中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：相似形中探索猜想問(wèn)題

相似三角形的探索性問(wèn)題類(lèi)型1：條件探索猜想型這類(lèi)問(wèn)題一般命題的結(jié)論明確，需讀者反溯結(jié)論成立的條件.可采取逆向思維，由結(jié)論成立看需要什么條件，再結(jié)合已有的條件，并輔助于圖形結(jié)構(gòu)、隱含的條件進(jìn)行分析探究，方可得到所需的條件.例1學(xué)習(xí)《圖形的相似》后，我們可以借助探索兩個(gè)直角三角形全等的條件所獲得經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)探索兩個(gè)直角三角形相似的條件.（1）“對(duì)與兩個(gè)直角三角形，滿(mǎn)足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)直角三角形全等”.類(lèi)似地，你可以等到：“滿(mǎn)足，或，兩個(gè)直角三角形相似”.（2）“滿(mǎn)足斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等”，類(lèi)似地你可以得到“滿(mǎn)足的兩個(gè)直角三角形相似”.請(qǐng)結(jié)合下列所給圖形，寫(xiě)出已知，并完成說(shuō)理過(guò)程.圖1已知：如圖1，.圖1試說(shuō)明Rt△ABC∽R(shí)t△A’B’C’.分析：我們通過(guò)對(duì)三角形全等知識(shí)的學(xué)習(xí)與三角形相似知識(shí)的探究不難發(fā)現(xiàn)，它們之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，實(shí)際上當(dāng)兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比等于1時(shí)，這兩個(gè)三角形就成為全等三角形.本題是要求讀者從特殊（全等）到一般（相似）類(lèi)比探索猜想問(wèn)題，根據(jù)直角三角形全等的判定條件猜想出直角三角形相似的判定條件.為此只需把角的相等條件遷移，將對(duì)應(yīng)邊相等改成對(duì)應(yīng)邊成比例即可.解：（1）一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例（2）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)．解法一：設(shè)eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝k，則AB＝kA′B′，AC＝kA′C′．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(eq\r(AB2－AC2),eq\r(A′B′2－A′C′2))＝eq\f(eq\r(k2A′B′2－k2A′C′2),eq\r(A′B′2－A′C′2))＝k．∴eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(BC,B′C′)．∴Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′．解法二：如圖，假設(shè)AB＞A′B′，在AB上截取AB″＝A′B′，過(guò)點(diǎn)B″作B″C″⊥AC，垂足為C″．C″CBAC′B′A′B″∵∠C＝∠C″CBAC′B′A′B″∴Rt△ABC∽R(shí)t△AB″C″．∴eq\f(AC,AC″)＝eq\f(AB,AB″)．∵AB″＝A′B′，∴eq\f(AC,AC″)＝eq\f(AB,A′B′)．∵eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)，∴eq\f(AC,AC″)＝eq\f(AC,A′C′)．∴AC″＝A′C′．又∵AB″＝A′B′，∠C′＝∠AC″B″＝90°，∴Rt△AB″C″≌Rt△A′B′C′．∴Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′．例2.如圖2，兩點(diǎn)分別在的邊上，與不平行，當(dāng)滿(mǎn)足條件（寫(xiě)出一個(gè)即可）時(shí)，．圖2分析：根據(jù)兩個(gè)三角形相似的條件結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)△ADE與△ACB有一個(gè)公共角∠A，所以我們只要補(bǔ)充一個(gè)角，或夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可說(shuō)明△ADE∽△ACB.因?yàn)镈E與BC不平行因而可補(bǔ)充條件∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD·AB=AE·AC圖2類(lèi)型2存在探究性所謂“存在性”的問(wèn)題，就是要求應(yīng)試者在給定的部分條件下，判斷某種數(shù)學(xué)對(duì)象（直線(xiàn)、點(diǎn)、幾何圖形等）是否存在的命題，這種題型有利于測(cè)試學(xué)生的猜想、判斷、邏輯推理等創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力.解決此類(lèi)問(wèn)題的方法是：先對(duì)結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)而后結(jié)合題設(shè)、定理等進(jìn)行正確的推理，若得出矛盾的結(jié)果，則否定先前假設(shè)，說(shuō)明結(jié)論不存在；若推出合理的結(jié)果，說(shuō)明假設(shè)成立，進(jìn)而知結(jié)論是存在的.例3.一般來(lái)說(shuō)，依據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類(lèi)的數(shù)學(xué)思想叫做“分類(lèi)”的思想；將事物進(jìn)行分類(lèi)，然后對(duì)劃分的每一類(lèi)分別進(jìn)行研究和求解的方法叫做“分類(lèi)討論”的方法.請(qǐng)依據(jù)分類(lèi)的思想和分類(lèi)討論的方法解決下列問(wèn)題：如圖3-1，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC.若∠BAC是銳角，請(qǐng)?zhí)剿髟谥本€(xiàn)AB上有多少個(gè)點(diǎn)D，能保證△ACD～△ABC（不包括全等）？請(qǐng)對(duì)∠BAC進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)，直接寫(xiě)出每一類(lèi)在直線(xiàn)AB上能保證△ACD～△ABC(不包括全等)的點(diǎn)D的個(gè)數(shù).圖3-3圖3-1圖3-3圖3-1D圖3-2圖3-2（1）（i）如圖3-1，若點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上，由于∠ACB＞∠ABC，可以作一個(gè)點(diǎn)D滿(mǎn)足∠ACD=∠ABC,使得△ACD∽△ABC.(ii)如圖①，若點(diǎn)D在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則∠ACD＞∠ACB＞∠ABC，與條件矛盾，因此，這樣的點(diǎn)D不存在.（iii）如圖②，若點(diǎn)D在線(xiàn)段AB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，由于∠BAC是銳角，則∠BAC＜90°＜∠CAD，不可能有△ACD∽△ABC.因此，這樣的點(diǎn)D不存在.綜上所述，這樣的點(diǎn)D有一個(gè).類(lèi)型3結(jié)論探索性探索結(jié)論型的問(wèn)題的特點(diǎn)是：命題只給出了明確的條件，隱去了結(jié)論，要求考生需結(jié)合圖形探究、發(fā)現(xiàn)、猜測(cè)出相應(yīng)的結(jié)論，或變換命題中的部分條件探究對(duì)結(jié)論的影響；解題時(shí)讀者必須全方位審題，挖掘、搜集必要的信息進(jìn)行提煉，大膽推測(cè)結(jié)論，小心求證.例1已知：如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），EP與BD相交于點(diǎn)O.（1）當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：△BOP∽△DOE；（2）設(shè)（1）中的相似比為，若AD︰BC=2︰3.請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)k為下列三種情況時(shí)，四邊形ABPE是什么四邊形？①當(dāng)=1時(shí)，是；②當(dāng)=2時(shí)，是；③當(dāng)=3時(shí)，是.并證明=2時(shí)的結(jié)論.ABCDEPABCDEPO圖1（2）①當(dāng)=1時(shí)，由△BOP∽△DOE可知△BOP≌△DOE，所以BP=DE，又DE=AE，所以AE=BP，又AE//BP，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可知四邊形ABPE是平行四邊形.②直角梯形③等腰梯形證明：∵k=2時(shí)，∴BP=2DE=AD又∵AD︰BC=2︰3∴BC=AD∴PC=BC-BP=AD-AD=AD=ED又ED∥PC,∴四邊形PCDE是平行四邊形，又∵∠DCB=90°∴四邊形PCDE是矩形∴∠EPB=90°又∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB與DC不平行∴AE∥BP,AB與EP不平行∴是直角梯形評(píng)注：解決本題的關(guān)鍵是通過(guò)△BOP∽△DOE，當(dāng)相似比發(fā)生變化，取某些特殊的整數(shù)值（K=1，2，3）時(shí)找到BP與AD的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)PC與DE數(shù)量關(guān)