蘇科版 八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題 專題9.10三角形的中位線專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）（原卷版+解析）

【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題【蘇科版】專題9.10三角形的中位線專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．(2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）如圖，DE是△ABC的中位線，若DE＝3，則BC的長為（

）A．4 B．5 C．6 D．82．(2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點E是BC的中點．若OE=6cm，則AB的長為（

A．3cm B．6cm C．9cm3．(2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，BC，E、F、G分別是AB、CD、AC的中點，若∠DAC=10°，∠ACB=66°，則∠FEG等于（）A．76° B．56° C．38° D．28°4．(2023春·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期中）若四邊形的對角線互相垂直，那么順次連結(jié)該四邊形中點所得的四邊形一定是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．以上都不對5．(2023秋·江蘇無錫·八年級無錫市天一實驗學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=BC=4，∠B=90°，M是AC的中點，D、E分別在AB、BC上，且A．2 B．3.2 C．3.6 D．46．(2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，點O為對角線AC和BD的交點，延長BA至E，使AE=AB，以AE為邊向右側(cè)作矩形AEFG，點G在AD上，若AG=4，過點O的一條直線平分該組合圖形的面積，并分別交EF、BC于點P、Q，則PQ2的值為（A．39 B．40 C．41 D．427．(2023春·江蘇徐州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝2，CD＝3，E、F分別是AD、BC中點，則EF的取值范圍（）A．0＜EF＜1 B．2＜EF＜3 C．0.5＜EF＜2.5 D．1＜EF＜58．(2023春·江蘇南通·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為AB的中點，F(xiàn)為EC上一動點，P為DF中點，連接PB，則PB的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．2二、填空題9．(2023春·江蘇宿遷·八年級?？计谥校┤鐖D，為測量池塘邊A、B兩點的距離，小明在池塘的側(cè)選取一點O，測得OA、OB的中點分別是點D、E，且DE=15米，則A、B間的距離是_____米.10．(2023春·江蘇蘇州·八年級校考期中）順次連接矩形各邊中點所得四邊形為_____形．11．(2023春·江蘇鹽城·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，△AOB的邊AO，AB的中點C，D的橫坐標分別是1，5，則點B的橫坐標是______．12．(2023春·江蘇徐州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC．若BC＝6，AB＝8，則四邊形CODE的周長是_____．13．(2023春·江蘇揚州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的點，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F(xiàn)分別為垂足，連結(jié)EF.設(shè)M，N分別是AB，BG的中點，EF=5，則MN的長為______．14．(2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？计谥校┤鐖D，連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH，只要添加________條件，就能保證四邊形EFGH是菱形．15．(2023春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=4，∠CAB=30°，以AC為斜邊作Rt△ADC．使∠ADC=90°，∠CAD=∠CAB，E、F分別是BC、AC的中點，連接EF、DE、DF，則DE16．(2023秋·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△A1A2A3中，∠A1A3A2=90°，∠A2=30°，三、解答題17．(2023春·江蘇揚州·八年級階段練習(xí)）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分別是AB、AC的中點，F(xiàn)是BC延長線上的一點，且EF∥DC，（1）求證：四邊形CDEF是平行四邊形；（2）若EF＝2cm，求AB的長．18．(2023春·江蘇南通·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊BC、AC的中點，過點A作AF∥BC交DE的延長線于F點，連接AD、CF．（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形圖ADCF是菱形？為什么？19．(2023春·江蘇宿遷·八年級校考期中）如圖，D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點．O是△ABC內(nèi)的動點，連接OB、OC，點G、F分別是OB、OC的中點，順次連接點D、G、F、E．(1)求證：四邊形DGFE是平行四邊形；(2)若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.20．(2023秋·江蘇蘇州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，△ABC中，AB=AC，M是BC的中點，D、E分別是AB、AC邊上的點，且BD=CE．(1)求證：MD=ME；(2)若D為AB的中點，且AB=10，求ME的長．21．(2023春·江蘇鹽城·八年級?？计谥校┰诹庑蜛BCD中，兩條對角線相交于點O，F(xiàn)是邊CD的中點，連接OF并延長到E，使FE=OF，連接CE，DE．(1)求證：四邊形OCED是矩形；(2)求證：OE∥22．(2023春·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在□ABCD中，點E是AB邊的中點，(1)僅用一把無刻度的直尺畫出CD邊的中點F；(2)在（1）的條件下，求證：EF=BC．23．(2023春·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分別是AC，CD的中點，連接BM，MN，BN．(1)求證：BM=MN；(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2．①求∠BMN的度數(shù)；②求BN的長．24．(2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，D、E、F分別是△ABC各邊上的點，四邊形ADEF是平行四邊形，有三個選項：①D是AB的中點，②E是BC的中點，③F是AC的中點．(1)請從三個選項中選擇兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，并證明．你選擇的條件是______，結(jié)論是______（填序號）；(2)在（1）的條件下，如圖2，點H在BC上，AH⊥BC，連接DH、FH，①若∠B+∠C=100°，求∠DHF的度數(shù)；②若AB=8，AC=10，連接DF，△DHF的面積為S，直接寫出S的取值范圍．【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題【蘇科版】專題9.10三角形的中位線專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．(2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）如圖，DE是△ABC的中位線，若DE＝3，則BC的長為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵DE是△ABC的中位線，DE＝3，∴BC=6．故選:C．【點睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，掌握中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．(2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點E是BC的中點．若OE=6cm，則AB的長為（

A．3cm B．6cm C．9cm【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得出點O平分AC，則OE是三角形ABC的中位線，則AB＝2OE，繼而求出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝CO，∵點E是CB的中點，∴OE為△ABC的中位線，∴AB＝2OE，∵OE＝6cm，∴AB＝12cm．故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形的中位線定理，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OE為△ABC的中位線．3．(2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，BC，E、F、G分別是AB、CD、AC的中點，若∠DAC=10°，∠ACB=66°，則∠FEG等于（）A．76° B．56° C．38° D．28°【答案】D【分析】利用EG、FG分別是ΔABC和ΔADC兩個三角形的中位線，求出EG=FG，從而得出∠FGC和∠EGC，再根據(jù)EG=FG，利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠FEG的度數(shù)．【詳解】解：∵E、F、G分別是AB、CD、AC的中點，∴EG、FG分別是ΔABC和ΔADC兩個三角形的中位線，∴EG//BC，F(xiàn)G//∴∠FGC=∠DAC=10°，∠EGC=180°?∠ACB=114°，∴∠EGF=∠FGC+∠EGC=124°，又∵EG=FG，∴∠FEG=1故本題答案為：D．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理.解決本題的關(guān)鍵是正確理解題意，熟練掌握三角形中位線定理，通過等腰三角形的性質(zhì)找到相等的角．4．(2023春·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期中）若四邊形的對角線互相垂直，那么順次連結(jié)該四邊形中點所得的四邊形一定是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．以上都不對【答案】A【分析】根據(jù)三角形的中位線定理首先可以證明：順次連接四邊形各邊中點所得四邊形是平行四邊形．再根據(jù)對角線互相垂直，即可證明平行四邊形的一個角是直角，則有一個角是直角的平行四邊形是矩形．【詳解】解：如圖，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，∴EH∥FG∥BD，EH＝FG=12BD；EF∥HG∥AC，EF＝HG=∴四邊形EFGH是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴EH⊥EF，∠HEF＝90°∴四邊形EFGH是矩形．故選：A．【點睛】此題主要考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定、矩形的判定等知識，熟練掌握三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．5．(2023秋·江蘇無錫·八年級無錫市天一實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=BC=4，∠B=90°，M是AC的中點，D、E分別在AB、BC上，且A．2 B．3.2 C．3.6 D．4【答案】D【分析】連接BM，根據(jù)三線合一可得BM=CM，進而證明∠MBD=∠C=45°，【詳解】解：如圖，連接BM，∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC∴BM=∵在△ABC中，AB=BC=4，∴∠MBD=∠C∴∠DMB∴△BMD∴S∴S四邊形BEMD=∴S四邊形故選D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，證明△BMD6．(2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，點O為對角線AC和BD的交點，延長BA至E，使AE=AB，以AE為邊向右側(cè)作矩形AEFG，點G在AD上，若AG=4，過點O的一條直線平分該組合圖形的面積，并分別交EF、BC于點P、Q，則PQ2的值為（A．39 B．40 C．41 D．42【答案】B【分析】根據(jù)題意可得PQ必過矩形EFGA的對角線交點，連接AF，EG交于點H，取AE的中點M，AB的中點N，連接HM，ON，過點H作HT⊥ON于T，設(shè)PQ與AD的交點為S，根據(jù)三角形中位線定理可得ON=12BC=3,AN=32，∠ANO=∠ABC=90°，NH=2,AM=32，∠AMH=90°，再由勾股定理可得OH的長，再證明△ASO【詳解】解：∵過點O的一條直線平分該組合圖形的面積，∴PQ必過矩形EFGA的對角線交點，連接AF，EG交于點H，取AE的中點M，AB的中點N，連接HM，ON，過點H作HT⊥ON于T，設(shè)PQ與AD的交點為S，∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=CO，又∵點N是AB的中點，∴ON=12BC=3,AN=32∴∠ANO=∠ABC=90°，同理：NH=2,AM=32，∠∵HT⊥NO，∴四邊形MHTN為矩形，∴MH=NT=2，MT=MN=3，∴TO=1，∴HO=H∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∠ASO=∠CQO，在△ASO和△CQO中，∵∠DAC=∠ACB∠ASO=∠CQO∴△ASO≌△CQO（AAS），∴SO=OQ，同理PH=SH，∴PQ=2HO=210∴PQ故選：B【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．7．(2023春·江蘇徐州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝2，CD＝3，E、F分別是AD、BC中點，則EF的取值范圍（）A．0＜EF＜1 B．2＜EF＜3 C．0.5＜EF＜2.5 D．1＜EF＜5【答案】C【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出EH、FH，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計算即可．【詳解】解：連接AC，取AC的中點H，連接EH、FH，∵AH＝HC，AE＝ED，∴EH＝12CD同理，F(xiàn)H＝12AB在Rt△EHF中，EH﹣FH＜EF＜EH+FH，即0.5＜EF＜2.5，故選：C．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)三角形中位線定理求出EH、FH是解題的關(guān)鍵．8．(2023春·江蘇南通·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為AB的中點，F(xiàn)為EC上一動點，P為DF中點，連接PB，則PB的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)中位線定理可得出點P的運動軌跡是線段P1P2，再根據(jù)垂線段最短可得當BP⊥P1P2時，PB取得最小值，由矩形的性質(zhì)以及已知的數(shù)據(jù)即可知BP1⊥P【詳解】如圖，當點F與點C重合時，點P在P1處，CP1=DP1，當點F與點E重合時，點P在P2處，EP2=DP2，∴P1P2∥CE且P當點F在EC上除點C、E的位置處時有DP=FP，由中位線定理可知：P1P∥CE且P1P=12∴當點P的運動軌跡是線段P1∴當BP⊥P1P2∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E為AB的中點，∴△CBE、△ADE、△BCP1為等腰直角三角形，CP1=1，∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°，∴∠DP2P1=90°，∴∠DP1P2=45°，∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1∴BP的最小值為BP1的長，在等腰直角三角形BCP1中，CP1=BC=1，∴BP1=2,∴PB的最小值是2，故選：C．【點睛】本題考查軌跡問題、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用特殊位置解決問題．二、填空題9．(2023春·江蘇宿遷·八年級?？计谥校┤鐖D，為測量池塘邊A、B兩點的距離，小明在池塘的側(cè)選取一點O，測得OA、OB的中點分別是點D、E，且DE=15米，則A、B間的距離是_____米.【答案】30【分析】根據(jù)D、E是OA、OB的中點，即DE是△OAB的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，即可求解．【詳解】解：∵D、E是OA、OB的中點，即DE是△OAB的中位線，∴DE＝12AB∴AB＝2DE＝2×15＝30米．故答案為：30．【點睛】本題考查了三角形的中位線定理應(yīng)用，正確理解定理是解題的關(guān)鍵．10．(2023春·江蘇蘇州·八年級校考期中）順次連接矩形各邊中點所得四邊形為_____形．【答案】菱【分析】根據(jù)三角形的中位線定理和菱形的判定，順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是菱形【詳解】解：如圖，連接AC、BD，∵E、F、G、H分別是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD邊上的中點，∴EF＝GH＝12AC，F(xiàn)G＝EH＝12∵矩形ABCD的對角線AC＝BD，∴EF＝GH＝FG＝EH，∴四邊形EFGH是菱形．故答案為：菱．【點睛】此題主要考查了三角形的中位線定理，矩形的性質(zhì)和菱形的判定，綜合利用了三角形的中位線定理和矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．(2023春·江蘇鹽城·八年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的邊AO，AB的中點C，D的橫坐標分別是1，5，則點B的橫坐標是______．【答案】8【分析】由C、D的橫坐標求出線段CD的長度，結(jié)合中位線的定義和性質(zhì)，得出OB的長度，從而得到B點的橫坐標．【詳解】解：∵邊AO，AB的中點為點C、D，∴CD是△OAB的中位線，CD∥OB，∵點C，D的橫坐標分別是1，5，∴CD=4，∴OB=2CD=8，∴點B的橫坐標為8．故答案為：8．【點睛】本題主要考查了中位線定義和性質(zhì)應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由點C、D的橫坐標求出線段CD的長度．12．(2023春·江蘇徐州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC．若BC＝6，AB＝8，則四邊形CODE的周長是_____．【答案】20【分析】由CE∥BD，DE∥AC，可證得四邊形CODE是平行四邊形，又由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得OC=OD=5，即可判定四邊形CODE是菱形，繼而求得答案．【詳解】解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四邊形CODE是平行四邊形．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=6，OA=OC=OB=OD，∠BAD=90°，∴BD=A∴OD=OC=12AC=12∴四邊形CODE是菱形，∴四邊形CODE的周長為=4OC=4×5=20．故答案為：20．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，勾股定理．此題難度不大，注意證得四邊形CODE是菱形是解答此題的關(guān)鍵．13．(2023春·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的點，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F(xiàn)分別為垂足，連結(jié)EF.設(shè)M，N分別是AB，BG的中點，EF=5，則MN的長為______．【答案】2.5【分析】如圖所示。連接AG，CG，先證明△ABG≌△CBG（SSS），得到AG=CG，再證四邊形ECFG是矩形，得到CG=EF=5，最后證明MN是△ABG的中位線，則MN=1【詳解】解：如圖所示。連接AG，CG，∵四邊形ABCD是正方形，∴BA=BC，∠ABG=∠CBG，∠BCD=90°，又∵BG=BG，∴△ABG≌△CBG（SSS），∴AG=CG，∵GF⊥BC，GE⊥CD，∠ECF=90°，∴四邊形ECFG是矩形，∴CG=EF=5，∵M、N分別是AB，BG的中點，∴MN是△ABG的中位線，∴MN=1故答案為：2.5．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．14．(2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？计谥校┤鐖D，連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH，只要添加________條件，就能保證四邊形EFGH是菱形．【答案】AC=BD【分析】先證明中點四邊形為平行四邊形，則只需讓一組鄰邊相等即可，而鄰邊都等于對角線的一半，那么添加對角線需相等即可．【詳解】解：添加AC=BD時，四邊形EFGH為菱形．∵點E、F、G、H分別為AD、AB、BC、CD的中點，∴EF∥BD，EF=12BD，GH∥BD∴EF∥GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形，當AC=BD時，EF=EH，∴四邊形EFGH為菱形．故答案為：AC=BD．【點睛】本題考查菱形的判定，三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是熟悉菱形的判定定理，難度不大．15．(2023春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=4，∠CAB=30°，以AC為斜邊作Rt△ADC．使∠ADC=90°，∠CAD=∠CAB，E、F分別是BC、AC的中點，連接EF、DE、DF，則DE【答案】2【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DF=AF=12AC=12×4=2，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠DFC=∠FDA+∠CAD=60°，根據(jù)三角形中位線定理得到【詳解】解：∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，F(xiàn)是∴DF=AF=1∴∠FDA=∠CAD=30°，∴∠DFC=∠FDA+∠CAD=60°，∵E、F分別是BC、AC的中點，∴EF∥AB，∴∠EFC=∠CAB=30°，∴∠EFD=60°+30°=90°，∴ED=D故答案為：22【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、三角形中位線定理，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．16．(2023秋·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△A1A2A3中，∠A1A3A2=90°，∠A2=30°，【答案】121010【分析】根據(jù)已知條件和圖形的變化可得前幾個圖形中最短邊的長度，找出規(guī)律，可得結(jié)論．【詳解】解：在△A1A2A3中，∠A1A∴A1△A1A△A3A△A5A??????∴△A2n?1A則△A2021A故答案為：12【點睛】本題主要考查了規(guī)律型，圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察圖形變化尋找規(guī)律．三、解答題17．(2023春·江蘇揚州·八年級階段練習(xí)）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分別是AB、AC的中點，F(xiàn)是BC延長線上的一點，且EF∥DC，（1）求證：四邊形CDEF是平行四邊形；（2）若EF＝2cm，求AB的長．【答案】（1）見解析；（2）4cm．【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理可得ED∥FC；結(jié)合已知條件EF∥DC，即可得結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AB=2DC．【詳解】（1）證明：如圖，∵D、E分別是AB、AC的中點，F(xiàn)是BC延長線上的一點，∴ED是Rt△ABC的中位線，∴ED∥FC．又EF∥DC，∴四邊形CDEF是平行四邊形；（2）解：由（1）知，四邊形CDEF是平行四邊形，則DC＝EF＝2cm．∵點D是Rt△ABC斜邊AB的中點，∴DC＝12∴AB＝2DC＝4cm．故答案為（1）見解析；（2）4cm．【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線．解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．18．(2023春·江蘇南通·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊BC、AC的中點，過點A作AF∥BC交DE的延長線于F點，連接AD、CF．（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形圖ADCF是菱形？為什么？【答案】（1）見解析；（2）當△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°時，四邊形ADCF是菱形，理由見解析．【分析】（1）首先利用平行四邊形的判定方法得出四邊形ABDF是平行四邊形，進而得出AF=DC，利用一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，進而得出答案；（2）利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合菱形的判定方法得出即可．【詳解】（1）證明：∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，∴DE∥AB，BD=CD，∵AF∥BC，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴AF=BD，則AF=DC，∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形；（2）解：當△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°時，四邊形ADCF是菱形，理由：∵△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°又∵點D是邊BC的中點，∴AD=DC，∴平行四邊形ADCF是菱形．【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定，熟練應(yīng)用平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19．(2023春·江蘇宿遷·八年級校考期中）如圖，D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點．O是△ABC內(nèi)的動點，連接OB、OC，點G、F分別是OB、OC的中點，順次連接點D、G、F、E．(1)求證：四邊形DGFE是平行四邊形；(2)若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)OA＝BC，理由見解析【分析】（1）首先利用三角形中位線的性質(zhì)得出DE∥BC，DE＝12BC，GF∥BC，GF＝12BC，從而得出DE∥GF，DE＝GF，即可證得四邊形（2）由四邊形DGFE是菱形，可得DG＝GF，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得DG＝12OA，GF＝12BC，從而得出OA＝（1）證明：∵D、E分別是邊AB、AC的中點．∴DE∥BC，DE＝12BC∵點G、F分別是OB、OC的中點，∴GF∥BC，GF＝12BC∴DE∥GF，DE＝GF．∴四邊形DEFG是平行四邊形；（2）解：OA＝BC，理由如下：連接OA．∵四邊形DEFG是菱形，∴DG＝GF，∵D是AB的中點，點G、F分別是OB、OC的中點，∴DG＝12OA，GF＝12∴OA＝BC．【點睛】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定，菱形的判定以及平行四邊形與菱形的關(guān)系，熟記相關(guān)的定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．(2023秋·江蘇蘇州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，△ABC中，AB=AC，M是BC的中點，D、E分別是AB、AC邊上的點，且BD=CE．(1)求證：MD=ME；(2)若D為AB的中點，且AB=10，求ME的長．【答案】(1)見解析(2)ME=5【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠B=∠C，求出BM=CM，根據(jù)全等三角形的判定得出△DBM≌△ECM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)三角形的中位線求出DM=12AC（1）證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵M是BC的中點，∴BM=CM，在△DBM和△ECM中，BM=CM∠B=∠C∴△DBM≌△ECM（SAS），∴MD=ME；（2）解：∵M是BC的中點，D為AB的中點，∴DM=12AC∵AB=10，∴AC=AB=10，∴ME=DM=5．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形中位線的應(yīng)用，能求出△DBM≌△ECM和DM=12AC21．(2023春·江蘇鹽城·八年級?？计谥校┰诹庑蜛BCD中，兩條對角線相交于點O，F(xiàn)是邊CD的中點，連接OF并延長到E，使FE=OF，連接CE，DE．(1)求證：四邊形OCED是矩形；(2)求證：OE∥【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由菱形ABCD可得出AC⊥BD，由F是CD的中點、EF=OF，證四邊形OCED是平行四邊形，進而得出結(jié)論；（2）證明OF是△DBC的中位線即可得出結(jié)論．（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC=90°，∵F是邊CD的中點，∴CF=DF，又FE=OF，∴四邊形OCED是平行四邊形，∵∠DOC=90°，∴四邊形OCED是矩形；（2）∵四邊形OCED是矩形，∴DF=FC，∵四邊形ABCD是菱形，∴DO=BO，∴OF是△DBC的中位線，∴OE∥【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．22．(2023春·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在□ABCD中，點E是AB邊的中點，(1)僅用一把無刻度的直尺畫出CD邊的中點F；(2)在（1）的條件下，求證：EF=BC．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）連接AC、BD，兩者交于點G，連接EG并延長交CD與點F，即可．（2）證明四邊形ADFE是平行四邊形即可．（1）作圖如下：點F即為所求，證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥DC，CD=AB，對角線交點G平分對角線∴點G為AC、BD的中點，∵E點為AB中點，∴EG為△ABD的中位線，∴AD∥EG，即∵AB∥∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴AE=DF，∵E點為AB中點，∴AE=BE=1∴DF=12AB∴F點為DC中點，即F點滿足要求．（2）證明：在（1）中已證明有：四邊形ADFE是平行四邊形，∴AD=EF，∵AD=BC，∴EF=BC，結(jié)論得證．【點睛】本題主要考查了基本作圖，平行四邊形的判定與性質(zhì)、中位線的判定與性質(zhì)等知識，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．注意作圖只能用無刻度直尺，并非尺規(guī)作圖．23．(2023春·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分別是AC，CD的中點，連接BM，MN，BN．(1)求證：BM=MN；(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2．①求∠BMN的度數(shù)；②求BN的長．【答案】(1)答案見解析(2)①∠BMN=90°；②BN=2【分析】（1）在△CAD中，由中位線定理得到MN∥AD，且MN=12AD，在Rt△ABC中，因為M是AC的中點，故BM=12（2）①由∠BAD=60°且AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=12AC=AM=MC，得到∠BMC=60°，由平行線性質(zhì)得到∠NMC=∠DAC=30°，故∠BMN=90°；②因為∠BMN=90°，由勾股定理得到，BN2=B