24屆高三新結(jié)構(gòu)一模壓軸匯編（教師版）

·1.(2024·廣東深圳·高三深圳中學(xué)開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x(滿足f(x+y(=f(x(+f(y(-2，f(1(=40,B.,C.,D.,,x21<x22-x1>0，而當(dāng)x>0f(x(>2，于是f(x2-x1)>2，又f(x+y(=f(x(+f(y(-2，因此f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1)-2>f(x1)，則函數(shù)f(x)是增函數(shù)，而f(ax2-4x)+f(2x)=f[(ax2-4x)+2x]+2=f(ax2-2x)+2=1，令x=-1,y=-1，得f(-2)=-2，令x=-2,y=-1，得f(-3)=-4，則2a=-3t2+4t=-3t-2+在t∈,1點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)(非頂點(diǎn))，I為△PF1F2內(nèi)切圓圓心，若=，則橢圓的離心率e為P為橢圓上一點(diǎn)(非頂點(diǎn))，F(xiàn)|(=(a+c(r，S△IFF=|F1F2|r=cr，3.(2024·廣東中山·高三中山紀(jì)念中學(xué)開學(xué)考試)已知f(x(=lnx-ax3，g(x(=xex-lnx-x-，若A.,B.,C.,D.,【解析】g(x(=xex-lnx-x-定義域?yàn)?0,+∞(，/(x(=ex+xex--1=，令h(x(=xex-1，再x>0上h/(x(∴h(x(再x>0上單調(diào)遞增，0=-lnx0，則在x∈(0,x0(上h(x(∈(-1,0(，在x∈(x0,+∞(上h(x(∈(0,+∞(，∈(x0,+∞(上g/(x(>0，∴g(x(在(0,x0(上單調(diào)遞減，在(x0,+∞(上單調(diào)遞增，∴g(x(min=g(x0(=x0ex-lnx0-x0-=1+x0-x0-=>0，則>0等價(jià)于f(x(>0，f(x(=lnx-ax3，定義域?yàn)?0,+∞(，令j(x(=，則j/(x(==，j/(x(<0，1即j(x(的最大值在x=e3處取得，xxj(x(=→-∞,3作j(x(=圖象如下：4.(2024·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí))雙曲線C:2-=1的右支上一點(diǎn)P在第一象限，F(xiàn)設(shè)圓與三角形三邊相切于點(diǎn)M,N,Q,a+c=8,|NF2|=c-a=2,|IN|=1,I(3,1)，tan(∠IF1N+∠IF2N(+2|PM|3,∴133, tan(∠IF1N+∠IF2N(+2|PM|3,∴133,則有λ=,μ=，λμ=2，6.(2024·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)校考階段練習(xí))已知對任意實(shí)數(shù)x都有f(x)則f(x)=(2x+c)exfI(x)>0?x>-，fI(x)<0?x<-f(-2)≥h(-2)(-5≥-3af(-f(-2)≥h(-2)(-5≥-3a解得：≤a<)，因?yàn)閤+y=2,x+y=2,x1x2+y1y2=08.(2024·湖北武漢·高三武鋼三中校考開學(xué)考試)已知fx是定義在0,+∞上的單調(diào)函數(shù)，滿足ffx-ex-2lnx+2=e-1，則函數(shù)fx的零點(diǎn)所在區(qū)間為()【解析】設(shè)fx-ex-2lnx+2=t，即fx=ex+2lnx-2+t，ft=e-1理即可判斷零點(diǎn)所在區(qū)間．設(shè)fx-ex-2lnx+2=t，即fx=ex+2lnx-2+t，ft=e-1，因?yàn)閒x是定義在0,+∞上的單調(diào)函數(shù)，所以由解析式可知，fx在0,+∞上單調(diào)遞增.故ff1<0，即fx的零點(diǎn)所在區(qū)間為,1(.9.(2024·湖北襄陽·高三襄陽五中?？奸_學(xué)考試)已知在銳角△ABC2=sin2B-cos2B+2B-+，所以<2B<π,即<2B-<π,-+∈,，2sin(2B-+2sin(2B-+10.(2024·湖北襄陽·高三襄陽五中校考開學(xué)考試)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0(的左、右頂點(diǎn),y0(所以tan∠PA2F==3,tan∠PA1F==1，故tanθ=tan(∠PA2F-∠PA1F(==.故選:A.11.(2024·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=mx2-xlnx存在極小值點(diǎn)x0，且f(x0)<-e3，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()0,B.0,C.0,D.0,【解析】函數(shù)f(x)=mx2-xlnx的定義域?yàn)?0,+∞)，求導(dǎo)得f,(x)=2mx-1-lnx，f(e2m-1)=2me2m-1-1-(2m-1)=2m(e2m-1-1)>0，則存在x1∈于是f(x)min=f=ln2m，當(dāng)0<m<時(shí)，f<0，而f=-1-ln=-lnm>0，f(x2)=02)f(x)>0，函數(shù)f(x)遞增，2,f(x)<0，函數(shù)f(x)遞減，函數(shù)f(x)在x=x2取得極大值，又f=-1+2lnm，令h(x)=-1+2lnx,0<x<，求導(dǎo)得h(x)=-+<0，f(x)<0，函數(shù)f(x)遞減，3,+∞)由f(x0)=0，f(x0)=mx-x0lnx0=<-e3，即有x0-x0lnx0+2e-3<0，令φ(x)=x-xlnx+2e3,x>1，求導(dǎo)得φ(x)=-lnx<0，,+∞)上0,.12.(2024·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)已知向量,,滿足==2，-=2，所以-=-O=B所以BC≤BD+DC，所以-≤33. x令f(x)=lnx+ex-2x且x>1，故f(x) x+ex-2，所以g(x)=f(x)在(1,+∞)上遞增，故f(x)>f(1)=e-1>0，所以f(x)在(1,+∞)上遞增，故f(x)>f(1)=e-2>0，xlnx-x2且x>1，而h(1)=-1<0，h(e)=ee-e2>0，可得tan∠F1PF2=tan∠PF2Q-∠PF1Q===≤=，A.有且僅有一點(diǎn)P使二面角B-l-C取得最小值B.有且僅有兩點(diǎn)P使二面角B-l-C取得最小值C.有且僅有一點(diǎn)P使二面角B-l-C取得最大值D.有且僅有兩點(diǎn)P使二面角B-l-C取得最大值所以∠BMC是二面角B-l-C的平面角，設(shè)∠BMC=θ,∠AMC=α,∠AMB=β,AM=t，則θ=α-β,tanα=，tanβ=，tanθ=tanα-β===，令ft=，則f,t==，t>0，ft單調(diào)遞增，當(dāng)t∈2,2[時(shí)，f,t<0，ft單調(diào)遞減，f2=>f0=0所以有且僅有兩點(diǎn)P使二面角B-l-C取得最大值.16.(2024·浙江·高三浙江金華第一中學(xué)校考開學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為 x-32+y2=1，且圓C與x軸交于M,N兩點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為y=kxk>0，直線l與圓C相交A.k1+k2=2k3B.2k1+k2=k3C.k1+2k2=k3D.k1+k2=k3AM:y=k1x-2，與圓C:x-32+y2=1聯(lián)立，消y整理得x-2[1+kx-2k+4[=0，∴A,1同理可得B,.∵kOA=kOB， 1+k2k+41+k 1+k=4k+21+k,即(1+k1k2((k1+2k2(=0.∵k1k2≠-1，∴k2=-k1，設(shè)P(x0,y0(，∴kkk222,,17.(2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)開學(xué)考試)已知斜率為k(k>0(的直線過拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F且與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn)，過A,B分別作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，x2-(2k2+4(x+k2=0，所以x1x2=11+x2=2k4，由已知和拋物線定義知：===x2=1,x2x2=1,x1+x2=2k4,奇函數(shù)，f(x(-2x為偶函數(shù)．令函數(shù)g(x(=〈f,0.若存在唯一的整數(shù)x0，使得不等式∴f(-x(+(-x(2=-f(x(-x2，f(-x(+2x=f(x(-2x，兩式相減整理得f(x(=2x-x2，x當(dāng)a<0時(shí)，需滿足gx0∈0,-a只有一個(gè)整數(shù)解，∵g1=1，g-1=3，則1<-a≤3，即-3≤a<-1；當(dāng)a>0時(shí)，需滿足gx0∈-a,0只有一個(gè)整數(shù)解，∵g2=0，g3=-3，g4=-8，則-8≤-a<-3，即3<a≤8.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為-3,-1∪3,8.1.(2024·廣東深圳·高三深圳中學(xué)開學(xué)考試)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，A0,0,0，B1,1,0，C0,2,0，D-3,2,1，Ex2,2,1在球F的球面上，則()C.點(diǎn)D到平面ACE的距離等于D.平面ACD與平面ACE的夾角的正弦值等于設(shè)F(0,1,z)，因?yàn)镕C=FD，則(1-2)2+z2=(0+3)2+(1-2)2+(z-1)2，由FE=R，(x2-0)2+(2-1)2+(1-5)2=26，得x2=3，E(3,2,1)，=(0,2,0)，A=(3,2,1)，設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量=(a,b,c)，A.函數(shù)F(x)=f(x)-h(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)而h(x(=-kx+2恒過定點(diǎn)(0,2(，則F(x(=0無零點(diǎn)，其中e-x=-lnx1，e-x=lnx2，-x-x-x<e-x，2=e-2對于選項(xiàng)D,當(dāng)k=1時(shí)，hx=-x+2，畫出fx=e-x與hx=-x+2的圖象，如圖所示：則e-x=-xM+2，畫出gx=lnx與hx=-x+2的圖象，如圖所示：gx=hx的最小根為xm，則-lnxm=-xm+2，由于y=-lnx與y=e-x互為反函數(shù)，則關(guān)于y=x對稱，而y=-x+2也關(guān)于y=x對稱，故e-x=-xM+2與-lnxm=-xm+2相加得，-lnxm+e-x=-xM+2-xm+2=2，N分別為線段AB,AD上異于點(diǎn)A的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AM=AN，點(diǎn)H為MN的中點(diǎn)，將點(diǎn)A沿MN折至A.若點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，則五棱錐A-MBCDN的體積為 B.當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，三棱錐A-BCD的體積為C.當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，三棱錐A-BCD的內(nèi)切球的半徑為4-23D.五棱錐A-MBCDN體積的最大值為且AH=x，底面MBCDN的面積為16-x2(0<x≤4)，所以五棱錐A-MBCDN的體積為x16-x2(0<x≤4).4 得<x≤4.所以V(x)max=V=，D正確.4.(2024·廣東中山·高三中山紀(jì)念中學(xué)開學(xué)考試)已知定義域?yàn)?,+∞的函數(shù)fx滿足fx+A.fln2=log2eB.fx≥1C.a2023<a2024D.0<an≤1【解析】∵[xfx[=fx+xfx=ex，∴xfx=ex+c.設(shè)φx=ex-x-1，則φx=ex所以φx在-∞,0上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，φ(x)min=φ0=0，由fan+1=a=fan，所以ea=，因?yàn)楹瘮?shù)fx定義域?yàn)?,+∞,a-1≥0n+1≥0，a-1<anea，即證1-anea-1<0，令gx=1-xex-1，則gx=-xex，當(dāng)x>0時(shí)，gx<0，所以gx在0,+∞上單調(diào)遞減.n+1<ann{單調(diào)遞減，5.(2024·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí))若f(x(是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=,x2A.f(1(一定為正數(shù)B.2是f(x(的一個(gè)周期C.若f(1(=1，則f=1D.若f(x(在0,上單調(diào)遞增，則f(1)≠因?yàn)榕己瘮?shù)f(x(的圖像關(guān)于直線x=1對稱，所以f(x+2(=f(-x(=f(x(，故B正確；f(x)=f2≥0；假設(shè)f(1)=，由f(1)=f2=f4=及f(x(≥0，x∈[0,1[，得f=故f>f，這與f(x(在0,上單調(diào)遞增矛盾，故D正確.6.(2024·湖南長沙·高三長郡中學(xué)A.f(x(為奇函數(shù)B.f(x(在，π（單調(diào)遞減C.f(x(在(0,2π(有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)D.f(x(是周期函數(shù)f(x((，[1+f(x([，∴--sinx+[1+f(x([=1， x∴f(x x又f(-x(=--sinx=-f(x(，∴函數(shù)f(x(為奇函數(shù)，故A正確；所以f(x(由f(x(=所以函數(shù)f(x(在(0,2π(的零點(diǎn)數(shù)即為y=sinx與y=-的交點(diǎn)數(shù)，結(jié)合函數(shù)y=sinx,y=-的圖象可得f(x(在(0,2π(有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，故C正確；xxf(xxxD錯(cuò)誤.7.(2024·湖南邵陽·高三邵陽市第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)fx，gx的定義域均為R，它們的導(dǎo)函數(shù)分別為fx，gx，且fx+g2-x=5，gx-fx-4=3，若gx+2是偶函數(shù)，則下A.g2=0B.fx的最小正周期為4C.fx+1是奇函數(shù)D.g2=5，則fk=2024兩邊求導(dǎo)得，-g-x+2=gx+2，B選項(xiàng)，因?yàn)閒x+g2-x=5，g-x+2=gx+2，所以fx+gx+2=5①,因?yàn)間x-fx-4=3，所以gx+2-fx-2=3②,則①②相減得，fx+fx-2=2③,又fx-2+fx-4=2④,則③④相減得fx-fx-4=0，即fx=fx-4，又fx≠fx-2，故fx的最小正周期為4，B正確；C選項(xiàng)，假如fx+1為奇函數(shù)，則f-x+1+fx+1=0，但fx+fx-2=2，當(dāng)x=2可得f2+f0=2，顯然不滿足要求，故fx+1不是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；由B選項(xiàng)得fx+fx-2=2，故f2+f0=2，解得f2=2，且f3+f1=2，由B選項(xiàng)知fx的一個(gè)周期為4，故f4=f0=0，所以f1+f2+f3+f4=4，則fk=506[f1+f2+f3+f4[=506×4=2024，D正確.C.若A1Q=5 2 2 3 3-3λ(，所以W,Q,F三點(diǎn)共線，，△PAB則A1Q=3+2λ+12+2μ-22=5，化簡得2λ+12+2μ-22=2，H=2-1=1， 2 2——1——DQ=DC+DQ=DC+DD-x1,1-y1,-z1=0,2a,-2a，AE+EQ=2-2a2+4a2+3+2a+12+1-2a2=8a2-8a+4+8a2+5=2、2a-2++a2+(,故KL+VL=（a-2++a2+，由勾股定理得KV=+2+=+，故AE+EQ=2、2a-2++a2+的最小值為22+=9+210，9.(2024·湖北武漢·高三武鋼三中?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)fx，gx的定義域?yàn)镽，gx為gx的導(dǎo)函數(shù)，且fx+gx-8=0，fx-2-g6-x-8=0，若gx為偶函數(shù)，則下列一定成立的A.g4=0B.f1+f3=16C.f2023=8D.fn=160【解析】由gx是偶函數(shù)，則g-x=gx，兩邊求導(dǎo)得-g-x=gx，對于A，由fx+gx-8=0?fx-2+gx-2-8=0?fx-2=8-gx-2，代入fx-2-g6-x-8=0，得8-gx-2-g6-x-8=0，又gx是奇函數(shù)，則gx-2=-g6-x=gx-6?gx+6-2=gx+6-6?gx+4=gx，故f1+f3=16，故B正確；對于C：令x=2023得f2023+g2023-8=0?f2023+g4×505+3-8=0，即f2023+g3-8=0，若f2023=8，則g3=0，g3=g-1+4=g-1=0對于D：令x=4，得f4+g4-8=f4+g0-8=0，故f4=8，g2=g2-4=g-2=-g2，所以g2=0，令x=2，得f2+g2-8=0，則f2=8則f1+f3=16，由gx是以4為周期得fx+gx-8=0，所以fn=5[f1+f2+f3+f4[=5×8+16+8=160，故D正確.10.(2024·湖北襄陽·高三襄陽五中?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)fx，gx的定義域?yàn)镽，gx是gx的導(dǎo)函數(shù)，且fx+gx-8=0，fx-g4-x-8=0，若gx為偶函數(shù)，則()A.f1+f3=16B.f4=8C.f-1=f-3D.gk=0【解析】因?yàn)閒x+gx-8=0，令x=1，則f1+g1-8=0①,fx-g4-x-8=0，令x=3，則f3-g1-8=0②,聯(lián)立①②可得f1+f3=16，故A正確；由題可知gx=-g4-x，又因?yàn)間x是偶函數(shù)，所以gx是奇函數(shù)，由gx=-g-x=-g4-x可得gx=gx+4，所以gx的周期為4，fx=8-gx，故f4=8-g4=8，故B正確；因?yàn)間-1=-g1，由gx=gx+4得g-3=g1，故g-3=-g-1，又f-3=8-g-3，f-1=8-g-1，若f-3=f-1，則g-3=g-1，11.(2024·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考SD,∠SDC=120°,SD=CD=2BC=2,P為棱SB上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()B.若SP=PB，則過點(diǎn)A,D,P的平面α截此四棱錐所得截面的面積為D.直線AP與平面SCD所成角的正切值的最大值為對于A，因?yàn)锳D⊥SD,AD⊥DC，又SD∩DC=D,SD,DC?面SDC，所以AD⊥面SDC，所以點(diǎn)A到平面SDC的距離為AD=BC=1，又因?yàn)椤蟂DC=120°,SD=CD=2， 2 2因?yàn)锳D⊥面SDC， 所以四棱錐S-ABCD外接球的半徑為R=r2+2=22+2=，所以四棱錐S-ABCD外接球的表面積為17π,故C正確； 套餐的概率為；前一天選擇B套餐的學(xué)生第二天選C.E(X(=1.5D.P(X=1(=依題意，An+1=An×+(1-An(×，則An+1-=-An-(n≥1,n∈N(，又n=1時(shí)，A1-=-=，n-1,An=-×-nnn=+×-n，n,PX=1士,EX士，上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，過A，B1，E三點(diǎn)的平面將正方體截為兩個(gè)部分，則下列說法正確的是()B.存在一點(diǎn)E，使得點(diǎn)A1和點(diǎn)C到平面AEB1的距離相等C.正方體被平面AEB1所截得的截面的面積隨著D1E的增大而增大 E=a0<a<1，1-a(2=a2-2a+2，B1F=12+(1-a(2=a2-2a+2，梯形AB1FE的高為a2-2a+2-2=a2-a+，梯形AB1FE的面積為×(2+2a(×a2-a+=(a+1(a2-2a+3=(a+1(2(a2-2a+3(，令f(a(=(a+1(2(a2-2a+3((0<a<1(，有f'(a(=2(a+1((a2-2a+3(+(a+1(2(2a-2(=4(a+1((a2-a+1(=4(a+1(（a-2+>0.可得函數(shù)f(a(單調(diào)遞增，可得正方體被平面AEB1所截得的截面面積隨著D1E的增大而增大，-ABFD=×a×1×1-×1×(1-a(=|DM|=|EN| st+s3-t消去y后整理為(3s2-t2(x2-18sx+(3t2+27(=0，-1(x2-bx+1=0.(x(=-x為單調(diào)函數(shù)，即g'(x(=-1為非正或非負(fù)函數(shù).'(1(=-1，故-1≤0，即ex≥-b(x-1(恒成立.x16.(2024·浙江·高三浙江金華第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)fx，gx的定義域均為R，且fx+g2-x=5，gx-fx-4=7．若x=2是gx的對稱軸，且g2=4，則下列結(jié)論正確的是 A.fx是奇函數(shù)B.3,6是gx的對稱中心C.2是fx的周期D.gk=130又因?yàn)閒x+g2-x=5，所以f-x+g2+x=5，故fx=f-x，即fx為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)間(x)-f(x-4)=7，所以g(x+4)-f(x)=7，又因?yàn)閒(x)+g(2-x)=5，聯(lián)立得g(2-x)+g(x+4)=12，因?yàn)間x-fx-4=7，則4-f-2=7，即f-2=-3，則f2=-f-2=3；顯然f2≠f0，所以2不是fx的周期，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)閤=2是gx的對稱軸，所以g(6-x)=g(x-2)，所以gx+2=gx-2，即gx=gx+4，所以gx周期為4，p(0<p<1(，我們稱將試驗(yàn)進(jìn)行至事件A發(fā)生r次為止，試驗(yàn)進(jìn)行的次數(shù)X服從負(fù)二項(xiàng)分布，記作B.若X～NB(r,p(，則P(X=k(=pr(1-p(k-r，k=r,r+1,r+2,???C.若X～NB(r,p(，Y～B(n,p(，則P(X≤n(=P(Y≥r(D.若X～NB(r,p(，則當(dāng)k取不小于的最小正整數(shù)時(shí)，P(X=k(最大X=k(為k-1個(gè)相乘再乘，即k，對于B，若X～NB(r,p(，則P(X=k(=C-pr-1(1-p(k-rp=C-pr(1-p(k-r，+j(0≤j≤n-r)個(gè)數(shù)的取法有C+j種，這些取法可按ar的值r=r+i(0≤i≤n-r-j)時(shí)的取法有Crr--+iCri種，n-r-i則C+i-r-i=C+j，又X～NB(r,p(，Y～B(n,p(，設(shè)q=1-p，則p+q=1，則P(X≤n(=C+iprqi=C+prqi(p+q)n-r-i，n-rn-r-in-r--r化簡得=C+iprqi?C-r-ipqn-r-i-j=C+iC-r-ipr+jqn-r-j，可得C+rpr+jqn-r-j=P(Y≥r(，故C正確.--(1-1解得≤k≤1+,C.PC+PD的最小值為23——”——”=(-2,-2,2(，AC1=(-2,2,2(,——”AC1=(-2,2,2(是平面A1BD一個(gè)法向量，——”—”=|4-4λ+4λ-4λ+4|，λ=-4±216不滿足條件，P|23(2-2λ(2+4λ2+(2λ-2(對于C，PC+PD=(2-2λ)2+(-2λ)2+(2λ)2+(2-2λ)2+(2-2λ)2+(2λ)2=23λ-2++(λ-2+(.λ-2++(λ-2+表示P(λ,0(與E,，F(xiàn),-距離之和，PE+PF≥EF=1，PC+PD≥23，C對.對于D，PA=(-2λ)2+(2-2λ)2+(2λ)2=12λ2-8λ+4，2-2= 因?yàn)镹A=（2-2+2=，∴PC+PD≥CD=23，C正確. ∴截面圓半徑r=2-2=，1D分別交AD，AA1于M，N，O1A=O1M=O1N=，角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，直角邊BA,BC與橢圓分別交于另外兩點(diǎn)A,C．若這樣的△ABC有且(y=kx+1+y2=1，得(1+a2k2(x2+2a2kx=0， ∴xA=-12由|BA|=|BC|，得(k-1([k2+(1-a2(k+1[=0，2(2-4<0，解得1<a<3； a/a/c2=2 0,.：2.(2024·廣東深圳·高三深圳中學(xué)開學(xué)考試)已知關(guān)于x的不等式2ex-2xlnx-(-∞,2e+ln2[x-2xlnx-m>0在,+∞（上恒成立，令f(x(=ex-xlnx，則f'(x(=ex-lnx-1，令g(x(=ex-lnx-1，則g'(x(=ex-，'=e-2<0,g'(1(=e-1>0，'(x0(=0x-1=則x0=-lnx0，g(x(在,x0,+∞(時(shí)，g'(x0(>0，g(x(在(x0,+∞(上單調(diào)遞增，故g(x)min=g(x0(=ex-lnx0-1=+x0-1>2-1=1>0，所以≤f=e-ln=e+ln2，3.(2024·廣東中山·高三中山紀(jì)念中學(xué)開學(xué)考試)已知0<a<b<1，設(shè)W(x(=(x-a(3(x-b(，fk(x(=，其中k是整數(shù)．若對一切k∈Z，y=fk(x(都是區(qū)間(k。,。+∞(上的嚴(yán)格增(1。,。3[.【解析】W'(x(=3(x-a(2(x-b(+(x-a(3=(x-a(2(3x-3b+x-a(=(x-a(2(4x-a-3b(，令g(x(=W'(x(=(x-a(2(4x-a-3b(，'(x(=2(x-a((4x-a-3b(+4(x-a(2=6(x-a((2x-a-b(，fk(x(的幾何意義是點(diǎn)(k,W(k((和點(diǎn)(x,W(x((連線的斜率，因此當(dāng)k≥1時(shí)，fk(x(嚴(yán)格遞增，W=-a3-b=-4，WI=2(a-b(=，故曲線在x=處的切線方程為y+4=x-,令x=0，化簡得y=-(a-b(3(3a+b(，3+31-=8，畫出y=(t-1(3及y=16FAB的內(nèi)切圓半徑r由三角形△F1AB的內(nèi)切圓半徑為r=|F2AF2=，在Rt△F1AB中，(AF1(2+(AB(2=(BF1(2，即(m+2a(2+(m+n(2=(n+2a(2，化簡得m2+2ma+mn=2na③,由②③可得m=2a-2(x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0，1+x2=2,x1x2=a2b2，=1+12?(x1+x2(2-4x1x2=，x0==.0=x0-c=-∴AB的垂直平分線為:y+=-x-,.∴|PF|=c-xP=,∴==,則=, 2 22F,AF則BU=BW,AV=AW,F2U=F2V，BF2=3a,AF2=x-a,F2U=F2V=BF2+AF2-AB=a=r，BF2=a2，從而4c2=a2 5-c,-,1=kBF=2c，k2=kBA==2k1，∴tan∠ABF=tan(α-β(===2k11≤42，當(dāng)且僅當(dāng)k1==時(shí)等號(hào)成立，2=2ac6+2*，使得不等式(m-an((m+an+3(>0成立，則m的取值范圍為.m>或m<-〈.n=a1+(a2-a1(+(a3-a2(+?+(an-an-1(=1+-1+-2+?+（-n-1==1-（-n，所以(m-an((m+an+3(>0，解得m>an或m<-an+3，-an+3=-1+n+3<-,遞增，可得-an+3的最小值為-a5=-,則-an+3∈-,-（,n=1+nn-an+3=-1-n+3,遞減，可得-an+3的最大值為-a4=-，-an+3∈（-,-，*，使得不等式(m-an((m+an+3(>0成立，只需m>(an(min=或m<(-an+3(max=-，F(xiàn)C與y軸交于M,N兩點(diǎn)，且|MN|=|AB|，則直線AB的斜率為.設(shè)AB:x=my+1,A(x1,y1(,B(x2y2(，則A1(-1,y1(,B1(-1,y2(，2-4my-4=0，可知|AB|=1+m2|y1-y2|=4(m2+1(，圓C的圓心C(-1,2m(，半徑r=|y1-3=×4(m2+1(，解得m2=或m2=-(舍去10.(2024·福建泉州·高三福建省安溪第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)若過點(diǎn)(1,0(可以作曲線y=ln(x+a(,lnx0+a,x0>-a，整理得x0+alnx0+a-x0+1=0，由題意該方程在-a,+∞有兩個(gè)根，所以函數(shù)gx=x+alnx+a-x+1在-a,+∞有兩個(gè)零點(diǎn)，所以首先有g(shù)xmin=g1-a=-1-a+1=a<0(否則gx不可能有零點(diǎn)，矛盾)，其次當(dāng)x→+∞時(shí)，gx→+∞,所以gx在1-a,+∞上，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以還需保證gx在-a,1-a上有1個(gè)零點(diǎn)，現(xiàn)在來說明x趨于-a(x>-a)時(shí)，gx→a+1,gx<a+1，所以gx=x+alnx+a-x+1=---a（+1→a+1，11.(2024·福建·高三校聯(lián)考開學(xué)考試)方程cos2x=3cosx-2的最小的29個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)解之和為 .3 ,使得f取到最大值的數(shù)列{an{的個(gè)數(shù)為.C種..CC+2C1=25270種.C交于A，B，AF與C的另一個(gè)交點(diǎn)為D，BF與C的另一個(gè)交點(diǎn)為E.若ΔABF與ΔDEF的面積由題意，得A(t,2t(,B(t,-2t(，即|AB|所以直線AD的方程為y=(x-1(，(x-1(，化簡得tx2-(t2+1(x+t=0，:x1+x2=，因?yàn)锳(t,2t(，可得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-t=，:SΔABF=X4tX(t-1(=2t.(t-1(，SΔDEF=XX（1-=14.(2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚(yáng)中市第二(an,bn(在函數(shù)y=3…ann-1=a1.a2.a3…an-1,n≥2，n在函數(shù)y=的圖象上，n=,n-bn-1=，n≥2，=b11=1=，n=+(n-1)=1+，an===，因?yàn)?=-，所以-+-+?+-=2-，4+1-1【解析】曲線x-e4-22+y2=1表示圓心為De4+2,0，半徑r=1的圓，則PD=x0-e4-22+e2x，令fx=x-e4-22+e2x，則fx=2x-e4-2+2e2x，令gx=fx=2x-e4-2+2e2x，則gx=2+4e2x>0，所以當(dāng)x<2時(shí)gx<0，即fx<0，即fx在-∞,2上單調(diào)遞減，當(dāng)x>2時(shí)gx>0，即fx>0，即fx在2,+∞上單調(diào)遞增，所以fx在x=2處取得極小值即最小值，即fxmin=f2=e8+e4，所以PD=x0-e4-22+e2x≥e8+e4=e2e4+1，所以PQmin=PDmin-r=e2e4+1-1.4+1-1Fx軸垂直時(shí)，AB=6.a2+b2=c2m?3m2-1y2+12my+9=0，所以Δ=144m2-363m2-1=36m2+1>0,y1y2=,y1+y2=，所以PB的方程為y=x-x2+y2，令y=0?x=+x2=+my2+2=-2y2(my1+4((my2++my2+22(my1+2(y2+4y2-5y1=-2y2(m2y1y2+my1+4my2+6(+2m2y1y+8my-5my1y2+22my1y2+8y2-5y1-8my1y2-12y22-y2=-(y1+y2(，2.(深圳一模19).已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與定點(diǎn)A(m,0(的距離和P到定直線x=的距離的(2)設(shè)點(diǎn)B(-m,0(，若曲線C上兩動(dòng)點(diǎn)M,N均在x軸上方，AM∥BN，且AN與BM相交于點(diǎn)Q.(x-m)2+y2n2mxn2m=mn，(2)設(shè)點(diǎn)M(x1,y1(,N(x2,y2(,M,(x3,y3(，其中y1>0,y2>0且x3=-x2,y3=-y2，2 8y=1,A(22,0(,B(-22,0(， 8y = -y2-x2-22= 因此，M,A,M三點(diǎn)共線，且BN=x2+222+y=-x2-222+-y22=,AM,(法一)設(shè)直線MM的方程為x=ty+22，聯(lián)立C的方程，得t2+2y則y1+y3=-42t,y1y3=-8t2+2t2+2，由(1)可知AM=x1-=4-x1,BN AM+ BN=AM+BN=AM?BN2-1+2-3=AM=4-x3，4-1+4-34-14-3=2-12-3=4-y1+y3=4-?-=1，4-2ty1+y3+2y1y34-2t?-+2?-(法二)設(shè)∠MAx=θ,則有=，解得AM=,所以+=+=+=1，由橢圓定義BQ+QM+MA=8，得QM=8-BQ-AM，∵AM?BN,∴==8-BAM，所以AQ+BQ=8N++8AM+BN-2AM?BNAM+BN=8-=8-2=6.8-AM?BNAM+BN=得[(m2-n2(s2-n2[y2+2sm(m2-n2(y+(m2-n2(2=0，1+y3=-(m2-(n1y3=(mmn2因?yàn)閨AM|=x1-=x1-n,|BN|=|AM/|=x3-n，所以+=+=所以+=+==x1-n(+x3-n(=y1++y3+x1-x3-n(y1+y3+=，(m-+|AM|cosθn(m-+|AM|cosθn m2-n2n-mcosθ, |AM/|=m(m--|AM/|cosθn,解得|AM/|= m2-n2n+mcosθ,所以AQ+BQ=+=2n+=2n+=2n+=，由內(nèi)切圓性質(zhì)可知，S=AB+AQ+BQ?r，當(dāng)S=λr時(shí)，λ=AB+AQ+BQ=m+=(常數(shù)).2=4y的焦點(diǎn)為F.設(shè)Mx0,y0(其中x0>0，y0>2=4y+1上一點(diǎn).過M作拋物線C1的兩條切線MA，MB，A，B為切點(diǎn).射線MF交拋物線C2于另一點(diǎn)D.(2)求四邊形MADB面積的最小值.2=4y所以拋物線在點(diǎn)Ax1,y1處切線的斜率為x1，則切線MA的方程為y-y1=x-x1，整理得x1x=2y+y1，同理，MB的方程為x2x=2(y+y2(，所以直線AB方程為y=x.2-4kx-8=0，=1+k2|x0-x3|=1+k2?16k2+32=41+k2×k2+2，則d1+d2=+===×|4k-(x1+x2(|，+y(，得x2-2x0x+4y0=0，1+x2=2x0，x1x2=4y0(其中4x-16y0=4×4(y0+1(-16y0=2)，+k2×=42+k2×|2k-x0|，x=4(y0+1((y0>x=4(y0+1((y0>0(x2-8=x0+2≥×(28(2=16，CB.2+2+，-2<x1<2，則+=1①,假設(shè)AC⊥AF，即AC⊥AF，—y—y所以AC?AF=0，又=(-2-x1,-y1)，=(1-x1,-y1)，所以x+y+x1-2=0②,由①②消去y1得到x+4x1+4=0?x1=-2fx=ty+1+=1，得(3t2+4(y2+6ty-9=0，，則y1+y2=,y1y2=，所以|AB|=(y1+y2(2-4y1y2?1+t2=1+t2=，2=(x1+2(2+y+(x2+2(2+y=(ty1+3(2+y+(ty2+3(2+y=(t2+1((y+y(+6t(y1+y2(+18=(t2+1((y1+y2(2-2(t2+1(y1y2+6t(y1+y2(+18=所| -18t4+18t2+72(3t2+4(2以CA+2=+18+2=+18=+18，設(shè)m=3t2+4,m≥4，+|BC|2+2=+18=2162-5+7+18=216-2++18≥+18=，2+2+2+2+F.所以等軸雙曲線N的方程為-=1；(2)設(shè)E(x1,y1)，F(xiàn)(x2,y2)，G(x3,y3),H(x4,y4),rx=my-23)y2-4my-2=0，,y1y2=-，同理可得y3+y4=-,y3y4=-，所以|EF|=(1+m2([(y1+y2(2-4y1y2[=(1+m2(+=m2+3，|GH|=(1+n2([(y3+y4(2-4y3y4[=(1+n2(+= n2+3，,2=5C2=2，不妨設(shè)P在第一象限以及x軸正半軸上，Px0,y0，則Q-x0,-y0，則+=AQ=?===-2，則AQ的直線方程為y=-x+2，y=kx+2+=1，整理得2k2+1x2+8kx=y=kx+2M=；（y=kx+2（y=kx+2P=；|AM|APAN|AQ||AM|APAN|AQ|1 =2=設(shè)t=k2+2,t (2k2+1((k2+8(，=8t22t-3((t+6(2t2+9t-18= -++2，而-++2=-18-2+，2,，P的直線與C交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).(2)若直線AF與C交于點(diǎn)D，記△BDP內(nèi)切的半徑為r，求r的取值范圍.,==+，得k2x2+(k2-2(x+=0，由Δ=(k2-2(2-k4=4-4k2>0，得-1<k<1,k≠0，x1+x2=2-k2,x1x2=1，所以0<x1<而F,0所以直線AF的斜率存在，所以直線AF的方程為y=x-,y+2x-2x1+x+y=0，化簡得2x1x2-2x+x+x1=0，解得x=或x=x1，+2+y+2|y2|，2+2+y+2|y2|r=x2+|2y2|，所以r=2+2+y 1+1+1x2+y(x2+21==2+22+2x2+令t=x2+，則r=,t>1，2t-1+t2+t因?yàn)閥==x-2,y=,y=在(1,+∞(上均單調(diào)遞減，則y=++2x-1+x2在(1,+∞(上單調(diào)遞減，所以r=1在(1,+∞(上單調(diào)遞增，++所以r>=2-1，8.(廣東百校18).已知橢圓C:+=1(a>b>0(的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，點(diǎn)H之積為-.a2=--=-=-,2=1，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1；2(，直線BN的方程為y=x-2，則x=-2---+=4my1-2y1，x=my+1聯(lián)立+y2=1，整理得m2+4y2+2my-3=0，Δ=16m2+48>0，則y1+y2=-,y1y2=-，則2my1y2=3y1+y2，x=my+1故x=6y1+2-2y1=42=4，Na2=b2+c2a2=b2+c2(a=2b=3，（c=1故C的方程為+=1.得(3s2+4(y2+6sty+3t2-12=0，由Δ=36s2t2-4(3s2+4((3t2-12(>0，得3s2+4-t2>0，，則y1+y2=-，y1y2=，所以x1+x2=s(y1+y2(+2t=，x1x2=(sy1+t((sy2+t(=s2y1y2+st(y1+y2(+t2=，-1,-,所以=0,-，=0,-,-=-，,所以 =-,所以x1x2-2(x1+x2(+441=-1.(武漢二調(diào)19).已知函數(shù)fx=.(1)求曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程；(2)證明：fx是其定義域上的增函數(shù)；由題意f1=e-1，即切點(diǎn)為1,e-1,fx=,k=f1=1，所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為y=x-1+e-1，即y=x+e-因此fx在-∞,0單調(diào)遞增，在0,+∞單調(diào)遞增，即hx=ex-x-1，則hx=ex-1，所以fx是其定義域上的增函數(shù).k,k>0，F(xiàn)x=e1-kx-e-kx-x，若k≥1，則當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)x=e1-kx-e-kx-x≤1-e-kx-x<0，不滿足條件，所以0<k<1，而Fx=1-ke1-kx+ke-kx-1，令Gx=Fx，則Gx=1-k2e1-kx-k2e-kx=e-kx[1-k2ex-k2[，若2ln<0，則當(dāng)2ln<x<0時(shí)，F(xiàn)x<F0=0，F(xiàn)x單調(diào)遞減，此時(shí)Fx>F0=0，不滿足題意；若2ln>0，則當(dāng)0<x<2ln時(shí)，F(xiàn)x<F0=0，F(xiàn)x單調(diào)遞減，此時(shí)Fx<F0=0，不滿足題意；若2ln=0，則當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)x>F0=0，F(xiàn)x單調(diào)遞增，此時(shí)Fx<F0=0，且當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)x>F0=0，F(xiàn)x單調(diào)遞增，此時(shí)Fx>F0=0，滿足題2.(深圳一模18).已知函數(shù)fx=ax-1ex+1-2xlnx-x2a∈R.(2)討論函數(shù)fx的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)； 當(dāng)a=0時(shí)，fx=-2xlnx-x2，則fx=-2（1?lnx+x?-2x=-2lnx+x+1，令gx=fx，則gx=-2+1(,-2<0．則gx在[e-2,1[上單調(diào)遞減，又因?yàn)閒e-2=21-e-2>0,f1=-4<0，-2,1使得fx0=0,fx在e-2,x0上單調(diào)遞增，在x0,1上單調(diào)遞因此，fx在[e-2,1[上的最小值是fe-2與f1兩者中的最小者.因?yàn)閒e-2=4e-2-e-4=e-24-e-2>0,f1=-1，所以函數(shù)fx在[e-2,1[上的最小值為-1.fx=a[1?ex+1+x-1ex+1[-2（1?lnx+x?-2x=axex+1-2lnx+x+1，由fx=0，解得a=2ln+1=2l1，易知函數(shù)y=lnx+x+1在0,+∞上單調(diào)遞增，且值域?yàn)镽，令lnx+x+1=t，由fx=0，解得a=，設(shè)ht=，則ht=，因?yàn)楫?dāng)t<1時(shí)，ht>0，當(dāng)t>1時(shí)，ht<0，所以函數(shù)ht在-∞,1上單調(diào)遞得ht的大致圖像如圖所示. e 2e e 2e時(shí)，方程ht=a無解，即fx無零點(diǎn)，fx沒有極值點(diǎn)；fx=2elnx+x-2lnx+x+1，設(shè)mx=ex-x-1x≥0，則mx=ex-1，令ex-1≥0?x≥0，則mx在[0,+∞上時(shí)單調(diào)遞增函數(shù)，即ex≥x+1，得fx≥2lnx+x+1-2lnx+x+1=0，此時(shí)fx沒有極值點(diǎn)； e e時(shí)，方程ht=a有兩個(gè)解，即fx有兩個(gè)零點(diǎn)，fx有兩個(gè)極<0時(shí)，方程ht=a有一個(gè)解，即f,x有一個(gè)零點(diǎn)，fx有一個(gè)極值點(diǎn). 綜上，當(dāng)a<0時(shí)，fx有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)0<a<時(shí)，fx有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)a≥fx沒有極值點(diǎn).x=，cosx+x?-sinx-cosx=<p0=0,n,x<0，則nx在（0,上單調(diào)遞減，nx>n=，3.(浙江新陣地19).已知函數(shù)fx=cosx+λln1+x，且曲線y=fx在點(diǎn)0,f0處的切線斜率為1.(1)求fx的表達(dá)式；fsin-1<ln2,n∈N*.f,x=-sinx+，則f,0=λ=1，∴fx=cosx+ln1+x；設(shè)hx=fx-ax-1=cosx+ln1+x-ax-1,x>-1.0(=0.令φ(x(=ln(1+x(-x，則φ,(x(=-1=，x(>0?-1<x<0,φ,(x(<0?x>0，知函數(shù)φ(x(在(-1,0(單調(diào)遞增，在(0,+∞(上單調(diào)遞減，+x(-x≤0，而cosx-1≤0，所以當(dāng)x∈[0,+∞(時(shí)，h(x(=(cosx-1(+[ln(1+x(-x[≤0.k1fsin-1=fsin-1+fsin-1+?+f（sin-1(≤sin+sin+?+sin，令t(x(=sinx-x,x∈x(=cosx-1<0，則t(x(在所以sin+sin+?+sin<++?+再證<ln，先證lnx<x-1,0<x<1，令u(x)=lnx-x+1(0<x<1)，則u,(x)=-1=，即lnx<x-1,0<x<1，令x=即得<ln又ln=ln(n+1(-lnn，得<ln(n+1(-ln(n(,??,<ln(2n(-ln(2n-1(所以++?+<ln(n+1)-ln(n)+ln(n+2)-ln(n+1)+?+ln(2n(-ln(2n-1)=ln(2n(-lnn=ln2，k1fsin-1(≤ln2.解決下列問題.①證明f(x(有唯一極值點(diǎn)；②記f(x(的唯一極值點(diǎn)為g(s(，討論g(s(的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.f,(x(==，令h(x(=(s-1-x(?ex-(s-1(，則h,(x(=-ex+(s-x-1(?ex=(s-x-2(?ex；又1<s≤2，x>0，所以s-x-2<0,即函數(shù)h(x(在(0,+∞(上單調(diào)遞減，可得f,(x(=<0恒成立，因此函數(shù)f(x(在(0,+∞(上即當(dāng)1<s≤2時(shí)，函數(shù)f(x(在(0,+∞(上單調(diào)遞減；令h,(x(=(s-x-2(?ex=0，可得x=s-2>0,易知當(dāng)x∈(0,s-2(時(shí)，h,(x(=(s-x-2(?ex>0，即函數(shù)h(x(在(0,s-2(上單調(diào)當(dāng)x∈(s-2,+∞(時(shí)，h,(x(=(s-x-2(?ex<0，即函數(shù)h(x(在(s-2,+∞(上單調(diào)不妨取x=2s-2，則h(2s-2(=(1-s(?e2s-2-(s-1(=(1-s((e2s-2+1(<0；由零點(diǎn)存在定理可知hx存在唯一變號(hào)零點(diǎn)x0∈s-2,+∞,所以fx=存在唯一變號(hào)零點(diǎn)x0滿足fx0=0，0,+∞時(shí)，fx<0；即可得函數(shù)fx在0,x0上單調(diào)遞增，在x0,+∞單調(diào)遞減；所以fx有唯一極大值點(diǎn)x0；②記fx的唯一極值點(diǎn)為gs，即可得x0=gs由hx0=s-1-x0?ex-s-1=0可得s=+1，即可得gs的反函數(shù)g-1s=+1，令φx=+1,x∈s-2,+∞,則φx=，構(gòu)造函數(shù)mx=ex-x-1,x∈0,+∞,則mx=ex-1，顯然mx=ex-1>0在0,+∞恒成立，所以mx在0,+∞上單調(diào)遞增，因此mx>m0=0，即ex>x+1在0,+∞上恒成立，x>x+1在s-2,+∞上恒成立，即可得φx=>0在s-2,+∞上恒成立，因此g-1s在s-2,+∞單調(diào)遞增；易知函數(shù)gs與其反函數(shù)g-1s有相同的單調(diào)性，所以函數(shù)gs在2,+∞上單調(diào)5.(廣東百校19).已知函數(shù)fx=ex-lnx-m(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).54≈3.49)m=-1時(shí)，fx=ex-lnx+1，故fx=ex-,x>-1，因?yàn)閥=ex,y=-在-1,+∞上均為增函數(shù)，故fx在-1,+∞上為增函所以fx在-1,0上為減函數(shù)，在0,+∞上為增函數(shù)，故fxmin=f0=1.由fx的定義域?yàn)閙,+∞,fx=ex-,x>m，因?yàn)閥=ex,y=-在m,+∞上均為增函數(shù)，故fx在m,+∞上為增函m+1-m