【2023小升初】因數(shù)與倍數(shù)（思維提高）-小升初數(shù)學思維拓展卷（通用版）

因數(shù)與倍數(shù)

解答題(共29小題)

1.有一個自然數(shù)，它的最小的兩個約數(shù)之和是4,最大的兩個約數(shù)之和是100,求這個自然

數(shù).

2.已知J有45個因數(shù)，則/有幾個因數(shù)？

3.公路上一排電線桿共25根，每相鄰兩根間的距離原來都是45〃?，現(xiàn)在要改成60〃?，可以

幾根不要移動？

4.如果不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字；且AABB是165的倍數(shù)，

AACBB是156的倍數(shù)，那么三位數(shù)ABC是多少？

5.車庫里有8間車房，順序編號為1,2,3,4,5,6,7,8.這車房里所停的8輛汽車的

車號恰好依次是8個三位連續(xù)整數(shù).己知每輛車的車號都能被自己的車房號整除，求車

號尾數(shù)是3的汽車車號.

6.把詩中的各個文字用數(shù)表示如下：

白日依山盡，黃河入海流

12345678910

欲窮千里目，更上一層樓

11121314151617181920

以詩中的4個字表一“四字成語”.這4個字的代表數(shù)滿足如下條件：第一個數(shù)是第二個

數(shù)的9倍；第二個數(shù)為第四個數(shù)的17；第四個數(shù)比第三個數(shù)多1.

試求此“四字成語”.

7.有一根木棍上有兩種刻度.第一種刻度將木棍分成10等份，第二種刻度將木棍分成12

等份，如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，請問木棍共被鋸成多少段？

8.從3、4、5、6這四個數(shù)字中任意抽出不同的三個數(shù)字，再按不同的順序排列，可以組成

許多不同的三位數(shù)，這些三位數(shù)中，是3的倍數(shù)的三位數(shù)有。個，是4的倍數(shù)的三位數(shù)

有^個，是5的倍數(shù)的三位數(shù)有C個，那么，a+b+c=.

9.李叔叔養(yǎng)了400多只兔子.如果每3只兔子關在一個籠子里，最后一個籠子里有1只；

如果每5只兔子關在一個籠子里，最后一個籠子里有3只；如果每7只兔子關一個籠子

里，那么最后一個籠子里有5只.李叔叔一共養(yǎng)了多少只兔子？

10.兩個整數(shù)的最小公倍數(shù)是1925,這兩個整數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，得到兩個商

的和是16,寫出這兩個整數(shù).

11.我們知道：1!=1,2!=1X2=2,3!=1X2÷3=6,…，n?=1X2X3X…XCn

-1)×n,

(1)8!的因數(shù)中，有多少個是7的倍數(shù)？

(2)將8!乘以一個正整數(shù)M后是一個完全平方數(shù)，則M最小是多少？

12.甲、乙兩人用同樣多的錢去買同一種糖果，甲買的是鐵盒裝的，乙買的是紙盒裝的.兩

人都盡可能多地購買，結(jié)果甲比乙少買了4盒且余下6元，而乙用完了所帶的錢.如果

甲用原來3倍的錢去購買鐵盒裝的糖果，就會比乙多買31盒，而且仍余下6元.那么鐵

盒裝的糖果售價為每盒____元，紙盒裝的糖果售價為每盒_______元.

13.4個連續(xù)的自然數(shù)，從小到大依次是11的倍數(shù)、7的倍數(shù)、5的倍數(shù)、3的倍數(shù)，求這

4個自然數(shù)的和最小值.

14.兩個自然數(shù)之和為667,它們的最小公倍數(shù)除以最大公約數(shù)所得的商等于120.求這兩

個數(shù).

15.從1至100中最多能取出多少個數(shù)，才能夠確保其中任意兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公

因數(shù)的商不是一個完全平方數(shù)？

16.從一塊正方形土地上，劃出一塊寬為10米的長方形土地(如圖)，剩下的長方形土地面

積是1575平方米.那么，劃出的長方形土地的面積是多少？

17.已知兩個正整數(shù)的最大公因數(shù)是4,最小公倍數(shù)是24,那么這兩個數(shù)和的最大值

是.

18.設〃是小于50的自然數(shù)，求使得3n+5和5n+4有大于1的公約數(shù)的所有n.

19.在一根長2000厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個紅色點，同時自右向左每隔

5厘米也染一個紅點，然后沿紅點將木棍逐級鋸開，那么長度是4厘米的短木棍有多少

根？

20.某班學生不到50人，在一次數(shù)學競賽中，有17學生得優(yōu)，13學生得良，12學生

剛好及格，這個班有名學生不及格.

21.已知兩個正整數(shù)之和為432,這兩個正整數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)之和為7776.則

這兩個正整數(shù)的乘積是多少？

22.從運動場的一端到另一端全長96米，從一端起到另一端每隔4米插一面小紅旗.現(xiàn)在

要改成每隔6米插一面小紅旗，問可以不拔出來的小紅旗有多少面？

23.大雪后的一天，小明和爸爸共同測一個圓形花圃的周長.他們的起點和走的方向完全相

同.小明的平均步長54厘米，爸爸的平均步長72厘米.由于兩人的腳印有重合，并且

他們走了一圈后都回到起點,這時雪地上只留下60個腳印,這個花圃的周長是米.

24.歐歐、小泉、奧斑馬三人爬同一棟樓的樓梯，歐歐每步爬3級臺階，但到達樓頂?shù)淖詈?/p>

一步只爬了2級臺階級；小泉每步爬4級臺階，但到達樓頂?shù)淖詈笠徊揭仓慌懒?級臺

階級；奧斑馬每步爬5級臺階，但到達樓頂?shù)淖詈笠徊饺匀恢慌懒?級臺階級.龍博士

估算了一下，這棟樓的臺階總級數(shù)在IOO?150級，那么你知道這棟樓具體有多少級臺階

嗎？

25.在1到2013的自然數(shù)中，不是3或5的倍數(shù)的數(shù)共有多個？

26.歐歐、小泉、奧斑馬三人爬同一棟樓的樓梯，歐歐每步爬3級臺階，但到達樓頂?shù)淖詈?/p>

一步只爬了2級臺階；小泉每步爬4級臺階，但到達樓頂?shù)淖詈笠徊街慌懒?級臺階；

奧斑馬每步爬5級臺階，但到達樓頂?shù)淖詈笠徊街慌懒?級臺階.龍博士估算了一下，

這棟樓的臺階總級數(shù)在150?200級，那么你知道這棟樓具體有多少級臺階嗎？

27.小明想找一個三位數(shù)，這個三位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，并且還是45的倍數(shù)，那么滿

足小明要求的三位數(shù)有個.

28.分母是385的最簡真分數(shù)共有多少個？

29.在開心農(nóng)場中，圓圓和笑笑的農(nóng)場共養(yǎng)了174頭河馬，圓圓農(nóng)場中的河馬群中有2330

是母河馬，而笑笑農(nóng)場中的河馬群中僅有314是母河馬，圓圓和笑笑的農(nóng)場中各養(yǎng)了

多少頭河馬？

因數(shù)與倍數(shù)

參考答案與試題解析

一.解答題(共29小題)

1.有一個自然數(shù)，它的最小的兩個約數(shù)之和是4,最大的兩個約數(shù)之和是100,求這個自然

數(shù).

【分析】最小的兩個約數(shù)中一定有一個是1,因此另一個是3,說明最大的約數(shù)是第二大

的約數(shù)的3倍，而最大的兩個約數(shù)之和為10(),IO()÷(3+1)=25,所以最大的兩個約

數(shù)是25和75,這個自然數(shù)就是75.

【解答】解：最小的兩個約數(shù)中一定有一個是1,因此另一個是3,最大的兩個約數(shù)是:

100÷(3+1)=25,

100-25=75.

所以最大的兩個約數(shù)是25和75,這個自然數(shù)就是75.

答：這個自然數(shù)是75.

【點評】此題解答的關鍵是先求出最小的兩個約數(shù)，根據(jù)最大的約數(shù)是第二大的約數(shù)的3

倍，求出最大的兩個約數(shù)，進而得出這個自然數(shù).

2.已知J有45個因數(shù)，則/有幾個因數(shù)？

【分析】根據(jù)因數(shù)的求法，一個數(shù)的因數(shù)有45個，那么有以下這樣的幾種可能：(1)45

=44+1；(2)45=5X9；(3)45=3X15；(4)45=5×3×3,根據(jù)這幾種可能確定α的

因數(shù)個數(shù).

【解答】解：(1)如果/=產(chǎn)(X為質(zhì)數(shù))，那么“=/2,“3=/6,因數(shù)就有66+1=67

個；

(2)如果∕=χ4y8(X、y均為質(zhì)數(shù))，那么a=，＞、則“3=犬6/12,因數(shù)個數(shù)是(6+1)

X(12+1)=91個；

(3)如果J=∕yl4(X、y均為質(zhì)數(shù))，那么”=孫7,則∕=χ3y21,因數(shù)的個數(shù)是(3+1)

X(21+1)=88個；

(4)如果“2=/己2(小Z均為質(zhì)數(shù))，那么α=∕yz,則a3=χ6y3z3,因數(shù)的個數(shù)是

(6+1)×(3+1)×(3+1)=112個.

答：03有67、88、91或112個因數(shù).

【點評】此題的情況很多，所以在列舉的時候要有一定的順序.

3.公路上一排電線桿共25根，每相鄰兩根間的距離原來都是45根，現(xiàn)在要改成60,“，可以

幾根不要移動？

【分析】現(xiàn)在相隔的距離是45和60的最小公倍數(shù).

【解答】解：

[45,60]=180

(25-1)×45÷180+l=7(根)

答：可以7根不要移動.

【點評】注意第一根也不要移動，因此用總長度除以180之后要加上1.

4.如果不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字；且AABB是165的倍數(shù)，

AACBB是156的倍數(shù)，那么三位數(shù)ABC是多少？

【分析】因為165=11×15,AABB肯定是11的倍數(shù)，所以AOB一定是15的倍數(shù)，可以

確定B可能是0,也可能是5；又因為AACBB是156的倍數(shù)，所以可以確定8是0.又

可以推出A可能是3、6或9.

又因為156=12X13,含有因數(shù)3,所以可以確定C的值是0、3、6、9,去嘗試找出符

合條件的A和C.

【解答】解：由于165=11X15

所以AABB÷Il=AOB,且A0B÷15得到整數(shù)，

所以B是0或者5,

又因為AACBB是156的倍數(shù)，所以可以確定8是0,

所以A可能是3、6或9.

由于156=12X13,

如果A=3,33600、33900都不是156的倍數(shù)；

如果A=6,66300、66900中只有66300是156的倍數(shù)

如果A=9,99300、99600都不是156的倍數(shù).

綜上所述，A=6,B=0,C=3

答：三位數(shù)ABC是603.

【點評】此題主要考查2、3、5的倍數(shù)特征，運用這些特征進行推理、篩選，從而找出

符合條件的數(shù).

5.車庫里有8間車房，順序編號為1,2,3,4,5,6,7,8.這車房里所停的8輛汽車的

車號恰好依次是8個三位連續(xù)整數(shù).已知每輛車的車號都能被自己的車房號整除，求車

號尾數(shù)是3的汽車車號.

【分析】1,2,3,4,5,6,7,8的最小公倍數(shù)是840,840加上1?8中的某個數(shù)后必

能被這個數(shù)整除，所以8輛汽車的車號依次為841?848.據(jù)此即可解答問題.

【解答】解：1,2,3,4,5,6,7,8的最小公倍數(shù)是840,

因為840加上1?8中的某個數(shù)后必能被這個數(shù)整除，所以8輛汽車的車號依次為841?

848.

故車號尾數(shù)是3的汽車車號是843.

答：尾數(shù)是3的汽車車號是843.

【點評】此題主要考查整除的意義，及根據(jù)整除的意義和數(shù)的整除的特征解決有關的問

題.

6.把詩中的各個文字用數(shù)表示如下：

白日依山盡，黃河入海流

12345678910

欲窮千里目，更上一層樓

11121314151617181920

以詩中的4個字表一“四字成語”.這4個字的代表數(shù)滿足如下條件：第一個數(shù)是第二個

數(shù)的9倍；第二個數(shù)為第四個數(shù)的17；第四個數(shù)比第三個數(shù)多1.

試求此“四字成語”.

【分析】由第二個數(shù)為第四個數(shù)的17且各數(shù)均為正整數(shù)，可知第四個數(shù)為7的倍數(shù)，

即第四個數(shù)為7或14,分別求出當?shù)谒膫€數(shù)為7和14時，其它各數(shù)，找出對應的文字,

組成“四字成語”，再判斷該成語是否成立即可.

【解答】解：???第二個數(shù)為第四個數(shù)的17,各數(shù)均為正整數(shù)，

第四個數(shù)為7的倍數(shù)，即7或14.

當?shù)谒膫€數(shù)為7時?，第二個數(shù)為1,第一個數(shù)為9,第三個數(shù)為6,

此時“四字成語”為海白黃河（不符題意，舍去）；

當?shù)谒膫€數(shù)為14時，第二個數(shù)為2,第一個數(shù)為18,第三個數(shù)為13,

此時“四字成語”為一日千里.

綜上所述：此“四字成語”為一日千里.

【點評】本題考查了因數(shù)與倍數(shù)，由第二個數(shù)與第四個數(shù)之間的關系找出第四個數(shù)為7

或14是解題的關鍵.

7.有一根木棍上有兩種刻度.第一種刻度將木棍分成IO等份，第二種刻度將木棍分成12

等份，如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，請問木棍共被鋸成多少段？

【分析】可假設木棍長是60,60能同時被10和12整除，30能同時被5和6整除，所以

在長為30的位置兩種刻度重合，即可得出結(jié)論，

【解答】解：因為60能同時被10和12整除，所以可假設木棍長是60,60÷I0=6,60

÷12=5.

30能同時被5和6整除，所以在長為30的位置兩種刻度重合，

所以木棍上的刻度線有（10-1）+（127）-1=19（條），

木棍被鋸成19+1=20（段木

【點評】本題考查因數(shù)與倍數(shù)、整除性問題，在計算木棍的刻度線時需注意重合的有1

個，否則容易引起錯誤，屬于中檔題.

8.從3、4、5、6這四個數(shù)字中任意抽出不同的三個數(shù)字，再按不同的順序排列，可以組成

許多不同的三位數(shù)，這些三位數(shù)中，是3的倍數(shù)的三位數(shù)有。個，是4的倍數(shù)的三位數(shù)

有b個，是5的倍數(shù)的三位數(shù)有C個，那么，a+b+c=24.

【分析】利用是3的倍數(shù)的三位數(shù)，各數(shù)字和能被3整除；4倍數(shù)的倍數(shù)特征是末兩位組

成的數(shù)是4的倍數(shù)4的倍數(shù)；是5的倍數(shù)的三位數(shù)，末尾是5,分別求出滿足條件的小

b,c,即可得出結(jié)論.

【解答】解：由題意，是3的倍數(shù)的三位數(shù)，各數(shù)字和能被3整除，即3、4、5或4、5、

6,所以α=2A33=12個；

4倍數(shù)的倍數(shù)特征是末兩位組成的數(shù)是4的倍數(shù)，即364,564,436,536,356,456,

共6個，故6=6個；

是5的倍數(shù)的三位數(shù)，末尾是5,故c=A32=6個，

所以α+?+c=12+6+6=24個，

故答案為24.

【點評】本題考查因數(shù)與倍數(shù)，考查數(shù)的整除的特征，分別求出滿足條件的”,b,C是

關鍵.

9.李叔叔養(yǎng)了400多只兔子.如果每3只兔子關在一個籠子里，最后一個籠子里有1只；

如果每5只兔子關在一個籠子里，最后一個籠子里有3只；如果每7只兔子關一個籠子

里，那么最后一個籠子里有5只.李叔叔一共養(yǎng)了多少只兔子？

【分析】如果再增加2只兔子，兔子的總數(shù)就是3、5、7的公倍數(shù)，如何求出比400多

一點的只數(shù)即可.

【解答】解：3×5×7=105（只）

400÷105=3-85

所以，105X4-2=418（只）

答：李叔叔一共養(yǎng)418只兔子.

【點評】本題考查了倍數(shù)應用題，關鍵是明確兔子的總數(shù)比3、5、7的公倍數(shù)少2.

10.兩個整數(shù)的最小公倍數(shù)是1925,這兩個整數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，得到兩個商

的和是16,寫出這兩個整數(shù).

【分析】1925=5×5×7×11,兩個商都是1925的因數(shù)且互質(zhì)，而且和為16,所以這兩

個商分別為5和11,即可求出這兩個整數(shù).

【解答】解：1925=5X5X7X11；

兩個商都是1925的因數(shù)且互質(zhì)，而且和為16,所以這兩個商分別為5和11；

這兩個整數(shù)分別是：1925+5=385,1925+11=175；

答：這兩個整數(shù)分別是385與175.

【點評】本題考查因數(shù)與倍數(shù)，考查學生分析解決問題的能力，正確求出兩個商是關鍵.

11.我們知道：1!=1,2!=1X2=2,3!=1×2÷3=6,…，n?=1×2×3×???×(n

-1）×n,

（1）8!的因數(shù)中，有多少個是7的倍數(shù)？

（2）將8!乘以一個正整數(shù)M后是一個完全平方數(shù)，則M最小是多少？

【分析】（1）根據(jù)〃！的定義可找出8!,將其分解質(zhì)因數(shù)后可得出8!=27×32×5×7,

由7的倍數(shù)必須含有因數(shù)7,可知本題相當于求27X32X5的因數(shù)的個數(shù)，再根據(jù)因數(shù)個

數(shù)公式即可求出結(jié)論；

（2）根據(jù)完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)必須是偶數(shù)，即可得出M最小為2

×5×7,此題得解.

【解答】解：（1）V8!=1×2×3×4×5×6×7×8=27×32×5×7,7的倍數(shù)必須含有

因數(shù)7,

本題相當于求27×32×5的因數(shù)的個數(shù).

?.?27χ32χ5的因數(shù)有（7+1）X（2+1）X（1+1）=48個，

；.8!的因數(shù)中，有48個是7的倍數(shù).

（2）：完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)必須是偶數(shù)，

M最小為2X5X7=70.

【點評】本題考查了因數(shù)與倍數(shù)、完全平方數(shù)性質(zhì)以及最大與最小，解題的關鍵是：（1）

根據(jù)倍數(shù)的定義，將求8!的因數(shù)中有多少個是7的倍數(shù)轉(zhuǎn)化為求27×32×5的因數(shù)的個

數(shù)；（2）根據(jù)完全平方數(shù)的性質(zhì)，找出M最小為2X5X7.

12.甲、乙兩人用同樣多的錢去買同一種糖果，甲買的是鐵盒裝的，乙買的是紙盒裝的.兩

人都盡可能多地購買，結(jié)果甲比乙少買了4盒且余下6元，而乙用完了所帶的錢.如果

甲用原來3倍的錢去購買鐵盒裝的糖果，就會比乙多買31盒，而且仍余下6元.那么鐵

盒裝的糖果售價為每盒12元,紙盒裝的糖果售價為每盒.10元.

【分析】甲用原有的錢去買鐵盒余下6元，那么用3倍的錢去買鐵盒，理論上應該余下6

X3=18（元），然而仍余下6元，說明18-6=12元剛好又可以買若干個鐵盒，即鐵盒

的單價應為12的約數(shù)；又根據(jù)余下6元可知鐵盒的單價必定大于6元，所以鐵盒的單價

只能是每盒12元.接著再根據(jù)題干數(shù)量關系進行列方程求解即可.

【解答】解：甲用原有的錢去買鐵盒余下6元，那么用3倍的錢去買鐵盒，理論上應該

余下6X3=18（元），

然而仍余下6元，說明18-6=12元剛好又可以買若干個鐵盒，即鐵盒的單價應為12的

約數(shù)；

又根據(jù)余下6元可知鐵盒的單價必定大于6元，所以鐵盒的單價只能是每盒12元.

設乙買了X盒紙盒，

3[12（χ-4）+6]=12（尤+31）+6

36(X-4)+18=12x+372+6

36χ-144+18=12x+378

24x=504

x=21

所以兩人原有的錢數(shù)為I2X(21-4)+6=210(元)

紙盒的單價是每盒210÷21=10(元)

故答案為：12；10.

【點評】本題關鍵在于分析語句得出鐵盒的單價是每盒12元，以此為突破口進行解答.

13.4個連續(xù)的自然數(shù)，從小到大依次是11的倍數(shù)、7的倍數(shù)、5的倍數(shù)、3的倍數(shù)，求這

4個自然數(shù)的和最小值.

【分析】設最小的數(shù)位Ilk,從小到大依次為Uk+1、Hk+2、llk+3；llk+l為7的倍數(shù)，k

=5,12,19,26,33,40-；次+2為5的倍數(shù)，k=3,8,13,18,23,28,33,38-；

IIk+3為3的倍數(shù)，k=3,6,9,12,15,18,24,27,30,33…，可得Z最小的值為33,

四個數(shù)從小到大依次為363、364、365、366,即可求出四個數(shù)的和的最小值.

【解答】解：設最小的數(shù)位1M,從小到大依次為次+1、Ilk+2、llk+3；

次+/為7的倍數(shù)，k=5,12,19,26,33,40-

次+2為5的倍數(shù)，k=3,8,13,18,23,28,33,38-

llk+3為3的倍數(shù)，k=3,6,9,12,15,18,24,27,30,33-

顯然，A最小的值為33,四個數(shù)從小到大依次為363、364、365、366,四個數(shù)的和的最

小值為363+364+365+366=1458.

【點評】本題主要考查了整除的性質(zhì)及約數(shù)與倍數(shù)的知識，難度適中，根據(jù)整除的性質(zhì)

得到上最小的值為33,四個數(shù)從小到大依次為363、364、365、366是解題的關鍵.

14.兩個自然數(shù)之和為667,它們的最小公倍數(shù)除以最大公約數(shù)所得的商等于120.求這兩

個數(shù).

【分析】667=23X29,最小公倍數(shù)除以最大公約數(shù)，所得的商是120,如果23是它們的

最大公約數(shù)的話，那么29就得拆成兩個數(shù)和，并且積是120,試驗得到29=24+5,24

×5=120,所以兩數(shù)分別是24X23=552,5X23=115；

同樣，如果29是它們的最大公約數(shù)的話，那么23就得拆成兩個數(shù)的和，并且積是120,

試驗得到23=15+8,15X8=120；所以兩數(shù)分別是15X29=435,8×29≈232.

【解答】解：667=23X29,由題意，假設23是它們的最大公約數(shù)，由于29=24+5,24

×5=120,

所以兩數(shù)分別是24X23=552,5X23=115；

假設29是它們的最大公約數(shù)，由于23=15+8,15X8=120；所以兩數(shù)分別是15X29=

435,8X29=232；

答：這兩個數(shù)是115和552,或者232和435.

【點評】此題考查了最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)和數(shù)的拆分等知識，以及分析推理能力.

15.從1至IOO中最多能取出多少個數(shù)，才能夠確保其中任意兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公

因數(shù)的商不是一個完全平方數(shù)？

【分析】兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的商，就是這兩個數(shù)分別除以它們的最大公

約數(shù)所得商的積。如果這個商是一個完全平方數(shù)，那么一個數(shù)就是另一個數(shù)完全平方數(shù)

倍。這樣的數(shù)有4：1,9：1,16：1,25：1,36：1,49：1,64：1,81：1,100：1；8：

2,12：3,16：4,20：5,24：6,28：7,32：8,36：9,40：10,44：11,48：12,

52：13,56：14,60：15,64：1,68：17,72：18,76：19,80：20,84：21,88：22,

92：23,96：24,100：25；18：2,27：3,36：4,45：5,54：6,63：7,72：8,81：

9,90：10,99：Ib……要確保其中任意兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的商不是一

個完全平方數(shù)，就去掉1?25,從26?100的數(shù)符合條件。最多有75個數(shù)。

【解答】解：兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的商，就是這兩個數(shù)分別除以它們的最

大公約數(shù)所得商的積。如果這個商是一個完全平方數(shù)，那么一個數(shù)就是另一個數(shù)完全平

方數(shù)倍。這樣的數(shù)有4：1,9：1,16：1,25：1,36：1,49：1,64：1,81：1,100：

1；8：2,12：3,16：4,20：5,24：6,28：7,32：8,36：9,40：10,44：11,48：

12,52：13,56：14,60：15,64：1,68：17,72：18,76：19,80：20,84：21,88：

22,92：23,96：24,100：25；18：2,27：3,36：4,45：5,54：6,63：7,72：8,

81：9,90：10,99：11；……要確保其中任意兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的商不

是一個完全平方數(shù)，就去掉1?25,從26?100的數(shù)符合條件。最多有75個數(shù)。

【點評】明確兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的關系是解決本題的關鍵。

16.從一塊正方形土地上，劃出一塊寬為10米的長方形土地（如圖），剩下的長方形土地面

積是1575平方米.那么，劃出的長方形土地的面積是多少？

【分析】根據(jù)題干，剩下的長方形的長與寬的差是10米，因為1575=3X3X5X5X7=

45X35,所以原正方形的邊長為45米，所以劃出的長方形的長與寬分別是45米、10米，

據(jù)此計算即可解答問題.

【解答】解：根據(jù)題干分析可得：1575=3X3X5X5X7=45X35,

45-35=10,

所以原正方形的邊長為45米，

則劃出的面積是：45×10=450（平方米）,

答：劃出的長方形土地的面積是450平方米?

【點評】解答此題的關鍵是根據(jù)剩下的長方形的長與寬的差是10米，從而利用分解質(zhì)因

數(shù)的方法找出出剩下的長方形的長與寬的值.

17.已知兩個正整數(shù)的最大公因數(shù)是4,最小公倍數(shù)是24,那么這兩個數(shù)和的最大值是28

【分析】本題是最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的問題，首先要搞清它們定義，這是關鍵.兩

個數(shù)的最大公因數(shù)是4,那么這兩個數(shù)中最小的是4,最小公倍數(shù)是24,說明較小的數(shù)是

4的倍數(shù)，倍數(shù)，較大的一定是24的約數(shù).

【解答】解：兩個數(shù)的最大公因數(shù)是4,那么這兩個數(shù)中最小的是4,最小公倍數(shù)是24,

說明較小的數(shù)是4的倍數(shù)，

倍數(shù)，較大的一定是24的約數(shù)，所以滿足要求的是4和24,8和12,而4+24=28,8+12

=20,

和最大是28.

故答案為：28.

【點評】本題考查的是最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的問題，此種類型的題在小學生初中時

經(jīng)常涉及到.

18.設〃是小于50的自然數(shù)，求使得3〃+5和5n+4有大于I的公約數(shù)的所有n.

【分析】對于小于50的自然數(shù),設d是3〃+5和5〃+4大于1的公約數(shù),則d整除5(3/2+5)

-3(5n+4)=13,所以d=13,進而3n+5=13k5n+4=131,由3"+5=13k,可得A=3

(n-4k)+5=3,s+2,其中s="-4k+l,所以〃=4Z+s-1=4(3s+2)+s-l=13s+7,然

后求出所有〃即可.

【解答】解：對于小于50的自然數(shù)，

設”是3〃+5和5〃+4大于1的公約數(shù)，

則“整除5(3n+5)-3(5?+4)=13,

所以d=13,進而

3n+5=13k5n+4=13m,

由3"+5=13%,

可得Z=3(?-4?)+5=3s+2,其中s="-4k+l,

所以"=4k+s-1=4(3s+2)+.V-1,

“=13s+7.

因為0W"W50,

所以0WsW3,對應的“分別是7,20,33,46.

答：使得3〃+5和5〃+4有大于1的公約數(shù)的所有〃是7,20,33,46.

【點評】此題主要考查了公約數(shù)問題，解答此題的關鍵是首先設d是3〃+5和5〃+4大于

1的公約數(shù)，根據(jù)題意，求出d=13.

19.在一根長2000厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個紅色點，同時自右向左每隔

5厘米也染一個紅點，然后沿紅點將木棍逐級鋸開，那么長度是4厘米的短木棍有多少

根？

【分析】取30厘米一段分析：

0612182430

I1-I-I-*_1

IIIII

510152025

10-6=4,24-20=4共兩小段，2000÷30=66余20,所以有：66×2+l≈133(根).

【解答】解：取30厘米一段分析：10-6=4(厘米)，24-20=4(厘米)，共有2條，

2000÷30=66余20厘米，20厘米還能有1根4厘米的，

所以有：66X2+1=133(根)；

答：那么長度是4厘米的短木棍有133根.

【點評】此題不能憑直觀感覺，應畫出圖，結(jié)合圖進行分析、計算，進而得出結(jié)論.

20.某班學生不到50人，在一次數(shù)學競賽中，有17學生得優(yōu)，13學生得良，12學生

剛好及格，這個班有1名學生不及格.

【分析】這班的人數(shù)應該是3、2、7的最小公倍數(shù)，而且的小于50；求出總?cè)藬?shù)，減去

優(yōu)、良和及格的人數(shù)，即可得解.

【解答】解：2和3和7的最小公倍數(shù)是2X3X7=42,剛好小于50,

42×(1-17-13-12)

=42-14-21-6

=1(人)；

答：那么，有1人不及格.

故答案為：1.

【點評】此題考查了整除的性質(zhì)，靈活應用整除，求出本班人數(shù)是解決此題的關鍵.

21.已知兩個正整數(shù)之和為432,這兩個正整數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)之和為7776.則

這兩個正整數(shù)的乘積是多少？

【分析】此題涉及約數(shù)和倍數(shù)和，不是積.所以要把他們分別表示出來.列出等式關系.設

A=aN,B=bN即aN+bN=432,N+α6N=7776,兩個式子中都含有N可以約掉再計算出

。與b的關系.根據(jù)題中都是正整數(shù)的要求來判斷具體數(shù)值.

【解答】解：設這兩個正整數(shù)分別是A,8.他們的約數(shù)為N.A=aN,B=bN.Ca,h

互質(zhì))最小公倍數(shù)為

aN+bN=N(a+b)=432,分解質(zhì)因數(shù)432=24X33

N+abN=N(ab+l)=7776,分解質(zhì)因數(shù)7776=2$X

N(a+b)N(ab+l)=4327776,解得o?+ι=i8(a+b),

變形得：

b=18a-Ia-18=18(a-18)+323a-18=i8+323a-18,

,：a,b都是整數(shù)，.?.323a-18是整數(shù),α-18就是323的約數(shù).

323=17X19,

當α-18=17時，b=18+19=37,α=35,

當“-18=19時，6=18+18=35,6=37,

.?."=35X37=1295,

N(1295+1)=7776,

N=6,

AB=abN1=1295X36=46620,

綜上所述答案是：46620.

【點評】首先需要你列出關系式.然后找到對應字母的關系.根據(jù)整除特性判斷.此類

題看似很難，但是在最后一定會有一個特殊的情況.要耐心，細心不要算錯.

22.從運動場的一端到另一端全長96米，從一端起到另一端每隔4米插一面小紅旗.現(xiàn)在

要改成每隔6米插一面小紅旗，問可以不拔出來的小紅旗有多少面？

【分析】分析題意可得，不動的小旗地點應該是4和6的公倍數(shù)所在的位置，找出96以

內(nèi)有幾個4和6的公倍數(shù)，然后加上1即可.

【解答】解：6和4的最小公倍數(shù)是12,

96÷12+1

=8+1

=9(面)

答：可以不拔出來的小紅旗有9面.

【點評】明確不動的小旗即4和6的公倍數(shù)所在的位置，是解答此題的關鍵；應注意，

最后要加上1.

23.大雪后的一天，小明和爸爸共同測一個圓形花圃的周長.他們的起點和走的方向完全相

同.小明的平均步長54厘米，爸爸的平均步長72厘米.由于兩人的腳印有重合，并且

他們走了一圈后都回到起點,這時雪地上只留下60個腳印,這個花圃的周長是21.6米.

【分析】因他們的起點和走的方向完全相同，也就是一前一后的走，腳印一定有重合的，

即重合在兩人步子長度的公倍數(shù)上，所以先求出他們步長的最小公倍數(shù)，再求出他們腳

印重合時的步數(shù)，然后再據(jù)總步數(shù)及最小公倍數(shù)即能求出這條路的長度，也就是花圃的

周長.

【解答】解：54和72的最小公倍數(shù)是216,

第一次兩人腳印重合時，爸爸走的步數(shù)：216÷72=3步，小明走的步數(shù)：216+54=4,

即爸爸3步與小明4步時腳印重合一次，此時有6腳印，距離是216厘米,

總共有60個腳印，應重合的次數(shù)：60÷6=10（次）

所以這條路長是10X216=2160（厘米）=21.6米，

答：這個花圃的周長是21.6米.

故答案為：21.6

【點評】完成本題首先要明確兩人的腳印是有重合的，重合在兩人步子長度的公倍數(shù)上，

通過求他們步子長度的最小公倍數(shù)即能求出兩人腳印重合時腳印數(shù)的循環(huán)規(guī)律.

24.歐歐、小泉、奧斑馬三人爬同一棟樓的樓梯，歐歐每步爬3級臺階，但到達樓頂?shù)淖詈?/p>

一步只爬了2級臺階級；小泉每步爬4級臺階，但到達樓頂?shù)淖詈笠徊揭仓慌懒?級臺

階級；奧斑馬每步爬5級臺階，但到達樓頂?shù)淖詈笠徊饺匀恢慌懒?級臺階級.龍博士

估算了一下，這棟樓的臺階總級數(shù)在100?150級，那么你知道這棟樓具體有多少級臺階

嗎？

【分析】根據(jù)題意，因三人到達樓頂?shù)淖詈笠徊街慌懒?級臺階，所以臺階的總數(shù)一定

是3、4、5的倍數(shù)多2,再100?150找到即可.

【解答】解：依題意可知，樓梯總級數(shù)同時為3、4、5的倍數(shù)多2,

3、4、5的最小公倍數(shù)是60,又因為臺階總數(shù)在100-150所以臺階總數(shù)應為60X2+2

=122（級）

答：這棟樓有122級臺階.

【點評】靈活應用求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法來解決實際問題.

25.在1到2013的自然數(shù)中，不是3或5的倍數(shù)的數(shù)共有多個？

【分析】從1到2013的自然數(shù)中，先分別求出3的倍數(shù)和5的倍數(shù)，然后求出既是3的

倍數(shù)又是5的倍數(shù)（即3和5的公倍數(shù)）的個數(shù)；用“3的倍數(shù)的個數(shù)+5的倍數(shù)的個數(shù)

-重復數(shù)的個數(shù)”求出3或5的倍數(shù)的個數(shù)；最后用2013去減即可.

【解答】解：3的倍數(shù)有：2013+3=671（個），

5的倍數(shù)有:2013÷5≈402（個），

其中既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)（即3和5的公倍數(shù)）的數(shù)有：2013÷15^134（個），

因此，是3或5的倍數(shù)的個數(shù)是：671+402-134=939（個），

既不是3的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)是：2013-939=1074（個）；

答：在1到2013的自然數(shù)中，不是3或5的倍數(shù)的數(shù)共有1074個.

【點評】解答此題的關鍵是先求出既是3又是5的倍數(shù)的個數(shù)，然后用2013去減即可.

26.歐歐、小泉、奧斑馬三人爬同一棟樓的樓梯，歐歐每步爬3級臺階，但到達樓頂?shù)淖詈?/p>

一步只爬了2級臺階；小泉每步爬4級臺階，但到達樓頂?shù)淖詈笠徊街慌懒?級臺階；

奧斑馬每步爬5級臺階，但到達樓頂?shù)淖詈笠徊街慌懒?級臺階.龍博士估算了一下，

這棟樓的臺階總級數(shù)在150?200級，那么你知道這棟樓具體有多少級臺階嗎？

【分析】依題意可知，無論每步爬3級臺階，4級臺階或是5級臺階，最后一步都是只差

一級臺階，說明這個數(shù)加上1就可以是3,4,5的倍數(shù)，在3,4,5的倍數(shù)中找到減1

之后就是150?200的數(shù)即可.

【解答】解：依題意可知，樓梯的總臺階數(shù)同時是3的倍數(shù)加2,4的倍數(shù)加3,5的倍

數(shù)加4,

即樓梯總級數(shù)同時為3的倍數(shù)減1