2022-2023學年重慶市高一年級下冊期中數(shù)學模擬試題1（含解析）

2022-2023學年重慶市高一下冊期中數(shù)學模擬試題

(含解析)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知復數(shù)z=3+i,則復數(shù)z?(l+i)4在復平面內(nèi)對應的點在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【正確答案】C

【分析】由復數(shù)代數(shù)形式的四則運算化簡，再由復數(shù)的幾何意義得結(jié)果.

【詳解】由z=3+i,則有

z.(l+i)4=(3+i)[(l+i)2]2=(3+i)(2i)2=(3+i)x(-4)=-12-4i,

所以復數(shù)2-(1+碟在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(-12,-4),在第三象限.

故選：C.

2.A∕8C中，α,b,c是角4反。的對邊，b=25c=2,C=30。,則此三角形有(

A.一個解B.2個解C.無解D.解的個

數(shù)不確定

【正確答案】B

I?y--↑

【分析】利用正弦定理得sin8厘一，進而利用三角形內(nèi)角和進行判斷即可.

【詳解】YAZBC中，?=2√3,c=2,C=30?

,得出=也，

.?.根據(jù)正弦定理,SinB=X=

sinBsinC

c22

二8為三角形的內(nèi)角,b>c,則有8=60°或8=120°，

，三角形的解有兩個.

故選:B.

3.下列幾組空間向量中，不能作為空間向量基底的是()

A.α=(1,0,0),e=(0,1,0),c=(0,0,1)

B1=(1,1,0),方=(1,0,1)B=(0,1,1)

c.α=(1,1,2),^=(1,1,0),C=(1,0,1)

D.5=(l,l,l),?=(l,0,l),c=(l,2,l)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷各選項即可.

【詳解】對于A,?(l,0,0)=Λ(0,1,0)+//(0,0,1),無解，即"B,J不共面,故可以作為

空間向量一個基底，故A錯誤；

對于B,設(l,l,0)=∕l(l,0,l)+4(0,l,l),無解，即扇瓦[不共面，故可以作為空間向量

一個基底，故B錯誤；

對于C,設(1,1,2)=4(1,1,0)+//。,0,1),無解，即口后忑不共面，故可以作為空間向量

一個基底，故C錯誤；

對于D,設(1,1,1)=2(1,0,1)+M(1,2,1),解得a=〃=g,所以扇瓦。共面，故不可以作

為空間向量一個基底，故D正確.

故選：D

4.已知向量萬，B滿足,+B)/=2,且W=L則向量1在向量B上的投影向量為()

A.1B.-1C.hD.-b

【正確答案】C

【分析】由已知可求得展3=1，然后根據(jù)投影向量的公式，即可得出答案.

【詳解】因為W=l,[a+b]-b=a-b+b2=2,

所以展5=1，

a?bb1b-

所以，向量3在向量B上的投影向量為而-?Ri=i?7=b.

故選：C.

5.設表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為匕、％和匕，則（）

A.V1<V2<ViB,匕<匕<匕C.V3<Vi<V2D.

V3<V2<Vx

【正確答案】B

【分析】設正方體棱長為“，正四面體棱長為6,球的半徑為H,面積為S.表示出3個幾何

體的表面積，得出。,仇及,進而求出體積的平方，比較體積的平方大小，然后得出答案.

【詳解】設正方體棱長為α,正四面體棱長為b,球的半徑為R,面積為S.

c

正方體表面積為S=6/，所以/=二，

6

所以,片=.）2=（叫3=奈；

如圖，正四面體尸一NBC,。為ZC的中點，。為AZ8C的中心，則尸。是尸一Z6C底

面NBC上的高.

則6D_L/C,AD=h,所以BD=NAB2-AD。=今b，

所以S,^-×AC×BD=-×b×-b^-b2.

“iBtec2224

所以，正四面體產(chǎn)一N6C的表面積為S=4S."C=√?2,所以∕）2=1fs?

又。為-8C的中心，所以Bo=ZBD=叵b.

33

又根據(jù)正四面體的性質(zhì)，可知P0L8。,

所以PO=4PB1-BO1=顯b，

3

22

1?/?,2ve」"=_LX

所以，Vi=?-×S×P0

/I??AZioBCC.1343J7272

S

球的表面積為S=4兀&2,所以尼

4π

所以，匕2=信成3?s3?

ia^?s^?s^?53>—L=53=—53,

36π144216216√3648

所以，匕2〉匕2>左,

所以，V2<Vi<Vi.

故選：B.

6.如圖，直角梯形/8C。中，AB=3CD,N∕8C=30°,BC=A,梯形NBC。繞

所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的外接球的表面積為（）

B.48πC.128πD.208π

【正確答案】D

【分析】由題意可知，旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓臺，可知外接球的球心一定在線段/0或

的延長線上.取圓臺的軸截面，分情況討論，作圖，分別根據(jù)幾何關系求出球的半徑，

即可得出答案.

【詳解】由題意可知，旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓臺.

取圓臺的軸截面

由題意知，球心。一定在線段2?；虻难娱L線上

圖1

如圖1,當球心O在線段/0上時.

過點C作CE工Z6于E點，則CE=BCsin30°=2，BE=BCCOS300=2也，

所以CZ)=G，AB=3也.

設球的半徑為R,OA=x(0≤x≤2),OD=2-x,

R2=OD2+CD2[R2=(2—X『+3

則由勾股定理可得，Y?2，即Y,)，

22222

I；?=OA+AB[R=x+27

整理可得x+5=0,解得X=—5(舍去)；

O

圖2

如圖2,當球心。在OZ的延長線上時.

過點C作CE145于E點，則CE=8Csin30°=2,BE=BCCGS300=26，

所以CD=6，AB=36

設球的半徑為R,OA=x(x>0),則。。=x+2,

R2=OD2+CD2R2=(2+X)2+3

則由勾股定理可得,

R2=OA2+AB2A2=X2+27

整理可得x-5=0,解得x=5.

所以，722=72+3=52.

所以，圓臺外接球的表面積為4?；?=208兀.

故選：D.

7.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點

的曲率等于2兀與多面體在該點的面角和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度

用弧度制)，多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率

之和.則正八面體(八個面均為正三角形)的總曲率為()

B.4πC.6πD.8π

【正確答案】B

【分析】利用正八面體的面積和減去六個頂點的曲率和可得結(jié)果.

【詳解】正八面體每個面均為等比三角形，且每個面的面角和為兀，該正面體共6個頂點，

因此，該正八面體的總曲率為6x2π-8τι=4π.

故選：B.

8.Δ√45C中，a,b,c是角A,B,。的對邊，S^ABC=?^?c(4—b),其外接圓半徑R=2，

且41游/一$游8)=(6"6卜inβ,則(l+sirk4)(I-Sin5)=()

532

A.1B.-C.-D.一

643

【正確答案】A

【分析】由已知可得〃=回，ab=4(a-b),進而可得α,b,可求(1+sin/)(1—sin6).

【詳解】由正弦定理得一^=-^—=-^=2R=4,即α=4sinZ,力=4sinB,

sinAsinBsinC

c=4sinC,

又4(sin2A-sin2B)=(Ca-b)sinB,Jil1J16sin2J-16sin2B=(?/?ɑ-?)4sinB，

則/一/=(λ∕J4一6)6,即/=VJab,得a=和)①,

因為SMSC=gc(α-")，貝IjgabsinC=gc(o-b),

則,0bc=c(a-b),即=4(a-h)②，

4

結(jié)合①②解得b=%史1),a=4(√3-1),

v?

則1+sinZ=IH—=1+?/?—1=?/?>1—SinB=1--=1-1+~~—=,

4433

所以(1+sinN)(I-Sin6)=1.

故選：A.

本題考查了正弦定理，重點考查了三角形的面積公式，屬中檔題.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.設/為直線，α,尸為兩個不同平面，則下列命題中正確的是()

A.若IHa,IH∕3,則α〃夕

B,^allβ,llla,則/〃夕

C.若Uα,/_LS,則α〃夕

D.若a∕∕,lLa,則/_L￡

【正確答案】CD

【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系逐一分析四個選項得答案.

【詳解】若〃∕α,〃/夕，則α與僅可能平行，可能相交，A選項錯誤；

若a〃尸,〃/。，則〃/夕或/u夕，B選項錯誤；

若/Lα,/，夕，根據(jù)垂直于同一直線的兩個平面平行，則α〃6，C選項正確；

若一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，則一定垂直與另一個，貝以，/,

D選項正確.

故選：CD.

10.已知函數(shù)/(x)=Sinl0x+工(<w>0)在一兀《上單調(diào)，且函數(shù)y=∕(x)圖像關于

\6/2

對稱，則(

A.2兀是/")的一個周期

B./(x)的圖像關于X=WE對稱

c.將/(χ)的圖像向右平移W個單位后對應函數(shù)為偶函數(shù)

D.函數(shù)y=∕(x)-?在［0,兀］上有2個零點

【正確答案】BD

【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，先求出函數(shù)的解析式為/(x)=Sin(I+/),

從而可判斷其周期、軸對稱、變換后的解析式，即可判斷A,B,C；依題意求得函數(shù)N=〃x)

9

在r［0,兀1］上與y=正有兩個交點，進而即可判斷D.

【詳解】由函數(shù)/(x)=Sinl(υx+B(0〉0)在-π,g上單調(diào)，則一χJ?≥C+τt,得

2ω2

3

又函數(shù)y=∕(x)圖像關于點(一￡,o］對稱，則—處+工=E,AeZ,得。=-3左+'.

V3J362

2π

-=4ZI兀

故有/(X)的最小正周期為1,故A錯誤;

2

=sin5=1為最大值，可得/(χ)的圖像關于X=g對稱，故B正

確;

TrX

將/(X)的圖像向右平移H個單位后對應函數(shù)為V=sin^,是一個奇函數(shù)，故C錯誤;

「八1Xπ「兀2兀1,X.(Xπ]「1,

?lx∈[O,π],則7+p∈—，則m/r(ix)=Sln彳+丁∈—,1,

2oo?VZO√2

「?兀1.2π√3√39

又sin—=一,sin—=—，且h—<—<1.

6232210

9O

所以函數(shù)y=∕(χ)在[0,兀]上與y=而有兩個交點，即函數(shù)y=/(x)-正在[0,兀]上有2

個零點，故D正確.

故選：BD.

11.4N8C中，Q,b,c是角4且C的對邊，Z?2=/+々。，則()

TTπ

A.若B=生,則

24

B.若N=四M=2,則A∕8Cr的面積為26

6

C.若N=EM=2,則角B的角平分線8。=G

6

D.若AZBC為銳角三角形，α=2,則邊長b120,2√5)

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)題意并結(jié)合余弦定理62=/+。2—2QCCOS8可得a=c—24cos8,由正弦

定理以及三角恒等變換可得B=2A,即可判斷AB正確：由等面積SfBC=SMBD+S.D

可知60=竽，即C錯誤；根據(jù)三角形形狀可得6∈(],即可確定∕>2∈(8,12),

可解得642衣2百)，所以D正確.

【詳解】根據(jù)題意由62=∕+αc,結(jié)合余弦定理b2=∕+c2-2αccosB可得，

ac=c2-2accos5?又因為CW0，所以α=c-2acosB;

利用正弦定理可得sinZ=SinC-2sin/cosB,

再由SinC=Sin(Z+5)可得,sin/=Sin(Z+8)—2sin/cos8,

即sin/=sinAcosB+cosAsmB-2sinAcosB,所以sin4=Sin(B-Z)；

又因為48∈(θ,τι),所以/二8—4,即3=24；

對于A,若B==,則/=—=—,故A正確；

224

兀兀

對于B,若∕=-,a=2,則3=2/=—,由Q=C-2αcos8可得c=4,

63

所以“8。的面積為S“BC=gαcsin8=2√i,即B正確；

對于C,如下圖所示：

CB

由等面積可知SMBC~S4ABD+SABCD,

π兀

由選項B可得c=4,3=-,所以ZABD=NCBD=—,

36

即s，BC=LC?8D?sin三+,e8Z)-sin￥=2jJ，解得8。=迪，所以C錯誤;

"B'26263

對于D,若一8C為銳角三角形，a=2,則可得c=α+2αcos8=2+4cos8,

71

，即《0<B<-，解得Bw，所以COSBe

23,2

CCBTI

Q<π-B<—

22

^b2=o2+αc=8+8cos5.所以∕∈(8,12),因此be(2√∑,2√5),即D正確

故選：ABD

12.已知正方體48CQ-&MGA的棱長為2,點、E,尸分別為面B耳CC,CCQQ的

中心，點G是4片的中點，則()

A.DElBG

B.4F〃面SGG

C.直線Z6與平面SGG所成角的余弦值為電

3

D.過點/且與直線。E垂直的平面ɑ,截該正方體所得截面周長為&+3/

【正確答案】ACD

【分析】以。為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量的性質(zhì)，利用Z)E?8G是否等于

零，即可判斷A：求出平面8￡G的法向量，與萬?是否垂直，即可判斷B；根據(jù)直線/6

與平面BCxG所成的角的余弦值可先求出AB與平面BCIG的法向量的余弦值，再根據(jù)角的

關系求出所要求的結(jié)果，即可判斷C；做出過點口且與直線OE垂直的平面α的截面圖，

根據(jù)幾何關系即可求出其周長，即可計算出D.

【詳解】以。為坐標原點，以。/,DC,OA所在直線分別為X,V,Z軸，建立坐標系,

如圖所示，

則。(0,0,0),F(l,2,l),3(2,2,0),G(2,l,2),4(2,0,0),尸(0,1,1),C1(0,2,2),

G(2,l,2),

__ULU_____

對于A,由?！?(1,2,1),5G=(0,-l,2).則OE?5G=lxO+2x(-l)+lx2=0,所以

DE±BG^故A正確；

對于B,設平面SGG的法向量為7=(%,乂,z∣),

UUU.UUUlUUUl

由g=(-2,0,2),BG=(O,-1,2)，NE=(-2,1,1)，

~2x,+2z∣=O

,令Z]=l,則Xl=1,??=2,則亢=(1,2,1),

[jffG?萬=O—必+2Z]=0

又酢?萬=(-2)X1+1X2+1X1=1H0,所以"'與平面8C∣G不平行，故B錯誤;

對于C,設直線/8與平面BGG所成的角為α,

AB?n4√6

又在=(0,2,0),結(jié)合選項B得Sina

阿桐HJr丁所以

cosa=71-sin2a=——，故C正確;

對于D,結(jié)合C選項得萬=詼，則。E人平面8C∣G,

取4A，/4的中點為X，T,WDx=CV=AU=-,

由幾何關系可知，WX〃NU,WV//TU,則WXTUP組成一個平面，

由BG〃TV,BCx∕∕TX,TU,7*均在平面％X77√P內(nèi)，

則Z)El平面亞X7I∕%,即過點F且與直線OE垂直的平面ɑ,截該正方體所得截面如圖

所示平面歿ZVP,

則截面如7UP的周長為

22

wx+xτ+τu+uv+vw=+I+√Γ+T+ΛI?I+1+√2+1+√2+1=3√5+√2

故D正確.

故選：ACD.

本題考查了立體幾何的綜合應用，屬于難題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知正A∕'8'C'為水平放置的A∕8C的直觀圖，若'=2,則ABC的面積為

【正確答案】2限

【分析】求出正A43'C'的面積，再利用直觀圖與原圖形面積間的關系計算作答.

【詳解】依題意，正的面積-A'B'22

AZ'8'C'S,λ,γ,=sin?=—X2=√3.

W234

因為直觀圖與原圖形的面積比為YZ,

4

所以的面積S

ΔABCabc=2V25rz.γ.-=2Λ∕6.

??2√6

14.己知復數(shù)Z滿足∣z∣+z=2+4i,則T=.

【正確答案】-3-4?

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)模公式，復數(shù)的四則運算，共桅復數(shù)的定義，即可求解

【詳解】設z="+6i(.,b∈R),

V∣z∣+z=2+4i,

???√777+α+bi=2+4i,即α:丁+”2,解得宜；，

則有Z=-3+4i,z=-3-4i.

故答案為.-3-4i

TT

15.446C中4=§,D為邊BC上一點,若2CD=AD=BD,則SinC=.

【正確答案】1

TT?TT/71

【分析】設/胡。=仇。€0,一,有NZMC=——θ,NACD=——。，在A∕C0中,

I?j33

由正弦定理求出6,得到/C,可求SinC.

【詳解】如圖所示，

BD

設/胡z)=e,ee(o，mj,由NO=6。，則N/B。=。,

所以N∕OC=26,ΛDAC=--Θ,ZACD=--Θ,

33

ADDC

在AΛCD中，由正弦定理可得√2πA一.(兀I,

sin--θzjsin——θZI

I3)U)

因為∕D=2C7),所以Sin(T-夕卜2sin(?∣-6

即JIcos。一Sine='?eosθ+'Sin。，整理得tan8=@，即。=二

2236

2πππ.「

ZC=--Θ------=一,sine=1.

3362

故1

16.已知平面向量1,瓦己滿足同=B_閘=2,區(qū)一同=1,則B七的最大值為

【正確答案】12

【分析】根據(jù)向量加減法的幾何意義作出圖形，觀察W和同以及兩個向量夾角的變化，判

斷51取最大值的位置.

【詳解】設萬=7礪=B,反=1,則成=5-尻9=萬一萬

由同=B-*2,區(qū)一同=1,則囪=2,6點在以Z為圓心2為半徑的圓周上，C點在以

A為圓心1為半徑的圓周上，如圖所不，

h?c=?δB?^δc?cos(θB,Oc),由圖可知，當4氏C三點共線，在如圖所示的位置,

I麗I有最大值4,Pq有最大值3,此時CoS（麗,反）取最大值1,

所以鼠,的最大值為12.

故12.

四、解答題（共70分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）.

17.已知向量Z=（2,2）,B=（-1,左）.

（I）若￡J?R+2B）,求實數(shù)A的值；

（2）若。與B的夾角是鈍角，求實數(shù)后的取值范圍.

【正確答案】（1）-1

（2）（-∞,-l）u（-l,l）

【分析】（1）根據(jù)題意求得=-2+2左，結(jié)合向量垂直的數(shù)量積的表示，列出方程，即

可求解；

（2）根據(jù)題意，利用7B<o且Z與B不共線，結(jié)合向量的坐標表示和數(shù)量積的運算，即

可求解.

【小問1詳解】

解：由向量α=（2,2）,B=（-l,%）,可得Z?B=-2+2左，

因為a_L（a+2B）,可得α?（α+2b）=α+24?B=8—4+4左=0,解得左=—1.

【小問2詳解】

解：由（I）知，a-b=-2+2k<Q>解得左<1，

又由向量Z與5不共線，可得2x左#2x（—1）,解得左≠T,

所以實數(shù)上的取值范圍是（-∞,-l）u（-1』）

18.如圖所示，在四棱錐中，四邊形NBC。為等腰梯形,

AB〃CD,AD=CD=2,AB=4,AC工PC.

（2）若PBlBC,PB=Ni,求點。到平面PBC的距離.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵√3

【分析】（1）由勾股定理證明所以/C/BC,又AeLPC,可證NCL平面尸BC.

v

（2）由VD-PBC=P-BCD，利用體積法求點D到平面PBC的距離.

【小問1詳解】

四邊形/8C。為等腰梯形，ABHCD,AD=CD=2,AB=4,

過點C作CEIZB于E,如圖所示，

由余弦定理知NO?=ZB2+BC2-2∕B?8C?COSNASC=16+4-8=12，

則所以ZClBC，

又ZC_LPC,PC,8CU平面尸BC,PCCBC=C,

所以/CL平面PBC.

【小問2詳解】

連接8。，如圖所示，

由（1）可知NCL平面尸6C,NCU平面Z8C0,所以平面ZBC。上平面尸BC,

平面/8C。C平面PBC=8C,尸8u平面尸8C,PBLBC,P8_L平面/8C。，

又CE=2sin60°=√LS^BCD=^CE-CD=y/3,

所以/-BCO=；乂S-BCD.PB=g乂義4垂＞=4，

在APBC中，由尸8L8C,得S.PBc=^PB?BC=4yβ,

設點。到平面P8C的距離為止則=∣×4√3√,

VD-PBC=VP.BCD，解得d=G，即點。到平面PBC的距離為JL

2兀

19.在A∕8C中，/4/民/。對應的邊分別為4,“，,4=—力=5,。=3/45。的外接

3

圓。面積為S.

（1）求S的值；

（2）若點。在NC上，且直線8。平分角NNBC,求線段8。的長度.

49

【正確答案】（1）S=-π

3

（2）BD=^-

2

7

【分析】（1）由余弦定理可求得α=7,再利用正弦定理計算可得外接圓半徑為H=耳,

49

即可求出S=——兀；

3

（2）利用角平分線定理可得/O=3,再由余弦定理計算可得BQ=邁

22

【小問1詳解】

2π

由4=——乃=5,c=3,利用余弦定理可得

3

cr=?2+c2-2?ccos^=25+9-2×5×3×f-??j=49,所以α=7;

1a177

Rn=-X------——X-7="——產(chǎn)

因此的外接圓。的半徑為2sin/2√3百，

T

49

所以“BC的外接圓。的面積S=成2=—兀

3

【小問2詳解】

如下圖所示：

ΛΓ?AB3

由直線BD平分角NABC,利用角平分線定理可得——=——=一,

DCBC7

33

又b=AC=5,所以ZO=-NC=-,

102

因此在4Z60中，由余弦定理可得

BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosA^9+--2×3×-×?,

42{2J4

所以BD=近,即線段8。的長度為地

22

20.如圖所示，己知四邊形ZBCO和四邊形ZZ）EE都是矩形.平面/8CO工平面

ADEF,AD=3AF=3AB=3,M,N分別是對角線BD,AE上異于端點的動點，且

BM=AN.

FE

(1)求證：直線MN〃平面COE；

(2)當ZN=LNE時，用向量法求平面/MN與平面。AfN夾角的余弦值.

2

【正確答案】(1)證明見解析

43√46

322

【分析】(1)利用線面平行的性質(zhì)與判定定理結(jié)合條件直接證明即可;

(2)建立空間直角坐標系，利用向量法即可求解二面角夾角余弦值.

【小問1詳解】

過N作NG//DE與AD交于G前,連接MG,因為NGa平面CL>E,Z)EU平面CAE,

所以NG〃平面COE,因為NGIlDE,所以處=NGAG

AEDEAD

因為BM=NA,AE=BD,所以在="所以MGilAB“CD,

GDMD

因為MGe平面CDE,Z)CU平面CDE,所以MG〃平面CDE,

因為MGCNG=G,MGU平面MNG,NGU平面MNG,

所以平面MNGH平面CDE,因為MNU平面MNG,所以直線MN〃平面CDE；

【小問2詳解】

因為平面ABCD1平面ADEF，平面ABCDC平面ADEF=AD，

又NFU平面E凡AFlAD,所以/RJ_平面/88,

則以力為原點，分別以/8,AD,AF為X,AZ軸建立空間直角坐標，如圖,

21

可得4(0,0,0),O(0,3,0),Λ∕(-,l,0),7√(0,l,-),

—■1——?2

所以NN=(0,1,一),AM=(-,1,0),

2

yX+y=0

AM?n=0

設平面ZMN的法向量為“=(x,y,z),則__,所以《

AN?元=0

y+-z=0

3

令X=3,可得，H=(3,-2,6),

設平面MND的法向量為五=(α,b,c),麗=(0,—2,；),而=(g,—2,0),

2

-a-2b=0

DM?比二O3

貝"—.所以7,令α=3,可得玩=(3,1,6),

DN

?w=0-2h+-c=0

[3

9-2+36_43

所以COS而,五

7?√46^7√46

9-2+3643√46

所以平面AMN與平面DMN夾角的余弦值.cosm,n

7?√46—322

21.如圖，在三棱臺/8C-Cl中側(cè)面BCCs為等腰梯形，BC=8,耳G=CG=4,“

為BtCl中點.底面A∕8C為等腰三角形，/B=NC=5,。為BC的中點.

B

（1）證明：平面平面/O/；

（2）記二面角4—8C—4的大小為夕

TT

①當6=一時，求直線BB與平面AACC所成角的正弦值.

6x11

TTπ

②當Oe時，求直線8瓦與平面44∣CC所成角的正弦的最大值.

【正確答案】（1）證明見解析；

（2）①豆豆，②最大值為3

375

【分析】（1）由三棱臺NBC-44G性質(zhì)及其邊長即可證明BC人平面NOM，利用面面

垂直的判定定理即可證明平面NBC工平面NOM；

（2）①由題意可知/NOM即為二面角Z-BC-耳的平面角，NAOM=6,以。為坐標

原點建立空間直角坐標系，可得函=卜2,2cos6,2JJSine）,平面的一個法

向量為n=f-3,4,拒一TO],把6=四代入可得直線BB1與平面44CC所成角的正弦

、SlnJJ6

.3

值為拽②當

7；Oe時，（6—4CoSe丫，利用e的范圍即可求

37

↑sinθ

3

得直線8用與平面/4GC所成角的正弦的最大值為

【小問1詳解】

因為"8C為等腰三角形，。為BC的中點，所以BCLZO,

又因為側(cè)面BCG4為等腰梯形，M為Bc的中點，所以8C_LM。，

又為OCMO=O,M9,/OU平面40Λ∕,

因此BCj.平面N。M,

8。匚平面/6。，所以平面/8CJ,平面ZOM

【小問2詳解】

在平面ZOM內(nèi)，作ON，CM,

由（1）中平面4SC工平面/0",

且平面/3CC平面CWU平面ZOA/,可得CWd.平面4SC；

以。6,。4。N分別為X軸，V軸，Z軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：

又因為BC_LA/。，BClAO,

所以//OM即為二面角A-BC-By的平面角，所以NAOM=6,

在A√48C中，BC=8,AB=AC=5,易知。6=4,04=3,

又BCl=CCl=4,BCLM0,可得0〃=26；

所以

^(0,3,0),5(4,0,0),C(-4,0,0),Λ∕(0,2√3cos6>,2√3sin^),5l(2,2√3cosθ,2√3sin

,C1(-2,2√3cosθ,2√3sin^)；

β∣J方瓦=(-2,2√3cos^2√3sin61),C4?(4,3,0),Cq=(2,2√3cos。，2√3sinθ)

設平面AA1C1C的一個法向量為n=(x,y,z),

五?C4=4x+3y=O

所以《

n?CC1=2x+2VJcos9?y+2Csin9?z=O

可令x=B則y=4,z=百—4CoSj即5=,3,4W一4汽〕

JSine(SlneJ

①當6=.時，函=(—2,3,6)，rt=(-3,4,-2√3),

設直線BBl與平面AAlCiC所成角的為a,

所以Sina=卜os(函,。I=!-,∣=—?==之祟，

1?/II網(wǎng)“4×√3737

即6=￡時，直線BB1與平面44∣CC所成角的正弦值為之咨.

Tlπ

②當年時,

設"久盟”⑹=七＞。在咄身恒成立，

所以/⑹在Oe?,j上單調(diào)遞增，/(0)∈[√6-4,√3],

即小二片行|，易知序“卜6所以產(chǎn)；：,[2?0,3卜

易知當避-40°s'=o時,(Sina),

Ara

Sine'X5

TTTT3

所以當Oe時，直線8片與平面44CC所成角的正弦的