2023-2024學(xué)年浙江省杭州下沙區(qū)高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年浙江省杭州下沙區(qū)高二上冊期末數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.設(shè)正項等比數(shù)列｛4｝滿足%-%=36,%=6,則4=()

A.3B.gC.2D.-

23

【正確答案】C

【分析】本題可設(shè)公比為q,然后根據(jù)%-%=36得出/-q=6,通過計算求出4=3,最

后通過4=生即可得出結(jié)果.

q

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛α,,｝的公比為4,

因為4-4=36,?2=6,

所以02屋-%q=36,即6/-6g=36,

q2-q=6,解得＜7=3或一2(舍去)，4=3,

,“，6一

則q=—==2,

q3

故選：C.

2.如果拋物線V="的準(zhǔn)線是直線X=1,那么它的焦點坐標(biāo)為()

A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(-1,0)

【正確答案】D

【分析】結(jié)合拋物線的知識確定正確答案.

【詳解】由于拋物線的準(zhǔn)線是直線X=1,所以它的焦點為(-1,0).

故選：D

3.”=百”是"直線y=H+2與圓χ2+y2=ι相切,,的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】結(jié)合直線和圓相切的等價條件，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：若直線V=履+2與圓/+V=I相切，

121

則圓心（0,。）到直線"一y+2=0的距離d=-yp==1,

即42+1=4,

.?.&2=3，即&=±Λ∕J,

：Lk=√?'是"直線》=丘+2與圓f+y2=1相切，，的充分不必要條件，

故選：A.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用直線與圓相切的等價條件是解決本題的關(guān)

鍵，比較基礎(chǔ).

4.已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，若%?%=2q,且4與2%的等差中項為1，則q?∕α??q的

最大值為（）

A.5B.512C.1024D.2048

【正確答案】C

用和9表示出。2和代入=24求得〃4，再根據(jù)為+2%=4+2〃應(yīng)"求得9，進(jìn)而求

得力到。6的值，即得解.

2

【詳解】a2?a3≈alqalq=2ai

??=2

CC3C5

a4+2%=a4+2a4q=2×-

?〃-1a--?--16

..q_j,?i-3-i?

乙tZ

故q=16x（J""=24X2~=25-",

所以q=16,α2=8,α3=4,α4=2,a5=1,?=?∣<1,

所以數(shù)列的前4或5項的積最大，且最大值為16x8x4x2=1024.

故選：C

結(jié)論點睛：等比數(shù)列｛5｝中，如果4>l,0<q<l,求q?/y…4,的最大值，一般利用“1交

界''法求解，即找到大于等于1的項，找到小于1的項，即得解.

5.某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0?8mg∕ml,此時他停止飲酒，其血

液中的酒精含量以每小時20%的速度減少，經(jīng)過"小時后他血液中的酒精含量在0.2mg∕ml

以下，則〃的最小整數(shù)值為()(參考數(shù)據(jù)：lg2aO.3O,Ig3≈0.48)

A.6B.7C.8D.9

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意解不等式0.8*(0.8)"<0.2,即可得解.

【詳解】根據(jù)題意可得0.8X(0.8)"<0.2,

Igl

21g2

所以〃>Iog08(0.25)==~≈3-=6,

08

1831g2-l1-0.9

8IO

由于經(jīng)過〃小時后他血液中的酒精含量在0?2mg∕ml以下,

所以“≥7,

故選：B

6.設(shè)直線x-收-1=0被圓O:/+y2=2所截弦的中點的軌跡為則曲線M與直線

χ-y-ι=o的位置關(guān)系是()

A.相交B.相切C.相離D.不確定

【正確答案】A

【分析】求出直線恒過定點A(1,O),由圓的性質(zhì)可得OM,進(jìn)而可得點M的軌跡是

一個以O(shè)A為直徑的圓，求出該圓的方程，求出圓心到直線的距離d,與圓的半徑》比較大

小即可判斷出直線與圓的位置關(guān)系，即可求解.

【詳解】由x+b-l=O可得什=l-x,所以該直線恒過定點A(1,O),

由圓的性質(zhì)可得：OMYAM,所以中點M的軌跡是以為直徑的圓,

所以圓心為(；，0半徑為r=g,所以點M的軌跡方程為：(X-gj+y2=；,

則圓心儀,θ］到直線χ-y-i=o的距離d=_?_____aJ=r，

42

l2J7H≡7

所以直線與圓的位置關(guān)系是相交.

故選：A

7.己知拋物線V=2px（p>0）的焦點為F,準(zhǔn)線/與X軸交于點H,過焦點F的直線交拋

物線于A,8兩點，分別過點A,8作準(zhǔn)線/的垂線，垂足分別為A，θ?,如圖所示，則

①以線段AB為直徑的圓與準(zhǔn)線/相切；

②以AM為直徑的圓經(jīng)過焦點F；

③A,O,B1（其中點O為坐標(biāo)原點）三點共線；

④若已知點A的橫坐標(biāo)為今,且已知點T（-x0,0）,則直線7?與該拋物線相切；

則以上說法中正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】D

【分析】由拋物線的性質(zhì)可判斷①；連接AEgF,結(jié)合拋物線的性質(zhì)可得NAFBl=90,

即可判斷②；設(shè)直線AAx=〃?），+與，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理、向量共線可判斷

③；求出直線7?的方程，聯(lián)立方程組即可判斷④.

【詳解】對于①，設(shè)IAFI=a,∣8F∣=6,則∣A4,∣=α,忸聞=匕,

所以線段AB的中點到準(zhǔn)線的距離為空心=網(wǎng)，

22

所以以線段AB為直徑的圓與準(zhǔn)線/相切，故①正確；

對于②，連接AF心尸，如圖,

因為幽I=I幽［竭=閉,?BAAt2ABB1180,

所以180-2?AFA1180-2?BFB,180,所以2(ZAE4t+NBFBj=180,

所以？AFAf?BFB?90即ZA1FB1=90,

所以以Ag為直徑的圓經(jīng)過焦點F,故②正確；

對于③，設(shè)直線43:X=WJy+gA(xl,yl),B(x2,y2),

將直線方程代入拋物線方程化簡得V-2p"y-p2=0,Δ>0,則χyz=-p2,

零2

又。-=多》2，

因為二=

所以。A=-?7OBl,所以A,O,q三點共線，故③正確;

P'

對于④，不妨設(shè)A（Xo,質(zhì)；），貝IJL=gK,

則直線AT:X=杵yτ°,代入拋物線方程化簡得V-2p杵y+2px0=0,

則A=-2p杵］-8pxυ=0,

所以直線窗與該拋物線相切，故④正確.

故選：D.

關(guān)鍵點點睛：①將點在圓上轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系，將直線與圓相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離，將

點共線轉(zhuǎn)化為向量共線；

②設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組解決直線與拋物線交點的問題.

8.國家體育場"鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓:

某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點A和短

軸一端點B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC,8?且兩切線斜率之積等于T,則橢圓的離心率

為()

圖1圖2

k.-B.-C.&D.近

3333

【正確答案】D

29χ22

【分析】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為二+4=1,則外層橢圓方程為D+∕?=1(R>1),分

ab~(ma)[mb)

別列出過AC和民。的切線方程，聯(lián)立切線和內(nèi)層橢圓，由△=()分別轉(zhuǎn)化出禮心的表達(dá)式,

結(jié)合好后="可求。與6關(guān)系式，齊次化可求離心率.

【詳解】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為=1(a>b>0),因為內(nèi)、外層橢圓離心率相同,

，+邑

所以外層橢圓方程可設(shè)成=1(ZZ7>1),

(∕w4)~(〃⑼?

22

設(shè)切線AC方程為y=4(χ+∕≡),與餐+與=1聯(lián)立得,

ab

22223422

(?+6f?l)x+2makfx+nrak;-ab=O,

由A=(27刀〃*：)~一4伍2一〃2/)=0,

,b21

化簡得：k2/g,

設(shè)切線BD方程為y=k2x+mb,

R2

同理可求得代=￡(病-1),

2

所以好抬=h3

2122

?a-C1c1

~~~2—I2—3Γ,

a-a~a3

所以??=2,因此e=￡=逅.

a23a3

故選：D

二、多選題

9.下列有關(guān)雙曲線2/-3丁=1的命題中，敘述正確的是（）

A.頂點（士√Iθ）B.離心率e=半

C.漸近線方程y=±半XD.焦點（土粵,O

【正確答案】CD

【分析】把雙曲線2∕-3y2=l化為T-T-I求得”,6,c的值，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì),

23

即可求解.

22

王-?-111

【詳解】由題意，雙曲線2犬-3產(chǎn)=1,可化為了一丁―，可得a?=匕/=：,

232?

所以〃=顯,b=昱,且c=√77F=畫，

236

所以雙曲線的頂點坐標(biāo)為±二,0,所以A不正確；

\/

√3O

雙曲線的離心率為e='=牛=W所以B不正確；

a√23

^τ

雙曲線的漸近線方程為y=±2χ=±Y5χ,所以C正確；

a3

雙曲線的焦點坐標(biāo)為［±半,0）,所以D正確.

故選：CD.

10.設(shè)數(shù)列｛4｝是以d為公差的等差數(shù)列，S”是其前〃項和，?.>0,且品=$9,則下列結(jié)

論正確的是（）

A.d<0B.?=0

C.S5>S?D.邑或工為S（I的最大值

【正確答案】ABD

【分析】由56=$9及前〃項和公式可得卬=-74,即可判斷A、B的正誤，進(jìn)而得到

=紀(jì)衛(wèi)!判斷c,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷D的正誤.

2

6x5OVS

【詳解】根據(jù)題意可得6q+?Ld=即q+7d=6?=0.因為q>0,?=0,

所以d<0,所以數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列，所以A,B正確；

對于C,因為％=。，d<0,所以6>0,所以S5<$6,故C不正確；

對于D,因為4=。，所以$7=及,又｛%｝為遞減數(shù)列，所以，或醺為5“的最大值，故D

正確.

故選：ABD.

22

11.設(shè)百，鳥為橢圓工x+匕v=1的左，右焦點，直線/過《交橢圓于A,8兩點，則以下說

43

法正確的是（）

A.44B月的周長為定值8B.4AB寫的面積最大值為2道

C.|A-「+|AE「的最小值為8D.存在直線/使得名的重心為（%；）

【正確答案】ACD

【分析】利用橢圓的定義可判斷A,根據(jù)基本不等式結(jié)合橢圓的定義可判斷C,設(shè)直線/的

方程為X=陽-1,聯(lián)立橢圓方程利用韋達(dá)定理法，可表示出aAB6的面積，居的重心

進(jìn)而判斷BD.

【詳解】由橢圓三+q=1,可得α=2,b=√J,c=l,

43

所以AAB名為|明|+|然|+|班1+忸用=4α=8,故A正確；

因為IA周+∣M∣=4,所以M用，IA.∣2≥（M.?AlD=8,當(dāng)且僅當(dāng)IA用=IA圖取等號，

故C正確;

X=my-1

由題可設(shè)直線/的方程為χ=my-i,由/2,

—+—=1

143

可得(3〉+4)y2-6my-9=0,

設(shè),則

A(%PJI),B(Λ2,y2)yl+γ2=-^-,yxy2="?’

5m+45m+4

所以M一刃=而E二嬴=J(缶M-$]=?t?p'

所以aAB鳥的面積為S=JG用N_%I=II的1,

令f=?∣>rΓ+1，貝∣Jf≥1'，"2=產(chǎn)一1，

_12y]m2+l_⑵_12

所以3，*+4-3/+l-j41'

JlH—

t

因為721,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知3r+l≥4,

t

12√∕√+1_12/12

所以與4丁=FrT=1一T，當(dāng)f=l,即，"=。取等號，故B錯誤;

3/÷—

t

..6m

由上可知y+；

3m^+4

所以西+々=加(乂+32)_2=2671_2=_??，，又鳥(1,0),

3m"+43"Γ+4

8]2tn

所以BK的重心為

3m2+4j3m2+4

If1__L_V1

令乳3病+4）6；解得加=2,

2m_1

.W+4^4

所以當(dāng)直線/的方程為x=2y-l時4ABE的重心為（%；）,故D正確.

故選：ACD.

a?_+l,n=2k

]）.則下列選項正

12.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，al=[,an

2an—l,+l,7n=2k+↑

確的為（）

A.?=14

B.數(shù)列｛%τ+3｝(AeN")是以2為公比的等比數(shù)列

C.對于任意的keN',?=2*+l-3

D.S,>IOOO的最小正整數(shù)〃的值為15

【正確答案】ABD

根據(jù)題設(shè)的遞推關(guān)系可得(?-“2K-I=1,a2?+|-2%t=1,從而可得“2*+2-2fi?i=2,由此可得

｛%t｝的通項和｛%m｝的通項，從而可逐項判斷正誤.

a2a

［詳解1由題設(shè)可得“2*-“21=LiIM-2k=1，

因為4=1，aι~a?=1>故02=4+l=2,

aaaaa

所以2k+2~2k+i=L”2*+1-^?ik=1,所以2k+2~^2k=2,

所以<?+2+2=2(如+2)，因為4+2=4≠°,故∕lt+2≠(),

所以包喑=2,所以｛%κ+2｝為等比數(shù)列，

a2k+Z

所以?l+2=4x2*τ即?t=2"∣-2,故4=16-2=14,故A對，C錯.

+lk+k+

又%=2*-2-l=2'-3,?a2k.l+3=2',

所以詠￡1=2,即｛他ι+3｝ke")是以2為公比的等比數(shù)列，故B正確.

a

2k-?+?

S∣4=α∣+α,+`+α∣4=α∣+(α∣+1)+，+%+(%+l)

=2(4+4+/+%+為+4|+"|3)+7=28(2~-3+2，-3++2，-3)+7=981,

S15=S14+βl5=981+5O9=I49O>1OOO,

故S,,>1000的最小正整數(shù)〃的值為15,故D正確.

故選：ABD.

方法點睛：題設(shè)中給出的是混合遞推關(guān)系，因此需要考慮奇數(shù)項的遞推關(guān)系和偶數(shù)項的遞推

關(guān)系，另外討論D是否成立時注意先考慮兀的值.

三、填空題

22

13.法國數(shù)學(xué)家蒙日(MO"ge,1746-1818)發(fā)現(xiàn)：雙曲線「:5?珠=l(4>b>0)的兩條互相

垂直切線的交點戶的軌跡方程為：x2+y2=a2-b2,這個圓被稱為蒙日圓.若某雙曲線

1-丁=1g>0)對應(yīng)的蒙日圓方程為√+∕=3,則α=.

【正確答案】2

【分析】根據(jù)題意寫出雙曲線［-V=l(α>0)對應(yīng)的蒙日圓方程，可得出關(guān)于。的等式，

即可求得正數(shù)”的值.

2

【詳解】由雙曲線］-y2=l(a>O)的方程可得〃=1,

由蒙日圓的定義可得雙曲線捺-丁=15>0)對應(yīng)的蒙日圓方程/+丁=3,所以

a2-b2=3?即1=3,

可得〃=2.

故2.

14.直線y=gx+O是曲線y=lnx,x>O的一條切線，則實數(shù)6=.

【正確答案】In2-1

【詳解】本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法.y'=~,令,=［得x=2,故切點為

XX2

(2,In2),代入直線方程，得In2=；x2+%,所以b=ln2T.

15.在空間直角坐標(biāo)系?！獙OZ中，A(4,0,2),8(()/,-1)滿足IABl=3攻，則線段AB與平

面Oxy交點P(x,y,0)的軌跡方程為.

【正確答案】x2+^-=l

4

【分析】由題可得/+〃=9,然后根據(jù)空間向量共線可得α=3x,6=∣y,進(jìn)而即得.

【詳解】因為4(α,0,2),B(0,b,-l),IABl=3短,

所以/+從+(2+1)2=18,B［Jα2+?2=9,

由題可設(shè)凈,W∣J(x-a,y,-2)=λ(-a,t>,-3),

X—Cl=—Ad

所以Vy=助，

-2=-32

3

可得Q=3x,b=]y,

所以(3x)2+(1J=9,

即線段AB與平面。肛交點P(x,y,0)的軌跡方程為x2+^=l.

故答案為.V+￠=1

4

16.已知數(shù)列｛〃“｝的前”項和為S"，數(shù)列｛%｝的前〃項和為Z,,滿足4=2,35“=(〃+,“)％,

(WeR),且〃也=〃.若存在"N*,使得兀+刀建豈,成立，則實數(shù)2的最小值為.

【正確答案】?

【分析】先根據(jù)數(shù)列的遞推公式可求出國=巴三，再利用累乘法求出通項公式，再構(gòu)造數(shù)

tz,,-ι"-1

列Bn=T2〃-Tn9判斷數(shù)列的單調(diào)性，即可求出

【詳解】V3S/?=(n+∕π)an,

.?3Sι=3aι=(1+∕H)aι,解得m=2,

：?3Sn=(π+2)an,①，

當(dāng)，z≥2時，3Sn.∣=(π+l)an.ι,②，

由①-②可得3?！?(/2+2)an-(n÷l)an.ι,

即(〃-1)an=(n+l)an.i,

??=n+l

,'a,,-i〃一］,

.”=3幺=&&=3

,'

??q_i'a2~2a3~3,

累乘可得“〃=〃(π+l),

經(jīng)檢驗幻=2符合題意，

Λan=n(π+l),〃∈N*,

?：anbn=n,

?A1

?.bn=------，

/?+1

1

令Bn=T2n-Tn=---I---F+-------

77+2〃+32n÷l

3〃+4、

則Bn+I-8〃=(2〃+2乂2”間(”12)°，

.?.數(shù)列｛班｝為遞增數(shù)列,

/.Bn>Bι=—,

3

;存在"∈N*,使得入十刀匠乃〃成立，

?*?λ≥β∕=—,

故實數(shù)人的最小值為:，

故答案為;.

本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前〃項和，以及數(shù)列的函數(shù)特征，考查滿足條

件的實數(shù)值是否存在的判斷與求法，綜合性強(qiáng)，難度大.

四、解答題

3

17.已知直線4的方程為x+2y-4=0,若直線4在X軸上的截距為5,且M

(1)求直線4和直線/2的交點坐標(biāo)；

(2)已知直線4經(jīng)過直線6與直線4的交點，且在>軸上截距是在X軸上的截距的2倍，求直

線4的方程.

【正確答案】(1)(2,1)

(2)2x+y-5=O或y=g尤.

(x+2y-4=0

【分析】(1)首先根據(jù)題意得到直線/2：2彳-'-3=0,再聯(lián)立方程組C求解即可.

[2x-γ-3=O

(2)分類討論直線4過原點時和當(dāng)直線4不過原點時求解即可.

【詳解】(1)因為直線4的方程為x+2y+4=0,所以勺=-g,

因為∕∣14,所以&=2,

又直線4在X軸上的截距為I,所以4過仲,0)，

即直線，2：y=2(x_1),即：直線4：2X_y_3=0.

x+2y-4=0_x=2

聯(lián)立，即交點為(2,1)

2x-y-3=0=J=I

(2)當(dāng)直線4過原點時，設(shè)直線4：y=辰，

因為直線4過(2,1),所以1=23即4=，直線hy=gχ?

當(dāng)直線/3不過原點時，設(shè)直線4在X軸截距為〃(4κθ)?

直線4：2+白=1,因為直線4過(2,1),所以2+J=ι,解得〃=

a2aa2a2

∕3:2x+y-5=O

綜上4：2x+y-5=0或y=；x.

18.在平面直角坐標(biāo)系x。)，中，曲線y=與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上.

(1)求圓C的方程；

(2)設(shè)過點P(0,—2)的直線/與圓C交于A,B兩點，且AB=2,求/的方程.

【正確答案】(l)∕+y2-4x-4y+3=0

⑵X=O或3x-4y-8=0

【分析】(1)求出曲線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，設(shè)出圓的?般方程，代入求解;

(2)分類討論，斜率不存在時，直接驗證，斜率存在時，設(shè)直線方程，求出圓心到直線的

距離，由勾股定理求解.

【詳解】(1)X=O時，y=l,

]4

X-X2--x+l=O=1,%=3,

所以三交點為(0,1),(1,0),(3,0),

設(shè)圓方程為Y+力OX+Ey+F=O,

1+E+F=OD=-4

則1+。+尸=O,解得,E=-4,

9+3D+F=0F=3

圓方程為元2+γ2-4Λ-4y+3=0;

(2)由(1)知圓標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-2y+(y-2)2=5,圓心為C(2,2),半徑為

直線/斜率不存在時，直線為x=0,它與圓的兩交點為(0,1),(0,3),滿足題意；

斜率存在時，設(shè)直線方程為y="-2,即H-y-2=0,

∣2?-2-2∣

圓心到/的距離為d=I/,I,

√?2+l

又IABl=2,所以=,k=。,

y∣k2+?4

直線方程為）Tχ-2即31k8=0.

4

所以直線/方程是：X=O或3x_4y_8=0.

19.已知等差數(shù)列｛α,J的公差為正數(shù)，6=1,其前〃項和為S"，數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，4=2,

且0邑=12,?2+S3=10.

(1)求數(shù)列｛q｝與他｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛凡也,｝的前“項和人

(3)設(shè)C"="+f,neN',求數(shù)列｛%｝的前2〃項和.

2n+1

【正確答案】(1)a,,=n.bn=T-,(2)北=(〃-1>2川+2；(3)2-y-?.

【分析】(1)假設(shè)公差d和公比4,由等差和等比數(shù)列通項與求和公式可構(gòu)造方程求得"，g,

由等差和等比通項公式可求得結(jié)果；

(2)由(1)可得.也="?2",利用錯位相減法可求得結(jié)果;

(3)由(1)可得C“=2"+2x(L--二],利用分組求和的方法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式和

裂項相消法可求得結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為"(d>0),等比數(shù)列也｝公比為4，

'b2S2=blq(2al+d)=2q[2+d)=?2jq=2

4+S3=bq+34+3d=%+3+3d=10[d=?

.*.an=1+(∏-1)×1=H；bn-2X2"T=2"；

n

（2）由（1）得：all?bn=n?29

.?.^=l×2'+2×22+3×23+???+(n-l)?2"-1+n?2n,

27；,=l×22+2×23+3×24+???+(n-l)?2"+rt?2,,+,,

兩式作差得：

-T,,=2-n-2"+'+(22+23+-?→2,')=2-n?2"+l+三)=2-n-2"+l-4+2,,+l

=(l-n)?2"+'-2,

μ=5-1)2,2.

1n

?1=2"+=2+J2"+2×(--

(3)由(1)得:∕ι(l+π)∕ι(n÷l)n÷l√,

2

則

c+C+C+???+C=2+22+???+22M+2×fι-ll-l...J___!_

1232Π(^2+2^3+^,+2n^2∕z+l

二咋R沖-高產(chǎn)3熱2n+l

方法點睛：當(dāng)數(shù)列通項公式滿足等差X等比的形式時，采用錯位相減法求解數(shù)列的前“項和,

具體步驟如下：

①列出Sn=ai+a2+α3+???+απ-1+an的形式;

②左右兩側(cè)同乘通項中的等比部分的公比4,得到染“；

③上下兩式作差得到(l-q)S,,結(jié)合等比數(shù)列求和公式可整理等式右側(cè)的部分；

④整理所得式子求得S”.

20.如圖所示的幾何體中，BELBC,EALAC,BC=2,AC=2√2.NACB=45。，AD//BC,

BC=IAD.

⑴求證：AEmABCD;

（2）若NABE=60。，點F在EC上，且滿足EF=2FC,求二面角F-AO-C的余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵平

【分析】（1）先證BC_L平面ABE得BCLAE,結(jié)合EALAC即可證得AE_L平面ABCD

（2）建立坐標(biāo)系求出兩個平面的法向量，根據(jù)空間向量法求二面角即可.

【詳解】（1）在AABC中，BC=2,AC=2叵，ZACB=45°,

由余弦定理可得AB?=BC2+AC2-2XBCXACXCOS45°=4,

所以AB-2,滿足AC2=AB2+BC2,

所以AABC是直角三角形，ABA.BC.

又BEJ_BC,ABcBE=B,4夕/后匚平面/^^，

所以BuL平面ABE,

因為AEU平面ABE,所以BCLAE,

因為EA_LAC,ACCBC=C,AC,BCu平面ABCf）,

所以AEjL平面ABCD.

（2）由（1）知，BcLL平面ABE,BCU平面BEC,

所以平面BEC，平面A8E,

在平面ABE中，過點2作Bz_LBE,則Bz_L平面8EC,

如圖，以B為原點，BE,8C所在直線分別為X,y軸建立空間直角坐標(biāo)系8一盯z,

ZABE=60O,SLAE±AB,.?.BE=2AB=4,

過A作A"_L3E交5E于點//,

貝IJAH=ABSin60°=6,B”=ABcos60°=1,

則3(0,0,0),C(0,2,0),E(4,0,0),λ(l,0,√3),D(1,1,√3),

因為M=2FC,所以陪,右θ),

易知AZ)=(0,1,0),AF=^,∣,-√3^,

設(shè)平面A。F的法向量為"=(x,y,z),

?ADn=O,Iy=°'L

則｛BPi146c，令z=6，則y=。，?r=9

AF-n=O,-^+-y-√3z=0,

所以”=(9,0,6)為平面AOF的一個法向量，

由(1)知EAJ_平面ABe。，

所以￡4=(-3,0,6)為平面ABCD的一個法向量.

設(shè)二面角F—AQ—C的平面角為。，

IEA24277

由圖知α為銳角，則CoSa=J^=:E=空,

IEAHM2√3×2√217

所以二面角尸一A。一C的余弦值為空.

7

21.如圖，已知拋物線Cy2=2px(p>0)的焦點凡且經(jīng)過點入(22間(帆>()),卜同=5.

⑴求P和，”的值；

(2)點M,N在C上，且AΛ∕,4V.過點A作Ao_LMN,。為垂足，證明：存在定點Q,使

得Ql為定值.

【正確答案】(I)P=2,機(jī)=4；

(2)證明見解析.

【分析】(1)由拋物線定義有IAFl=2p+當(dāng)=5求。，由A在拋物線上求m即可.

(2)令MN:x=ky+n,M(xl,yl),N(x2,y2),聯(lián)立拋物線得到一元二次方程，應(yīng)用韋達(dá)定理,

根據(jù)AM,AN及向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，求3〃數(shù)量關(guān)系，確定MN所過定點6,再

由AOLMN易知。在以A8為直徑的圓上，即可證結(jié)論.

【詳解】(1)由拋物線定義知：IAEI=2p+?^=5,則p=2,

又A(4,%)(∕n>0)在拋物線上,則加2=4x4,可得∕n=4.

(2)設(shè)Ma,%),N(XAyi),由(1)知:A(4,4),

所以AM=(Xl-4,y∣-4)，AN=(x2-4,y2-4),又AMJ_A7V，

所以(XI-4)(々-4)+(%-4)(丫2-4)=中2-4(丙+x2)+y∣J2-4(j1+y2)+32=0,

令直線MN:x=ky+n,聯(lián)立C：V=4x,整理得/_4行，-4〃=O,且△=16二+16〃>O，

所以y+%=4k,yty2=-4w,則玉+w=A(M+%)+2〃=4/+2〃，

222

X1X2=kyly2+kn(y,+y2)+n=n,

綜上，“2-16/-12〃-16Z+32=(〃-4A-8)(〃+4k-4)=O,

當(dāng)"=8+4Z時，MN:X=My+4)+8過定點3(8,-4)；

當(dāng)“=4-4人時，MN:X=My-4)+4過定點(4,4),即A,M,N共線，不合題意；

所以直線MN過定點3(8,-4),又ADLMN,故。在以AB為直徑的圓上，

而A3中點為Q(6,0),即卬。I=增=2有為定值,得證.

22.已知函數(shù)/(x)="lnx+χ2-(α+2)x,其中αeR.

(1)若曲線y=