七年級數(shù)學上學期期末考試真題匯編（人教版）探究與表達規(guī)律（八個知識點） （解析版）

專題04探究與表達規(guī)律（八個考點）專題講練

礴專堂導航

1、知識儲備

考點1.數(shù)列的規(guī)律

考點2.數(shù)表的規(guī)律

考點3?.算式的規(guī)律

考點4.圖形的規(guī)律（一次類）

考點5圖形的規(guī)律（二次類）

考點6.圖形的規(guī)律（指數(shù)類）

考點7.程序框圖

考點8.新定義運算

2、經(jīng)典基礎題

3、優(yōu)選提升題

捷妥知全儲備

1.解題思維過程：從簡單、局部或特殊情況入手，經(jīng)過提煉、歸納和猜想，探索規(guī)律，獲

得結論.有時候還需要通過類比聯(lián)想才能找到隱含條件,一般有下列幾個類型：

1）數(shù)列的規(guī)律：把握常見幾類數(shù)的排列規(guī)律及每個數(shù)與排列序號〃之間的關系.

2）等式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號〃之間的關系.

3）圖形（圖表）規(guī)律：觀察前幾個圖形，確定每個圖形中圖形的個數(shù)或圖形總數(shù)與序號〃之

間的關系.

4）圖形變換的規(guī)律：找準循環(huán)周期內圖形變換的特點，然后用圖形變換總次數(shù)除以一個循

環(huán)變換周期，進而觀察商和余數(shù).

5）數(shù)形結合的規(guī)律：觀察前”項（一般前3項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性

結論.

2.常見的數(shù)列規(guī)律：

1）1,3,5,7,9,...,2/2-1（〃為正整數(shù)）.

2）2,4,6,8,IO.......2n（W為正整數(shù)）.

3）2,4,8,16,32,2"（〃為正整數(shù)）.

4）2,6,12,20,/1（?+1）（〃為正整數(shù)）.

5）-X,+x>-X,+x,-X,+x,...,（T）"x（〃為正整數(shù)）.

幾。I+1）

6）特殊數(shù)列：①三角形數(shù):136,10,15,21,…,

2

②斐波那契數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,從第三個數(shù)開始每一個數(shù)等于與它相鄰的前

兩個數(shù)的和.

P經(jīng)典基，題?

考點L數(shù)列的規(guī)律

【解題技巧】

①符號規(guī)律：通常是正負間或出現(xiàn)的規(guī)律，常表示為(-1)"或(-1)"T或(T)"+∣；

②數(shù)字規(guī)律：數(shù)字規(guī)律需要視題目而確定；

③字母規(guī)律：通常字母規(guī)律是呈指數(shù)變換，常表示為：罐等形式。

例1.(2022?黑龍江牡丹江?七年級期末)按順序觀察下列五個數(shù)-1,5,-7,17,-31......,找

出以上數(shù)據(jù)依次出現(xiàn)的規(guī)律，則第〃個數(shù)是.

【答案】(-2)π+l

【分析】所給的數(shù)可轉化為：-1=1-2］，5=1+22,-7=1-23,17=1+23-31=1-2$,...據(jù)此即可得

第"個數(shù)，從而可求解.

【詳解】解：0-l=l-21,5=1+22,-7=13,17=l+24,-31=l-25,

回第奇數(shù)個數(shù)為：1-2"；第偶數(shù)個數(shù)為：1+2"；倒第n個數(shù)為：(-2)n+l.故答案為:(-2)"+l.

【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關鍵是由所給的數(shù)字分析出存在的規(guī)律.

變式1.(2022?云南紅河?八年級期末)一組按規(guī)律排列的單項式3”、5區(qū)、7a?9/.......依

這個規(guī)律用含字母〃(〃為正整數(shù)，且〃21)的式子表示第〃個單項式為

【答案】(2"+l)/

【分析】找出前3項的規(guī)律，然后通過后面兒項驗證，找出規(guī)律得到答案.

【詳解】解：34=(2×1+1)a',5標=(2×2+l)a2,7涼=(2×3+l)a3,—

第"個單項式是：(2π+l)an.故答案為:(2π+l)an.

【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關鍵是找出前幾項的規(guī)律，然后驗證，最后

得到規(guī)律.

變式2.(2022?山東煙臺?七年級期末)按一定規(guī)律排列的單項式：√,-√,X7,-X9,X11.......,

第〃個單項式是()

A.(-l)"√n-'B.(-∣),,^1X2Λ+'C.(-l)π^'√n-'D.(-l),,√n+l

【答案】B

【分析】先觀察系數(shù)與指數(shù)的規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律定出第”個單項式即可.

【詳解】解：0x3,-X5,√,-X9,一，……，

團系數(shù)是奇數(shù)項為-1,偶數(shù)項為1,即系數(shù)的規(guī)律是(-I)”,,指數(shù)的規(guī)律為2〃+1,

回第〃個單項式為（T）Iχ2向，故選：b

【點睛】本題考查數(shù)式的變化規(guī)律，通過觀察單項式的系數(shù)和指數(shù)，找到它們的規(guī)律是解題

的關鍵.

考點2.數(shù)表的規(guī)律

【解題技巧】

例1.（2022?綿陽市七年級期中）將正奇數(shù)按下表排成5歹Ij:

第1歹IJ第2列第3列第4列第5列

第1行1357

第2行1513119

第3行17192123

???…???2725

若2021在第m行第"列，則m+n=()

A.256B.257C.510D.511

【分析】觀察圖表，每一行都有四個數(shù)，且奇數(shù)行排在第2-5歹I,偶數(shù)行排在第1-4列，

根據(jù)2021在正奇數(shù)中的位置來推算m,n.

【解答】解：首先，從圖表觀察，每一行都有四個數(shù)，且奇數(shù)行排在第2-5歹U,偶數(shù)行排

在第1-4列，

其次，奇數(shù)可以用2χ-l表示，當X=K）II時，Ix-1=2021,即2021是排在第1011個位

置.

在上表中，因為每行有4個數(shù)，且1011÷4=252.........3,因此2021應該在第253行，第4

列，

即m=253,“=4..?.m+"=257,故選：B.

變式1.（2022?山東濟南?七年級期末）將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，若用有序數(shù)對（α,

b）表示第。行，從左至右第b個數(shù)，例如（4,3）表示的數(shù)是9,則（15,10）表示的數(shù)

是（）

1

23

456

78910

??????

A.115B.114C.113D.112

【答案】A

【分析】觀察圖形可知，每一行的第一個數(shù)字都等于前面數(shù)字的個數(shù)再加1,即可得出（15,

1)表示的數(shù)，然后得出(15,10)表示的數(shù)即可.

【詳解】解：因為(1,1)表示的數(shù)是：1,(2,1)表示的數(shù)是：1+1=2,(3,1)表示的

數(shù)是：1+1+2=4,

(4,1)表示的數(shù)是:1+1+2+3=7,(5,1)表示的數(shù)是：1+1+2+3+4=11,......

所以(α,D表示的數(shù)是：

Γl+(α-l)l(a-l)a(a-??a2-a+2

l+l+2+3+4+……+(a-l)=l+l=~~——~~="?~~<=-~~—,

222

所以(15,1)表示的數(shù)是："+2=15一二15+2=]O6,

22

所以(15,10)表示的數(shù)是：106+10-1=115,故選A.

【點睛】本題考查了找圖形和數(shù)字規(guī)律，從題目分析發(fā)現(xiàn)每一行的第一個數(shù)字都等于前面數(shù)

字的個數(shù)再加1是本題的關鍵.

變式2.(2022?廣東湛江?七年級期末)各正方形中的四個數(shù)之間都有一定的規(guī)律，按此規(guī)律

得出“，力的值分別為()

□E□□0□3□E∏

A.9,10B.9,91C.10,91D.10,110

【答案】C

【分析】分析前三個圖形，有：右上=左上+3,左下=左上+4,右下=右上X右下+1,由此即

可求出a、b、c

【詳解】由前三個圖形，有：右上=左上+3,左下=左上+4,右下=右上X右下+1,

.?.c=6+3=9√.β=6+4=10.?.fe=ac+l=10×9+l=91故選：C

【點睛】本題考查規(guī)律中的數(shù)字變換，分析前面的圖形，得出：右上=左上+3,左下=左上+4,

右下=右上X右下+1,找出給定的數(shù)之間的關系時解題關鍵.

考點3..算式的規(guī)律

【解題技巧】

算式規(guī)律這一類沒有固定的套路，主要依靠學生對已知算式的觀察、總結、邏輯推理，發(fā)現(xiàn)

期中的規(guī)律。

?？嫉谋尘坝校簵钶x三角、等差數(shù)列、連續(xù)n個數(shù)的立方和、連續(xù)n個數(shù)的平方和、階乘等。

例1.(2022?山東淄博?期末)觀察下列等式：

(x2-l)÷(x-l)=x+l；

5432

(x-l)÷(x-l)=x+x+x+x+li

(x7-l)÷(x-l)=x6+x5+x4+x5+x2+x+l；

根據(jù)以上等式總結規(guī)律并計算，則1+2+2?+23+24+2'+2"+2,=.

【答案】255

【分析】根據(jù)所給出的等式找到規(guī)律，再利用式子的規(guī)律進行逆用即可求解.

【詳解】解：由給出等式可知，(x"-l)÷(x-l)=x"τ+χ2+...+V+x+1,

01+2+22+23+24+25+26+27=(28-l)÷(2-l)=255故答案為：255.

【點睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律,能夠根據(jù)題中所給式子探索出式子的規(guī)律是解題的關鍵.

變式l.(2022?內蒙古赤峰?八年級期末)已知：2+3=22x3；3+?=32x。4+合=4々4；

33881515

5+?=52χ?"?,若9+"=92χ?符合前面式子的規(guī)律’則(α+'+l)的值是()

aCL

A.90B.89C.IOOD.109

【答案】A

【分析】根據(jù)已知中的規(guī)律可得，分數(shù)的分子與整數(shù)相同，分母是整數(shù)的平方減L然后求

出。、b,再相加即可.

77334455

2

【詳解】解：≡2÷r^×-,3÷-=3^×-,4÷-=4^χ-，5÷-=5×->

09+-=92×-ψ,b=9,α=92-l=80,甌+加1=80+9+1=90.故選：A.

aa

【點睛】對數(shù)字變化規(guī)律的考查，比較簡單，觀察出加數(shù)的分子、分母與整數(shù)加數(shù)的關系是

解題的關鍵.

變式2.(2022?四川涼山?七年級期末)下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：

那么，在第9個數(shù)、第10個數(shù)、第11個數(shù)、第12個數(shù)中，最大的數(shù)是()

A.第9個數(shù)B.第10個數(shù)C.第11個數(shù)D.第12個數(shù)

【答案】A

【分析】先分別計算出前3個數(shù)，由此得到一般性的規(guī)律，再分別求出第9個，第10個,

第11個，第12個數(shù)，比較大小即可.

所以較大的數(shù)為第9個數(shù)，故選：A.

【點睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律題，有理數(shù)的混合運算，解題關鍵是由特殊得一般性的規(guī)律.

考點4.圖形的規(guī)律(一次類)

【解題技巧】通常結合數(shù)字特點和圖形變化情況進行猜想，驗證，從而提高探究規(guī)律能力。

圖形的規(guī)律(一次類)

例1.(2022?山東威海?期末)用大小相同的棋子按如下規(guī)律擺放圖形，第2022個圖形的棋

子數(shù)為()

第1個第2個第3個第4個

A.6069個B.6066個C.6072個D.6063個

【答案】A

【分析】根據(jù)前4個圖形的棋子個數(shù)，可以得到規(guī)律第"個圖形有("+l)x3=(3"+3)個棋

子，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：第1個圖形有(1+1)*3=6個棋子，第2個圖形有(2+l)χ3=9個棋子，

第3個圖形有(3+l)*3=12個棋子，第4個圖形有(4+l)x3=15個棋子，

團可知第〃個圖形有（〃+1）x3=（3〃+3）個棋子，

回第2022個圖形有3x2022+3=6069個棋子，故選：A.

【點睛】本題主要考查了圖形類的規(guī)律，正確理解題意找到圖形之間的規(guī)律是解題的關鍵.

變式1.（2022?河南駐馬店?七年級期末）下列圖案是用長度相同的小木棒按一定規(guī)律拼搭而

成，圖案①需8根小木棒，圖案②需15根小木棒，…，按此規(guī)律，圖案⑦需小木棒的根

數(shù)是（）

OOOo?o-

①②QP

A.49B.50C.55D.56

【答案】B

【分析】根據(jù)每增加一個圖形，就增加7根小木棒，可得圖案〃需小木棒的根數(shù)為7〃+1,

就可以求得圖案⑦需小木棒的根數(shù).

【詳解】解：?圖案①需8根小木棒，圖案②需15根小木棒，圖案③需22根小木棒，…

可得圖案“需小木棒的根數(shù)為7"+1,?,?圖案⑦需小木棒的根數(shù)是：7x7+1=50,故B正

確.故選：B.

【點睛】此題考查/利用圖形進行規(guī)律媽納的能力，關鍵是能通過觀察、猜想、驗證，I川納

總結出其中的規(guī)律.

變式2.（2022?四川廣安?七年級期末）觀察下列圖形變化的規(guī)律，我們發(fā)現(xiàn)每一個圖形都分

為上、下兩層，下層都是由黑色正方形構成，其數(shù)量與編號相同；上層都是由黑色正方形或

白色正方形構成（第1個圖形除外），則第2021個圖形中，黑色正方形的數(shù)量共有（）

個

圖1圖2圖3圖4圖5

A.3031B.3032C.3033D.3034

【答案】B

【分析】根據(jù)圖形的變化規(guī)律歸納出第n個圖形中黑色正方形的數(shù)量即可.

【詳解】解：根據(jù)圖形變化規(guī)律可知：第1個圖形中黑色正方形的數(shù)量為2,

第2個圖形中黑色正方形的數(shù)量為3,第3個圖形中黑色正方形的數(shù)量為5,

第4個圖形中黑色正方形的數(shù)量為6........

當“為奇數(shù)時，黑色正方形的個數(shù)為3×^(n+D-l,

當”為偶數(shù)時，黑色正方形的個數(shù)為(3xg〃)，

團第2021個圖形中黑色正方形的數(shù)量是3×^(2021+l)-l=3032.故選：B.

【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，歸納出第"個圖形中黑色正方形的數(shù)量是解題的關

鍵.

考點5圖形的規(guī)律(二次類)

【解題技巧】通常結合數(shù)字特點和圖形變化情況進行猜想，驗證，從而提高探究規(guī)律能力。

例L(2022?吉林長春?七年級期末)如圖，用同樣規(guī)格的黑白兩色正方形瓷磚鋪設長方形地

面.觀察下列圖形，探究并解答問題.

⑵在第5個圖中，共有瓷磚塊；在第〃個圖中，共有瓷磚塊.

⑶如果每塊黑瓷磚30元，每塊白瓷磚40元，當〃=10時，鋪設長方形地面共需花多少錢

購買瓷磚？

【答案】⑴35,"("+2)(2)63,5+4)(〃+2)⑶6240

【分析】(1)通過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，在第5個圖中，共有白色瓷磚的數(shù)量為7x5塊，將上面的

規(guī)律寫出來即可；(2)通過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，在第5個圖中，共有瓷磚的數(shù)量為7x9,將上面

的規(guī)律寫出來即可；

(3)求出當"=IO時，黑色和白色瓷磚的個數(shù)，然后計算總費用即可.

(1)解：根據(jù)題意得：在第1個圖中，共有白色瓷磚的數(shù)量為3=3x1；在第2個圖中，共

有白色瓷磚的數(shù)量為8=4x2；在第3個圖中，共有白色瓷磚的數(shù)量為15=5x3；在第4個圖

中，共有白色瓷磚的數(shù)量為24=6x4；在第5個圖中，共有白色瓷磚的數(shù)量為35=7x5；......

在第”個圖中，共有白色瓷磚的數(shù)量為"(〃+2).故答案為：35,“(〃+2)

(2)解：根據(jù)題意得：在第1個圖中，共有瓷磚的數(shù)量為5=3x5；在第2個圖中，共有瓷

破的數(shù)量為24=4x6；在第3個圖中，共有瓷磚的數(shù)量為35=5x7；在第4個圖中，共有瓷磚

的數(shù)量為48=6x8；在第5個圖中，共有瓷磚的數(shù)量為63=7x9：......在第八個圖中，共有瓷磚

的數(shù)量為5+4）5+2）;故答案為:63,5+4）（"+2）

（3）解：根據(jù)題意得：當〃=10時，共有白色瓷嵇的數(shù)量為IoXI2=120,共有瓷磚的數(shù)量

為（10+4）×（10+2）=168,團共有黑色瓷磚的數(shù)量為168-120=48,回鋪設長方形地面共需的

費用為=40x120+48x30=4800+1440=6240答：當"=10時，鋪設長方形地面共需花6240

元錢購買瓷磚.

【點睛】此題主要考查學生對圖形變化類這個知識點的理解和掌握，此題有一定拔高難度，

屬于難題，解答此題的關鍵是通過觀察和分析，找出其中的規(guī)律.

變式1.（2022?重慶七年級期末）如圖，把黑色小圓圈按照如圖所示的規(guī)律排列，其中第①

個圖形中有3個黑色小圓圈，第②個圖形中有8個黑色小圓圈，第③個圖形中有15個黑

色小圓圈，…，按照此規(guī)律，第⑦個圖形中黑色小圓圈的個數(shù)為（）

①②③

A.63B.64C.80D.81

【答案】A

【分析】仔細觀察圖形變化，找到圖形變化規(guī)律，利用規(guī)律求解.

【詳解】解：第①個圖形中一共有1+2=3個小圓圈，

第②個圖形中一共有2+3x2=8個小圓圈，

第③個圖形中一共有3+4x3=15個小圓圈，…，

按此規(guī)律排列下去，第⑦個圖形中小圓圈的個數(shù)是7+8x7=63,故選：A.

【點睛】考查了圖形的變化類問題，解題的關鍵是仔細觀察圖形并找到進一步解題的規(guī)律,

難度不大.

變式2.（2022?山東青島?七年級期末）如圖1,將一個邊長為2的正三角形的三條邊平分，

連接各邊中點，則該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結點個數(shù)從上往下：共有1+2+3=6個結點.如

圖2,將一個邊長為3的正三角形的三條邊三等分，連接各邊對應的等分點，則該三角形被

剖分的網(wǎng)格中的結點個數(shù)是從上往下：共有1+2+3+4=10個結點.……按照上面的方式，將一

個邊長為2022的正三角形的三條邊2022等分，連接各邊對應的等分點，則該三角形被剖

分的網(wǎng)格中的結點個數(shù)從上往下共有個結點（填寫最終個結點）

【分析】根據(jù)規(guī)律可知結點個數(shù)為1+2+3+4+……+〃個，〃為三角形邊長數(shù)加1,據(jù)此即可求

解.

【詳解】解:將一個正三角形的三條邊平分,該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結點個數(shù)從上往下:

共有1+2+3=與'3=6個結點,

將一個正三角形的三條邊三等分，該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結點個數(shù)是從上往下：共有

1+2+3+4=-×4=10個結點,

2

將一個正三角形的：條邊”等分，該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結點個數(shù)從上往下共有

XIX〃=心型個結點，：

22

將一個正三角形的三條邊2022等分，該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結點個數(shù)從上往下共有:

1+2022+1_.__?..1,...、，

1+2+3+...+2023=----------------X20z23=2047276個結點，故答aλ案為：2047276.

2

【點睛】本題考查的是圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化正確總結出規(guī)律是解題的關鍵.

考點6.圖形的規(guī)律（指數(shù)類）

【解題技巧】通常結合數(shù)字特點和圖形變化情況進行猜想，驗證，從而提高探究規(guī)律能力。

例1.（2022?江蘇七年級期末）如圖，已知圖①是一塊邊長為1,周長記為G的等邊三角形

卡紙，把圖①的卡紙剪去一個邊長為;的等邊三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊再

剪去一個邊長為;的等邊三角形后得到圖③，依次剪去一個邊長為（、'、《…的等邊三

角形后，得到圖④、⑤、⑥、…，記圖n（n≥3）中的卡紙的周長為C”，則Cn-C"」=.

【答案】pr

【分析】利用等邊三角形的性質（三邊相等）求出等邊三角形的周長C,Q,C,根據(jù)

3C4,

周長相減的結果能找到規(guī)律即可求出答案.

1511111

【詳解】解：G=1+1+1=3,C2=l+l+-^—,Cs=1+1+—×3=—,Q=I+1+—×2+—×3

224448

23

一,???

8

則（∣）∕故答案為：擊?

Cn-Cn?1=??"F=τ?

【點睛】此題考查圖形變化規(guī)律，通過觀察圖形，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中運算規(guī)律，應用規(guī)律

解決問題.

變式1.（2022?日照九年級三模）如圖，小聰用一張面積為1的正方形紙片，按如下方式操

作：①將正方形紙片四角向內折疊，使四個頂點重合，展開后沿折痕剪開，把四個等腰直角

三角形扔掉；②在余下紙片上依次重復以上操作，當完成第2021次操作時，余下紙片的面

【答案】C

【分析】根據(jù)將正方形紙片四角向內折疊，使四個頂點重合，展開后沿折痕剪開，余下面積

為原來面積的一半即可解答.

【詳解】解：正方形紙片四角向內折疊，使四個頂點重合，展開后沿折痕剪開，

第一次：余下面積5ι=g,第二次：余下面積52=?,第三次：余下面積53=5，

當完成第2021次操作時，余下紙片的面積為52。2k擊，故選：C.

【點睛】本題考查剪紙問題，圖形的變化，解題的關鍵是學會探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，

屬于中考常考題型.

變式2.（2022?常州市七年級期中）（1）為了計算1+2+3+...+8的值,我們構造圖形（圖1）,

共8行，每行依次比上一行多一個點.此圖形共有（1+2+3+...+8）個點.如圖2,添出圖形

的另一半，此時共8行9列,有8x9=72個點,由此可得1+此3+...+8=萬χ72=36.

用此方法，可求得1+2+3+...+20=(直接寫結果).

(2)觀察下面的點陣圖(如圖3),解答問題：

填空：φl+3+5+...+49=；②1+3+5...+(2n+l)=.

【答案】(1)210；(2)①625；②("+IR(3)圖見解析，-~?

2×32020

【分析】(1)利用題干中所給方法解答即可；(2)由點陣圖可知：一個數(shù)時和為1=12,2個

數(shù)時和為4=22,3個數(shù)時和為9=32,???n個數(shù)時和為“2,由此可得①為25個數(shù),和為252=625；

②為(n+l)個數(shù)，和為(。+1)2；(3)按要求畫出示意圖，依據(jù)圖形寫出計算結果.

【詳解】解：(1)l+2+3+???+20=L(1+20)×20=21×10=210;故答案為：210；

2

(2)由點陣圖可知：一個數(shù)時和為1=?,2個數(shù)時和為4=22,3個數(shù)時和為9=32,...,n

個數(shù)時和為

①Y1+3+5+...+49中有25個數(shù)，,1+3+5+...+49=252=625.

②：1+3+5...+(2n+l)中有S+1)個數(shù)，,1+3+5...+(2n+l)=(n+l)2.故答案為：625；(n+1)2；

(3)由題意畫出圖形如下：假定正方形的面積為1,

21121

第一次將正方形分割為］和§兩部分，第二次將正方形的§分割為鏟和鏟兩部分，???,

以此類推，

第2020次分割后，剩余的面積為去，那么除了剩余部分的面積，前面所有分割留下的面

積應該是：

2222.2222I

]+?+予++手頡，??++學兩="落■，

111111α2020_1

+-2O2

左右兩邊同除以2得：§+鏟+3+^≡Γ=?2×3°',原式=云浮兩?

【點睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運算，數(shù)形結合的思想方法.前兩

小題考察學生數(shù)與形相結合，難度不大，仔細觀察規(guī)律，即可求解，第三小題對學生構建數(shù)

與形的要求較高，考察學生的發(fā)散性思維.

考點7.程序框圖

例1.（2022?河南信陽?七年級期末）按如圖所示程序計算，若開始輸入的X值是正整數(shù)，最

后輸出的結果是32,則滿足條件的X值為（）

否

A.11B.4C.11或4D.無法確定

【答案】C

【分析】根據(jù)題意列出等式，進而可以求解.

【詳解】解：由題意可得，當輸入X時，3x-l=32,解得：X=Il,

即輸入411，輸出結果為32：當輸入X滿足3x-l=ll時，解得x=4,

即輸入x=4,結果為11,再輸入11可得結果為32,故選：C.

【點睛】本題考查了程序流程圖與代數(shù)式求值，根據(jù)題意列出等式是解決本題的關鍵.

變式L（2022?溫江區(qū)七年級期末）如圖所示的運算程序中，若開始輸入的X值為24,我們

發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結果為12,第2次輸出的結果為6,…，則第2021次輸出的結果為（）

A.6B.3C.24D.12

【分析】根據(jù)運算的程序，把24代入，求出前幾個數(shù)，可發(fā)現(xiàn)從第2個數(shù)開始，每2個數(shù)

循環(huán)出現(xiàn)，據(jù)此作答即可.

【解答】解：第1次輸出的數(shù)為：∣×24=12：第2次輸出的數(shù)為：∣×12≈6；

11

第3次輸出的數(shù)為：5X6=3；第4次輸出的數(shù)為：3+3=6；第5次輸出的數(shù)為X6=3；…

由此得從第2個數(shù)開始，每2個數(shù)循環(huán)出現(xiàn)，

V（2021-1）÷2=1010,工第2021次輸出的數(shù)為3.故選:B.

變式2?(2022?河南鄭州?七年級期末)樂樂在數(shù)學學習中遇到了神奇的"數(shù)值轉換機"，按如

圖所示的程序運算，若輸入一個有理數(shù)X,則可相應的輸出一個結果V.若輸入X的值為T,

則輸出的結果y為()

結果為正γ-e?-γ--1

I輸Λx∣∕[?(-3)∣f!減8-ΓA［輸出結蝦I

結果非正

A.6B.7C.10D.12

【答案】B

【分析】把X=-I代入程序中計算，判斷結果比0小，以此類推，得到結果大于0,輸出即

可.

【詳解】解:把X=-I代入運算程序得：(U)X(-3)-8=3-8=-5<0,

把x=-5代入運算程序得：(-5)×(-3)-8=15-8=7>0,輸出的結果y為7.故選B.

【點睛】本題考查了代數(shù)式求值，弄清題中的程序流程是解本題的關鍵.

考點8.新定義運算

例L(2022?九龍坡?九年級模擬)定義：對于一個兩位自然數(shù)，如果它的個位和十位上的數(shù)

字均不為零，且它正好等于其個位和十位上的數(shù)字的和的n倍"為正整數(shù))，我們就說這

個自然數(shù)是一個""喜數(shù)".例如：24就是一個“4喜數(shù)"，因為24=4x(2+4)；25就不是一

個""喜數(shù)"，因為253"(2+5).(1)判斷44和72是否是“n喜數(shù)"？請說明理由；(2)請求

出所有的“7喜數(shù)”之和.

【答案】(1)72,見解析；(2)210

【分析】(1)根據(jù)力喜數(shù)”的意義，判斷即可得出結論；

(2)先設出"7喜數(shù)"的個位數(shù)字。和十位數(shù)字b,進而得出b=20,即可得出數(shù)值，然后求

和即可.

【詳解】解:(I)44不是一個“n喜數(shù)",因為44≠n(4+4),

72是一個“8喜數(shù)"，因為72=8x(2+7),

(2)設存在“7喜數(shù)”，設其個位數(shù)字為。，十位數(shù)字為b,(α,b為1到9的自然數(shù))，

由定義可知：IOb+α=7(α+b),化簡得：b-2a,

因為α,b為1到9的自然數(shù)，α=1,b=2：a=2,b=4；a=3,fa=6；a=4,b=8.四

種情況，

二“7喜數(shù)”有4個：21、42、63、84,二它們的和=21+42+63+84=210.

【點睛】此題主要考查了新定義“n喜數(shù)"，理解和應用新定義是解本題的關鍵.

變式1.(2022?江蘇七年級月考)定義一種新運算：觀察下列各式：

l*2=l×3+2=5,4*(-2)=4×3-2=10,3*4=3×3+4=13,6*(-1)=6×3-1=17.

(1)請你想想：α*b=；(2)若αM,那么α*bb*a(填“="或B)；

(3)先化簡，再求值：(a-b)*(α+2b),其中α=3,b--2

【答案】(1)3α+b;(2)≠;(3)4α-b,14

【分析】(1)根據(jù)所給算式歸納即可；(2)根據(jù)(1)中總結的規(guī)律計算；

(3)先根據(jù)(1)中總結的規(guī)律化簡，再把a=l代入計算.

【詳解】解：(1)根據(jù)題意得：a*b=3a+b.故答案為：3a+b

(2)Va*b=3σ+b,b*a=3b+a..'.a*b≠b*a.故答案為：≠.

(3)(a-b)*(a+2b)=3(a-b)+a+2b=4a-b.當a=3,b=-2時,原式=12+2=14.

【點睛】本題考查了新定義，數(shù)字類規(guī)律探究，以及整式的加減，根據(jù)題干中的算式得出規(guī)

律是解答本題的關鍵.

變式2.(2022?重慶梁平?七年級期中)閱讀材料，解決下列問題

如果一個正整數(shù)十位上的數(shù)字為a,個位上的數(shù)字為b,則這個數(shù)表示為IOa+人

有這樣一對正整數(shù)：一個數(shù)的數(shù)字排列完全顛倒過來就變成另一個數(shù)，簡單地說就是順序相

反的兩個數(shù)，我們把這樣的一對數(shù)互稱為"反序數(shù)".比如：123的反序數(shù)是321,4056的反

序數(shù)是6504,根據(jù)以上閱讀材料，回答下列問題：(1)已知一個三位數(shù)，其數(shù)位上的數(shù)字為

連續(xù)的三個自然數(shù)，經(jīng)探索發(fā)現(xiàn)：原三位數(shù)與其反序數(shù)之差的絕對值始終等于198.你知道

為什么嗎？請說明理由.

⑵若一個兩位數(shù)與其反序數(shù)之和是一個整數(shù)的平方，求滿足上述條件的所有兩位數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)29,38,47,56,65,74,83,92

【分析】(1)設連續(xù)自然數(shù)中間的一個數(shù)為X,則其他的兩個數(shù)為x-l,x+l,表示出原三

位數(shù)與反序數(shù)，進行驗證即可；

(2)設兩位數(shù)十位數(shù)字為a,個位數(shù)字為b,表示出兩位數(shù)與反序數(shù)，根據(jù)題意確定出即可.

⑴

解：設連續(xù)自然數(shù)中間的一個數(shù)為X,則其他的兩個數(shù)為x-1，x+L

根據(jù)題意可得：[100(X+1)+10Λ-+JC-1]-[100(XT)+10Λ^+X+1]

=100x+100+11Λ-1-100Λ+IOO-Ilx-I

=198,

團原三位數(shù)與其反序數(shù)之差的絕對值始終等于198.

⑵設兩位數(shù)H立數(shù)字為d個位數(shù)字為6,

根據(jù)題意得：

IOa+b+10∕>+a=ll(a+6),

團該兩位數(shù)與其反序數(shù)之和是一個整數(shù)的平方.，

0a+?=ll,

M=2,b=9；

a=3,b=8；

α=4,b=7；

a=5,b=6；

a=7f。=4；

a=8,?=3;

a=9,b=2↑

則滿足條件的數(shù)為：29,38,47,56,65,74,83,92.

【點睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，絕對值，解決本題的關鍵是理解閱讀材料，找出

式子存在的規(guī)律.

Q

1.（2022?晉安區(qū)期末）如圖，是一個運算程序的示意圖，若開始輸入X的值為625,則第

2020次輸出的結果為（）

A.1B.5C.25D.625

【分析】依次求出每次輸出的結果，根據(jù)結果得出規(guī)律，即可得出答案.

111

【解答】解：當x=625時，-χ=125.當x=125時，gx=25,當x=25時，-χ=5,

當x=5時，EX=1，當X=I時，x+4=5,當x=5時，∣x=l,…

依此類推，以5,1循環(huán)，（2020-2）÷2=1009,能夠整除，所以輸出的結果是1,故選：

A.

2.（2022?山東泰安?期中）古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10...,這樣的數(shù)稱為"三

角形數(shù)”，而把數(shù)4、9、16...,這樣的數(shù)稱為"正方形數(shù)則第5個"三角形數(shù)"與第5個"正

方形數(shù)”的和是（）

A.35B.40C.45D.50

【答案】B

【分析】分別探究“三角形數(shù)"與"正方形數(shù)"的存在規(guī)律，求出第5個"三角形數(shù)"與第5個"正

方形數(shù)"，再求第5個"三角形數(shù)"與第5個"正方形數(shù)"的和.

【詳解】第1個"三角形數(shù)J1,第2個"三角形數(shù)J1+2=3,第3個"三角形數(shù)"：1+2+3=6,

第4個"三角形數(shù)J1+2+3+3=10,第5個"三角形數(shù)1+2+3+4+5=15,

第1個“正方形數(shù)J1,第2個“正方形數(shù)J22=4,第3個"正方形數(shù)"：32=9,

第4個“正方形數(shù)J42=16,第5個"正方形數(shù)"：52=25,1315+25=40.故選：B.

【點睛】本題主要考查了"三角形數(shù)"與"正方形數(shù)"，解決問題的關鍵是探究“三角形數(shù)"與"正

方形數(shù)"的規(guī)律，運用規(guī)律求數(shù).

3.（2022?河北保定?七年級期末）觀察下列圖形,它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律,

第2022個圖形中共有個五角星（）

★★★★★

★★★★★★★★★

★★★★★★★★★★★★

★★★★

第1個圖形第2個圖形第3個圖形第4個圖形

A.6068B.6067C.6066D.6065

【答案】B

【分析】第一個圖形五角星數(shù)目：1+3=1+3×1,第二個圖形五角星數(shù)目：1+3+3=l+3×2,

第三個圖形五角星數(shù)目：l+3+3+3=l+3x3,第四個圖形五角星數(shù)目：l+3+3+3+3=l+3x4,.......

得出第〃個圖形五角星數(shù)目：1+3+3+…+3=l+3x”,即可得出第2022個圖形中五角星數(shù)目.

【詳解】解：回第一個圖形五角星數(shù)目：l+3=l+3xl,

第二個圖形五角星數(shù)目：l+3+3=l+3χ2,

第三個圖形五角星數(shù)目：l+3+3+3=1+3x3,

第四個圖形五角星數(shù)目：1+3+3+3+3=1+3x4,

第〃個圖形五角星數(shù)目：l+3+3+???+3=l+3×n=l+3n,

團第2022個圖形中五角星數(shù)目為：l+3×2022=6067.

故選：B.

【點睛】本題考查了圖形個數(shù)的規(guī)律，解題關鍵是根據(jù)已知圖形的變化規(guī)律找到第“個圖形

個數(shù)表達式.

4.（2022?遼寧本溪?七年級期末）如圖，第1個圖案是由灰白兩種顏色的六邊形地面磚組成

的，第2個，第3個圖案可以看成是由第1個圖案經(jīng)過平移而得，那么第〃（"之2）個圖案中

有白色六邊形地面磚的塊數(shù)是（）

第1個第2個第3個

A.4n-4B.4n-2C.4〃+2D.4n+4

【答案】C

【分析】觀察圖形可知，第一個黑色地面磚由六個白色地面磚包圍，再每增加一個黑色地面

移就要增加四個白色地面磚.

【詳解】解：團第一個圖案中，有白色的是6個，后邊是依次多4個.

團第〃(“≥2)個圖案中白色六邊形個數(shù)為：6+4(n-l)=(4n+2)個，故選：C.

【點睛】本題考查利用平移設計圖形，主要培養(yǎng)學生的觀察能力和空間想象能力，解題的關

鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律：在第一個圖案的基礎上，多一個圖案，多4塊白色地磚.

5.(2022?湖北鄂州,七年級期末)如圖所示的數(shù)表由1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察其規(guī)律：

1

234

56789

10Il1213141516

171819202122232425

則第〃行各數(shù)之和是()

A.2n2÷lB.n2-n-?-lC.(2∕z-l)(∕j2-n÷l)D.{2∕z÷l)(π2-n÷l)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得每行的數(shù)的和等于每行數(shù)的個數(shù)與每行中間的數(shù)的乘積，且每行的第

一個數(shù)為("-I?+1,最后一個數(shù)為n2,每行數(shù)的個數(shù)為2〃-1,從而得到中間的數(shù)為n+1，

即可求解.

【詳解】解：第1行的和為1;有1個數(shù)；

第2行的和為：2+3+4=9=3x3;有3=(2×2-l)個數(shù)；

第3行的和為：5+6+7+8+9=35=5x7,有5=(2×2-l)個數(shù)；

第4行的和為：10+11+12+13+14+15+16=91=7x13,有7=(4×2-l)個數(shù)；

第5行的和為：17+18+19+20+21+22+23+24+25=189=9×21,有9=(5x2-1)個數(shù)：

由此發(fā)現(xiàn)，每行的數(shù)的和等于每行數(shù)的個數(shù)與每行中間的數(shù)的乘積，且每行的第一個數(shù)為

（rt-l）2+l.最后一個數(shù)為二,每行數(shù)的個數(shù)為2"-1,

0中間的數(shù)為（“T+1+獷=〃2-〃+1，

2

回第“行各數(shù)之和是（2〃-。（〃2一〃+1）故選：C

【點睛】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律題，明確題意，準確得到規(guī)律是解題的關鍵.

6.（2022?山西九年級模擬）謝爾賓斯基地毯，最早是由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基制作出來的：

把一個正三角形分成全等的4個小正三角形，挖去中間的一個小三角形；對剩下的3個小正

三角形再分別重復以上做法…將這種做法繼續(xù)進行下去，就得到小格子越來越多的謝爾賓斯

基地毯（如圖）.若圖1中的陰影三角形面積為L則圖5中的所有陰影三角形的面積之和

是（）

&履

圖1圖2圖3圖4圖5

278127

A.一B.------

64256256

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，每次挖去等邊三角形的面積的剩下的陰影部分面積等于原陰影部分

4

面積的?，然后根據(jù)有理數(shù)的乘方列式計算即可得解.

4

【解答】解：圖2陰影部分面積=1-二=4,圖3陰影部分面積=WX?=諄）2,

44444

圖4陰影部分面積=1X（?∣）2=（?∣）3,圖5陰影部分面積=1X（?∣）3=（?∣）4=懸.故

選：B.

7.（2022?江蘇鎮(zhèn)江市?）如圖，小明在3x3的方格紙上寫了九個式子（其中的"是正整數(shù)）,

每行的三個式子的和自上而下分別記為4,4,小，每列的三個式子的和自左至右分別記為

Bi,B2,B3,其中，值可以等于789的是（）

2"+12"-32"+5

2"+72"-92"+11

2"-132"+152"+17

BlB3

A.AiB.BiC.A2D.B3

【答案】B

【分析】把4,A2,8ι,83的式子表示出來，再結合值等于789,可求相應的"的值，即可

判斷.

【詳解】解:由題意得:Λι=2n+l+2n+3+2n+5=789,整理得:2n=260,

則不是整數(shù)，故的值不可以等于；nnn整理得：n

nAl789Λ2=2+7+2+9+2+ll=789,2=254,

則n不是整數(shù),故4的值不可以等于789；Bi=2"+l+2π+7+2π+13=789,整理得：2"=256

=28,

則是整數(shù)，故］的值可以等于nπn整理得:n

n8789；S3-2+5+2+ll+2+17=789,2=252,

則"不是整數(shù)，故&的值不可以等于789；故選：β.

【點睛】本題主要考查規(guī)律型：數(shù)字變化類，解答的關鍵是理解清楚題意，得出相應的式子.

8.（2022?山東煙臺?期中）如圖，第"個圖形需要的棋子數(shù)量是.（用含有”的代

數(shù)式表示）

［答案］("+l)("+2)

2

2,3

【分析】根據(jù)題意可得：第1個圖形需要的棋子數(shù)量是3=q；第2個圖形需要的棋子數(shù)

3×44x5

量是6=l+2+3=寸；第3個圖形需要的棋子數(shù)量是IO=I+2+3+4=早；第4個圖形需要的

棋子數(shù)量是15=1+2+3+4+5=三：......；由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可求解.

2,3

【詳解】解：第1個圖形需要的棋子數(shù)量是3=詈：

第2個圖形需要的棋子數(shù)量是6=1+2+3；

第