點N的切線方程為X=k(y-4)-4,即ky-x-4k-4=0,則^=2,解得k,

即可得出答案.

(3)曲線C(X+2)2+y2=4①，圓/+y2-2y=o②，①一②得弦EF的方程，計算圓心(一2,0)

到直線y=2x的距離d,再計算弦長∣EF∣,即可得出答案.

本題考查圓的方程，直線與圓的相切，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

19.【答案】(1)證明：以。為原點，DA,DC,DDl所在的直線分別為X,y,Z軸如圖建立空間直

角坐標(biāo)系,

則A(2,0,0),C(0,2,0),4(2,0,2),Ol(0,0,2),

A^C=(-2,2,-2);而=(-2,0,2)，

T^C-ADl=-2×(-2)+2×0+(-2)×2=0.

???A1C1AD1;

(2)解：因為4(2,0,0),Aι(2,0,2),D1(0,0,2),E(2,2,l),

?標(biāo)=(0,0,2),河=(-2,0,2),AEf=(0,2,1)，

設(shè)平面ZME的一個法向量為元=(x,y,z),則g,竺1=—2x+2z=°

(n?i4F=2y+z=0

令z=2,則％=2,y=-I9?n=(2,-1,2),

設(shè)直線Λ4ι與平面DlAE所成角為仇

?n-AA[?2

則sin。I4I

?n???AA;?12×√4+l+413,

故直線Λ4ι與平面DiAE所成角的正弦值為|；

(3)解：由(2)知，平面ADIE所的法向量為五=(2,—1,2),

^AA[=(0,0,2)

所以為到平面ZME的距離d=叵聾1=通篇=*

【解析】(1)以。為原點，DA,DC,DDl所在的直線分別為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用

向量法即可得證：

(2)求出平面ADiE的一個法向量，再根據(jù)線面角的向量公式即可求出；

(3)根據(jù)點到平面的距離向量公式即可求出.

本題考查了線線垂直的證明和線面角、點到平面距離的計算，考查邏輯推理能力與運算求解能力，

屬于中檔題.

20.【答案】(1)解：由已知，動點P在直線y=-2上方，條件可轉(zhuǎn)化為動點P到定點F(OJ)的距離

等于它到直線y=-1距離(1分)

???動點P的軌跡是以F(0,l)為焦點，直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線

故其方程為χ2=4y.(2分)

(2)證：設(shè)直線4B的方程為：y=kx+1

由儼一戶「得：彳2_4依一4=0(3分)

{y=Kx+1

設(shè)4(X4,χ4),β(xβ,yβ)>則/+Xp=4k,XA?XB=-4

設(shè)過點4的切線方程為y=fc(x-%)+yA

2

聯(lián)立/_4y得：X—4kx+4kxA—⑼=0,

由A=0可得k=^XA

同理過點B的切線斜率∕C=^XB

二直線4M的方程為：XAX=2(y+yj4)...(J)(5分)

直線的方程為：XBX=2(y+犯)…②(6分)

①-②得:X(XA-XB)=2(yA-yβ)=∣(?i-?i)>即X=氣=2k(7分)

將X=手(7代入①得：y=-1

???故M(2k,-1)(9分)

???MF=(2k,-2),AB=(XB~×A?K×B~×A'))

.-.AB-MF=2k(無8-XA)-2fc(xβ-XA)=O(IO分)

(3)解：由(2)知，點M至叢8的距離d=MF=2√TFF

2

VAB=AF+BF=χ4÷+2=k(xA+xβ)+4=4fc+4

??______

：.S=^AB?d=2×4(∕c2+1)×2√?2+1=4√(fc2+I)3≥4

???當(dāng)k=O時，△ABM的面積有最小值4.(12分)

【解析】(1)條件可轉(zhuǎn)化為動點P到定點F(0,1)的距離等于它到直線y=-1距離，即動點P的軌跡

是以F((U)為焦點，直線y=-l為準(zhǔn)線的拋物線

(2)設(shè)直線4B的方程為：y=kx+l,由二藍(lán):1得：%2-4/cx-4=0.可得直線ZM的方程為：

2Z

XAX=2(y+yλ),直線BM的方程為:XBX=(y+3B)>即M(2k,-1).可得通?MF=2fc(xs-xj4)-

2k(xβ—XA)=0.

22

(3)點M到AB的距離d=MF=2√l+∕cMB=AF+BF=yA+yB+2=k(xA+xe)+4=4fc+

4,S=i?B?d=；X4(∕C2+1)×2√∕c2+1=4√(fc2+l)3≥4.

本題考查軌跡方程的求法，考查拋物線的定義，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，有

難度.

21.【答案】證明：g：ADHBjBC=^AD=1,Q為的中點，

四邊形BCDQ為平行四邊形，

.?.CD//BQ,

Xv?ADC=90o,BRCD1AD,

.?.BQI4。，

又???平面PyIDJ■底面ABCD,且平面24。n底面ABCD=AD,BQU底面ABCD,

.?.BQJ■平面HW,

又?.?BQU平面MQB,

.?.平面MQB1平面PA。；

解：(2)???PA=PD,Q為4。的中點，

.?.PQ1AD,

又平面PAD_L底面4BCC,且平面Λ4OC底面ABCD=4。，PQU平面/MD,

.?.PQ，平面ABC。，

以點Q為坐標(biāo)原點，分別以正，QB,而為X軸，y軸，Z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

所示：

則Q(0,0,0).4(l,0,0),P(0,0,√3)-B(0,√3,0),C(-l,√3,0),

??^M=?=∣(-l,√3,-√3)=(-??,-?)-^P=(-l,0,√3)-

：.BM=BP+PM=(0,-√3,√3)+(-?y,-γ)=(一1一竽,竽),

???異面直線4P與8M所成角的余弦值為ICoS<AP,的>∣=≡≡????

(3)假設(shè)存在點M,設(shè)麗=4無=4-l,√5,-√5),且0≤4≤l,

M(一尢√3λ,√3-√3λ),.-.QM=(-λ,√3λ,√3-√3λ).

又謔=(0,√3,0).

設(shè)平面MBQ的一個法向量為沅=(x,y,z),

則河耍=By=O,(7=0

令％=√3,解得)λ>

(m?QM=-Xx+V3λy+(V3—y∕3λ)z=0tz=τ→

???in=(?/?,θ,?),

i-Λ

由(2)可知，平面BQC的一個法向量為元=(0,0,1),

???二面角M-BQ-C大小為30。，

→.∣fn?n∣lj?7∣√3

???cos30°=∣cos<m,n>\=-=????=

yj'?1+Λ^

解得4=,或;I=|,

又???0≤λ≤1,

?3

:?A=-

4

故存在點M,位于靠近點C的四等分點處.

【解析】(1)易證四邊形BCDQ為平行四邊形，所以C7√∕BQ,又因為CDI.4。，所以BQI.AD,又

平面PanJL底面ABCD,所以BQ1平面P4D,再由平面與平面垂直的判定定理即可證得平面MQB1

平面PaD；

(2)先證出PQ，平面4BC。，以點Q為坐標(biāo)原點，分別以西，QB,評為X軸，y軸，Z軸的正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點的坐標(biāo)，進(jìn)而求出相應(yīng)向量的坐標(biāo)，再利用異面直線的夾角公

式求解即可；

(3)假設(shè)存在點M,設(shè)麗=4同,且0≤4≤l,所以而=(-λ,√3Λ,√3-√5∕l)，又謔=(O,√