2023-2024學(xué)年重慶市永川高二年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年重慶市永H|高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、單項(xiàng)選擇題（本大題8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.火車開出車站一段時(shí)間內(nèi)，速度丫（單位：米/秒）與行駛時(shí)間M單位：秒）之間的關(guān)系是V⑺=04+0.6/2,

則火車開出幾秒時(shí)加速度為2.8米/秒？（）

257

A.一秒B.2秒C.一秒D.一秒

323

【正確答案】B

【分析】

對(duì)函數(shù)□（/）求導(dǎo)，然后令M（∕）=2.8,解方程可得.

【詳解】由題意可知，v?t）=0.4+1.26令0.4+1.2f=2.8可得，t=2（秒）.

故選：B.

2.已知C：=C：,則A：=（）

A.28B.30C.56D.72

【正確答案】C

【分析】由組合數(shù)性質(zhì)求出〃，再用排列數(shù)公式求值.

【詳解】因?yàn)镃：=C：,

所以由組合數(shù)性質(zhì)得，"=3+5=8,

所以A：=Aj=8x7=56.

故選：C.

3.在（d一3）的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和是16,則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為（）

A.16B.32C.1D.-32

【正確答案】A

【分析】先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式得〃=4,再令特殊值X=I即可求得答案.

【詳解】解：因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)的和是16,所以2"=16,解得〃=4,

所以，令x=l得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為（-2）4=16?

故選：A

4.隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且尸（X=I）=O.2,令y=3X-2,則尸（丫=-2）=（）

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.8

【正確答案】D

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的性質(zhì)求出P(X=0),則尸(y=—2)=P(X=0).

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X=I)=O.2,

所以P(X=O)=I—尸(X=I)=I—0.2=0.8,

由y=3X-2,所以P(y=-2)=P(X=0)=0.8.

故選：D

5.設(shè)α為實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=χ3+αr(χeR)在X=I處有極值，則曲線y=∕(x)在原點(diǎn)處的切線方程為

()

A.y=-2xB.y=-3x

Cy=3xD.y=4x

【正確答案】B

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算得/'(x)=3χ2+α,由極值情況可求得。=-3,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求

得在原點(diǎn)處的切線方程.

【詳解】因?yàn)?(x)=χ3+αx(xeR),所以/'(x)=3/，

又函數(shù)/(x)在x=l處有極值，則/'⑴=3+α=0,得α=-3

所以/(x)=∕-3x,f^(x)=3x2-3,令/"(χ)=0得X=-I,χ=l

且函數(shù)/(x)在(-8,T)遞增，(Tl)遞減，。,+8)遞增，則X=I是函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn)，

所以/'(0)=α=-3,/⑼=0,則曲線y=∕(x)在原點(diǎn)處的切線方程為y=-3x.

故選：B

6.按照編碼特點(diǎn)來分，條形碼可分為寬度調(diào)節(jié)法編碼和模塊組合法編碼.最常見的寬度調(diào)節(jié)法編碼的條形

碼是“標(biāo)準(zhǔn)25碼”，“標(biāo)準(zhǔn)25碼”中的每個(gè)數(shù)字編碼由五個(gè)條組成，其中兩個(gè)為相同的寬條，三個(gè)為相同的

窄條，如圖就是一個(gè)數(shù)字的編碼，則共有多少()種不同的編碼.

A.120B.60C.40D.10

【正確答案】D

【分析】本題轉(zhuǎn)化為排列問題，即3個(gè)分別相同的元素與2個(gè)分別相同的元素排成一列的總數(shù)問題.

【詳解】由題意可得，該題等價(jià)于將5個(gè)元素(3個(gè)分別相同、2個(gè)分別相同)排成一列的所有排列數(shù)

A5

N=-^T=10.

?r??

故選：D

7.某考生回答一道四選一的考題,假設(shè)他知道正確答案的概率為0.5,知道正確答案時(shí),答對(duì)的概率為100%,

而不知道正確答案時(shí)猜對(duì)的概率為0.25,那么他答對(duì)題目的概率為()

A.0.625B.0.75C.0.5D.0

【正確答案】A

【分析】他答對(duì)題目的概率等于知道正確答案時(shí)答對(duì)和不知道正確答案時(shí)猜對(duì)的概率和，依題意求解即可.

【詳解】用/表示事件“考生答對(duì)了”，用B表示“考生知道正確答案”，

用B表示“考生不知道正確答案”，

則尸(8)=0.5,P(A)=O.5,尸(/忸)=100%,

尸(/同=0.25,則

尸(Z)=P(Z8)+尸(/月)=尸(N⑻尸⑻+P(Z同P(耳)=1x0.5+025x0.5=0.625

故選：A

Y1

8.已知函數(shù)/(x)=e',g(x)=In萬+a的圖象分別與直線y=加(加〉0)交于48兩點(diǎn)，則H4的最

小值為()

1C,3

A.2B.2+ln2C.e2+-D.2β-ln-

22

【正確答案】B

【分析】先由題意用掰表示48兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離得到H4=2e'"T_lnM，令

1

MX)=2e'”—lnx(x>0)，用導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最小值即可得出結(jié)果?

γ1

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=eA?,g(x)=ln∕+5的圖像與直線V=加分別交于48兩點(diǎn)，

(\\

所以/(Inw,m),B2e2,m,其中2e"-7〉lnm，且加>。，

\/

?

所以I4同=2e-Inzw,

,

令MX)=2e2-JnX(X>0)

?111

則”(x)=2eL令/(χ)=0得：X=-.

所以易得：x>5時(shí)，/∕,(x)>O；0<x<5時(shí)，

即函數(shù)MX)在(0,；)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

(1、

因此MX)≥∕2-=2+ln2,即MM的最小值為2+ln2?

故B.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，先構(gòu)造出函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的最值即可，屬于?？碱}型.

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，選錯(cuò)或不選得0分.)

9.下列結(jié)論正確的是()

A.若隨機(jī)變量自服從二項(xiàng)分布川4,；),則尸(J=3)=；

B.若隨機(jī)變量乙服從正態(tài)分布N(5,/),4"<2)=0/，則P(2<τ∕<8)=0.8

c.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，P(X=I)=;,則。(X)=g

D.若隨機(jī)變量Y的方差。(y)=2,則。(3Y+2)=8

【正確答案】AB

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率，正態(tài)曲線的對(duì)稱性，兩點(diǎn)分布的期望，方差的性質(zhì)，即可分別求解.

【詳解】對(duì)于A,若隨機(jī)變量自服從二項(xiàng)分布《4,,則尸(g=3)=C：(；)3.(l—故選項(xiàng)A

正確.

對(duì)于B,若隨機(jī)變量〃服從正態(tài)分布N(5,σ?2),p(77<2)=O.l,則P(z7>8)=O?l,

故P(2<τ∕<8)=l-尸(〃<2)-尸①>8)=0.8,故選項(xiàng)B正確.

對(duì)于C,若P(X=I)=g,E(X)=-,D(X)=(O-L)2χL+(l-L)2χL=L,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,根據(jù)方差的計(jì)算公式，O(y)=2,則。(3y+2)=32jD(y)=l8,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.二項(xiàng)展開式(2χ-l)5=%χ5+%χ4+%χ3+%χ2+qx+4,貝IJ()

A.?=-1B.5%+4劭+3%+2%+Q]=10

C.%=80D.〃]+%+。3+。4+〃5=1

【正確答案】ABC

【分析】對(duì)A、D選項(xiàng)，給X賦特值即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)則需要根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的公式即可得出；對(duì)于

B選項(xiàng)求導(dǎo)以后賦特值即可求出.

【詳解】對(duì)A：令X=0,可得故A正確；

4432

對(duì)B：左右兩邊分別求導(dǎo)得：5×(2X-1)×2=5a5x+4a4x+3ajx+2a2x'+aλ,令X=1,得

5%+4%+3%+2%+6=1°，故B正確；

32

對(duì)C：α3=C^×2×(-l)=80,故C正確；

對(duì)D：令X=1,可得/+q+出+/+4+為=L而α0=T,所以％+%+%+%+%=2，故D錯(cuò)

誤.

故選：ABC.

11.第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日在北京和張家口聯(lián)合舉行.甲、乙等5名志愿者計(jì)劃到高山滑雪、

自由式滑雪、短道速滑和花樣滑冰4個(gè)比賽區(qū)從事志愿者活動(dòng)，則下列說法正確的有()

A.若每個(gè)比賽區(qū)至少安排一名志愿者，則有240種不同的方案

B.安排5名志愿者排成一排拍照，若甲、乙相鄰，則有42種不同的站法

C.若短道速滑必須安排兩名志愿者，其余各安排一名志愿者，則有60種不同的方案

D.已知5名志愿者身高各不相同，若安排5名志愿者拍照，前排兩名，后排三名，后排要求身高最高的

站中間，則有40種不同的站法

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)分組分配法即可判斷AC,根據(jù)捆綁法可以判斷B,根據(jù)特殊位置優(yōu)先安排可判斷D.

【詳解】解：對(duì)于A：若每個(gè)比賽區(qū)至少安排1人，則有C；A：=240種不同的方案，故A正確；

對(duì)于B：把甲乙捆綁在一起，看作一個(gè)復(fù)合元素，再和另外的三人全排，則有A；A：=48種，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：短道速滑賽區(qū)必須安排2人，其余各安排1人，則有C；A；=60種不同的方案，故C正確；

對(duì)于D：先排前排，由A；=20種，后排3人中身高最高的站中間，則兩邊的有A；=2種，貝IJ有20X2=40

種，故D正確.

故選：ACD

12.已知函數(shù)［(x)=SinX+/一依，則下列結(jié)論正確的是()

A./(x)是奇函數(shù)B.當(dāng)α=-3時(shí)，函數(shù)/(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)

C.若/(x)為增函數(shù)，則α≤lD.當(dāng)α=3時(shí)，函數(shù)/(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)

【正確答案】ACD

【分析】

利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/(X)的單調(diào)性，可判斷B選項(xiàng)的正誤；

利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用導(dǎo)數(shù)以及零點(diǎn)存在定理可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)/(x)=SinX+χ3一6的定義域?yàn)镽,

/(-X)=Sin(-x)+(-Xy+qx=-sinx-χ3+aχ=一/(χ),函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)α=-3時(shí),f(x)=sinx+x3+3x,則/'(X)=CoSX+3x?+3>0,

所以，函數(shù)/")在R上為增函數(shù)，又/'(0)=0,所以，函數(shù)/")有且只有一個(gè)零點(diǎn)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，/'(X)=CoSX+3χ2-α,

由于函數(shù)/(x)為增函數(shù)，則/'(x)?0對(duì)任意的XeR恒成立，即α≤3F+COSX-

令g(x)=3χ2+cosx,則g'(x)=6x-sinx,則g"(x)=6—CoSX〉0,

所以，函數(shù)g'(x)在R上為增函數(shù)，

當(dāng)X<O時(shí)，g'(x)<g'(0)=0,此時(shí)，函數(shù)g(x)為減函數(shù)；

當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>g'(0)=0,此時(shí)，函數(shù)g(x)為增函數(shù).

所以，g(x)mjn=g(O)=l,.?.a≤?,C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)α=3時(shí)，/(x)=sin%+x3Sx,則/'(x)=cosx+3f-3.

由B選項(xiàng)可知，函數(shù)/'(X)在(y,0)上單調(diào)遞減，在(0,+力)上單調(diào)遞增，

?.?∕,(-l)=∕,(1)=CoSl〉O,Γ(0)=-2<O,

由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)/'(X)在(TO)和(0,1)上都存在一個(gè)零點(diǎn)，

因此，當(dāng)α=3時(shí)，函數(shù)/'(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

結(jié)論點(diǎn)睛：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，可按照以下原則進(jìn)行：

(1)函數(shù)/'(X)在區(qū)間O上單調(diào)遞增。/"(無)》O在區(qū)間。上恒成立；

(2)函數(shù)/(X)在區(qū)間O上單調(diào)遞減=∕'(x)≤0在區(qū)間。上恒成立；

(3)函數(shù)/(x)在區(qū)間。上不單調(diào)O/'(X)在區(qū)間。上存在極值點(diǎn)；

(4)函數(shù)/")在區(qū)間。上存在單調(diào)遞增區(qū)間=五e(cuò)。，使得/小)>0成立；

(5)函數(shù)/(x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞減區(qū)間oite。，使得了'(x)<0成立.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知函數(shù)/`(X)=Sin2x+ln2,則/'(χ)=

【正確答案】2cos2x

【分析】直接利用初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式,簡單復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算律求解即可.

【詳解】因?yàn)?Sin2x)=2cos2χ,(ln2)=0,

所以，由/(X)=sin2x+ln2可得f?x)=2cos2x+0=2cos2x,

故答案為：2cos2x.

14.已知隨機(jī)變量J~3(5,p),且EK)=2，則。(/=.

70

【正確答案】—

81

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式計(jì)算即可.

【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)變量J?8(5,p),

IO2

所以E(/=5p=§,所以"=g,

70

所以。

8?

故答案為.—

81

15.2021年5月15日，天問一號(hào)探測(cè)器在火星烏托邦平原南部預(yù)選著陸區(qū)著陸，我國首次火星探測(cè)任務(wù)著

陸火星取得成功，極大地鼓舞了天文愛好者探索宇宙奧秘的熱情.某校航天科技小組決定從甲、乙等6名同

學(xué)中選出4名同學(xué)參加A市舉行的“我愛火星”知識(shí)競(jìng)賽，已知甲被選出，則乙也被選出的概率為.

3

【正確答案】-##0.6

5

【分析】利用條件概率公式即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)“甲同學(xué)被選出”記為事件A,“乙同學(xué)被選出“記為事件8,

則在甲同學(xué)被選出的情況下，乙同學(xué)也被選出的概率P(8∣N)==?=∣?

故3

5

16.已知函數(shù)/(x)=l+lnX,若對(duì)?χ,X2G(L+O°)，??≠??都有|/(王)一/卜2)歸《∣lnx∣TnX2∣,

X

則％的取值范圍是.

【正確答案】-,+∞?

【分析】對(duì)函數(shù)/(χ)=WH求導(dǎo)可知/(χ)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，設(shè)

g(x)=∕(x)+左Inx,則當(dāng)χ>l時(shí)，g，(X)=一學(xué)+工≥0恒成立,即八地恒成立，設(shè)MX)=住,

XXxX

求其最大值后可求k的取值范圍.

【詳解】/'(X)=-號(hào)，則當(dāng)0<x<l時(shí)，歡χ)>0,

當(dāng)x>ι時(shí)，r(χ)<o,所以/(H在(o,ι)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

不妨設(shè)1<X1<X2,則/(%)>/(工2)，lnX1<lnX2,

由已知XXΓΠX即/(須)+左玉

/(I)-∕(2)≤A(12-Inxl),In≤/(x2)+?lnx2,

☆g(x)=/(x)+8nx,則g(x)在(l,+∞)上不存在減區(qū)間，

從而當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)=-%+&≥0恒成立，即發(fā)≥也恒成立，

v7X2XX

令MX)=皿，則/(χ)=上誓，當(dāng)χ∈(l,e)時(shí)，Λ,(x)>O,6(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，/(χ)<0,MX)單調(diào)遞減，所以MX)—=Me)=L所以

ee

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

17.在二項(xiàng)式(4f+《)"(?>0)的展開式中，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

(1)求”的值；

(2)若展開式中X的系數(shù)為56,求。的值.

【正確答案】(1)8(2)√2?

【分析】(1)根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的特征求出〃；

(2)寫出展開式的通項(xiàng)，令16-1=1,求出r,再代入得到方程，解得即可.

2

【小問1詳解】

ɑr?+j=)(4>0)的展開式中，

由二項(xiàng)式

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即C：最大，.J=8.

【小問2詳解】

易知二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為:

/?8一廠——1—r

1+1=c［4χ2)X2=c∕Aχ2,o≤z?≤8且reN,

\7

令16—"=1,得廠=6,

2

展開式中X的系數(shù)為56,

.?.eeɑ8-6=56,即Y=2,?.?a>O,解得α=√I,

故。的值為J∑?

18.設(shè)f(x)—xi—3x~~9X÷G.

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(x)的極大值為10,求函數(shù)/(x)在［-2,2］上的最小值.

【正確答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,-1)和(3,+8);

(2)-17.

【分析】(1)求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性；(2)由(1)知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，找到/")在X=-I處取得極大值,

可求出。，求得最小值.

【小問1詳解】

f'(X)=3χ2_6x-9=3(x-3)(X+1),

由/￠(,>0得x>3或x<-l,

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,-1)和(3,+8);

【小問2詳解】

由(I)知函數(shù)/(x)在x=—1處取得極大值，

即/(—1)=10,得α=5,則/(X)=J？-3/一9χ+5,

所以/(x)在［-2,-1］上單調(diào)遞增，在［-1,2］上單調(diào)遞減，

又/(-2)=3,/(2)=-17,所以/(x)在［—2,2］上的最小值為—17.

19.現(xiàn)有5本書和3位同學(xué)，將書全部分給這三位同學(xué).

(1)若5本書完全相同，每個(gè)同學(xué)至少有一本書，共有多少種分法？

(2)若5本書都不相同，共有多少種分法？

(3)若5本書都不相同，每個(gè)同學(xué)至少有一本書，共有多少種分法？

【正確答案】(1)6種；(2)243種；(3)150種.

【分析】(1)用擋板法求解;

(2)每本書都有三種分配方法，求鼎便可得到答案；

(3)用分組分配問題的求解方法求解，①將5本書分成3組，②將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)3名學(xué)生，由

分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

【詳解】解：(1)根據(jù)題意，若5本書完全相同，將5本書排成一排，中間有4個(gè)空位可用，

在4個(gè)空位中任選2個(gè)，插入擋板，有C；=6種情況，

即有6種不同的分法；

(2)根據(jù)題意，若5本書都不相同，每本書可以分給3人中任意1人，都有3種分法，

則5本不同的書有3x3x3x3x3=35=243種；

(3)根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①將5本書分成3組，

C3C1

若分成1、1、3的三組，有V?2?=10種分組方法，

A2

CcC

若分成1、2、2的三組，有4=15種分組方法,

則有10+15=25種分組方法;

②將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)3名學(xué)生，有團(tuán)=6種情況，

則有25x6=150種分法.

本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，難度一般.解答時(shí)注意擋板法、分組分配問題等

的應(yīng)用，注意分類討論思想的運(yùn)用.

20.為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某校決定在每周的同一時(shí)間開設(shè)《數(shù)學(xué)史》《生活中的數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué)與

哲學(xué)》《數(shù)學(xué)建?！匪拈T校本選修課程，甲、乙、丙三位同學(xué)每人均在四門校本課程中隨機(jī)選一門進(jìn)行學(xué)

習(xí)，假設(shè)三人選擇課程時(shí)互不影響，且每人選擇每一課程都是等可能的.

(I)求甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率；

(II)設(shè)X為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

33

【正確答案】⑴十(H)分布列見解析，E(X)=T

【分析】(I)根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理總事件數(shù)是4'，滿足條件的事件數(shù)是N：，利用古典概率計(jì)算公式即

可得出.

(II)設(shè)X為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù)，則X=0,1，2,3.P(J=O)=IPe=I)=駕1

44

PC=2)=竽；PC=3)=:,即可得出所求.

【詳解】解：(I)甲、乙、丙三人從四門課程中各任選一門，共有43=64種不同的選法,

記“甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同”為事件

243

事件〃共包含團(tuán)=24個(gè)基本事件，則尸(Al)=M=W

所以甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率為白3

O

(II)方法一：X可能的取值為0,1,2,3,

_27

P(X=O)=4,-64%X-D-3，-，

64

型2=2,P(X=3)=4

P(X=2)=

4364'J43-64'

所以X的分布列為:

X0123

272791

P

64646464

2727913

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=OX——+lx—+2x-+3x-=土

646464644

方法二：甲、乙、丙三人從四門課程中任選一門，可以看成三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，X為甲、乙、丙三人中選

修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù)，則X?B[3,；

,所以尸(X=左)=,左=0,1,2,3,

所以X的分布列為:

X0123

272791

P

64646464

13

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3x—.

44

21.為貫徹落實(shí)《健康中國行動(dòng)(2019—2030年)》《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見》等

文件精神，確保2030年學(xué)生體質(zhì)達(dá)到規(guī)定要求，各地將認(rèn)真做好學(xué)生的體制健康監(jiān)測(cè).某市決定對(duì)某中學(xué)

學(xué)生的身體健康狀況進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從該校抽取200名學(xué)生測(cè)量他們的體重，得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布

(1)求這200名學(xué)生體重的平均數(shù)X和方差/(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).

2

(2)由頻率分布直方圖可知，該校學(xué)生的體重Z服從正態(tài)分布"(4,er?),其中〃〃近似為平均數(shù)戛，σ

近似為方差S?.

①利用該正態(tài)分布，求R50.73<Z≤69.27);

②若從該校隨機(jī)抽取50名學(xué)生，記X表示這50名學(xué)生的體重位于區(qū)間(50.73,69.27］內(nèi)的人數(shù)，利用①

的結(jié)果，求E(X).參考數(shù)據(jù).痘Χ9.27若Z~M4,4),則尸(〃一b<Z<4+b)kO.6826,

P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<Z≤∕∕+3σ)?0.9974.

【正確答案】(1)60,86

(2)①0.6826；②34.13

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)的求法即可求出于，利用方差公式計(jì)算即可求解；

(2)由(1)可知〃=60,J=√86=9.27.結(jié)合題意給的參照數(shù)據(jù)即可求出產(chǎn)(50?73<Z≤69.27),

進(jìn)而得X?8(50,0.6826),利用二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可求解.

【小問1詳解】

由題意得，

X=40×0.02+50×0.3+60×0.4+70×0.23+80×0.04+90×0.01=60；

52=(40-60)2X0.02+(50-60)2×0.3+(60-60)2×0.4+(70-60)2X0