蘇科版七年級數(shù)學(xué)下冊《高分突破 培優(yōu)新方法》 專題03 平行線模型-“骨折”和“抬頭”模型（含答案）

專題03平行線模型-“骨折”和“抬頭”模型專題說明專題說明學(xué)習(xí)前面兩次課的平行線模型做題方法，相信同學(xué)們都掌握了做題方法和技巧，本次課學(xué)習(xí)平行線最后兩個(gè)模型：平行線模型-“骨折”和“抬頭”模型，為以后的學(xué)習(xí)打好一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)?！灸Ｐ团傥觥磕Ｐ腿疤ь^”模型點(diǎn)P在EF右側(cè)，在AB、CD外部“臭腳”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；結(jié)論2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，則AB∥CD.模型四“骨折”模型點(diǎn)P在EF左側(cè)，在AB、CD外部“骨折”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；結(jié)論2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，則AB∥CD.【典例分析】【類型一：“骨折”模型】【典例1】(2023春?銅仁市期末）2022北京冬奧會掀起了滑雪的熱潮，很多同學(xué)紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運(yùn)健兒在賽場上風(fēng)馳電掣的感覺，但是第一次走進(jìn)滑雪場的你，學(xué)會正確的滑雪姿勢是最重要的，正確的滑雪姿勢是上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，AB∥CD，如果人的小腿CD與地面的夾角∠CDE＝60°，你能求出身體BA與水平線的夾角∠BAF的度數(shù)嗎？若能，請你用兩種不同的方法求出∠BAF的度數(shù)．【變式1-1】(2023秋?大渡口區(qū)校級期末）如圖，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，則∠α＝（）A．70° B．75° C．80° D．85°【變式1-2】(2023秋?東昌府區(qū)校級期末）如圖，已知AB∥EF，∠C＝90°，則α、β與γ的關(guān)系是．【變式1-3】(2023春?牟平區(qū)期中）已知：如圖，AB∥CD．（1）若∠1＝∠2，試判斷∠E與∠F的大小關(guān)系，并說明你的理由．（2）猜想∠1、∠2、∠E、∠F之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【類型二：“抬頭”模型】【典例2】(2023春?江津區(qū)期末）已知AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接CP、AP．（1）如圖1，當(dāng)∠PCD＝40°，∠PAB＝86°時(shí)，求∠P；（2）如圖2，在第（1）的條件下，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，求∠AQC；（3）如圖3，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，且CP∥AQ，請直接寫出∠PCQ與∠PAB的數(shù)量關(guān)系．【變式2-1】(2023?南京模擬）（1）（問題）如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度數(shù)；（2）（問題遷移）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）（聯(lián)想拓展）如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，用含有α的式子表示∠G的度數(shù)．【變式2-2】(2023春?江夏區(qū)校級月考）如圖，AB∥CD，點(diǎn)P為AB上方一點(diǎn)，E在直線AB上．（1）如圖1，求證：∠P＝∠PEB﹣∠C；（2）如圖2，點(diǎn)F為直線CD上一點(diǎn)，∠PEB、∠CFP的角平分線所在直線交于點(diǎn)Q，求∠P與∠Q的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，N為AB、CD之間一點(diǎn)，且在∠CPE內(nèi)部，∠EPN＝n∠CPN、∠DCN＝n∠PCN，當(dāng)2∠CNP﹣∠PEA＝180°恒成立時(shí)，n＝1．【變式2-3】(2023春?新?lián)釁^(qū)期末）（1）問題：如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝20°，∠PFC＝61°．求∠EPF的度數(shù)；（2）問題遷移：如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）聯(lián)想拓展：如圖3，在（2）的條件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分線EG和∠PFC的平分線FG交于點(diǎn)G，用含有α的式子表示∠G的度數(shù)，直接寫出結(jié)果．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．(2023春?興平市期中）已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PD．（1）如圖①，若∠A＝50°，∠D＝150°，求∠P的度數(shù)；（2）如圖②，點(diǎn)P在AB上方，則∠A，∠D，∠APD之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．2．(2023?成武縣校級開學(xué)）如圖，AB∥DE，∠B＝70°，∠D＝135°．求∠C的度數(shù)．3．(2023春?榆次區(qū)期中）綜合與實(shí)踐【問題情境】在一次綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以平行線為主題，進(jìn)行相關(guān)問題的探究，進(jìn)一步感受平行線在尋找角之間的關(guān)系的作用，以下是智慧小組的活動過程，請你加入他們小組一起完成探究．【初步探究】（1）如圖1，AB∥CD∥EF，當(dāng)∠1＝60°，∠3＝140°時(shí)，試求∠2的大??；【深入探究】（2）經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，圖1中的∠1，∠2，∠3之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系，下列選項(xiàng)中能正確表示這種關(guān)系的是；A．∠1+∠2＝∠3B．∠3+∠2﹣∠1＝90°C．∠1+∠3﹣∠2＝180°D．∠3+∠2＝2∠1【拓展應(yīng)用】（3）如圖2，一條公路經(jīng)過三次拐彎后又回到原來的方向，若第一次的拐角∠1＝75°，第三次的拐角∠3＝135°，則第二次的拐角∠2＝．4．(2023春?江岸區(qū)校級月考）已知AB∥MN．（1）如圖1，求證：∠N+∠E＝∠B；（2）若F為直線MN、AB之間的一點(diǎn)，∠E＝∠EFB，BG平分∠ABF交MN于點(diǎn)G，EF交MN于點(diǎn)C．①如圖2，若∠N＝57°，且BG∥EN，求∠E的度數(shù)；②如圖3，若點(diǎn)K在射線BG上，且滿足∠KNM＝∠ENM，若∠NKB＝∠EFB，∠E＝∠FBD，直接寫出∠E的度數(shù)．5．(2023春?覃塘區(qū)期末）已知直線PQ∥MN，動點(diǎn)C在PQ與MN之間．（1）如圖1，若∠1與∠2都是銳角，求∠C，∠1，∠2三者之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，將一塊三角尺（其中∠A＝30°，∠C＝90°）按圖中位置擺放，點(diǎn)D，E，F(xiàn)是三角尺的邊與平行線的交點(diǎn)，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度數(shù)；（3）如圖3，將圖2中的三角尺進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)動，直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)G在線段CD上，且∠CEG＝∠CEM，求∠GEN與∠BDF之間的數(shù)量關(guān)系．【能力提升】6．(2023春?濰坊期中）已知AB∥DC，∠ABC的平分線交DC于點(diǎn)E，∠ADC＝90°．（1）如圖1，試說明：∠EBC＝∠BEC；（2）如圖2，點(diǎn)F在BE的反向延長線上，連接DF交AB于點(diǎn)G，若∠EBC﹣∠F＝45°，試說明：DF平分∠ADC；（3）如圖3，在線段BE上有一點(diǎn)P，滿足∠BCP＝3∠PCE，過點(diǎn)D作DM∥BE，交AB于點(diǎn)M．若在直線BE上取一點(diǎn)H，使∠PCH＝∠ADM，求的值．7．(2023春?鳳泉區(qū)校級期末）如圖，已知AB∥CD，E、F分別在AB、CD上，點(diǎn)G在AB、CD之間，連接GE、GF．（1）當(dāng)∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，F(xiàn)P平分∠DFG時(shí)：①如圖1，若EG⊥FG，則∠P的度數(shù)為；②如圖2，在CD的下方有一點(diǎn)Q，EG平分∠BEQ，F(xiàn)D平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度數(shù)；（2）如圖3，在AB的上方有一點(diǎn)O，若FO平分∠GFC．線段GE的延長線平分∠OEA，則當(dāng)∠EOF+∠EGF＝100°時(shí)，請直接寫出∠OEA與∠OFC的數(shù)量關(guān)系．專題03平行線模型-“骨折”和“抬頭”模型專題說明專題說明學(xué)習(xí)前面兩次課的平行線模型做題方法，相信同學(xué)們都掌握了做題方法和技巧，本次課學(xué)習(xí)平行線最后兩個(gè)模型：平行線模型-“骨折”和“抬頭”模型，為以后的學(xué)習(xí)打好一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)?！灸Ｐ团傥觥磕Ｐ腿疤ь^”模型點(diǎn)P在EF右側(cè)，在AB、CD外部“臭腳”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；結(jié)論2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，則AB∥CD.模型四“骨折”模型點(diǎn)P在EF左側(cè)，在AB、CD外部“骨折”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；結(jié)論2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，則AB∥CD.【典例分析】【類型一：“骨折”模型】【典例1】(2023春?銅仁市期末）2022北京冬奧會掀起了滑雪的熱潮，很多同學(xué)紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運(yùn)健兒在賽場上風(fēng)馳電掣的感覺，但是第一次走進(jìn)滑雪場的你，學(xué)會正確的滑雪姿勢是最重要的，正確的滑雪姿勢是上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，AB∥CD，如果人的小腿CD與地面的夾角∠CDE＝60°，你能求出身體BA與水平線的夾角∠BAF的度數(shù)嗎？若能，請你用兩種不同的方法求出∠BAF的度數(shù)．【解答】解：方法一：延長AB交直線DE于點(diǎn)G，∵AG∥CD，∴∠CDE＝∠AGE＝60°，∵AF∥DE，∴∠BAF＝∠AGE＝60°；方法二：過點(diǎn)B作BM∥AF，過點(diǎn)C作CN∥ED，∴∠BAF＝∠3，∠CDE＝∠4＝60°，∵AF∥DE，∴BM∥CN，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2，∴∠3＝∠4，∴∠BAF＝∠CDE＝60°．∴∠BAF的度數(shù)為60°．【變式1-1】(2023秋?大渡口區(qū)校級期末）如圖，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，則∠α＝（）A．70° B．75° C．80° D．85°答案:D【解答】解：如圖，作EF∥AB，∵AB∥EF，AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF，∵∠ABE＝125°，∠C＝30°，∴∠BEF＝55°，∠CEF＝30°，∴∠BEC＝55°+30°＝85°．故選：D．【變式1-2】(2023秋?東昌府區(qū)校級期末）如圖，已知AB∥EF，∠C＝90°，則α、β與γ的關(guān)系是．答案:α+β﹣γ＝90°【解答】解：過點(diǎn)C作CM∥AB，過點(diǎn)D作DN∥AB，∵AB∥EF，∴AB∥CM∥DN∥EF，∴∠BCM＝α，∠DCM＝∠CDN，∠EDN＝γ，∵β＝∠CDN+∠EDN＝∠CDN+γ①，∠BCD＝α+∠CDN＝90°②，由①②得：α+β﹣γ＝90°．故答案為：α+β﹣γ＝90°．【變式1-3】(2023春?牟平區(qū)期中）已知：如圖，AB∥CD．（1）若∠1＝∠2，試判斷∠E與∠F的大小關(guān)系，并說明你的理由．（2）猜想∠1、∠2、∠E、∠F之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【解答】解：（1）∠E＝∠F，理由如下：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∵∠1＝∠2，∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥CF，∴∠E＝∠F；（2）∠1+∠F＝∠BEF+∠2，理由如下：如圖，延長BE交DC的延長線于點(diǎn)M，在四邊形EMCF中，∠FEM+∠EMC+∠MCF+∠F＝360°，∵∠FEM＝180°﹣∠BEF，∠MCF＝180°﹣∠2，∴∠180°﹣∠BEF+∠EMC+180°﹣∠2+∠F＝360°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠EMC，∴∠180°﹣∠BEF+∠1+180°﹣∠2+∠F＝360°，∴∠1+∠F＝∠BEF+∠2【類型二：“抬頭”模型】【典例2】(2023春?江津區(qū)期末）已知AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接CP、AP．（1）如圖1，當(dāng)∠PCD＝40°，∠PAB＝86°時(shí)，求∠P；（2）如圖2，在第（1）的條件下，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，求∠AQC；（3）如圖3，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，且CP∥AQ，請直接寫出∠PCQ與∠PAB的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）如圖：設(shè)CD與AP相交于點(diǎn)E，∵AB∥CD，∴∠1＝∠A，∵∠1是△CEP的一個(gè)外角，∴∠1＝∠C+∠P，∴∠A＝∠C+∠P，∵∠PCD＝40°，∠PAB＝86°，∴∠P＝∠PAB﹣∠PCD＝46°，∴∠P的度數(shù)為46°；（2）∵CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，∴∠QCD＝∠PCD，∠QAB＝∠PAB，由（1）得：∠PAB＝∠PCD+∠P，∠QAB＝∠QCD+∠AQC，∴∠AQC＝∠QAB﹣∠QCD＝∠PAB﹣∠PCD，＝（∠PAB﹣∠PCD）＝∠P＝×46°＝23°，∴∠AQC的度數(shù)為23°；（3）∵CP∥AQ，∴∠PCQ＝∠AQC，∵CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，∴∠QCD＝∠PCQ，∠QAB＝∠PAB，由（2）得：∠AQC＝∠QAB﹣∠QCD∴∠PCQ＝∠PAB﹣∠PCQ，∴2∠PCQ＝∠PAB，∴∠PCQ＝∠PAB．【變式2-1】(2023?南京模擬）（1）（問題）如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度數(shù)；（2）（問題遷移）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）（聯(lián)想拓展）如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，用含有α的式子表示∠G的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥CD，（已知）∴PM∥CD，（平行于同一條直線的兩直線平行）∴∠2+∠PFD＝180°．（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°．∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．即∠EPF＝90°．（2）∠PFC＝∠PEA+∠P．理由：如圖2，過P點(diǎn)作PN∥AB，則PN∥CD，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，∵PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；（3）如圖，過點(diǎn)G作AB的平行線GH．∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，∴∠HGE＝∠AEG＝，∠HGF＝∠CFG＝，由（1）可知，∠CFP＝∠P+∠AEP，∴∠HGF＝（∠P+∠AEP）＝（α+∠AEP），∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠AEP）＝+∠AEP﹣∠HGE＝【變式2-2】(2023春?江夏區(qū)校級月考）如圖，AB∥CD，點(diǎn)P為AB上方一點(diǎn)，E在直線AB上．（1）如圖1，求證：∠P＝∠PEB﹣∠C；（2）如圖2，點(diǎn)F為直線CD上一點(diǎn)，∠PEB、∠CFP的角平分線所在直線交于點(diǎn)Q，求∠P與∠Q的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，N為AB、CD之間一點(diǎn)，且在∠CPE內(nèi)部，∠EPN＝n∠CPN、∠DCN＝n∠PCN，當(dāng)2∠CNP﹣∠PEA＝180°恒成立時(shí)，n＝1．【解答】（1）證明：過點(diǎn)P作PQ∥AB，如圖，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠QPE＝∠PEB，∠QPC＝∠C，∴∠QPE﹣∠QPC＝∠PEB﹣∠C，即∠CPE＝∠PEB﹣∠C；（2）如圖：設(shè)∠BEM＝α，∠CFN＝β，∵EM平分∠BEP，F(xiàn)N平分∠CFP，∴∠PEM＝α，∠PFN＝β，由（1）中結(jié)論可得∠P＝∠PEB﹣∠PFD，∠Q＝∠CFQ﹣∠AEQ，∴∠P＝∠PEM+∠BEM﹣（180°﹣∠CFN﹣∠PFN）＝α+α﹣（180°﹣β﹣β）＝2α+2β﹣180°，∠Q＝180°﹣∠CFN﹣∠BEM＝180°﹣β﹣α，∴2∠Q+∠P＝360°﹣2β﹣2α+2α+2β﹣180°＝180°，即2∠Q+∠P＝180°；（3）如圖：與（1）同理可得，∠CPE＝∠PEB﹣∠PCD，∵∠EPN＝n∠CPN，∠EPN+∠CPN＝∠CPE，∴∠CPE＝（n+1）∠CPN，∵∠DCN＝n∠PCN，∠DCN+∠PCN＝∠PCD，∴∠PCD＝（n+1）∠PCN，∴（n+1）∠PCN＝∠PEB﹣（n+1）∠PCN，又∵∠PEB＝180°﹣∠PEA，∴（n+1）（∠CPN+∠PCN）＝180°﹣∠PEA，又∵∠CPN+∠PNC＝180°﹣∠CNP，∴（n+l）（180°﹣∠CNP）＝180°﹣∠PEA，又∵2∠CNP﹣∠PEA＝180°，∴（n+1）（180°﹣∠CNP）+2∠CNP＝360°，∴（n+1）（180°﹣∠CNP）﹣2（180°﹣∠CNP）＝0，∴（n﹣1）（180°﹣∠CNP）＝0，∴n﹣1＝0或180°﹣∠CNP＝0（不符合題意，舍法）∴n﹣1＝0，解得n＝1，故答案為：1．【變式2-3】(2023春?新?lián)釁^(qū)期末）（1）問題：如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝20°，∠PFC＝61°．求∠EPF的度數(shù)；（2）問題遷移：如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）聯(lián)想拓展：如圖3，在（2）的條件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分線EG和∠PFC的平分線FG交于點(diǎn)G，用含有α的式子表示∠G的度數(shù)，直接寫出結(jié)果．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)P作PM∥AB，∵AB∥CD，PM∥AB，∴AB∥PM∥CD，∴∠1＝∠AEP＝20°，∠2＝∠PFC＝61°，∴∠EPF＝∠1+∠2＝20°+61°＝81°；（2）∠PFC＝∠PEA+∠FPE，理由如下：如圖2，過P點(diǎn)作PN∥AB，則PN∥CD，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠EPF，∴∠FPN＝∠PEA+∠EPF，∵PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠EPF；（3）如圖，過點(diǎn)G作AB的平行線GH，∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，∴∠HGE＝∠AEG＝∠PEA，∠HGF＝∠CFG＝∠PFC，由（2）可知，∠PFC＝∠EPF+∠PEA，∵∠EPF＝α，∴∠HGF＝（∠EPF+∠PEA）＝（α+∠PEA），∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠PEA）﹣∠PEA＝α．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．(2023春?興平市期中）已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PD．（1）如圖①，若∠A＝50°，∠D＝150°，求∠P的度數(shù)；（2）如圖②，點(diǎn)P在AB上方，則∠A，∠D，∠APD之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【解答】解：（1）過點(diǎn)P作PE∥AB．∴∠A＝∠APE＝50°．∵AB∥CD，∴PE∥CD．∴∠EPD+∠CDP＝180°．∵∠D＝150°，∴∠EPD＝30°．∴∠APD＝∠APE+∠EPD＝50°+30°＝80°．（2）∠A，∠D，∠APD之?dāng)?shù)量關(guān)系：∠BAP+∠D﹣∠P＝180°．理由：延長BA交PD于點(diǎn)E．∵AB∥CD，∴∠BED＝∠D．∵∠BED+∠PEB＝180°，∴∠PEB＝180°﹣∠D．∴∠BAP＝∠P+∠BEP＝∠P+180°﹣∠D．即：∠BAP+∠D﹣∠P＝180°．2．(2023?成武縣校級開學(xué)）如圖，AB∥DE，∠B＝70°，∠D＝135°．求∠C的度數(shù)．【解答】解：反向延長DE交BC于點(diǎn)M，如圖：∵AB∥DE，∠B＝70°，∴∠BMD＝∠B＝70°，∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝110°，又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，∠CDE＝135°．∴∠C＝∠CDE﹣∠CMD＝135°﹣110°＝25°．3．(2023春?榆次區(qū)期中）綜合與實(shí)踐【問題情境】在一次綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以平行線為主題，進(jìn)行相關(guān)問題的探究，進(jìn)一步感受平行線在尋找角之間的關(guān)系的作用，以下是智慧小組的活動過程，請你加入他們小組一起完成探究．【初步探究】（1）如圖1，AB∥CD∥EF，當(dāng)∠1＝60°，∠3＝140°時(shí)，試求∠2的大??；【深入探究】（2）經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，圖1中的∠1，∠2，∠3之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系，下列選項(xiàng)中能正確表示這種關(guān)系的是；A．∠1+∠2＝∠3B．∠3+∠2﹣∠1＝90°C．∠1+∠3﹣∠2＝180°D．∠3+∠2＝2∠1【拓展應(yīng)用】（3）如圖2，一條公路經(jīng)過三次拐彎后又回到原來的方向，若第一次的拐角∠1＝75°，第三次的拐角∠3＝135°，則第二次的拐角∠2＝．【解答】解：（1）如圖1，延長DC交OB于G，∵AB∥CD，∴∠1＝∠BGD，∵∠BGD＝∠2+∠OCG，∴∠1＝∠2+∠OCG，∵∠OCG＝180°﹣∠3，∴∠1＝∠2+180°﹣∠3，∴∠1+∠3﹣∠2＝180°，∵∠1＝60°，∠3＝140°，∴∠2＝20°（2）如圖1，延長DC交OB于G，∵AB∥CD，∴∠1＝∠BGD，∵∠BGD＝∠2+∠OCG，∴∠1＝∠2+∠OCG，∵∠OCG＝180°﹣∠3，∴∠1＝∠2+180°﹣∠3，∴∠1+∠3﹣∠2＝180°，故選：C．（3）如圖2，延長DC交AB于F，∵DE∥AB，∴∠3+∠CFB＝180°，∴∠CFB＝∠180°﹣∠3，∵∠2＝∠1+∠DFB，∴∠2＝∠1+180°﹣∠3，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°∵∠1＝75°，∠3＝135°，∴∠2＝120°．故答案為：120°4．(2023春?江岸區(qū)校級月考）已知AB∥MN．（1）如圖1，求證：∠N+∠E＝∠B；（2）若F為直線MN、AB之間的一點(diǎn)，∠E＝∠EFB，BG平分∠ABF交MN于點(diǎn)G，EF交MN于點(diǎn)C．①如圖2，若∠N＝57°，且BG∥EN，求∠E的度數(shù)；②如圖3，若點(diǎn)K在射線BG上，且滿足∠KNM＝∠ENM，若∠NKB＝∠EFB，∠E＝∠FBD，直接寫出∠E的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖，過E作EH∥MN，∴∠N＝∠HEN，又∵M(jìn)N∥AB，∴EH∥AB∥MN，∴∠B＝∠HEB，即∠B＝∠HEN+∠NEB＝∠N+∠BEN；（2）①如圖，過F作FP∥EN，交MN于H點(diǎn)，則BG∥EN∥FP，∵∠N＝57°，∴∠CHF＝∠CGB＝∠ABG＝57°，∵BG平分∠ABF，∴∠ABF＝2∠ABG＝114°，∵EN∥PF，∴∠E＝∠EFP，∵∠E＝∠EFB，∴114°+∠E＝4∠E，∴∠E＝38°；②如圖，過點(diǎn)F作FP∥AD，設(shè)∠E＝a＝∠FBD，則∠PFB＝α，∠EFP＝3α，∴∠ENM＝2a，∠KNM＝，當(dāng)K在BG上，∠NKB＝∠EFB＝4a，∴∠NGB＝＝∠ABG＝∠GBF，∴，∴a＝22.5°；當(dāng)K在BG延長線上時(shí)，∠NGB＝，∠ABG＝，∴，∴a＝18°，綜上所述，∠E＝22.5°或18°．5．(2023春?覃塘區(qū)期末）已知直線PQ∥MN，動點(diǎn)C在PQ與MN之間．（1）如圖1，若∠1與∠2都是銳角，求∠C，∠1，∠2三者之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，將一塊三角尺（其中∠A＝30°，∠C＝90°）按圖中位置擺放，點(diǎn)D，E，F(xiàn)是三角尺的邊與平行線的交點(diǎn)，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度數(shù)；（3）如圖3，將圖2中的三角尺進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)動，直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)G在線段CD上，且∠CEG＝∠CEM，求∠GEN與∠BDF之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）∠ACB＝∠1+∠2．理由：如圖，過C作CD∥PQ，∵PQ∥MN，∴PQ∥CD∥MN，∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2；（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，∴∠MEC＝30°，由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°；（3）設(shè)∠CEG＝∠CEM＝x，則∠GEN＝180°﹣2x，由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，∴∠BDF＝90°﹣x，∴＝＝2．即∠GEN＝2∠BDF．【能力提升】6．(2023春?濰坊期中）已知AB∥DC，∠ABC的平分線交DC于點(diǎn)E，∠ADC＝90°．（1）如圖1，試說明：∠EBC＝∠BEC；（2）如圖2，點(diǎn)F在BE的反向延長線上，連接DF交AB于點(diǎn)G，若∠EBC﹣∠F＝45°，試說明：DF平分∠ADC；（3）如圖3，在線段BE上有一點(diǎn)P，滿足∠BCP＝3∠PCE，過點(diǎn)D作DM∥BE，交AB于點(diǎn)M．若在直線BE上取一點(diǎn)H，使∠PCH＝∠ADM，求的值．【解答】（1）證明：由角平分線性質(zhì)可知，∠ABE＝∠EBC，∵AB∥DC，∠ABE＝∠BEC，∴∠EBC＝∠BEC．（2）證明：由（1）可知，∠EBC＝∠BEC，由外角性質(zhì)可知，∠FEC＝∠F+∠FDC又∵∠EBC﹣∠F＝45°，∴∠FEC＝∠F+45°，∴∠FDC＝45°，又∵∠ADC＝90°，∴∠ADF＝∠FDC＝45°，∴DF平分∠ADC．（3）解：如圖，∠PCH＝∠ADM，∠PCH′＝∠ADM，①當(dāng)