湖南省長沙一中2024年高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

湖南省長沙一中2024年高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn),且∠POQ=120°(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則k的值為()A. B. C.或- D.和-2.若函數(shù)在處取得極值2,則()A.-3 B.3 C.-2 D.23.的展開式中的系數(shù)為()A.-30 B.-40 C.40 D.504.設(shè),隨機(jī)變量的分布列是01則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí),()A.減小,減小 B.減小,增大C.增大,減小 D.增大,增大5.如圖,在三棱錐中,平面,,,,,分別是棱,,的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為A.0 B. C. D.16.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項(xiàng)之差并不相等,但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對這類高階等差數(shù)列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7項(xiàng)分別為1,4,8,14,23,36,54,則該數(shù)列的第19項(xiàng)為()(注:)A.1624 B.1024 C.1198 D.15607.下圖中的圖案是我國古代建筑中的一種裝飾圖案,形若銅錢,寓意富貴吉祥.在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自陰影區(qū)域內(nèi)(陰影部分由四條四分之一圓弧圍成)的概率是()A. B. C. D.8.已知a>b>0,c>1,則下列各式成立的是()A.sina>sinb B.ca>cb C.a(chǎn)c<bc D.9.已知函數(shù)則函數(shù)的圖象的對稱軸方程為()A. B.C. D.10.地球上的風(fēng)能取之不盡,用之不竭.風(fēng)能是淸潔能源,也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風(fēng)力發(fā)電,近10年來,全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量連年攀升,中國更是發(fā)展迅猛,2014年累計(jì)裝機(jī)容量就突破了,達(dá)到,中國的風(fēng)力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟,在全球范圍的能源升級換代行動(dòng)中體現(xiàn)出大國的擔(dān)當(dāng)與決心.以下是近10年全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量與中國新增裝機(jī)容量圖.根據(jù)所給信息,正確的統(tǒng)計(jì)結(jié)論是()A.截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量達(dá)到峰值B.10年來全球新增裝機(jī)容量連年攀升C.10年來中國新增裝機(jī)容量平均超過D.截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量在全球累計(jì)裝機(jī)容量中占比超過11.已知且,函數(shù),若,則()A.2 B. C. D.12.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),則f(x)的最小值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若an0,a1=1,且2Sn=an(an+t),n∈N*,則S10=_____.14.(5分)已知為實(shí)數(shù),向量,,且,則____________.15.若隨機(jī)變量的分布列如表所示,則______,______.-10116.拋物線上到其焦點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線、的極坐標(biāo)方程;(2)在極坐標(biāo)系中,射線與曲線,分別交于、兩點(diǎn)(異于極點(diǎn)),定點(diǎn),求的面積18.(12分)已知數(shù)列{an}滿足條件,且an+2=(﹣1)n(an﹣1)+2an+1,n∈N*.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè)bn=,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求證:Sn.19.(12分)已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2,(1)求的值與拋物線的方程;(2)拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè),拋物線上第四象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),滿足,求直線的斜率范圍.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若,求曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)過曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為45°的直線,交于點(diǎn),且的最大值為,求的值.21.(12分)設(shè)等差數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求的前項(xiàng)和及使得最小的的值.22.(10分)已知.(Ⅰ)若,求不等式的解集;(Ⅱ),,,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

直線過定點(diǎn),直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn),且∠POQ=120°(其中O為原點(diǎn)),可以發(fā)現(xiàn)∠QOx的大小,求得結(jié)果.【詳解】如圖,直線過定點(diǎn)(0,1),∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°,?∠1=120°,∠2=60°,∴由對稱性可知k=±.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查過定點(diǎn)的直線系問題,以及直線和圓的位置關(guān)系,是基礎(chǔ)題.2、A【解析】

對函數(shù)求導(dǎo),可得,即可求出,進(jìn)而可求出答案.【詳解】因?yàn)?所以,則,解得,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

先寫出的通項(xiàng)公式,再根據(jù)的產(chǎn)生過程,即可求得.【詳解】對二項(xiàng)式,其通項(xiàng)公式為的展開式中的系數(shù)是展開式中的系數(shù)與的系數(shù)之和.令,可得的系數(shù)為;令,可得的系數(shù)為;故的展開式中的系數(shù)為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)系數(shù)的求解,關(guān)鍵是對通項(xiàng)公式的熟練使用,屬基礎(chǔ)題.4、C【解析】

,,判斷其在內(nèi)的單調(diào)性即可.【詳解】解:根據(jù)題意在內(nèi)遞增,,是以為對稱軸,開口向下的拋物線,所以在上單調(diào)遞減,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用隨機(jī)變量的分布列求隨機(jī)變量的期望與方差,屬于中檔題.5、B【解析】

根據(jù)題意可得平面,,則即異面直線與所成的角,連接CG,在中,,易得,所以,所以,故選B.6、B【解析】

根據(jù)高階等差數(shù)列的定義,求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和,利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求得.【詳解】依題意:1,4,8,14,23,36,54,……兩兩作差得:3,4,6,9,13,18,……兩兩作差得:1,2,3,4,5,……設(shè)該數(shù)列為,令,設(shè)的前項(xiàng)和為,又令,設(shè)的前項(xiàng)和為.易,,進(jìn)而得,所以,則,所以,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運(yùn)用,考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.7、C【解析】令圓的半徑為1,則,故選C.8、B【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可【詳解】對A,由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sina與sinb大小不確定,故錯(cuò)誤;對B,因?yàn)閥=cx為增函數(shù),且a>b,所以ca>cb,正確對C,因?yàn)閥=xc為增函數(shù),故,錯(cuò)誤;對D,因?yàn)樵跒闇p函數(shù),故,錯(cuò)誤故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,屬基礎(chǔ)題.9、C【解析】

,將看成一個(gè)整體,結(jié)合的對稱性即可得到答案.【詳解】由已知,,令,得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的對稱性的問題,在處理余弦型函數(shù)的性質(zhì)時(shí),一般采用整體法,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),是一道容易題.10、D【解析】

先列表分析近10年全球風(fēng)力發(fā)電新增裝機(jī)容量,再結(jié)合數(shù)據(jù)研究單調(diào)性、平均值以及占比,即可作出選擇.【詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計(jì)裝機(jī)容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機(jī)容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國累計(jì)裝機(jī)裝機(jī)容量逐年遞增,A錯(cuò)誤;全球新增裝機(jī)容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢,B錯(cuò)誤;經(jīng)計(jì)算,10年來中國新增裝機(jī)容量平均每年為,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量,全球累計(jì)裝機(jī)容量,占比為,選項(xiàng)D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查條形圖,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.11、C【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式,知當(dāng)時(shí),且,由于,則,即可求出.【詳解】由題意知:當(dāng)時(shí),且由于,則可知:,則,∴,則,則.即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,由分段函數(shù)解析式求自變量.12、A【解析】

先通過降冪公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為,再求最值.【詳解】已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),=,=,因?yàn)?,所以f(x)的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、55【解析】

由求出.由,可得,兩式相減,可得數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,即求.【詳解】由題意,當(dāng)n=1時(shí),,當(dāng)時(shí),由,可得,兩式相減,可得,整理得,,即,∴數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,.故答案為:55.【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的前項(xiàng)和,屬于基礎(chǔ)題.14、5【解析】

由,,且,得,解得,則,則.15、【解析】

首先求得a的值,然后利用均值的性質(zhì)計(jì)算均值,最后求得的值,由方差的性質(zhì)計(jì)算的值即可.【詳解】由題意可知,解得(舍去)或.則,則,由方差的計(jì)算性質(zhì)得.【點(diǎn)睛】本題主要考查分布列的性質(zhì),均值的計(jì)算公式,方差的計(jì)算公式,方差的性質(zhì)等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16、【解析】

設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)拋物線的定義求得,并求出對應(yīng)的,即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為,拋物線的準(zhǔn)線方程為,由拋物線的定義得,解得,此時(shí).因此,拋物線上到其焦點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線的定義求點(diǎn)的坐標(biāo),考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2).【解析】

(1)先把參數(shù)方程化成普通方程,再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程;(2)先利用極坐標(biāo)求出弦長,再求高,最后求的面積.【詳解】(1)曲線的極坐標(biāo)方程為:,因?yàn)榍€的普通方程為:,曲線的極坐標(biāo)方程為;(2)由(1)得:點(diǎn)的極坐標(biāo)為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,,點(diǎn)到射線的距離為的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化,同時(shí)也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.18、(Ⅰ)(Ⅱ)證明見解析【解析】

(Ⅰ)由an+2=(﹣1)n(an﹣1)+2an+1,對分奇偶討論,即可得;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,用錯(cuò)位相減法求出,運(yùn)用分析法證明即可.【詳解】(Ⅰ),當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,又由,得,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,又由a2=3,得,;(Ⅱ)由(1)得,則①②①-②可得:,,若證明Sn,則需要證明,又,即證明,即證,又顯然成立,故Sn得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由遞推公式求通項(xiàng)公式,錯(cuò)位相減法求前項(xiàng)和,分析法證明不等式,考查了分類討論的思想,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解與邏輯推理能力.19、(1)1;(2)【解析】

(1)根據(jù)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2,利用拋物線的定義得,再根據(jù)點(diǎn)在拋物線上有,列方程組求解,(2)設(shè),根據(jù),再由,求得,當(dāng),即時(shí),直線斜率不存在;當(dāng)時(shí),,令,利用導(dǎo)數(shù)求解,【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2,即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,得,又,解得,所以拋物線方程為(2)設(shè),由由,則當(dāng),即時(shí),直線斜率不存在;當(dāng)時(shí),令,所以在上分別遞減則【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線定義及方程的應(yīng)用,還考查了分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題,20、(1),;(2)或【解析】

(1)將曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立方程,即可求得曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)由直線的普通方程為,故上任意一點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求得到直線的距離,根據(jù)三角函數(shù)的有界性,即可求得答案.【詳解】(1),.由,得,曲線的直角坐標(biāo)方程為.當(dāng)時(shí),直線的普通方程為由解得或.從而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為,.(2)由題意知直線的普通方程為,的參數(shù)方程為(為參數(shù))故上任意一點(diǎn)到的距離為則.當(dāng)時(shí),的最大值為所以;當(dāng)時(shí),的最大值為,所以.綜上所述,或【點(diǎn)睛】解題關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)和參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法,和點(diǎn)到直線距離公式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.21、(1)(2);時(shí),取得最小值【解析】

(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,由,結(jié)合已知,聯(lián)立方程組,即可求得答案.(2)由(1)知,故可得,即可求得答案.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,由及,得解得數(shù)列的通項(xiàng)公式為(2)由(1)知時(shí),取得最小值.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,考查了分

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