橢圓x^2.25+y^2.16=1平移移動(dòng)后的性質(zhì)探究舉例A7

橢圓eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1移動(dòng)后的性質(zhì)探究主要內(nèi)容：本文介紹已知橢圓eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1分別沿著平行于x軸、y軸、斜直線移動(dòng)后橢圓方向和繞點(diǎn)對(duì)稱(chēng)移動(dòng)、旋轉(zhuǎn)90°的橢圓方程，以及移動(dòng)后橢圓的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程的表達(dá)式。※.橢圓移動(dòng)：沿著垂直x軸方向移動(dòng)。例如，求橢圓eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1向上移動(dòng)8個(gè)單位后的橢圓方程。根據(jù)題意，此時(shí)是垂直x軸移動(dòng)，即沿著y軸方向向上移動(dòng)8個(gè)單位，則移動(dòng)后的橢圓方程為：eq\f(x2,25)+eq\f((y-8)2,16)=1.移動(dòng)后的橢圓與原橢圓的性質(zhì)對(duì)比：1.形狀大小不改變，長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率等均不變；2.橢圓的中心點(diǎn)由原來(lái)的原點(diǎn)O(0,0)移動(dòng)到O1(0,8)；3.x軸方向上的兩個(gè)頂點(diǎn)A(-5,0)，B(5,0)分別移動(dòng)到A1(-5,8)，B1(5,8)；4.y軸方向上的兩個(gè)頂點(diǎn)C(0,4),D(0,-4)分別移動(dòng)到C1(0,12),D1(0,4)；5.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-3,0),F2(3,0)分別移動(dòng)到F3(-3,8),F4(3,8);6.此時(shí)橢圓移動(dòng)前后兩個(gè)準(zhǔn)線方程x1=-eq\f(25,3),x2=eq\f(25,3)不變?！?橢圓移動(dòng)：沿著垂直y軸方向移動(dòng)。例如，求橢圓eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1沿著x軸負(fù)向移動(dòng)1個(gè)單位后的橢圓方程。根據(jù)題意，此時(shí)是垂直y軸移動(dòng)，即沿著x軸方向向上移動(dòng)1個(gè)單位，則移動(dòng)后的橢圓方程為：eq\f((x+1)2,25)+eq\f(y2,16)=1.移動(dòng)后的橢圓與原橢圓的性質(zhì)對(duì)比：1.形狀大小不改變，長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率等均不變；2.橢圓的中心點(diǎn)由原來(lái)的原點(diǎn)O(0,0)移動(dòng)到O1(-1,0)；3.x軸方向上的兩個(gè)頂點(diǎn)A(-5，0)，B(5，0)分別移動(dòng)到A1(-6，0)，B1(4，0)；4.y方向軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)C(0,4),D(0,-4)分別移動(dòng)到C1(-1,4),D1(-1,-4)；5.橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)F1(-3,0),F2(3,0)分別移動(dòng)到F3(-4,0),F4(2,0);6.此時(shí)橢圓兩個(gè)準(zhǔn)線方程x1=-eq\f(25,3),x2=eq\f(25,3)平移后為：x3=-eq\f(28,3),x4=eq\f(22,3).※.橢圓移動(dòng)：沿著斜直線方向移動(dòng)。例如，求橢圓eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1沿著x軸正向移動(dòng)1個(gè)單位，再向下移動(dòng)1個(gè)單位后的橢圓方程。此時(shí)既有平行x軸，也有平行y軸移動(dòng)，實(shí)質(zhì)是沿著斜直線移動(dòng)，根據(jù)題意則移動(dòng)后的橢圓方程為：eq\f((x-1)2,25)+eq\f((y+1)2,16)=1.移動(dòng)后的橢圓與原橢圓的性質(zhì)對(duì)比：1.形狀大小不改變，長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率等均不變；2.橢圓的中心點(diǎn)由原來(lái)的原點(diǎn)O(0,0)移動(dòng)到O1(1,-1)；3.x軸方向上的兩個(gè)頂點(diǎn)A(-5，0)，B(5，0)分別移動(dòng)到A1(-4,-1)，B1(6,-1)；4.y軸方向上的兩個(gè)頂點(diǎn)C(0,4),D(0,-4)分別移動(dòng)到C1(1,4),D1(1,-4)；5.橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)F1(-3,0),F2(3,0)分別移動(dòng)到F3(-2,-1),F4(4,-1);6.此時(shí)橢圓兩個(gè)準(zhǔn)線方程x1=-eq\f(25,3),x2=eq\f(25,3)平移后為：x3=-eq\f(22,3),x4=eq\f(28,3).※.橢圓移動(dòng)：繞點(diǎn)對(duì)稱(chēng)移動(dòng)。例如，求橢圓eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1繞點(diǎn)M(2,3)的對(duì)稱(chēng)橢圓方程。根據(jù)題意，此時(shí)只需要求解已知橢圓的中心0(0,0)關(guān)于點(diǎn)M(2,3)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O1的坐標(biāo)，即可得到其對(duì)稱(chēng)橢圓方程。由于點(diǎn)M(2,3)是點(diǎn)0(0,0)和O1的中點(diǎn)，所以點(diǎn)O1的坐標(biāo)為O1(4,6)，則對(duì)稱(chēng)橢圓方程為：eq\f((x-4)2,25)+eq\f((y-6)2,16)=1.移動(dòng)后的橢圓與原橢圓的性質(zhì)對(duì)比：1.形狀大小不改變，長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率等均不變；2.橢圓的中心點(diǎn)由原來(lái)的原點(diǎn)O(0,0)移動(dòng)到O1(4,6)；3.x軸方向上的兩個(gè)頂點(diǎn)A(-5，0)，B(5，0)分別移動(dòng)到A1(9,6)，B1(-1,6)；4.y軸方向上的兩個(gè)頂點(diǎn)C(0,4),D(0,-4)分別移動(dòng)到C1(4,2),D1(4,10)；5.橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)F1(-3,0),F2(3,0)分別移動(dòng)到F3(7,6),F4(1,6);6.此時(shí)橢圓兩個(gè)準(zhǔn)線方程x1=-eq\f(25,3),x2=eq\f(25,3)移后為：x3=-eq\f(13,3),x4=eq\f(37,3).※.橢圓旋轉(zhuǎn)：繞中心旋轉(zhuǎn)移動(dòng)。例如，求橢圓eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1繞中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的橢圓方程。根據(jù)題意，此時(shí)長(zhǎng)軸變短軸，短軸變長(zhǎng)軸，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的橢圓方程為：eq\f(x2,16)+eq\f(y2,25)=1.旋轉(zhuǎn)后的橢圓與原橢圓的性質(zhì)對(duì)比：1.形狀由橫向變成縱向，橢圓的中心、離心率等不變，但橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)互換；2.x軸方向上的兩個(gè)頂點(diǎn)A(-5,0)，B(5,0)分別旋轉(zhuǎn)到A1(4,0)，B1(-4,0)；3.y軸方向上的兩個(gè)頂點(diǎn)C(0,4),D(0,-4)分別旋轉(zhuǎn)到C1(-5,0),D1(5,0)；4.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-3,0),F2(3,0)分別旋轉(zhuǎn)到F3(0，3),F4(0，-3);5.此時(shí)橢圓兩個(gè)準(zhǔn)線方程x1=-eq\f(25,3),x2=eq\f(25,3)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后分別為：y3=eq\f(25,3),y4=-eq\f(25,3).※.橢圓旋轉(zhuǎn)：繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)移動(dòng)。例如，求橢圓eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1繞定點(diǎn)K(1,1)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的橢圓方程。根據(jù)題意，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，橢圓的原中心O(0,0)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)Y,為旋轉(zhuǎn)后橢圓的中心，此時(shí)△OKY為等腰直角三角形，OY的距離為eq\r(2)OK=2,即坐標(biāo)為Y(2,0),所以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的橢圓方程為：eq\f((x-z1)2,16)+eq\f(y2,25)=1.旋轉(zhuǎn)后的橢圓與原橢圓的性質(zhì)對(duì)比：1.形狀由橫向變成縱向，橢圓的離心率等不變，但橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)互換；2.橢圓的中心點(diǎn)由原來(lái)的原點(diǎn)O(0,0)旋轉(zhuǎn)到O1(2,0)；3.x軸方向上的兩個(gè)頂點(diǎn)A(-5,0)，B(5,0)分別旋轉(zhuǎn)到A1(2,-5)，B1(2,5)；4.y軸方向上的兩個(gè)頂點(diǎn)C(0,4),D(0,-4)分別旋轉(zhuǎn)到C1(-2