舊教材適用2023高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九章平面解析幾何第5講橢圓一

第5講橢圓（一）

考礎(chǔ)知以整恒I

□知識(shí)梳理

1.橢圓的概念

在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)A,K的距離的和等于常數(shù)（大于IA&）的點(diǎn)的軌跡（或集合）叫做回橢

圓.這兩定點(diǎn)叫做橢圓的EI焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做國(guó)焦距.

集合々{M姐|+|物?∣=2a},IEKI=2c,其中a>0,c>0,且a,C為常數(shù)：

（1）若畫a>c,則集合Z5表示橢圓；

（2）若［Ha=c,則集合夕表示線段FE；

（3）若EIa〈。,則集合尸為空集.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

22

V2yvr

標(biāo)準(zhǔn)方程下?f=l(a>b>O)/+7=l(a>b>0)

?

圖形Ifih\()βA-

∕∣∣?F1O?ψ2

-一a≤xWI?aEl-Z>≤-γ≤El?

范圍

El-?≤.y≤El??一aWy≤?a

對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)

Ai(—a,0),Ai(a,0)A[(0,一a),Ai(0,a)

頂點(diǎn)

5(0,—6),?(O,?)B?(-b,O),BAb,Q)

軸

性質(zhì)長(zhǎng)軸—的長(zhǎng)為E12a；短軸一一的長(zhǎng)為畫28

焦距IF?∣=E12c

焦點(diǎn)Λ(-c,0),K(c,0)Λ(0,一c),∕?(0,C)

離心率e=El=∈S(OI)

~~旦-2---------

a,A,c的

C2=ISla2-?2

關(guān)系

:知識(shí)拓展

1橢圓的焦點(diǎn)三角形

橢圓上的點(diǎn)尸（劉，為）與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△依K叫做焦點(diǎn)三角形.如圖所示，設(shè)陽=0.

(1)當(dāng)尸為短軸端點(diǎn)時(shí)，。最大.

fi2P

(2)5λwΛ?=~IΛSI∣Λ?∣sin＜?=?ta∏-=c∣j?∣,當(dāng)∣為∣=6時(shí)，即點(diǎn)J為短軸端點(diǎn)時(shí)，S

12Z2

取最大值，最大值為be.

(3)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a+c).

c22

(4)4c=∣Λl∣+∣∕7?∣-2∣ΛS'PFi??cos0.

□雙基自測(cè)

22

1.已知橢圓*+A=l(加＞0)的左焦點(diǎn)為￡(一4,0),則勿=()

25m

?.2B.3

C.4D.9

答案B

解析由4=125一序(加＞0),得加=3,故選B.

2.若橢圓=1的焦點(diǎn)在y軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則力的值為()

11

AqB-2

C.2D.4

答案A

將原方程變形為/+4=1.由題意知才=LA2=I,Λa=?/?,b=l./.Λ/?=

解析

?m?∣m?∣m

m

2，?,?m=~7.

4

3.(2021?四川成都診斷考試)已知中心在原點(diǎn)的橢圓。的右焦點(diǎn)為尸(1,0),離心率等

于;，則橢圓C的方程是(

)

2222

A工+jB.?+?l

434√3

22?y

D-十-=1

c?Z+2=ι98

答案I)

"c=l,

XyC1

解析依題意，設(shè)橢圓方程為F+S=l（a>扮0）,所以〈三=可，解得/=9,

aba3

.c2=a2-?2,

戌=8.故橢圓C的方程為卷+《=1.

yo

22

4.（2021?新高考I卷）已知A,K是橢圓C-.]+；=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn),"在C上，則

I?I，，牌的最大值為（）

A.13B.12

C.9D.6

答案C

解析由橢圓的定義可知，如I+“冏=2a=6.由基本不等式可得

I姐I?I施IW產(chǎn)上爐以）2=&）2=9,當(dāng)且僅當(dāng)|姐|=|破I=3時(shí)等號(hào)成立.故選C.

22

5.（2021?常州調(diào)研）若方程占十二三=1表示橢圓，則A的取值范圍是.

5-?K-6

答案（3,4）U（4,5）

^5-A>0,

解析由己知得3>0,解得3<狄5且A≠4.

.5-A≠?-3,

22

6.（2022?安陽模擬）已知點(diǎn)戶（小，％）是橢圓*+2=1上的一點(diǎn)，R,冗是其左、右焦

ZoIo

點(diǎn)，當(dāng)/￡祝最大時(shí)，△陽K的面積是.

答案12

22________

解析：橢圓的方程為今+￡=1,.?.a=5,6=4,c=[25—16=3,."（—3,0）,

2516V

K（3,0）.根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知當(dāng)點(diǎn)尸與短軸端點(diǎn)重合時(shí)，/FFFz最大,此時(shí)△陽E的面積S

=∣×2×3×4=12.

核心若向突破I

考向一橢圓定義及其應(yīng)用

例1（1）已知圓（x+2）Z+∕=36的圓心為機(jī)設(shè)力是圓上任意一點(diǎn)，M2,0）,線段4V

的垂直平分線交始于點(diǎn)只則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是（）

A.圓B.橢圓

C.雙曲線D.拋物線

答案B

解析點(diǎn)尸在線段4v的垂直平分線上,故I*=I掰.又41/是圓的半徑,所以I掰+I*I

=IRM+?PM=?AM?=Q>?MN?.由橢圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是橢圓.

22

(2)(2021?江西南昌模擬)設(shè)A,K分別是橢圓區(qū)2+*=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)，過

ab

點(diǎn)￡的直線交橢圓E于48兩點(diǎn)，II=31￡倒，且I明=4,能的周長(zhǎng)為16.則IH川

答案5

解析由∣〃i∣=3∣由劇,?AB?=4,得∣/∣=3.Y△應(yīng)加的周長(zhǎng)為16,.?.4a=16,；.a

=4.則∣"i∣+"Kl=2a=8,=8—|/川=8—3=5.

觸類旁通］

1.橢圓定義的應(yīng)用范圍

(1)確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓.

(2)解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離問題.

2.焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用

橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其

周長(zhǎng)；利用定義和余弦定理可求I明I,?ppi??,通過整體代入可求其面積等.

即時(shí)訓(xùn)練1.與圓G:(葉3尸+/=1外切，且與圓C:(X—3/+/=81內(nèi)切的動(dòng)圓

圓心戶的軌跡方程為_.

答案?+?=l

ZoIo

解析設(shè)動(dòng)圓的半徑為r,圓心P〈X,。，則有IAGl=r+l,/G∣=9-r,所以IAGl

+尸Cl=IO>∣G創(chuàng)，即點(diǎn)尸在以G(—3,0),C(3,0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓上，即圓

心2的軌跡方程為1+^=1.

25Io

22

2.(2022?安徽馬鞍山模擬)已知點(diǎn)￡,K分別為橢圓C：5+5=1的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)

??

夕在橢圓C上，且NA格=60°,則叢/加=.

12

答案√3

22o

解析解法一：?∣ΛS∣+∣Λ?∣=4,!/^|+PF2?→?PR??∣Λ?∣cos60=IA川?，得

,o

3∣ΛS∣?∣"∣=12,所以|陽|?∣∕7?∣=4,則SNPF=WfFi??∣∕7?∣sinZΛ∕7?=∣×4sin60

?2JZ

解法二由橢圓，的方程得"3,所以必『次an十=3tan30°=近

考向二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

例2⑴已知橢圓C的焦點(diǎn)為￡(一1,0),β(l,0),過K的直線與C交于4,8兩點(diǎn).若

?AF2?=2?FiB?,?ΛB?=?BFx?,則C的方程為()

222

,X.2×.y

A.g+y=lB.—+y≈l

2222

rXj1nXJ1

C?7+3=1D?M+L

答案B

y/

解析設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為-+S=l(a>6>0),由橢圓定義可得|力川+|西+［跖|=4&

ab

V?AB?=?BFl?,:.AFi1+2M=4a.又∣JΛ∣=2∣K8∣,

3

.?.|羽=5|4川，，|〃；|+3|4知=4&又|加；|+14四=2&.，.|止|=&；./1為橢圓的

短軸端點(diǎn).如圖，不妨設(shè)4(0,6),又K(l,0),AFz=2FzB,

.?.(∣,-9將8點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程§+方=1，得看+焉=1，?"=3,IJ=a'—ci

=2.橢圓C的方程為可+。=1.故選B.

?乙

(2)(2021?云南昆明模擬)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)

JPI(Λ∕6,1),上(一小,~y∣2),則該橢圓的方程為.

答案?1

解析設(shè)橢圓的方程為加f2+∕√=15>0,∕7>0,且得力.因?yàn)闄E圓經(jīng)過A,月兩點(diǎn)，所

以點(diǎn)A,R的坐標(biāo)滿足橢圓方程，

〃/=§,

6m+n=l,

則解得,

3加+2〃=1>〃=§?1

22

所以所求橢圓的方程%+]=l?

觸類旁通]求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法

(1)定義法：根據(jù)橢圓的定義確定2a,2c,然后確定4,斤的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置寫出橢

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）待定系數(shù)法：具體過程是先定位，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后根據(jù)條件

建立關(guān)于a,方的方程組.如果焦點(diǎn)位置不確定，那么要考慮是否有兩解.有時(shí)為了解題方便,

也可把橢圓方程設(shè)成明。+〃成=］（川>0,n〉0,7不〃）的形式.解題步驟如下：

I定位置|一|根據(jù)條件確定橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上I

根據(jù)焦點(diǎn)位置，設(shè)方程為4+M=l（α>b

ab

>0）或，+^=l（α>6>0）;

I設(shè)方程1

也可設(shè)整式形式的方程：

TΠJC2*5+”2=1（"7>0,〃>0

尋卞系|一|根據(jù)條件列出關(guān)于α?灰或〃?，〃）的方程組

—?II解方程組,將相應(yīng)值代入所設(shè)方程,寫出

得方程一

—標(biāo)準(zhǔn)方程

22

即時(shí)訓(xùn)練3.（2021.河南信陽模擬）已知橢圓C*+方=13力。），若長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為6,

且兩焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

β?f+f≈1

D-??1

答案B

解析由題意知2a=6,2c=；X6,所以a=3,C=1,則b=y∕32T*=2yβ,所以此橢圓

?

的標(biāo)準(zhǔn)方程為5+5=L

yo

4.已知用（一1,0）,K（LO）是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過K且垂直于X軸的直線交C于月,

8兩點(diǎn),且148=3,則橢圓C的方程為（）

222

.4,2eX,y

A.^+y=lB.~+—=1

22

?yX,V

D.τ+τ=l

c?τ+?=154

答案C

133

解析如圖，I/川=5∣A?∣=5,A￡|=2,由橢圓定義，得仍∣=2a-,?①

在Rt出中，I幽I2=M&2+用&2=t}+22.

②

由①②得5=2,ΛZ?2=/-C2=3.

橢圓C的方程為9+《=1,故選C?

'9O

考向三橢圓的幾何性質(zhì)

22

例3（1）（2021?“超級(jí)全能生”聯(lián)考）已知橢圓反?+方=l（a＞力。）的左、右焦點(diǎn)分

別為A,內(nèi)（如圖），過后的直線交￡于R。兩點(diǎn)（尸點(diǎn)位于第二象限），且如_Lx軸，I例I

=13；40],則C的離心率為（）

1

√33-

AC.B.2

I).

√22√23

答案D

解析過。作。/垂直X軸，交X軸于〃，由題意可得，/-c,g）,I陽I=一，XPFR

.PFA|汽川出冏

SXQHR,U

“FiQ?~?QH?~?HF2?^

22

(2)已知橢圓2+6=1(a>6>0)的半焦距為c,且滿足CJ^+aXO,則該橢圓的離心率e

ab

的取值范圍是

解析Vc2-Z?2÷ac<0,??.（？一（才一d）+ac<0,即2c-a÷<ac<O,Λ?■—1÷~<O,即

aa

2e2+e-l<0,解得一1<水<.又（XXL.?.（Ke<），橢圓的離心率e的取值范圍是（θ,?）.

乙乙\乙）

觸類旁通

1.求橢圓的離心率的方法

(1)直接求出a，C來求解.通過已知條件列方程組，解出a,C的值.

(2)構(gòu)造a,C的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a,C的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化

為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解.

(3)通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.

2.橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式，例如，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，一

aWx≤a,一bWy^b,0<e<l等,在求橢圓相關(guān)量的范圍時(shí)，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系.

即時(shí)訓(xùn)練5.焦點(diǎn)在X軸上的橢圓方程為與+《=1(a>力0),短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)

ab

焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為《，則橢圓的離心率為()

O

答案C

解析由短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形，又由三角形面積公式得T

X2c?8=<(2a+2c)?《，得a=2c,即e=*=!，故選C.

z3aZ

22

6.(2021-全國(guó)乙卷)設(shè)6是橢圓C-.2+￡=l(a?>0)的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)P

ab

都滿足I陽IW26,則。的離心率的取值范圍是()

c?(。，平］

答案C

22

解析依題意，B(0,6),設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(X°,㈤，貝∣J∣κ∣Wb,號(hào)+號(hào)=1，可得忘=，

22

一*J卷貝IJl陽2=總+(K—6)2=笳+/一2甌+/?2=一1於2即+才+8≤4ZΛ因?yàn)楫?dāng)ya=-b

時(shí)，“=4氏所以一泉―6,得2C2W∕,所以離心率e=5∈(θ,陰，故選C.

課時(shí)作業(yè)I

X2y2

1.已知橢圓77^—+―7=1,長(zhǎng)軸在y軸上，若焦距為4,則〃等于()

10-mm—2

A.4B.5

C.7D.8

答案D

解析由題意，得橢圓焦點(diǎn)在y軸上，，才=〃-2,匕=Ia-ITL又c=2,???加一2一(10

—m)=c=4.Λ∕n=8.

2.若橢圓C:?=l(a>6>0)的短軸長(zhǎng)等于焦距，則橢圓的離心率為()

A.?B.~^

c.乎I).(

答案C

解析因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)等于焦距，所以6=C,所以丁=爐+1=2總所以e=￡=乎.

a2

故選C.

3.(2021?陜西漢中模擬)已知橢圓C：F+S=1Q>6>0)的左、右焦點(diǎn)為R,F,離心

ab2

率為斗，過"的直線/交C于48兩點(diǎn).若的周長(zhǎng)為4√i則。的方程為()

222

X.VX.

A?^r+τ^=lB.可+y2=l

?ClJ

答案A

解析由題意及橢圓的定義知4a=4√5,則a=√5,又A=金=坐，.?.c=l,，^=2,

22

.?.C的方程為曰+W=L故選A.

O乙

22

4.橢圓會(huì)+5=1上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)A的距離為2,JV是姐的中點(diǎn)，則IM等于（）

z?y

A.2B.4

3

C.8D.2

答案B

解析設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為&由題意，WI=III=∣×（2a-II）=1×（10

-2）=4,故選B.

5.（2022?山西晉中模擬）已知點(diǎn)彳1,當(dāng)是橢圓*+∕=l（a>l）上的點(diǎn)，A,6是橢圓

的左、右頂點(diǎn)，則4Λ48的面積為（）

A.2B.平

4

C.-D.1

答案D

解析由題可得3+）=1,，才=2,解得a=也（負(fù)值舍去），則叢βw=4X2aX^=l,

aZYzz

故選D.

6.（2021?吉林長(zhǎng)春模擬）橢圓∣?+∕=1的左、右焦點(diǎn)分別是用“，點(diǎn)〃是橢圓上任

意一點(diǎn)，則依?形的取值范圍是()

A.[-1,1]B.[-1,0]

C.[0,1]D.[-1,2]

答案C

X一

解析由橢圓方程得￡(—1,0),?(I,0),設(shè)尸(x,y),則5+y=l,PF?=(―1—?,—

fff”]

y),PA=(I—x,—y),則依?放=夕+/—1=,￡[o,1],故選C.

22

7.設(shè)橢圓C：?+?=l(a>0,力0)的左、右焦點(diǎn)分別為￡,私點(diǎn)“(0,t)(0<K8).已

ab

知?jiǎng)狱c(diǎn)夕在橢圓上，且點(diǎn)只E,凡不共線，若△座周長(zhǎng)的最小值為46,則橢圓C的離心率

為（）

√3

2√22

B.

1

√33

2-D.

答案A

解析如圖，連接班，PF?,則|班|=|用|,所以△悌的周長(zhǎng)/=I闋+1即1+PP1?

=PE?+?EFi?+?PF2?,因?yàn)镮陽+1瓦］|刈依|,所以△座的周長(zhǎng)4∣∕∣+∣ΛS∣,因?yàn)?/p>

IMl+1第∣=2a,所以∕22a,因?yàn)椤黜葜荛L(zhǎng)的最小值為43,所以2a=46,即a=26,所

以/=才一^=3爐，所以c=yβb,所以橢圓C的離心率。=￡=理，故選A.

aN

Xy

8?已知戶是橢雪+產(chǎn)1（於於。）的左焦點(diǎn)，力為右頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，在U軸,

?PF?^AF?,則該橢圓的離心率是（）

1

-

4B.

1

√23

C.21D.

答案B

解析由題可知點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)是一c,代入橢圓方程，有F+S=1,得尸土一.又I陰

aba

1hi↑Q

=~?AF?,即一=τ（a+c）,化簡(jiǎn)得41+ac—3才=0,即4e+e-3=0解得e=：或e=—1（舍

4a4f4

去）.

22

9.設(shè)46是橢圓G三+$1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)p是橢圓C與圓跳V+∕=10的一個(gè)

交點(diǎn)，則，加一I陽1=（）

A.2√2B.4√3

C.4√2D.6√2

答案C

解析由題意知，A,8恰好在圓"上且/8為圓M的直徑，.?.I*+∣Λ5∣=2a=4√?,

川2+|陽∣2=（2c）2=40,.?.（|川+1陽）2=1-9+I陽r+2∣Λ4∣I陽,解得2|川|I陽=8,

?{?PA?-?PB?y=?PA?'i+PB?'1-2?PA?∣∕S∣=32,則||加一|必」=4*,故選C.

10.（2022?西安摸底檢測(cè)）設(shè)是橢圓的長(zhǎng)軸，點(diǎn)。在橢圓上，且/煙=寧，若|/18

=4,∣6C∣=√^,則橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為（）

兒坐B.歲

C?羋D.羋

eO

答案A

22

解析不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為當(dāng)+6=1（a〉6>0）,如圖，由題意知，2a=4,a=2,：

ab

ACBA=-T-,|6。|=蛆，?,?點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1,1）,：點(diǎn)C在橢圓上，,?［+J=L,4=1,

Λc=a2-Z>2-4-∣=∣,C=乎，則橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為孚.

22

11.（2021?四川資陽模擬）橢圓全+2=1的左、右焦點(diǎn)分別為小R,弦四過凡若

25Io

△4例的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為π”,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（ay1）,（如㈤，則IyL以的值為（）

510

A.-B.—

?O

CTDT

OO

答案A

22

Xy

解析在橢圓蒜+左=1中，a=5,b=4,所以c=3.故橢圓左、右焦點(diǎn)分別為￡（—3,0）,

2516

7?（3,0）.由△/班的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為兀，可得內(nèi)切圓的半徑為τ=κ?&的=加肝〃+8防尸=〈

Z21212Z

l??l?∣Λ∕?I+∣lj^l?IAKI=3（lκl+l?d）?IAKI=3|y一%］（兒夕在X軸的上下兩側(cè)），

又以M=JT（I/引+I必I+∣K∕∣）=<x［（2a+2a）=a=5,所以3|%一度|=5,即IyI—理I=

2NNN

5

3,

12.（2021?湖北八校聯(lián)考）如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)。，尸（一5,0）為C的左焦點(diǎn),

。為。上一點(diǎn)，滿足I網(wǎng)=|如且I陽=6,則柳圓。的方程為（）

a??+?=1β??+?=1

c4+?=1d??+?=1

答案C

,

解析由題意可得c=5,設(shè)右焦點(diǎn)為U,連接外，由如=|明=|函?=^?FFI

知，/FPF=90°,即小1_次.在Rt△府中，由勾股定理，得I勿∣≈√∣Λ^?2-?PF?2

=√102-62=8,由橢圓定義，得∣%+∣∕F'=2a=6+8=14,從而a=7,得a2=49,于

22

是百=才一1=49一比=24,所以橢圓C的方程為百+畝=1,故選C.

V22

13.設(shè)桶圓C：κp+6=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為A,F,尸是C上的點(diǎn)，PFLRF,

ab2i1

NPRA=30°,則。的離心率為.

答案當(dāng)

解析^?PFi?=m,'JPF2LFxFi,N陽K=30°,，|陽|=2"∣EK∣=√5za又：用1+

PA?=2a,Λ!Λ∣=2c.Λ2a=3zo,2C=√3∕Λ,C的離心率為e=*=乎.

aJ

X2y2

14.已知￡,K為橢圓C-.法+會(huì)=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，"為C上一點(diǎn)且在第一象限.若AMRFZ

為等腰三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

答案（3,√15）

解析設(shè)內(nèi)為橢圓的左焦點(diǎn)，分析可知"在以內(nèi)為圓心、焦距為半徑的圓上，即在圓（X

22

+4)2+/=64上.因?yàn)辄c(diǎn)必在橢圓熹+1上，所以聯(lián)立方程可得

20

x+4"+/=64,（χ-^t

，V/解得（"一,L又因?yàn)辄c(diǎn)物在第一象限，所以點(diǎn)財(cái)?shù)淖鴺?biāo)為

話+壇=1，Lκ=±W5?

（3,√15）.

V2

15.（2021?全國(guó)甲卷）已知aK為橢圓G左+3=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P,0為C上關(guān)于坐

Ib4

標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且PQ?-?FγFi?,則四邊形陽飯的面積為.

答案8

解析由|聞=IA&,得I/=BE&（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），所以兩?L∕?又由橢圓的對(duì)

稱性，知四邊形仍能為平行四邊形，所以四邊形所出為矩形.設(shè)∣ΛS∣=），貝∣J∣ΛS∣=2a

-?PF↑?=8—/Z/,則IMr+I∕7?+（8—川）2=2〃：+64—16/?=|∕*i∕?∣2=4c2=4（a2—Z?2）=

48,得M8-m）=8,所以四邊形陽段的面積為I9I*|初|="（8—加）=8.

q2

16.（2021?浙江高考）已知橢圓2+5=1（a>於0）,焦點(diǎn)￡（一0,0）,K（GO）（C>0）.若

ab

過E的直線和圓。一^]+/=/相切，與橢圓在第一象限交于點(diǎn)尺且小，X軸，則該直線

的斜率是,橢圓的離心率是.

答案貼近

π55

解析設(shè)過￡的直線與圓的切點(diǎn)為機(jī)圓心/tC,0）,則MI=C,∣"i∣=∣c,所以I如I

=嘩c,所以該直線的斜率*=-i鼠=羋.因?yàn)槌鮛Lx軸，所以I%I=互，又用用

2IMr?Iy∣553

2C

=2c,所以A=羋=S=I=解得e=皆（負(fù)值舍去）.

52c2ac2e5

17.己知橢圓*+E+3）/=〃（於0）的離心率e=52,求勿的值及橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的

長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo).

解橢圓方程可化為工+工=1,就0.

mm

m+3

切加功+2.Zg

In'IO>0,??〃/〉IQ,

ΠJ-↑-3πrr30十3

2__IL=^a~lj=y^-/〃+2

??3—■∏bzj,-,

^+3加+3

?/?ΛS∣m+2更

由e=2,得λ/而=2，.*.nι=1.

二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)