2021年清華大學(xué)微積分題庫(kù)

(3343)．微分方程通解為。(4455)．過(guò)點(diǎn)且滿(mǎn)足關(guān)系式曲線方程為。(4507)．微分方程通解為。(4508)．設(shè)是線性微分方程三個(gè)特解，且，則該微分方程通解為。(3081)．設(shè)是某二階線性非齊次微分方程兩個(gè)特解，且相應(yīng)齊次方程一種解為，則該微分方程通解為。(4725)．設(shè)出微分方程一種特解形式。(4476)．微分方程通解為。(4474)．微分方程通解為。(4477)．函數(shù)滿(mǎn)足二階線性常系數(shù)齊次微分方程為。(4532)．若持續(xù)函數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系式，則。(6808)．設(shè)曲線積分與途徑無(wú)關(guān)，其中具備一階持續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則等于[](A)。(B)。(C)。(D)。 答B(yǎng) 注：依照題意，，解得。由，得，因此，即選項(xiàng)(B)對(duì)的。6907．若函數(shù)是微分方程一種特解，則該方程滿(mǎn)足初始條件特解為[](A)。(B)。(C)。(D)。 答D 注：依照解構(gòu)造，通解為，由得。故選項(xiàng)(D)對(duì)的。其她選項(xiàng)經(jīng)驗(yàn)證不滿(mǎn)足方程或定解條件。6126．設(shè)函數(shù)是微分方程兩個(gè)不同特解，則該方程通解為[](A)。(B)。(C)。(D)。 答D 注：由于是微分方程兩個(gè)不同特解，因此是該方程一種非零特解。依照解構(gòu)造，其通解為，即選項(xiàng)(D)對(duì)的。另：依照通解定義，選項(xiàng)(A)中有兩個(gè)任意常數(shù)，故其不對(duì)。當(dāng)時(shí)，選項(xiàng)(B)不對(duì)。當(dāng)時(shí)，選項(xiàng)(C)不對(duì)。6579．已知函數(shù)在任意點(diǎn)處增量，則等于[](A)。(B)。(C)。(D)。 答D 注：依照微分定義及微分與導(dǎo)數(shù)關(guān)系得，解得，由，得，因此。因而選項(xiàng)(D)對(duì)的。6215．設(shè)函數(shù)是微分方程一種解。若，則函數(shù)在點(diǎn)[](A)取到極大值。(B)取到極小值。(C)某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)增長(zhǎng)。(D)某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)減少。 答A 注：由于，，因此選項(xiàng)(A)對(duì)的。6316.設(shè)是二階常系數(shù)線性齊次方程兩個(gè)特解，是兩個(gè)任意常數(shù)，則下列命題中對(duì)的是[]（A）一定是微分方程通解。（B）不也許是微分方程通解。（C）是微分方程解。（D）不是微分方程解。 答C 注：依照疊加原理，選項(xiàng)（C）對(duì)的，選項(xiàng)（D）錯(cuò)誤。當(dāng)線性有關(guān)時(shí)，選項(xiàng)（A）錯(cuò)誤，當(dāng)線性無(wú)關(guān)時(shí)，選項(xiàng)（B）錯(cuò)誤。1897.微分方程一種特解應(yīng)具備形式[](A)。(B)。(C)。(D)。 答B(yǎng) 注：相應(yīng)齊次方程特性根為，因此一種特解形式為，一種特解形式為。依照疊加原理，原方程一種特解形式為，即選項(xiàng)(B)對(duì)的。其她選項(xiàng)經(jīng)檢查不滿(mǎn)足方程。1890.具備特解三階線性常系數(shù)齊次微分方程是[](A)。(B)。(C)。(D)。 答B(yǎng) 注：依照題意，是特性方程兩個(gè)根，且是重根，因此特性方程為。故所求微分方程為，即選項(xiàng)(B)對(duì)的。7819.設(shè)是三階線性常系數(shù)齊次微分方程兩個(gè)特解，則值為[](A)。(B)。(C)。(D)。 答C 注：依照題意，是特性方程兩個(gè)根，且是重根，因此特性方程為。故原微分方程應(yīng)為，因此即選項(xiàng)(C)對(duì)的。2670.設(shè)二階線性常系數(shù)齊次微分方程每一種解都在區(qū)間上有界，則實(shí)數(shù)取值范疇是[](A)。(B)。(C)。(D)。 答A 注：由于當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，要想使在區(qū)間上有界，只需要，即。當(dāng)時(shí)，要想使在區(qū)間上有界，只需要與實(shí)部不不大于等于零，即。當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有界。當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上無(wú)界。綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程每一種解都在區(qū)間上有界，即選項(xiàng)(A)對(duì)的。3296．求微分方程通解。解：方程兩端同乘以，得，此方程是一種變量分離方程，其通解為。5678．求微分方程通解。解：這是一種一階線性微分方程，求解其相應(yīng)齊次方程，得其通解為，即。 令，代入原方程，得，解得。 因此原方程通解為。 注：本題也可直接運(yùn)用一階線性非齊次微分方程通解公式，得。2312．求解微分方程。解：將當(dāng)作自變量，當(dāng)作是函數(shù)，則原方程是關(guān)于未知函數(shù)一階線性微分方程，此方程通解為，其中是任意常數(shù)。`2367．求微分方程滿(mǎn)足初始條件特解。解：將原方程變形，得，這是一種齊次型方程。令，代入上式，得，分離變量，得，積分，得，即。 由于，因此。于是所求特解為。2368．設(shè)施微分方程一種解，求此微分方程滿(mǎn)足條件特解。解：將代入原方程，得，解出。因此原方程為，解其相應(yīng)齊次方程，得。 因此原方程通解為。 由，得。故所求特解為。2402．求微分方程通解。解：將原方程化為，這是一種伯努利方程。令，則原方程化為。這是一種一階線性微分方程，解得，因此原微分方程通解為。2405．求微分方程通解。解：將當(dāng)作自變量，則是函數(shù)。由于原方程是齊次型方程，令，原微分方程化為，這是一種變量可分離方程，解得。因此原方程通解為。 另解：令，則，因此，在時(shí)，原方程為全微分方程。令，由于此曲線積分與途徑無(wú)關(guān)，因此就是全微分式一種原函數(shù)，且因此原方程通解為。2489．設(shè)為實(shí)數(shù)，求微分方程通解。解：此方程特性方程為，因此，（1）當(dāng)時(shí)，特性方程有一對(duì)復(fù)根，方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解。因而微分方程通解為。（2）當(dāng)時(shí)，特性方程有一種二重根。方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解,于是微分方程通解為。（3）當(dāng)時(shí)，特性方程有兩個(gè)單重實(shí)根。方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，因此微分方程通解為。2909．求微分方程通解。解將方程寫(xiě)作。由于是特性方程單根，因此原方程一種特解形式為，將此解代入原方程，得，比較兩端同次項(xiàng)系數(shù)，有。 解上述方程組，得。從而得到原方程一種特解。又由于相應(yīng)齊次方程通解為。 因此原方程通解為。 另解：方程兩端積分，得，這是一種一階線性微分方程，其通解為2356．求解微分方程。解：由于是特性方程重根，因此原方程一種待定特解為，將此解代入原方程，得。比較兩端系數(shù)，得。于是得到原方程一種特解。 又由于相應(yīng)齊次方程通解是。 因而原方程通解為。1123．求微分方程通解。解：原方程所相應(yīng)齊次方程通解為。 設(shè)非齊次方程一種特解為，代入次方程，得。因此。 設(shè)非齊次方程一種特解為， 代入方程，得。因此。 由于為原方程一種特解，因此原方程通解為。1278．求解微分方程。解：由于原微分方程不顯含自變量，因此這是一種可降階微分方程。令，則。原方程變?yōu)?。再令，則有，這是一種一階線性微分方程，求得。因此，故。這是個(gè)變量可分離微分方程，解得，這就是原微分方程通解。注：方程是一種伯努利方程，可用伯努利方程普通解法求解。2456．求解微分方程。解：微分方程特性方程為，是其三重特性根。因此該齊次方程通解為。令原微分方程一種特解形式為，代入原微分方程，并整頓得，因此。因而原微分方程一種特解為，故所求通解為。3214．求解微分方程。解：令，則原方程化為，這是個(gè)一階線性微分方程，解得。因而，因此原微分方程通解為，其中是任意常數(shù)。另解：令，則原方程化為，因此。由得。3333．求解微分方程。解：原方稱(chēng)為二階歐拉方程。令，得。因此原微分方程化為，其中是自變量。這是一種二階線性常系數(shù)非齊次方程，解得。因此原微分方程通解為，其中是任意常數(shù)。3337．已知函數(shù)上可導(dǎo)，，且滿(mǎn)足等式，求，并證明。解：依照條件，得，由于上可導(dǎo)，由上式，知上二階導(dǎo)數(shù)存在，因此，這是滿(mǎn)足一種一階線性齊次方程，解得，由于，因此，故。 當(dāng)時(shí)，由于，因此。又時(shí)，，因此。 故。 注：證明不等式時(shí)，只需要懂得導(dǎo)數(shù)符號(hào)及函數(shù)在某點(diǎn)上值，并不規(guī)定一定懂得函數(shù)表達(dá)式。3338．設(shè)為持續(xù)函數(shù),證明方程所有積分曲線上橫坐標(biāo)相似點(diǎn)切線交于一點(diǎn)。證：記為方程一條積分曲線，則方程任一條積分曲線可記為。曲線在點(diǎn)切線方程為，曲線在點(diǎn)切線方程為。 求解方程組，得。 因此，任一條積分曲線與積分曲線在橫坐