2023年北京各區(qū)(海淀朝陽豐臺東西城等)高三數(shù)學高考一模匯編-集合、復數(shù)、邏輯、不等式、向量、數(shù)列、函數(shù)匯編含詳解

目錄

專題一集合與常用邏輯用語........................13

1.1集合的概念和運算.......................................................13

1.2充要條件...............................................................13

專題二數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入....................14

2.1復數(shù)的概念及運算.......................................................14

2.2復數(shù)的幾何意義、模長...................................................14

專題三不等式....................................14

3.1不等式的性質...........................................................14

3.2常見不等式的解法.......................................................15

3.3均值不等式.............................................................15

專題四平面向量.................................15

4.1基本概念及線性運算.....................................................15

4.2平面向量數(shù)量積及應用...................................................15

專題五數(shù)列.....................................16

5.1等差數(shù)列................................................................16

5.2等比數(shù)列...............................................................17

5.3數(shù)列綜合應用...........................................................17

專題六函數(shù).....................................17

6.1函數(shù)性質................................................................17

6.2函數(shù)與方程.............................................................18

6.3函數(shù)開放性試卷.........................................................18

6.4函數(shù)應用題.............................................................18

6.5函數(shù)綜合................................................................18

專題一集合與有用逐科用語

1.1集合的概念和運算

一、選擇題

1.（2022-2023朝陽高三下一模01-4分）已知集合人=卜—44},集合B={x∣x>θ},則AUB=

A.(→=°,-2]B.[-2,0)C.[-2,-κo)D.(0,2]

2.（2022-2023東城高三下一模01?4分）已知集合A={x∣x2-2<θ},且α∈A,則?？梢詾?/p>

A.-2B.-1c?1D.√2

3.（2022-2023豐臺高三下一模OlY分）已知集合A={x∣T≤x≤l},θ=(x∣0<x≤2),則AUJB=

A.{x∣-l≤x≤1}B.{x∣O<x≤l}C.{x∣0<x≤2}D.{x∣-l≤x≤2}

4.（2022-2023海淀高三下一模01-4分）已知集合A={x∣l<x<3},8={0,l,2},則AB=

A.{2}B.{0,1}C.{1,2}D.(0,1,2)

5.（2022-2023西城高三下一模01-4分）已知集合A={-1,0,1,2,3},B={Λ∣√-3X<0},則AB=

A.{-1}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{-1,0,1,2}

1.2充要條件

一、選擇題

1.（2022-2023朝陽高三下一模05-4分）已知函數(shù)/(x)=V+X,則“占+?2=°”是"/(5)+/(9)=的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2022-2023東城高三下一模06-4分）設機，，是兩條不同的直線，a,〃是兩個不同的平面，且機U

a∕∕β,則是anlβn的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2022-2023豐臺高三下一模074分）設無窮等差數(shù)列|{4}的前〃項和為2,,則”對任意〃∈N*,者［，有4>0”是

“數(shù)列{S,,}為遞增數(shù)列”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2022-2023海淀高三下一模09-4分）已知等比數(shù)列｛α,,｝的公比為<7且g*l,記7；=4%.也,（〃=1,2,3,...）、則

“4>0且4>1”是"｛7；｝為遞增數(shù)列''的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2022-2023西城高三下一模07-4分）已知雙曲線C的中心在原點，以坐標軸為對稱軸.則“C的離心率為2”

是“<?的一條漸近線為了=石工”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C,充分必要條件D,既不充分也不必要條

件專題二數(shù)余的療先與復救的引入

2.1復數(shù)的概念及運算

1.（2023海淀一模2）若α+2i=ig+i）（α,b∈R）,其中i是虛數(shù)單位，則"+6=（）

A.-1B.1C.-3D.3

2.（2023豐臺一?模11）若復數(shù)竺?（ɑeR）是純虛數(shù)，則α=________.

1+1

2.2復數(shù)的幾何意義、模長

1.（2023西城一模11）若復數(shù)z=07,則IZI=__________.

1+1

2

2.（2023朝陽一模11）若復數(shù)Z=三，則IR=________.

1+1

3.（2023東城一模2）在復平面內，復數(shù)三對應的點的坐標是（3,-1）,則Z=

i

A.1+3zB.3÷zC.—3+iD.—1—3/

專題三不等灰

3.1不等式的性質

一、選擇題

1.（2022-2023朝陽高三下3月一模02-4分）若a>0>b,則

i3bab

A.a>h???>??Jcla<ibD.ln(6Z-?)>0

2.（2022-2023豐臺高三下3月一模02-4分）設4,b,c∈R,且α>∕?,則

?-14B.a2>b2C.a-c>h-cD.ac>bc

3.（2022-2023西城高三下3月一模03-4分）設α=lg2,?=cos2,C=20?2,則

A.b<c<aB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c

3.2常見不等式的斛法

一、填空題

不等式號>。的解集為

1.（2022-2023海淀高三下3月一模11-5分）

3.3均值不等式

一、選擇題

4

1.（2022-2023東城高三下3月一模04-4分）已知x>0,貝IJX-4+-的最小值為

X

A.-2B.0C.1D.2√2

專題印平面向量

4.1基本概念及線性運算

1.(2023海淀一模7)在ΔABC中,ZC=90o,ZB=30o,/a4C的平分線交BC于點￡).AD=λAB+μAC

(Z〃eR),則4=

?-1b?IC.2D.3

2.(2023西城一模5)已知戶為ZMBC所在平面內一點，BC=ICP,則

1312

A.AP=——AB+-ACB.AP=—A5+—AC

2233

3121

C.AP=-AB--ACD.AP=-AB+-AC

2233

4.2平面向量數(shù)量積及應用

1.（2023朝陽一模9）如圖，圓M為ZXABC的外接圓，AB=4,AC=6,N為邊BC的中點，則⑷V?AM=

A

B

B.10C.13D.26

2.（2023東城一模8）已知正方形ABC。的邊長為2,P為正方形ABa）內部（不含邊界）的動點,且滿足P4?P8=0,

則CPoP的取值范圍是

A.(0,8]B.[0,8)C.(0,4]D.[0,4)

3.<2023字臺一模12）巳知正方形ABCD的邊長為2，則ABAC=

.專題五戴列

5.1等差數(shù)列

1.（2023海淀一模03）在等差數(shù)列｛《,｝中，a2=?,%=5,則4=（）

A.9B.llC.13D.15

2.（2023豐臺一模07）設無窮等差數(shù)列｛”"｝的前〃項和為5.，則"對任意〃∈N*,都有>0”是“數(shù)列｛S,,｝為

遞增數(shù)列”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2023海淀一模09）已知等比數(shù)列｛叫的公比為q,且q*l,記7；=的「?。”（〃=1,2,3「-），則“4>0且

4>1”是“⑵｝為遞增數(shù)列”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2023東城一模14）己知數(shù)列｛q｝各項均為正數(shù)，α2=3α,.S“為其前"項和.若｛￡｝是公差為g的等差數(shù)

歹U,則ax-,an=.

5.（2023朝陽一模10）已知項數(shù)為A（keN*）的等差數(shù)列｛%｝滿足：q=l,^an.t<an

（w=2,3,???,?）.若4+生+…+為=8，則k的最大值是

A.14B.15C.16D.17

5.2等比數(shù)列

1.（2023東城一模09）已知4,4,%，4，%成等比數(shù)列，且1和4為其中的兩項，則a5的最小值為

A.-64B.-8e,?D.-

648

5.3數(shù)列綜合應用

1.（2023西城一模13）己知數(shù)列｛%｝的通項公式為4,=2"T,｛粼｝的通項公式為“=1-2".

記數(shù)列｛a,+b,l｝的前n項和為S,,則S,=；5?的最小值為.

專題六?曲教

6.1因救性質

1.（2023西城一模02）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+∞）上為增函數(shù)的是

A.y=-?χ?B.y=x2-2xC.y=sinXD.y=x——

X

2.（2023海淀一模08）已知二次函數(shù)/（幻,對任意的x∈R,有/（2x）<2/（幻，則f（x）的圖象可能是

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2023豐臺一模04）已知/O）是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，/（x）=∣og2x,則〃-2）=（)

A.B.0C.1D.2

5.（2023東城一模UJ函數(shù)∕3）=E+inx的定義域是，6.2函數(shù)與方程

x-c,x≥0,

1.(2023西城一模09)設c∈∕?,函數(shù)/(X)=若/（X）恰有一個零點，貝IJC的取值范圍是

2x-2c,x<0.

A.(0,1)B.{0}∪[l,+∞)C.(θ,?)D.{0}lg,+8)

6.3咨教開放性試卷

1.（2023豐臺一模09）設函數(shù)/（x）=rH"'若"X）存在最小值，則”的一個取值為______；q的最大值

[X-X,X≥Cl.

為.

6.4舀數(shù)應用題

1.（2023西城一模08）在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度貝切〃S）和燃料的質量M（Ag）以及火箭（除燃料

外）的質量陽心）間的關系為u=21n（l+｝）.若火箭的最大速度為12（A"∕s）,則下列各數(shù)中與會最接近的是

（參考數(shù)據(jù)：e=2.71828...）

A.200B.400C.600D.800

2.（2023東城一模10）恩格斯曾經把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立稱為十七世紀數(shù)學的三大成東

城就.其中對數(shù)的發(fā)明曾被十八世紀法國數(shù)學家拉普拉斯評價為“用縮短計算時間延長了天文學家的壽命”.已知正整

數(shù)N的70次方是一個83位數(shù)，則由下面表格中部分對數(shù)的近似值（精確到0.001）,可得N的值為

M2371113

IgM0.3010.4770.8451.0411.114

A?13B.14C15D.166.5帝教徐合

1.（2023東城一模07）過坐標原點作曲線y=e"2+l的切線，則切線方程為

A.y=xB.y=2x

C?y=-1xDn.y—ex

e

2.（2023豐臺一模09）已知函數(shù)f（x）的定義域為R,存在常數(shù)《＞0）,使得對任意XeR,都有/（x+，）=/（x）,

當xs[（V）時，/（X）=X-?.若“X）在區(qū)間（3,4）上單調遞減，則f的最小值為（）

88

A.3B.-C.2D.一

35

Iog1x,x≥l

3.(2023朝陽一模12)函數(shù)/(X)=5的值域為—

3Λ,X<1

4.(2023海淀一模14)設函數(shù)=++

lgx-β,x≥1

①當α=0時，?(?(?))=;

②若/(x)恰有2個零點，則a的取值范圍是.

目錄

專題一集合與常用邏輯用語........................21

1.1集合的概念和運算.......................................................21

1.2充要條件...............................................................22

專題二數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入....................24

2.1復數(shù)的概念及運算.......................................................24

2.2復數(shù)的幾何意義、模長..................................................25

專題三不等式...................................26

3.1不等式的性質...........................................................26

3.2常見不等式的解法.......................................................27

3.3均值不等式.............................................................27

專題四平面向量.................................27

4.1基本概念及線性運算.....................................................27

4.2平面向量數(shù)量積及應用..................................................28

專題五數(shù)列.....................................29

5.1等差數(shù)列...............................................................29

5.2等比數(shù)列...............................................................32

5.3數(shù)列綜合應用...........................................................32

專題六函數(shù).....................................32

6.1函數(shù)性質...............................................................32

6.2函數(shù)與方程.............................................................34

6.3函數(shù)開放性試卷.........................................................35

6.4函數(shù)應用題.............................................................36

6.5函數(shù)綜合...............................................................37

專題一集合與有用逐科用語

1.1集合的概念和運算

一、選擇題

1.（2022-2023朝陽高三下一模Ol-4分）已知集合人=卜—44},集合B={x∣x>θ},則AUB=

A.（-∞,-2]B.[-2,0）C.[-2,+∞）D.（0,2]

【答案】C

【分析】化簡A={X∣-2≤X≤2},再由集合并集的運算即可得解.

【詳解】由題意A={X∣X2≤4}={X∣-24X≤2},B={x∣x>θ},

所以AuB={x∣-2≤x≤2}<√{Xk>。}={x∣^≥-2}=[-2,+∞）.

故選：C.

2.（2022-2023東城高三下一模01-4分）已知集合A={x*-2<θ},且α∈A,則?？梢詾?/p>

A.-2B.-1C.-D.√2

【答案】B

【分析】本題考查二次不等式，元素與集合關系。

【詳解】因為A={x∣f-2<0}={X∣-√5<X<√5},且αeA,所以

故選B?

3.（2022-2023豐臺高三下一模014分）已知集合A={x∣T≤x≤l},B={x∣0<xW2},則AUB=

A.{Λ∣-I≤x≤1}B.{x∣0<x≤l}C.{x∣0<x≤2}D.{x∣-l≤x≤2}

【答案】D

【分析】根據(jù)并集運算求解.

【詳解】因為集合A={x∣-l≤x≤l},β=（x∣0<x≤2},

所以AUB={x∣T≤x≤2},

故選:D.

4.（2022-2023海淀高三下一模01-4分）已知集合A={x∣1<x<3},8={θ,l,2},則AB=

A.{2}B.{0,l}C.{1,2}D.（0,1,2）

【答案】A

【分析】求交集可得答案.【詳解】因為集合A={x∣l<x<3},8={0,l,2},所以ACB={2}.

故選：A.

5.(2022-2023西城高三下一模014分)已知集合A={-l,0,1,2,3},B={x∣x2-3x<θ},則4B=

A.{-l}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{-1,0,1,2)

【答案】B

【分析】本題考查交集的概念及運算與一元二次不等式解法。

【詳解】因為B={X∣Y-3X<0}={X∣0<X<3},且A={-1,0,1,2,3},所以AB={1.2},故選B。

1.2充要條件

一、選擇題

1.(2022-2023朝陽高三下一模054分)已知函數(shù)f(x)=x3+x,貝小5+/=0"是'"(%)+/(j?)=0”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】由/(X)的奇偶性、單調性結合充分條件、必要條件的概念即可得解.

［詳解1因為/(X)=Vi+X定義域為R,/(-X)=(-尤)3+(-?)=-f{x),

所以人工)為奇函數(shù)，且/(X)為R上的增函數(shù).

當士+々=。時，?=--r∣>所以/(χJ+∕(W)=F(XJ+/(-%)=。，

即“苞+%=0”是“〃3)+〃々)=0”的充分條件，

當/(s)+/(W)=O時，/0)=-F(W)=/(H),由/(X)的單調性知，

X1=-x2,g∣J?,+x2=0,

所以“+%=0”是“〃百)+〃N)=O”成立的必要條件.

綜上，"+/=0”是“〃3)+〃々)=°”的充要條件?

故選：C

2.(2022-2023東城高三下一模061分)設機，葭是兩條不同的直線，α,P是兩個不同的平面，且機ua,

a∕∕β,則是的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】本題考查立體幾何平行、垂直證明。

【詳解】充分性：當WUa,m_L〃時，?jua且相_1_〃，不滿足〃_L￡,

充分性不成立；

必要性：當α〃月，〃，夕時，有〃_La；又因為∕nuα,所以加_L〃，

必要性成立；

故8正確。

3.（2022-2023豐臺高三下一模074分）設無窮等差數(shù)列∣｛α,,｝的前"項和為S,,,則"對任意"∈N*,都有?！?gt;0”是

“數(shù)列｛S,,｝為遞增數(shù)列”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用定義法直接判斷.

【詳解】充分性：因為"對任意〃∈N*,都有4>0"，所以SJt=Si+%>S…〃22,

所以“數(shù)列｛S,,｝為遞增數(shù)列”成立.故充分性滿足；

必要性：因為“數(shù)列⑸｝為遞增數(shù)列“，取數(shù)列：-1,1,3,5……符合數(shù)列｛4｝為無窮等差數(shù)列|,且｛S,,｝為遞增數(shù)

列，但是4=T<0.故必要性不滿足.

故“對任意”eN.,都有4>0”是“數(shù)列｛Sj為遞增數(shù)列”的充分而不必要條件.

故選：A

4.（2022-2023海淀高三下一模094分）已知等比數(shù)列｛%｝的公比為q且4x1,記〈=4%也,（〃=1，2,3,...）、則

“4>0且">1”是"｛1｝為遞增數(shù)列”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】由等比數(shù)列及已知，要｛￡,｝為遞增數(shù)列只需a""'.在〃≥2上恒成立，討論q<0、0<4<1、q>l,結

合外的符號，再根據(jù)充分必要性的定義即可得答案.

【詳解】由題設?=且，叱2,要憶｝為遞增數(shù)列，只需6尸>1在〃22上恒成立，

當q<0,不論為取何值，總存在“4i<0,不滿足要求；

當OCgCl,

q<0,則WT<0,不滿足要求;

4>0,總存在O<α"i<l,不滿足要求；

當q>1,

4<0,則a^q"^'<0,不滿足；

0<?,<1.若α∣=g,4=2,顯然％q<1,即4<7；,不滿足；

q≥l,則％尸>1在〃≥2上恒成立，滿足.所以億｝為遞增數(shù)列有q≥l且“1.

綜上，“4>0且夕>「'是"｛],｝為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.

故選：B

5.(2022-2023西城高三下一模07-4分)已知雙曲線C的中心在原點，以坐標軸為對稱軸.則“C的離心率為2”

是“<：的一條漸近線為),=6工”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】本題考查雙曲線性質

【詳解】充分性：因為e=∕=2,所以b=6a，當焦點在軸上時，漸近線為y=±也X,

充分性不成立；

必要性：因為一條漸近線為y=±Gχ,所以雙曲線方程為q-χ2=χ,

當焦點在y軸上時，e=-=—,

a3

必要性不成立；

故D正確。

專題二救系的步光與復數(shù)的引入

2.1復數(shù)的概念及運算

1.(2023海淀一模2)若α+2i=iS+i)(4,8∈R),其中i是虛數(shù)單位，則α+6=()

A.-1B.1C.-3D.3

【答案】B

【分析】利用復數(shù)乘法及相等求〃力，即可得結果.

【詳解】由題設α+2i=歷一1,故a=TS=2,

所以a+6=l.

故選：B

2-（2023豐臺一模11）若復數(shù)筌心R）是純虛數(shù)，則〃=

【答案】-1

【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的概念得到方程（不等式），解得即可.

四=0

【詳解】存=今喘"a-ai+i-i2α+l↑-a.r.￠/+i

---------------=——+——1,因0為λl——（αeR）是純虛數(shù)，所以一，解得

l+i(l+ι)(l-ι)222l+i1-a八

-----≠0

I2

故答案為：-1

2.2復數(shù)的幾何意義、模長

1?（2023西城一模⑴若復數(shù)Z=備則回=-----------

【答案】√2

2i(l-i)

【解析】Z==l÷i

d+i)(l-i)

IZl=&

【知識點】本題考查了復數(shù)的運算、幾何意義和模長。

2.（2023朝陽一模11）若復數(shù)Z=-J,則而I=_______.

1+1

【答案】√2

【解析】根據(jù)|乞|=IZl以及復數(shù)商的模等于復數(shù)的模的商，計算可得答案.

【詳解】因為z=3,所以|三HZH2∣=二一=—==&.

l+il+i11+/1√1+1

故答案為：&

【點睛】本題考查了復數(shù)模的性質，考查了復數(shù)的模長公式，屬于基礎題.

3.（2023東城一模2）在復平面內，復數(shù)三對應的點的坐標是（3,-1）,則Z=

/

A.l+3zB.3+zC.-3+iD.-l-3z

【答案】A

【解析】由題知Z=3-i,Z=∕（3-∕）=3Z-Z2=1+3/,故選B。

/

【知識點】本題考查復數(shù)運算與復數(shù)的幾何意義。

專題三不等為

3.1不等式的性質

一、選擇題

1.（2022-2023朝陽高三下3月一模024分）若α>O>b,則

A.a3>b3B.|?|>?h?C.!<∕D.In（α-λ>）>O

【答案】A

【分析】根據(jù)不等式的性質判斷A,取特殊值判斷BCD.【詳解】a>0>b,.?.a3>0y<0,即/>力，故A正

確：

取α=lg=-2,則同>四不成立，故B錯誤;

取a=l,6=-2,則上<4不成立，故C錯誤；

ab

?Λ=1,?=-1,則ln（a—3=InI=0,故D錯誤.

故選：A

2.（2022-2023豐臺高三下3月一模02-4分）設4,A,ceR,且α>b,貝IJ

A.?<?B.a2>b^C.a-c>b-cD.ac>he

ab

【答案】C

【分析】逐一判斷，對A取α=2,h=-?,可得結果；對B取。=一1,6=-2可得結果；對C利用不等式的性質

判斷即可；對D取c≤0可判斷.

【詳解】解：A.取α=2,b=-?,則?l<?不成立；

ab

8.取α=T,b=-2f貝∣J∕>力2不成立；

CVa>b,.?a-c>b-c,正確；

D取c≤0,Va>b,/.ac≤be9因此不成立.

故選：C.3.（2022?2023西城高三下3月一模03-4分）設。=lg2,h=cos2,c=2°L則

A.b<c<aB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c

【答案】C

【分析】本題考查指對黑、三角函數(shù)值的比大小。

【詳解】因為IglVlg2vlgl0,所以OVaV1。

因為生<2<乃，2在第二象限，∞s2<0,所以6<0。

2

因為2°?2>2°=1,所以C>1。

練上6<α<c,故選C。3.2常見不等式的解法

一、填空題

1.（2022-2023海淀高三下3月一模11-5分）不等式上二>0的解集為.

【答案】{x∣x>l或χ<-2}

【分析】將分式不等式轉化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得結果.

［詳解】根據(jù)分式不等式解法可知言>0等價于（x-l）（x+2）>0,

由一元二次不等式解法可得x>l或x<-2；

所以不等式￡>0的解集為{x∣x>l或χ<-2}.

故答案為：{x∣x>l或X<-2}

3.3均值不等式

一、選擇題

4

1.（2022-2023東城高三下3月一模04-4分）已知x>0,則x-4+-的最小值為

X

A.-2B.0C.1D.2√2

【答案】B

【分析】本題考查基本不等式應用與最值。

【詳解】因為x>0,所以X-4+3=X+3-4≥2?*-4=0,當且僅當X=W即x=2時等號成立，故選B。

XXVXX

專題叩平面向量

4.1基本概念及線性運算

1.（2023海淀一模7）在ZXASC中，ZC=90o,ZB=30o.NfiAC的平分線交BC于點。.若AO=4A8+/MC

2

Rh貝ud-

fe

A.

1-1

〃U23

3-B.D.

-

【答案】B2

【分析】設AC=I,由角平分線定理求得叱，然后由向量的線性運算可用AAAC表示出AD,從而求得見〃，得

出結論?

【詳解】設AC=1,因為NC=90。，ZB=30o,所以AB=2,

又Ao是/BAC的平分線，所以必=生=LCD=-BC,

BDAB23

AD=AC+CD=AC+-CB=AC+-(AB-AC)=-AB+-AC,

3333

I2

y,AD=ΛAB+μAC,所以2=：,〃=],

所以2=1.

μ2

故選：B.

13

2.(2023西城一模5)已知P為ZXABC所在平面內一點，BC=ICP,則A.AP=--AB+-AC

22

12

B.AP=-AB+-AC

33

3121

C.AP=-AB一一ACD.AP=-AB+-AC

2233

【答案】A

【解析】因為5C=2b,BC與CP共線且有公共點C,所以8、CP三點共線，且P在BC的延長線上。

1113

AP=AC+CP=AC+-BC=AC+-(AC-AB)=--AB+-AC,故選A。

2222

【知出點】本題考查了平面向量的線性運算。4.2平面向量數(shù)量積及應用

1.(2023朝陽一模9)如圖，圓M為ZXABC的外接圓，AB=4,AC=6,N為邊BC的中點,則4V?AM=

A.5B.10C.13D.26

【答案】C

【分析】由三角形中線性質可知AN=L(AB+AC),再由外接圓圓心為三角形三邊中垂線交點可知

2

1→_1→__

∣AMICOSZBAM=-IABh同理可得IAMICoSNcAM=上IAC|,再由數(shù)量積運算即可得解.

22

【詳解】N是BC中點，

.?.4N=g(AB+AC),

M為AABC的外接圓的圓心，即三角形三邊中垂線交點,

AM-AB=∣AMHAB?cosZBAM=-?AB?i=-×42=8,

22

同理可得AM?AC=』IAC『=18，

2

.?.AM-AD=AM--(AB+AC)=-AMAB+-AMAC=-×S+-×?S=?3.

22222

故選：C

2.(2023東城一模8)已知正方形ABeE＞的邊長為2,P為正方形ABa)內部(不含邊界)的動點，且滿足Λ4?PB=O,

則CP?OP的取值范圍是

A.((),8]B.fθ,8)C.(0.4]D.[0,4)

【答案】D

[解析】設4(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),P(X,y),x,y∈(0,2),

則Λ4=(-x,-y),PB=(2-x,-y),PA-PB=x(x-2)+y2=0,所以y?=-χ*-2)w(0,l],ye(0,1]

CP=(X-2,y-2),DP=(x,y-2),

CPDP=x(x-2)+(y-2)2=-y2+(y-2)2=-4y+4,

CPDPe[0,4)

故D正確。

【知識點】本題考查向量數(shù)量積。

3.(2023豐臺一模12)已知正方形ASCD的邊長為2,則A8?AC=.

【答案】4【分析】根據(jù)正方形的性質及數(shù)量積的定義計算可得.

22

【詳解】因為正方形AB8的邊長為2,所以Ne4B=45。，IAM=2,?AC?=A∕∣ΛB∣+∣BC∣=2√2,

所以48乂。=網."際/048=2、2丘[=4.

故答案為：4

專題五數(shù)列

5.1等差效列

1.(2023海淀一模03)在等差數(shù)列｛4｝中，β2=l,4=5,則G=()

A.9B.llC.13D.I5

【答案】C

【分析】設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,求出2d的值，即可得出4=%+6d,即可得解.

【詳解】設等差數(shù)列｛q｝的公差為d,則2〃=為一出=4,則q=/+64=1+3*4=13.

故選：C.

2.（2023豐臺一模07）設無窮等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，則”對任意〃eN*,都有4>0”是“數(shù)列｛S,,｝為

遞增數(shù)列”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用定義法直接判斷.

【詳解】充分性：因為“對任意"wN*,都有““>0"，所以Sz,=S,ι+%>S,ι,"≥2,

所以“數(shù)列｛S,｝為遞增數(shù)列''成立.故充分性滿足；

必要性：因為“數(shù)列｛S,,｝為遞增數(shù)列”，取數(shù)列：-1,1,3,5……符合數(shù)列｛4｝為無窮等差數(shù)列且｛S,,｝為遞增數(shù)

列，但是％=T<0.故必要性不滿足.

故“對任意N”,都有>0”是"數(shù)列｛Sj為遞增數(shù)列”的充分而不必要條件.

故選：A

3.（2023海淀一模09）已知等比數(shù)列的公比為4,且q≠l,記7；=qg…q5=L2,3,…），貝「'《>0且

q>l”是“｛?；｝為遞增數(shù)列”的

A.充分而不必要條件