八年級數(shù)學(xué)下冊同步練習(xí) 第08課 勾股定理全章復(fù)習(xí)與鞏固（原卷版+解析）

第08課勾股定理全章復(fù)習(xí)與鞏固目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實(shí)際問題.知識精講知識精講知識點(diǎn)01勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.(即：)2.勾股定理的應(yīng)用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：(1)已知直角三角形的兩邊，求第三邊；(2)利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；(3)求作長度為的線段.知識點(diǎn)02勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的基本步驟：(1)首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長為；(2)驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系，若，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形，反之，則不是直角三角形.3.勾股數(shù)滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)(又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù))，顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.常見的勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長的直角邊與對應(yīng)斜邊相差1.3.假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為，且，那么存在成立.(例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等)知識點(diǎn)03勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).能力拓展能力拓展考法01勾股定理及逆定理的應(yīng)用【典例1】如圖所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝，AB＝，BC，E是AB上一點(diǎn)，且AE＝，求點(diǎn)E到CD的距離EF．【即學(xué)即練】如圖所示，在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的長．考法02勾股定理與其他知識結(jié)合應(yīng)用【典例2】如圖所示，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童從A處把牛牽到河邊飲水后再回家．試問在何處飲水，所走路程最短？最短路程是多少？【即學(xué)即練】如圖所示，正方形ABCD的AB邊上有一點(diǎn)E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一點(diǎn)P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．【典例3】如圖所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F為AB上兩點(diǎn)(E左F右)，且∠ECF＝45°，求證：線段AE,BF,EF之間的數(shù)量關(guān)系.【典例4】在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設(shè)c為最長邊．當(dāng)a2+b2=c2時(shí)，△ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2≠c2時(shí)，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，可以判斷△ABC的形狀(按角分類)．(1)請你通過畫圖探究并判斷：當(dāng)△ABC三邊長分別為6，8，9時(shí)，△ABC為三角形；當(dāng)△ABC三邊長分別為6，8，11時(shí)，△ABC為三角形．(2)小明同學(xué)根據(jù)上述探究，有下面的猜想：“當(dāng)a2+b2＞c2時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2＜c2時(shí)，△ABC為鈍角三角形．”請你根據(jù)小明的猜想完成下面的問題：當(dāng)a=2，b=4時(shí)，最長邊c在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，△ABC是直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形？考法03本章中的數(shù)學(xué)思想方法1.轉(zhuǎn)化的思想方法：我們在求三角形的邊或角，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決．【典例5】如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5．求線段EF的長.【即學(xué)即練】已知凸四邊形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求證：2.方程的思想方法【典例6】如圖所示，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，，求的值.

【即學(xué)即練】直角三角形周長為12，斜邊長為5，求直角三角形的面積.【即學(xué)即練】如圖所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長為36cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向B點(diǎn)以每秒1cm的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動(dòng)，如果同時(shí)出發(fā)，問過3秒時(shí)，△BPQ的面積為多少？分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是()．A．1.5，2，2 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，152．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，下列結(jié)論中不正確的是()A．如果∠A－∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果a2=b2－c2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰2，那么△ABC是直角三角形D．如果a2︰b2︰c2=9︰16︰25，那么△ABC是直角三角形3．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，若是的邊上的高，則的長為()A． B． C． D．4．如圖，在四邊形中，，，，，則()．A．20 B．25 C．35 D．305．已知RtABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，則RtABC的面積是()A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm26．如圖，已知中，，F(xiàn)是高和的交點(diǎn)，，，則線段的長度為()A． B．2 C． D．17．如圖，圓柱的底面周長是24，高是5，一只在A點(diǎn)的螞蟻想吃到B點(diǎn)的食物，沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑是()A．9 B．13 C．14 D．258．如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個(gè)三角形為“勻稱三角形”．若是“勻稱三角形”，且，，則為()A． B． C． D．無法確定9．如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點(diǎn)C落在F處，BF交AD于點(diǎn)E．若∠BDC＝62°，則∠DEF的度數(shù)為()A．31° B．28° C．62° D．56°10．如圖，在中，，，點(diǎn)D，E為BC上兩點(diǎn)．，F(xiàn)為外一點(diǎn)，且，，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③題組B能力提升練11．如圖，一個(gè)池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦生長在它的中央，高出水面的部分為1尺．如果把這根蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，蘆葦?shù)捻敳壳『门龅桨哆叺?，則這根蘆葦?shù)拈L度是______尺．12．如圖，等腰中，，，于，且．則__________．13．如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，那么四邊形ABCD的面積是___________．14．如圖所示，在數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值為________15．如圖一只螞蟻從長為5cm，寬為3cm，高為4cm的長方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它爬行的最短距離是__________cm．題組C培優(yōu)拔尖練16．已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為和，求斜邊c的長．17．在四邊形中，，為邊上的點(diǎn)．(1)連接，，；①如圖，若，求證：；②如圖，若，求證：平分；(2)如圖，是的平分線上的點(diǎn)，連接，，若，，，求的長．18．臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上百千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向由行駛向，已知點(diǎn)為一海港，且點(diǎn)與直線上的兩點(diǎn)，的距離分別為，，又，以臺風(fēng)中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域．(1)求的度數(shù)．(2)海港受臺風(fēng)影響嗎？為什么？(3)若臺風(fēng)的速度為千米/小時(shí)，當(dāng)臺風(fēng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，海港剛好受到影響，當(dāng)臺風(fēng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，海港剛好不受影響，即，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長？19．(1)如圖1，長方體的底面邊長分別為3m和2m，高為1m，在盒子里，可以放入最長為_______m的木棒；(2)如圖2，在與(1)相同的長方體中，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)C，那么所用細(xì)線最短需要______m；(3)如圖3，長方體的棱長分別為AB=BC=6cm，假設(shè)昆蟲甲從盒內(nèi)頂點(diǎn)以2厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱向下爬行，同時(shí)昆蟲乙從盒內(nèi)頂點(diǎn)A以相同的速度在盒壁的側(cè)面上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時(shí)間才能捕捉昆蟲甲?20．細(xì)心觀察下圖，認(rèn)真分析各式，然后解答問題．……(1)請用含n(n是正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律________，_________；(2)請推算出的長；(3)求出的值．第08課勾股定理全章復(fù)習(xí)與鞏固目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實(shí)際問題.知識精講知識精講知識點(diǎn)01勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.(即：)2.勾股定理的應(yīng)用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：(1)已知直角三角形的兩邊，求第三邊；(2)利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；(3)求作長度為的線段.知識點(diǎn)02勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的基本步驟：(1)首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長為；(2)驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系，若，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形，反之，則不是直角三角形.3.勾股數(shù)滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)(又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù))，顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.常見的勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長的直角邊與對應(yīng)斜邊相差1.3.假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為，且，那么存在成立.(例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等)知識點(diǎn)03勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).能力拓展能力拓展考法01勾股定理及逆定理的應(yīng)用【典例1】如圖所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝，AB＝，BC，E是AB上一點(diǎn)，且AE＝，求點(diǎn)E到CD的距離EF．【分析】連接DE、CE將EF轉(zhuǎn)化為△DCE一邊CD上的高，根據(jù)題目所給的條件，容易求出△CDE的面積，所以利用面積法只需求出CD的長度，即可求出EF的長度，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，在Rt△DCH中利用勾股定理即可求出DC．【答案與解析】解：過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，連接DE、CE，則AD＝BH，AB＝DH，∴CH＝BC－BH＝DH＝AB＝，在Rt△CDH中，，∴CD＝25，∵又∵，∴，∴EF＝10．【點(diǎn)睛】(1)多邊形的面積可通過輔助線轉(zhuǎn)化為多個(gè)三角形的面積，利用面積法求三角形一邊上的高是一種常用的簡易方法．(2)利用勾股定理求邊長、面積時(shí)要注意邊長、面積之間的轉(zhuǎn)換．【即學(xué)即練】如圖所示，在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的長．【答案】解：在△ABD中，由可知：，又由勾股定理的逆定理知∠ADB＝90°．在Rt△ADC中，．考法02勾股定理與其他知識結(jié)合應(yīng)用【典例2】如圖所示，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童從A處把牛牽到河邊飲水后再回家．試問在何處飲水，所走路程最短？最短路程是多少？【分析】作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)G，連接GB，交CD于點(diǎn)E，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”可知應(yīng)在E處飲水，再根據(jù)對稱性知GB的長為所走的最短路程，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理可解決．【答案與解析】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)G，連接GB交CD于點(diǎn)E，由“兩點(diǎn)之間線段最短”可以知道在E點(diǎn)處飲水，所走路程最短．說明如下：在直線CD上任意取一異于點(diǎn)E的點(diǎn)I，連接AI、AE、BE、BI、GI、GE．∵點(diǎn)G、A關(guān)于直線CD對稱，∴AI＝GI，AE＝GE．由“兩點(diǎn)之間線段最短”或“三角形中兩邊之和大于第三邊”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，于是得證．最短路程為GB的長，自點(diǎn)B作CD的垂線，自點(diǎn)G作BD的垂線交于點(diǎn)H，在直角三角形GHB中，∵GH＝CD＝800，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600，∴由勾股定理得．∴GB＝1000，即最短路程為1000米．【點(diǎn)睛】這是一道有關(guān)極值的典型題目．解決這類題目，一方面要考慮“兩點(diǎn)之間線段最短”；另一方面，證明最值，常常另選一個(gè)量，通過與求證的那個(gè)“最大”“最小”的量進(jìn)行比較來證明，如本題中的I點(diǎn)．本題體現(xiàn)了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用．【即學(xué)即練】如圖所示，正方形ABCD的AB邊上有一點(diǎn)E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一點(diǎn)P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．【答案】解：根據(jù)正方形的對稱性可知：BP＝DP，連接DE，交AC于P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP，即最短距離EP＋BP也就是ED．∵AE＝3，EB＝1，∴AB＝AE＋EB＝4，∴AD＝4，根據(jù)勾股定理得：．∵ED＞0，∴ED＝5，∴最短距離EP＋BP＝5．【典例3】如圖所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F為AB上兩點(diǎn)(E左F右)，且∠ECF＝45°，求證：線段AE,BF,EF之間的數(shù)量關(guān)系.【分析】：由于∠ACB＝90°，∠ECF＝45°，所以∠ACE＋∠BCF＝45°，若將∠ACE和∠BCF合在一起則為一特殊角45°，于是想到將△ACE旋轉(zhuǎn)到△BCF的右外側(cè)合并，或?qū)ⅰ鰾CF繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ACE的左外側(cè)合并，旋轉(zhuǎn)后的BF邊與AE邊組成一個(gè)直角，聯(lián)想勾股定理即可證明．【答案與解析】解：(1)，理由如下：將△BCF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得△ACF′，使△BCF的BC與AC邊重合，即△ACF′≌△BCF，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAF′＝∠B＝45°，∴∠EAF′＝90°．∵∠ECF＝45°，∴∠ACE＋∠BCF＝45°．∵∠ACF′＝∠BCF，∴∠ECF′＝45°．在△ECF和△ECF′中：∴△ECF≌△ECF′(SAS)，∴EF＝EF′．在Rt△AEF′中，，∴．【點(diǎn)睛】若一個(gè)角的內(nèi)部含有同頂點(diǎn)的半角，(如平角內(nèi)含直角，90°角內(nèi)含45°角，120°角內(nèi)含60°角)，則常常利用旋轉(zhuǎn)法將剩下的部分拼接在一起組成又一個(gè)半角，然后利用角平分線、全等三角形等知識解決問題．【典例4】在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設(shè)c為最長邊．當(dāng)a2+b2=c2時(shí)，△ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2≠c2時(shí)，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，可以判斷△ABC的形狀(按角分類)．(1)請你通過畫圖探究并判斷：當(dāng)△ABC三邊長分別為6，8，9時(shí)，△ABC為三角形；當(dāng)△ABC三邊長分別為6，8，11時(shí)，△ABC為三角形．(2)小明同學(xué)根據(jù)上述探究，有下面的猜想：“當(dāng)a2+b2＞c2時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2＜c2時(shí)，△ABC為鈍角三角形．”請你根據(jù)小明的猜想完成下面的問題：當(dāng)a=2，b=4時(shí)，最長邊c在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，△ABC是直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形？【分析】(1)利用勾股定理列式求出兩直角邊為6、8時(shí)的斜邊的值，然后作出判斷即可；(2)根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊求出最長邊c點(diǎn)的最大值，然后得到c的取值范圍，然后分情況討論即可得解．【答案與解析】解：(1)∵兩直角邊分別為6、8時(shí)，斜邊==10，∴△ABC三邊分別為6、8、9時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時(shí)，△ABC為鈍角三角形；故答案為：銳角；鈍角；(2)∵c為最長邊，2+4=6，∴4≤c＜6，a2+b2=22+42=20，①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴當(dāng)4≤c＜2時(shí)，這個(gè)三角形是銳角三角形；②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，∴當(dāng)c=2時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形；③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴當(dāng)2＜c＜6時(shí)，這個(gè)三角形是鈍角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，讀懂題目信息，理解理解三角形為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時(shí)的三條邊的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．考法03本章中的數(shù)學(xué)思想方法1.轉(zhuǎn)化的思想方法：我們在求三角形的邊或角，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決．【典例5】如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5．求線段EF的長.【答案與解析】解：連接AD．因?yàn)椤螧AC＝90°，AB＝AC．又因?yàn)锳D為△ABC的中線，所以AD＝DC＝DB．AD⊥BC．且∠BAD＝∠C＝45°．因?yàn)椤螮DA＋∠ADF＝90°．又因?yàn)椤螩DF＋∠ADF＝90°．所以∠EDA＝∠CDF．所以△AED≌△CFD(ASA)．所以AE＝FC＝5．同理：AF＝BE＝12．在Rt△AEF中，由勾股定理得：，所以EF＝13.【總結(jié)升華】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識.通過此題，我們可以知道：當(dāng)已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時(shí)，應(yīng)通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直角三角形中求解.【即學(xué)即練】已知凸四邊形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求證：【答案】解：將△ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°．由于DC＝AD，故點(diǎn)A轉(zhuǎn)至點(diǎn)C．點(diǎn)B轉(zhuǎn)至點(diǎn)E，連結(jié)BE．∵BD＝DE，∠BDE＝60°∴△BDE為等邊三角形，BE＝BD易證△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB∵四邊形ADCB中∠ADC＝60°，∠ABC＝30°∴∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270°∴∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴∴2.方程的思想方法【典例6】如圖所示，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，，求的值.

【答案與解析】解：在Rt△ABC中，∠A＝60°，∠B＝90°－∠A＝30°，則，由勾股定理，得.因?yàn)?，所以，，?【點(diǎn)睛】在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.【即學(xué)即練】直角三角形周長為12，斜邊長為5，求直角三角形的面積.【答案】解：設(shè)此直角三角形兩直角邊長分別是，根據(jù)題意得：

由(1)得：，∴，即(3)(3)－(2)，得：∴直角三角形的面積是＝×12＝6()【即學(xué)即練】如圖所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長為36cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向B點(diǎn)以每秒1cm的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動(dòng)，如果同時(shí)出發(fā)，問過3秒時(shí)，△BPQ的面積為多少？【答案】解：設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，∵周長為36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，過3秒時(shí)，BP=9﹣3×1=6(cm)，BQ=2×3=6(cm)，∴S△PBQ=BP?BQ=×(9﹣3)×6=18(cm2)．故過3秒時(shí)，△BPQ的面積為18cm2．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是()．A．1.5，2，2 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15【答案】A【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形判定則可．【詳解】解：A、1.52+22≠22，不能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；B、72+242=252，能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；C、62+82=102，能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；D、92+122=152，能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，下列結(jié)論中不正確的是()A．如果∠A－∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果a2=b2－c2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰2，那么△ABC是直角三角形D．如果a2︰b2︰c2=9︰16︰25，那么△ABC是直角三角形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形定義即可．【詳解】解：A、∵∠A-∠B=∠C，∴∠A＝∠B＋∠C，∵∠A＋∠B＋∠C=180°，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，此選項(xiàng)正確；B、如果a2=b2-c2，∴a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形且∠B=90°，此選項(xiàng)不正確；C、如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，設(shè)∠A=x，則∠B=3x，∠C=2x，則x+3x+2x=180°，解得：x=30°，則3x=90°，∴△ABC是直角三角形，此選項(xiàng)正確；D、如果a2：b2：c2=9：16：25，則a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，此選項(xiàng)正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．3．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，若是的邊上的高，則的長為()A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長，利用割補(bǔ)法可得△ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：由勾股定理得：AC＝，∵S△ABC＝3×3?×1×2?×1×3?×2×3＝，∴AC?BD＝，∴?BD＝7，∴BD＝．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在四邊形中，，，，，則()．A．20 B．25 C．35 D．30【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求得的長度，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：由勾股定理可得：故選B【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．已知RtABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，則RtABC的面積是()A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)∠C＝90°確定直角邊為，對式子兩邊平方，再根據(jù)勾股定理得到的值，即可求解．【詳解】解：根據(jù)∠C＝90°確定直角邊為，∴∵∴，即∴∴故選A【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，涉及了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給式子確定的值．6．如圖，已知中，，F(xiàn)是高和的交點(diǎn)，，，則線段的長度為()A． B．2 C． D．1【答案】D【解析】【分析】先證明△BDF≌△ADC，得到BF=AC=，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵和是△ABC的高線，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，∴∠DBF=∠CAD，∵，∴∠BAD=45°，∴BD=AD，∴△BDF≌△ADC，∴BF=AC=，在Rt△BDF中，DF=．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，證明△BDF≌△ADC是解題關(guān)鍵．7．如圖，圓柱的底面周長是24，高是5，一只在A點(diǎn)的螞蟻想吃到B點(diǎn)的食物，沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑是()A．9 B．13 C．14 D．25【答案】B【解析】【分析】畫出該圓柱的側(cè)面展開圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑即為AB，然后根據(jù)勾股定理求出AB即可求出結(jié)論．【詳解】解：該圓柱的側(cè)面展開圖，如下圖所示，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑即為ABAB恰為一個(gè)矩形的對角線，該矩形的長為圓柱的底面周長的一半，即長為24÷2=12寬為5∴AB==13即沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑長為13．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理與最短路徑問題，掌握勾股定理和兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵．8．如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個(gè)三角形為“勻稱三角形”．若是“勻稱三角形”，且，，則為()A． B． C． D．無法確定【答案】B【解析】【分析】作Rt△ABC的三條中線AD、BE、CF，由“勻稱三角形”的定義可判斷滿足條件的中線是BE，它是AC邊上的中線，設(shè)AC=2a，則CE=a，BE=2a，在Rt△BCE中∠BCE=90°，根據(jù)勾股定理可求出BC、AB，則AC：BC：AB的值可求出．【詳解】解：如圖①，作Rt△ABC的三條中線AD、BE、CF，∵∠ACB=90°，∴，又在Rt△中，AD＞AC＞BC，∴滿足條件的中線是BE，它是AC邊上的中線，設(shè)AC=2a，則在Rt△BCE中∠BCE=90°，∴在Rt△ABC中，∴AC：BC：AB=故選：B．【點(diǎn)睛】考查了新定義、勾股定理的應(yīng)用，算術(shù)平方根的含義，解題的關(guān)鍵是理解“勻稱三角形”的定義，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．9．如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點(diǎn)C落在F處，BF交AD于點(diǎn)E．若∠BDC＝62°，則∠DEF的度數(shù)為()A．31° B．28° C．62° D．56°【答案】D【解析】【分析】先利用互余計(jì)算出∠BDE＝28°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CBD＝∠BDE＝28°，接著根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠FBD＝∠CBD＝28°，然后利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算∠DEF的度數(shù)，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝90°，∵，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠BDE＝28°，∵矩形ABCD沿對角線BD折疊，∴∠FBD＝∠CBD＝28°，∴∠DEF＝∠FBD+∠BDE＝28°+28°＝56°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線和折疊的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，，，點(diǎn)D，E為BC上兩點(diǎn)．，F(xiàn)為外一點(diǎn)，且，，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③【答案】A【解析】【分析】①利用全等三角形的判定得≌，再利用全等三角形的性質(zhì)得結(jié)論；②利用全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)得，再利用勾股定理得結(jié)論；③利用等腰三角形的性質(zhì)得，再利用三角形的面積計(jì)算結(jié)論；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算得結(jié)論．【詳解】解：如圖：對于①，因?yàn)?，所以，，因此．又因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以．因此≌，所以．故①正確．對于②，由①知≌，所以．又因?yàn)?，所以，連接FD，因此≌．所以．在中，因?yàn)?，所以．故②正確．對于③，設(shè)EF與AD交于G．因?yàn)?，所以．因此．故③正確．對于④，因?yàn)?，又在中，又是以EF為斜邊的等腰直角三角形，所以因此，故④正確．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積．題組B能力提升練11．如圖，一個(gè)池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦生長在它的中央，高出水面的部分為1尺．如果把這根蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，蘆葦?shù)捻敳壳『门龅桨哆叺?，則這根蘆葦?shù)拈L度是______尺．【答案】13【解析】【分析】設(shè)出AB=AB'=x尺，表示出水深A(yù)C，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L．【詳解】解：設(shè)蘆葦長AB=AB′=x尺，則水深A(yù)C=(x-1)尺，因?yàn)榈酌媸沁呴L為10尺的正方形，所以B'C=5尺在Rt△AB'C中，52+(x-1)2=x2，解之得x=13，即蘆葦長13尺．故答案為：13．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉數(shù)形結(jié)合的解題思想是解題關(guān)鍵．12．如圖，等腰中，，，于，且．則__________．【答案】【解析】【分析】在Rt△BCD中，由勾股定理求出CD，再設(shè)AD=x，則AB=AC=AD+CD=6+x，最后在Rt△ABD中由勾股定理求出x即可求解．【詳解】解：在Rt△BCD中，由勾股定理可知，設(shè)AD=x，則AB=AC=AD+CD=x+6，在Rt△ABD中，由勾股定理可知AB2=AD2+BD2，代入數(shù)據(jù)：(x+6)2=x2+82，解得x=，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理解直角三角形，本題的關(guān)鍵是設(shè)AD=x，進(jìn)而將AB用x的代數(shù)式表示，在Rt△ABD中使用勾股定理求出x求解．13．如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，那么四邊形ABCD的面積是___________．【答案】+24【解析】【分析】連結(jié)BD，可求出BD=6，再根據(jù)勾股定理逆定理，得出△BDC是直角三角形，兩個(gè)三角形面積相加即可．【詳解】解：連結(jié)BD，∵，∴，∵，，∴BD=6，∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，S△ABD=，S△BDC=，四邊形ABCD的面積是=S△ABD+S△BDC=+24故答案為：+24．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理以及逆定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．14．如圖所示，在數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值為________【答案】【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，即可得出選項(xiàng)．【詳解】解：如圖：由圖可知：，∵數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸和實(shí)數(shù)，勾股定理的應(yīng)用，能讀懂圖象是解此題的關(guān)鍵．15．如圖一只螞蟻從長為5cm，寬為3cm，高為4cm的長方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它爬行的最短距離是__________cm．【答案】【解析】【分析】把此長方體的一面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點(diǎn)A和B點(diǎn)間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離．在直角三角形中，一條直角邊長等于長方體的高，另一條直角邊長等于長方體的長寬之和，利用勾股定理可求得．【詳解】解：因?yàn)槠矫嬲归_圖不唯一，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再從各個(gè)路線中確定最短的路線．(1)展開前面右面由勾股定理得;(2)展開前面上面由勾股定理得;(3)展開左面上面由勾股定理得;所以最短路徑的長為;故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開—最短路徑問題及勾股定理的拓展應(yīng)用．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練16．已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為和，求斜邊c的長．【答案】斜邊c的長為【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的定義“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”解答即可．【詳解】根據(jù)勾股定理可知：斜邊c的長．故斜邊c的長為．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及二次根式的混合運(yùn)算．掌握勾股定理的定義是解答本題的關(guān)鍵．17．在四邊形中，，為邊上的點(diǎn)．(1)連接，，；①如圖，若，求證：；②如圖，若，求證：平分；(2)如圖，是的平分線上的點(diǎn)，連接，，若，，，求的長．【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)．【解析】【分析】(1)①根據(jù)條件得出，即可求證；②延長交的延長線于點(diǎn)，得出再證明即可；(2)解法1：過點(diǎn)分別作，，得到，由，，得到，設(shè)，求得，在和中，由勾股定理即可求得的長．解法2：在上截取，得出，過作，根據(jù)，即可求得的長．【詳解】(1)①證明：，，，，在和中，，，，．②證明：延長交的延長線于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，平分．(2)解法1：如圖，過點(diǎn)分別作，，分別交及的延長線于點(diǎn)，．平分，，又，，，在和中，，，，，，在和中，，，，設(shè)，，，，，，，，，在和中，，，．解法2：如圖，在上截取，，，，在和中，，，，，，，過作，垂足為，，，在和中．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，以及勾股定理的應(yīng)用，解題