人教版九年級數(shù)學(xué)上冊同步練習(xí) 第05課 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（原卷版+解析）

第05課一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及在各類問題中的運用.理解方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系知識精講知識精講知識點01一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個實數(shù)根是，那么 ， .注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商.知識點01一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用(1)驗根．不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根；(2)已知方程的一個根，求方程的另一根及未知系數(shù)；(3)不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2的對稱式的值．此時，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的兩根，求作一個一元二次方程；以兩個數(shù)為根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；(6)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步討論根的符號.設(shè)一元二次方程的兩根為、，則當(dāng)△≥0且時 當(dāng)△≥0且，時 當(dāng)△≥0且，時 當(dāng)△＞0且時 當(dāng)△＞0且，時 當(dāng)△＞0且，時 【知識拓展】(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗證方程的．一些考試中，往往利用這一點設(shè)置陷阱；(2)若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根(，為有理數(shù))．能力拓展能力拓展考法01一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【典例1】已知方程的一個根是2，求另一個根及k的值．【即學(xué)即練1】已知方程的一個根是3，求它的另一根及的值．【典例2】已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0．(1)證明：不論m為何值時，方程總有實數(shù)根；(2)m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根． 考法02一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的綜合應(yīng)用【典例3】關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的兩個實數(shù)根分別是x1、x2，且x12+x22=4，則x12﹣x1x2+x22的值是_____．【即學(xué)即練2】設(shè)m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的兩個根，則m2＋3m＋n＝_______.【典例4】已知實數(shù)，滿足條件，，則________．【典例5】關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(m﹣3)x﹣m2=0．(1)證明：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)設(shè)這個方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．【即學(xué)即練3】關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有兩個不等實根．(1)求實數(shù)k的取值范圍．(2)若方程兩實根滿足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．一元二次方程x2﹣2x=0的兩根分別為x1和x2，則x1x2為()A．﹣2 B．1 C．2 D．02．已知、是一元二次方程的兩個實數(shù)根，下列結(jié)論錯誤的是()A． B． C． D．3．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的兩個實數(shù)根，則α+β﹣αβ的值是()A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣34．已知關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為﹣2，則另一個根為()A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣55．設(shè)a，b是方程x2＋x－2009＝0的兩個實數(shù)根，則a2＋2a＋b的值為()A．2006 B．2007 C．2008 D．20096．已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程的兩個解，若，則a的值為()A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．107．一元二次方程的兩個根為，則的值是()A．10 B．9 C．8 D．7題組B能力提升練1．設(shè)m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的兩個根，則m2+4m+n＝()A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．52．若a≠b，且則的值為()A． B．1 C．.4 D．33．若α、β為方程2x2-5x-1=0的兩個實數(shù)根，則的值為(

)A．-13 B．12 C．14 D．154．若實數(shù)a、b滿足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，則的值是()A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．5．若，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為A．2015 B． C．2016 D．20196．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，若，滿足，則m的值為_____________7．如果m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代數(shù)式2n2﹣mn+2m+2015=_____________．8．已知關(guān)于x的方程ax2+bx+1=0的兩根為x1=1，x2=2，則方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的兩根之和為__________．9．已知關(guān)于x的一元二次方程.(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)如果方程的兩實根為，，且，求m的值．題組C培優(yōu)拔尖練1．已知是關(guān)于x的一元二次方程x2-5x+a=0的兩個實數(shù)根，且，則a=_________.2．若關(guān)于x的方程(x﹣4)(x2﹣6x+m)＝0的三個根恰好可以組成某直角三角形的三邊長，則m的值為_____．3．如圖，點是的邊的中點，且，設(shè)，則的取值范圍是__________.4．設(shè)m是不小于﹣1的實數(shù)，關(guān)于x的方程x2+2(m﹣2)x+m2﹣3m+3=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2，(1)若x12+x22=6，求m值；(2)令T=，求T的取值范圍．5．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．(1)當(dāng)a=﹣11時，解這個方程；(2)若這個方程有兩個實數(shù)根x1，x2，求a的取值范圍；(3)若方程兩個實數(shù)根x1，x2滿足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9，求a的值．6．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若原方程的兩個實數(shù)根分別為，，且滿足，求的值．第05課一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及在各類問題中的運用.知識精講知識精講知識點01一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個實數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商.知識點01一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用(1)驗根．不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根；(2)已知方程的一個根，求方程的另一根及未知系數(shù)；(3)不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2的對稱式的值．此時，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的兩根，求作一個一元二次方程；以兩個數(shù)為根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；(6)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步討論根的符號.設(shè)一元二次方程的兩根為、，則當(dāng)△≥0且時兩根同號當(dāng)△≥0且，時兩根同為正數(shù)當(dāng)△≥0且，時兩根同為負(fù)數(shù)當(dāng)△＞0且時兩根異號當(dāng)△＞0且，時兩根異號且正根的絕對值較大當(dāng)△＞0且，時兩根異號且負(fù)根的絕對值較大【知識拓展】(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗證方程的．一些考試中，往往利用這一點設(shè)置陷阱；(2)若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根(，為有理數(shù))．能力拓展能力拓展考法01一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【典例1】已知方程的一個根是2，求另一個根及k的值．【分析】根據(jù)方程解的意義，將x＝2代入原方程，可求k的值，再由根與系數(shù)的關(guān)系求出方程的另外一個根．【解析】方法一：設(shè)方程另外一個根為x1，則由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，，從而解得：，k＝-7．方法二：將x＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，從而k＝-7．設(shè)另外一根為x1，則由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，從而，故方程的另一根為，k的值為-7．【點睛】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，易得另一根及k的值．【即學(xué)即練1】已知方程的一個根是3，求它的另一根及的值．【答案】另一根為-1；的值為-3．【典例2】已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0．(1)證明：不論m為何值時，方程總有實數(shù)根；(2)m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根． 【解析】解：(1)△=(m+2)2﹣8m=m2﹣4m+4=(m﹣2)2，∵不論m為何值時，(m﹣2)2≥0，∴△≥0，∴方程總有實數(shù)根；(2)解方程得，x=，x1=，x2=1，∵方程有兩個不相等的正整數(shù)根，∴m=1或2，m=2不合題意，∴m=1．【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式和求根公式的應(yīng)用，此外要掌握整數(shù)根的意義及正確求解適合條件的整數(shù)根．考法02一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的綜合應(yīng)用【典例3】關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的兩個實數(shù)根分別是x1、x2，且x12+x22=4，則x12﹣x1x2+x22的值是_____．【答案】4【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合已知條件可得出關(guān)于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根據(jù)方程有實數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于k的不等式，解之即可得出k的取值范圍，從而可確定k的值，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的兩個實數(shù)根分別是x1、x2，∴x1+x2=2k，x1?x2=k2﹣k，∵x12+x22=4，∴(x1+x2)2-2x1x2=4，(2k)2﹣2(k2﹣k)=4，2k2+2k﹣4=0，k2+k﹣2=0，k=﹣2或1，∵△=(﹣2k)2﹣4×1×(k2﹣k)≥0，k≥0，∴k=1，∴x1?x2=k2﹣k=0，∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4，故答案為4．【點睛】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握“當(dāng)一元二次方程有實數(shù)根時，根的判別式△≥0”是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】設(shè)m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的兩個根，則m2＋3m＋n＝_______.【答案】5【詳解】試題分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可將m2+3m+n變成m2+2m+m+n，最終可得答案．∵設(shè)m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的兩個根，∴m+n=﹣2，∵m是原方程的根，∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7，∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5考點：根與系數(shù)的關(guān)系【典例4】已知實數(shù)，滿足條件，，則________．【答案】【分析】由實數(shù)a，b滿足條件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的兩個根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】由實數(shù)a，b滿足條件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的兩個根，∴a+b＝7，ab＝2，∴．故答案為．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是把a，b看成方程的兩個根后再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解題．【典例5】關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(m﹣3)x﹣m2=0．(1)證明：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)設(shè)這個方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．【答案】(1)證明見解析；(2)x1=﹣1+，x2=﹣1﹣或【解析】試題分析：(1)根據(jù)一元二次方程的判別式△=b2﹣4ac的結(jié)果判斷即可，當(dāng)△＞0時，有兩個不相等的實數(shù)根，當(dāng)△=0時，有兩個相等的實數(shù)根，當(dāng)△＜0時，方程沒有實數(shù)根；(2)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=-，x1?x2=，表示出兩根的關(guān)系，得到x1，x2異號，然后根據(jù)絕對值的性質(zhì)和兩根的關(guān)系分類討論即可求解.試題解析：(1)一元二次方程x2﹣(m﹣3)x﹣m2=0，∵a=1，b=﹣(m﹣3)=3﹣m，c=﹣m2，∴△=b2﹣4ac=(3﹣m)2﹣4×1×(﹣m2)=5m2﹣6m+9=5(m﹣)2+，∴△＞0，則方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)∵x1?x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，∴x1，x2異號，又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，若x1＞0，x2＜0，上式化簡得：x1+x2=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1，方程化為x2+2x﹣1=0，解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，若x1＜0，x2＞0，上式化簡得：﹣(x1+x2)=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，方程化為x2﹣2x﹣25=0，解得：x1=1﹣，x2=1+．5．關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有兩個不等實根．(1)求實數(shù)k的取值范圍．(2)若方程兩實根滿足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值．【答案】(1)k﹥；(2)k=2．【分析】(1)根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根可得△＞0，代入求得k的取值范圍即可；(2)首先判斷出兩根均小于0，然后去掉絕對值，進(jìn)而得到2k+1=k2+1，結(jié)合k的取值范圍解方程即可．【詳解】解：(1)∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根∴Δ＝(2k+1)2－4(k2+1)=4k2+4k+1－4k2－4=4k－3﹥0解得：k﹥；(2)∵k﹥，∴x1+x2=－(2k+1)＜0又∵x1·x2=k2+1﹥0∴x1＜0，x2＜0，∴｜x1｜+｜x2｜=－x1－x2=－(x1+x2)=2k+1∵｜x1｜+｜x2｜=x1·x2∴2k+1=k2+1，∴k1=0,k2=2又∵k﹥∴k=2．考點：根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．一元二次方程x2﹣2x=0的兩根分別為x1和x2，則x1x2為()A．﹣2 B．1 C．2 D．0【答案】D【詳解】分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1x2=0，此題得解．詳解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的兩根分別為x1和x2，∴x1x2=0．故選D．點睛：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記兩根之積等于是解題的關(guān)鍵．2．已知、是一元二次方程的兩個實數(shù)根，下列結(jié)論錯誤的是()A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式、一元二次方程根的定義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系逐一進(jìn)行分析即可.【詳解】x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的兩個實數(shù)根，這里a=1，b=-2，c=0，b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，即，故A選項正確，不符合題意；，故B選項正確，不符合題意；，故C選項正確，不符合題意；，故D選項錯誤，符合題意，故選D.【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，根的意義，根與系數(shù)的關(guān)系等，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.3．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的兩個實數(shù)根，則α+β﹣αβ的值是()A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子進(jìn)行整理，即可得出答案．【詳解】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的兩個實數(shù)根，∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，∴α+β﹣αβ=﹣1-(-2)=-1+2=1，故選B．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，牢記兩根之和等于﹣、兩根之積等于是解題的關(guān)鍵．4．已知關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為﹣2，則另一個根為()A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5【答案】B【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為-2，可以設(shè)出另一個根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以求得另一個根的值，本題得以解決．【詳解】∵關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為-2，設(shè)另一個根為m，

∴-2+m=?，

解得，m=-1，

故選B．5．設(shè)a，b是方程x2＋x－2009＝0的兩個實數(shù)根，則a2＋2a＋b的值為()A．2006 B．2007 C．2008 D．2009【答案】C【詳解】分析：由于a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)，故根據(jù)方程的解的意義，求得(a2+a)的值，由根與系數(shù)的關(guān)系得到(a+b)的值，即可求解．解答：解：∵a是方程x2+x-2009=0的根，∴a2+a=2009；由根與系數(shù)的關(guān)系得：a+b=-1，∴a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2009-1=2008．故選C．6．已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程的兩個解，若，則a的值為()A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10【答案】C【詳解】解：∵m，n是關(guān)于x的一元二次方程的兩個解，∴m+n=3，mn=a．∵，即，∴，解得：a=﹣4．故選C．7．一元二次方程的兩個根為，則的值是()A．10 B．9 C．8 D．7【答案】D【分析】利用方程根的定義可求得，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】為一元二次方程的根，，．根據(jù)題意得，，．故選：D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系以及求代數(shù)式的值，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1．設(shè)m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的兩個根，則m2+4m+n＝()A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【詳解】解：∵m+n＝﹣3，mn＝﹣7，m2+3m＝7，∴原式＝m2+3m+m+n＝7﹣3＝4，故選B．【點睛】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運用根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型．2．若a≠b，且則的值為()A． B．1 C．.4 D．3【答案】B【解析】【詳解】解：由得：∴又由可以將a，b看做是方程的兩個根∴a+b=4，ab=1∴故答案為B.【點睛】本題看似考查代數(shù)式求值，但解題的關(guān)鍵是構(gòu)造一元二次方程并運用根于系數(shù)的關(guān)系求解。3．若α、β為方程2x2-5x-1=0的兩個實數(shù)根，則的值為(

)A．-13 B．12 C．14 D．15【答案】B【詳解】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，可知2α2﹣5α﹣1=0，α+β=-，α·β=，因此可得2α2=5α+1，代入2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1=5×+3×(-)+1=12.故選B.點睛：此題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是利用一元二次方程的一般式，得到根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=-，x1·x2=，然后變形代入即可.4．若實數(shù)a、b滿足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，則的值是()A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．【答案】C【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)a=b時，可直接得出答案；②當(dāng)a≠b時，根據(jù)實數(shù)a、b滿足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，即可看成a、b是方程x2﹣8x+5=0的解，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于a，b的等式即可求解．【詳解】解：①當(dāng)a=b時，原式=2；②當(dāng)a≠b時，根據(jù)實數(shù)a、b滿足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，即可看成a、b是方程x2﹣8x+5=0的解，∴a+b=8，ab=5．則==，把a+b=8，ab=5代入得：==﹣20．綜上可得：的值為2或﹣20．故選C．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，難度適中，關(guān)鍵是把a、b是方程x2﹣8x+5=0的解，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解題．5．若，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為A．2015 B． C．2016 D．2019【答案】C【解析】【分析】根據(jù)方程的解得概念可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，再代入即可得出結(jié)論．【詳解】是方程的兩個實數(shù)根，，即，則．故選C．【點睛】本題考查了方程的解的概念及韋達(dá)定理，熟練掌握韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．6．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，若，滿足，則m的值為_____________【答案】4【解析】【分析】由韋達(dá)定理得出x1+x2=6，x1·x2=m+4，將已知式子3x1=|x2|+2去絕對值，對x2進(jìn)行分類討論，列方程組求出x1、x2的值，即可求出m的值.【詳解】由韋達(dá)定理可得x1+x2=6，x1·x2=m+4，①當(dāng)x2≥0時，3x1=x2+2，，解得，∴m=4；②當(dāng)x2＜0時，3x1=2﹣x2，，解得，不合題意，舍去.∴m=4.故答案為4.【點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，其中對x2分類討論去絕對值是解題的關(guān)鍵.7．如果m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代數(shù)式2n2﹣mn+2m+2015=_____________．【答案】2026【詳解】由題意可知：m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2-m=3，n2-n=3，所以m，n是x2-x-3=0的兩個不相等的實數(shù)根，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：m+n=1，mn=-3，又n2=n+3，則2n2-mn+2m+2015=2(n+3)-mn+2m+2015=2n+6-mn+2m+2015=2(m+n)-mn+2021=2×1-(-3)+2021=2+3+2021=2026．8．已知關(guān)于x的方程ax2+bx+1=0的兩根為x1=1，x2=2，則方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的兩根之和為__________．【答案】1【詳解】分析：利用整體的思想以及根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．詳解：設(shè)x+1=t，方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的兩根分別是x3，x4，∴at2+bt+1=0，由題意可知：t1=1，t2=2，∴t1+t2=3，∴x3+x4+2=3故答案為1點睛：本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運用根與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．9．已知關(guān)于x的一元二次方程.(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)如果方程的兩實根為，，且，求m的值．【答案】(1)證明見解析(2)1或2【解析】試題分析：(1)要證明方程有兩個不相等的實數(shù)根，只要證明原來的一元二次方程的△的值大于0即可；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得到關(guān)于m的方程，從而可以求得m的值．試題解析：(1)證明：∵，∴△=[﹣(m﹣3)]2﹣4×1×(﹣m)=m2﹣2m+9=(m﹣1)2+8＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)∵，方程的兩實根為，，且，∴，，∴，∴(m﹣3)2﹣3×(﹣m)=7，解得，m1=1，m2=2，即m的值是1或2．題組C培優(yōu)拔尖練1．已知是關(guān)于x的一元二次方程x2-5x+a=0的兩個實數(shù)根，且，則a=_________.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系用a表示出x1+x2和x1x2，代入已知條件可得到關(guān)于a的方程，則可求得a的值．【詳解】∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的兩個實數(shù)根，∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝a，∴(x1﹣x2)2＝(x1+x2)2﹣4x1x2＝(﹣5)2﹣4a＝25﹣4a．∵|x1﹣x2|＝，∴(x1+x2)2﹣4x1x2＝5，∴25﹣4a＝5，解得：a＝5．故答案為：5．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程兩根之和等于、兩根之積等于是解題的關(guān)鍵．2．若關(guān)于x的方程(x﹣4)(x2﹣6x+m)＝0的三個根恰好可以組成某直角三角形的三邊長，則m的值為_____．【答案】【分析】運用根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式，根據(jù)勾股定理列方程解答即可．【詳解】設(shè)某直角三角形的三邊長分別為a、b、c，依題意可得x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，設(shè)x2﹣6x+m＝0的兩根為a、b，∴(﹣6)2﹣4m＞0，m＜9，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，得a+b＝6，ab＝m，則c＝4，①c為斜邊時，a2+b2＝c2，(a+b)2﹣2ab＝c2∴62﹣2m＝42，m＝10(不符合題意，舍去)；②a為斜邊時，c2+b2＝a2，42+(6﹣a)2＝a2，a＝，b＝6﹣a＝，∴m＝ab＝=故答案為．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的綜合運用，先由根與系數(shù)的關(guān)系得到另外兩邊的關(guān)系，再結(jié)合勾股定理列出方程。本題的關(guān)鍵是分類討論。3．如圖，點是的邊的中點，且，設(shè)，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)“點是的邊的中點，且”得出AB的長度以及△ABC是直角三角形，設(shè)出AC和BC的值，得到一個一元二次方程，根據(jù)根的判別式求出x的取值范圍，即可得出答案.【詳解】∵點是的邊的中點，且∴AB=4，△ABC是直角三角形故x=AC+BC>AB=4令A(yù)C=a，BC=b∴∴∴a，b是關(guān)于y的一元二次方程的兩個實數(shù)根∴即：.綜上所述，x的取值范圍是：.【點睛】本題綜合考查了勾股定理、直角三角形斜邊上的中線及根的判別式．解題時，還利用了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系這一知識點．.4．設(shè)m是不小于﹣1的實數(shù)，關(guān)于x的方程x2+2(m﹣2)x+m2﹣3m+3=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2，(1)若x12+x22=6，求m值；(2)令T=，求T的取值范圍．【答案】(1)m=；(2)0＜T≤4且T≠2．【解析】【分析】由方程方程由兩個不相等的實數(shù)根求得﹣1≤m＜1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=4﹣2m，x1?x2=m2﹣3m+