向量專題整理

向量專題定比分點的向量形式及運用定理：（定比分點公式的向量形式）設(shè)點分的比為（即，），為平面上的任意一點，則證明：即即推論1：設(shè)點為的邊上的點，且則推論2：設(shè)點為的邊的中點，則推論3：中，點在直線上的充要條件是：存在實數(shù)，使成立。推論4：（定比分點公式）在直角坐標平面中，設(shè)且點分的比為（其中），則例1如圖，在中，是邊的三等分點，在和之間，是的中點，是的中點，設(shè)是線段與的交點，求比值例2如圖所示，已知的面積為分別是邊上的點，且求的面積。例3已知是的重心，過點任作一條直線，分別交邊于點若求證：為定值。奔馳定理與三角形五心的向量表達【奔馳定理】設(shè)是內(nèi)一點，記三角形面積分別為則延長至點，則用同樣方法可得由以上兩式結(jié)合定比分點坐標公式分別可得(1)(2)化簡即得奔馳定理：點為內(nèi)任意一點，求證：證明：考慮到存在，使得(1)如圖：設(shè)點為的重心。由三角形面積公式得：又兩邊同除得：代入(1)式得：例1設(shè)為三角形內(nèi)一點，且滿足：則的值為。例2【2016年清華領(lǐng)軍】若為內(nèi)一點，滿足設(shè)則。由奔馳定理易得下面5條結(jié)論點是的重心點是的垂心點是的外心點是的內(nèi)心點是的旁心例1的外接圓的圓心為，兩條邊上的高的交點為，則實數(shù)。例2如果的外接圓的圓心為，那么是的（）外心內(nèi)心重心垂心例3是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足則的軌跡一定通過的（）外心內(nèi)心重心垂心例4是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足則的軌跡一定通過的（）外心內(nèi)心重心垂心例5是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足則的軌跡一定通過的（）外心內(nèi)心重心垂心例6已知是平面上不共線的三點，為外心，動點滿足則的軌跡定過的（）內(nèi)心垂心重心邊中點等和線的實際運用【深入研究】若那么過點作直線，在上任作一點，連接，交于點，同理可得，以為基地時，對應(yīng)的系數(shù)和依然為。在向量起點相同的前提下，所有以與平行的直線上面的點為終點的向量，其基地的系數(shù)和為定值，這樣的線，我們稱之為“等和線”。值的大小與起點到等和線的距離成正比，若等和線與在起點的兩側(cè)時，值為負。例1如圖，正六邊形中，是內(nèi)（包括邊界）的動點，設(shè)，則的取值范圍是。例2給定兩個長度為1的平面向量，它們的夾角為，如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動，若，則的最大值是。例3設(shè)D，E分別是的邊上的點，若則的值為