2023-2024學(xué)年江蘇省南通市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年江蘇省南通市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知A(-U),8(3,1),C(l,3),則AABC的8C邊上的高所在的直線的方程為()

A.x+y+2=0B.x+y=OC.x-y+2=0D.x-y=0

【正確答案】C

【分析】根據(jù)垂直關(guān)系求出高線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程求出.

【詳解】邊BC所在直線的斜率心C=??Ι=T,

二BC邊上的高線斜率Z=L

又;BC邊上的高線經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(-1,1),

.?.2C邊上的高線方程為y-l=x+l,即x—y+2=0.

故選：C.

2.當(dāng)點(diǎn)尸在圓V+V=I上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接它與定點(diǎn)Q(3,0),線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是

()

A.(x+3)2+y2=lB.(X-3)2+∕=1

C.(2x-3)2+4/=1D.(2%+3)2+4y2=l

【正確答案】C

【分析】設(shè)出M,P的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系用M的坐標(biāo)表示出戶的坐標(biāo)，結(jié)合尸在圓上

得到〃的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，即為M的軌跡方程.

【詳解】設(shè)M(X,y),P(%,%),因?yàn)镻Q的中點(diǎn)為M,

χ0+3

X=

2XQ=2x-3

所以，,所以

%+0y=2y

y=0

2

又因?yàn)镻在圓/+丁=1上，所以(2x-3)2+4y2=l,

所以M的軌跡方程即為(2x-3『+4)2=1,

故選：C.

v-2v23

3.設(shè)橢圓C:]+方=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為,F1,尸為直線X=Ia上一點(diǎn)，

??.￡P(guān)Fl是底角為30。的等腰三角形，則橢圓C的離心率為()

A.2B.?C.—D.-

3224

【正確答案】D

【分析】由鳥(niǎo)P耳是底角為30。的等腰三角形，把I"I=EEl用。，c表示出來(lái)后可求得離心

率.

o

【詳解】解：由題意可得I尸如I=|耳聞,6(c,0),如圖，ΛPFlF2=ZFlPF2=30,則NPEE=60。，

ZF2PE=30°,

4.已知雙曲線￥-5=1(。>04>0)的一條漸近線過(guò)點(diǎn)(6,2),且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋

物線∕=4√7y的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()

【正確答案】C

【分析】由題意可得漸近線的斜率，即為4,人的關(guān)系式，再根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程解得c,

由4,6,C的關(guān)系，解方程可得a,b,進(jìn)而得到所求雙曲線的方程.

【詳解】解：雙曲線?-∕=l(α>0,6>0)的一條漸近線過(guò)點(diǎn)(6,2),

可得漸近線的斜率為k=自木,

雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線X2=4√7y的準(zhǔn)線y=-近上，

可得C=V7，

即。2+/=7,

解得a=2fh=y∕3f

則雙曲線的方程為：?--=1.

43

故選C.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及拋物線的方程和性質(zhì)，運(yùn)用漸近線方程和斜率公式是解

題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

5.在數(shù)列｛q｝中，4=20,4=α,ι-3"≥2"wN*,則數(shù)列｛4,｝的前〃項(xiàng)和取最大值時(shí)，n

的值是（）

A.7B.8C.9D.10

【正確答案】A

【分析】由已知得4-0T=-3,根據(jù)等差數(shù)列的定義得數(shù)列｛%｝是以20為首項(xiàng)，以-3為

公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得見(jiàn)，令4≥0,求解即可.

【詳解】解：由q,=",ι-3得4-4τ=-3,又因?yàn)棣?=20,所以數(shù)列｛5｝是以20為首項(xiàng)，

以-3為公差的等差數(shù)列，

所以％=20-3（〃-1）=—3〃+23,

令q,=-3"23≥0,解得：n≤y,又〃∈N*,所以數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和取最大值時(shí)，〃的

值是7,

故選：A.

6.已知等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，若4>0,公比4>1,a,+a5=20,??=64,則Sf=

（）

A.31B.36C.48D.63

【正確答案】D

【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得a2ah=%%=64,解方程即可得數(shù)列中的項(xiàng)，進(jìn)而可得首

項(xiàng)與公比，求得用.

【詳解】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得4%=%%=64,

又見(jiàn)+為=20,

I或a=?6

解得3

a5=4

?=4

當(dāng)3時(shí),4=2或4=-2(舍),

%=16

此時(shí)4=1,

l×(l-26)

所以S4。二，)=63

O1-

Jq1-2

故選：D.

7.若函數(shù)/(司="-Inx在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)Z的取值范圍是

A.(-∞,-2]B.(-∞,-i]C.[2,÷<X))D.[l,+∞)

【正確答案】D

【詳解】試題分析：廠門=A-L???函數(shù)/(X)=丘-InX在區(qū)間(1,÷∞)單調(diào)遞增,

X

.?.f'lx∣20在區(qū)間(l,+∞)上恒成立..??4NL,而I=L在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞減,

XX

???"±L的取值范圍是[l,+∞)?故選D.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

/、,、S2〃U

8.設(shè)等差數(shù)列｛叫，也｝的前〃項(xiàng)和分別是S7；,若寸=丁=，則1-T=()

in+/%

A.1B.?C.—D.-

11178

【正確答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式變形求解即可

【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列｛4｝,也｝的前”項(xiàng)和分別是S7；,

4+%5(α∣+6)

所以今=^?^?

5(4+4)T515+7H

22

故選：B

二、多選題

9.已知雙曲線。：￡-營(yíng)=1（。＞0乃＞0）的左右焦點(diǎn)分別為B,F2,右頂點(diǎn)為A,M為OA的

中點(diǎn)，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)且尸心，耳心，且tanN尸耳瑪=（,則（）

A.C的離心率為2B.C的漸近線方程為x±6y=0

I3

C.PM平分NnPEiD.PA=-PF,+^PF2

【正確答案】ACD

3

【分析】在直角三角形PG為中，利用tanNPf；K=Z列出關(guān)于小從C的齊次式求出離心率,

從而判斷A；根據(jù)離心率求出漸近線方程，從而判斷B；根據(jù)耦、盟是否相等即可判

斷PM是否平分/KP居，從而判斷C；根據(jù)|入山、田國(guó)的比例關(guān)系，利用平面向量的線性

運(yùn)算即可表示用PTP瑪表示PA，從而判斷D.

【詳解】由「工，KK可知IP周=J,

￡

由tan/P冗F,=熠=2=互?=3得，3ac=2bL

?FlF2?2C2ac4

即3αc=2卜--,BP2e2-3e-2=0＞即（2e+l）（e-2）=0,，e=2,故A正確;

雙曲線漸近線為y=±√Ix故B錯(cuò)誤:

由￡=2nc=2a,b=#)a-

a

則IPq='=至=3α,∣P耳ITP閭=2αn∣P周=5α,

aa

.I明=5J5

,,i

?PF2?~3a~3

5a

?.?∣KM=c+g=2α+g=留，I月MI=C-4=2而0=網(wǎng)，.?.陷=2=2,

111,21

222222?F2M?3。3

T

IPFIEM5

???胎=?曾?=1，???根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知PM平分/KP巴，故C正確;

?PF2??F2M?3

∣∕^A∣=c-a=2a-a=a,?FlF2?=2c=4a,

1110

PA=PF2+F2A=PF2+-F2Ft=PF2+-^PFt-PF2)=-PFl+-PF2,故D正確;

故選：ACD.

本題主要考查與雙曲線的焦半徑和焦點(diǎn)三角形有關(guān)的性質(zhì)，考察構(gòu)造關(guān)于a、b、C的齊次式

求離心率的方法，考察利用角平分線的性質(zhì)，考察了向量的線性運(yùn)算，解題時(shí)需數(shù)形結(jié)合,

合理運(yùn)用圖形的幾何關(guān)系.

1∏γ

10.對(duì)于函數(shù)/(*)=也，下列說(shuō)法正確的有()

X

A.f(χ)在X=e處取得極大值-B./(χ)在X=e處取得最大值-

ee

C./(χ)有兩個(gè)不同零點(diǎn)D./(2)<∕(π)<∕(3)

【正確答案】ABD

【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性求極值和最值即可判斷A、B,令函數(shù)等于0,求出

零點(diǎn)即可判斷C,利用函數(shù)單調(diào)性即可判斷D.

【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/U)=上坐,(x>0),

x^

令f'(x)=0得x=e,

則當(dāng)O<x<e時(shí)，∕V)>O,函數(shù)Oχ)為增函數(shù),

當(dāng)x>e時(shí)，/(無(wú))<0,函數(shù)/(χ)為減函數(shù)，

則當(dāng)X=e時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為/(e)=1，

e

故A正確，

由上述可知當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)的極大值即為最大值，且最大值為/(e)=

e

故B正確，

由/(x)=0,得InX=O,得χ=l,即函數(shù)/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，

故C錯(cuò)誤，

由"2)=j4)F=Z-=T

所以f(2)=∕(4),

由x>e時(shí)，函數(shù)/O)為減函數(shù),知"3)>∕(2>"4)="2),

故"2)<∕(π)<"3)成立，

故D正確.

故選：ABD.

H.己知％,出,%,出依次成等比數(shù)列，且公比q不為i?將此數(shù)列刪去一個(gè)數(shù)后得到的

數(shù)列(按原來(lái)的順序)是等差數(shù)列，則正數(shù)q的值是()

?I+^5r—1+>/5r,l+舊r.—1+?75

2222

【正確答案】AB

【分析】因?yàn)楣取２粸?,所以不能刪去％,出，分類討論，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及等比

的通項(xiàng)公式，即可得到答案.

【詳解】公比q不為1,刪去的不是％與4，

當(dāng)刪去的是的時(shí)：

?1,?3，為成等差數(shù)列，???2q=4+α?1,即2qq2="∣+4",

則(l-∕)+(g'-/)=O,即(q-l)(g2-g-l)=O,又q≠l,解得q="6或gJS(舍)；

22

當(dāng)刪去的是％時(shí):

3

al,a2,%成等差數(shù)列，二四=q+4，BP2axq=ax+aγq9

貝IJ(I_g)+(/_g)=O,即(g-l)(d+g—])=O,又q≠],解得夕=2^__!或g=_也+∣(舍)，

22

綜上,q=年或q=殍,

故選:AB.

12.下列不等式正確的是()

A.當(dāng)XeR時(shí)，ex>x+1B.當(dāng)x>0時(shí)，lnx≤x-l

C.當(dāng)Xe/?時(shí)，e*≥exD.當(dāng)XeR時(shí)，x2SinX

【正確答案】ABC

構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，可得出每個(gè)選項(xiàng)中的不等式正不正確.

【詳解】對(duì)于A：設(shè)/(x)=e'-x-l,則r*)=e-l,令1(X)=0,解得X=0,

當(dāng)xe(-∞,O)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在X=O時(shí)，函數(shù)取得最小值/(x),,M=∕(0)=0,故當(dāng)XeR時(shí)，e?.x+?,故A正確；

對(duì)于B：設(shè)/(x)=InX-X+1,所以/'(X)=L-I=±二D,

XX

令/'(X)=O,解得x=l,當(dāng)Xe(O4)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(l,+8)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以在X=I時(shí)，f(x)ιmx=f(1)=0,故當(dāng)x>0時(shí)，皿,x-l恒成立，故B正確；

對(duì)于C^f(x)=ex-ex,所以/'(x)=∕-e,令廣。)=0,解得x=l,當(dāng)x∈(-∞,l)時(shí),函

數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

x

所以當(dāng)x=l時(shí)，/(χ)m,n=/(1)=0,所以當(dāng)XeR時(shí)，e..ex,故C正確；

對(duì)于D：設(shè)函數(shù)/(x)=x-sinx,則f'(x)=l-cosx..O,所以/5)是定義在R上單調(diào)遞增的

奇函數(shù)，

所以x>0時(shí)，x..Sinx成立，x<0時(shí)，/(x)<0,故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

三、填空題

13.觀察數(shù)列1,ln2,sin3,4,ln5,sin6,7,ln8,sin9,…,則該數(shù)列的第11項(xiàng)等

于_____

【正確答案】Inll

【分析】由數(shù)列得出規(guī)律，該數(shù)列各項(xiàng)里面的數(shù)字是按正整數(shù)的順序排列，且以3為循環(huán)節(jié),

依次出現(xiàn)常數(shù)，對(duì)數(shù)，正弦的形式，從而得解.

【詳解】由數(shù)列得出規(guī)律，該數(shù)列各項(xiàng)里面的數(shù)字是按正整數(shù)的順序排列，且以3為循環(huán)節(jié),

依次出現(xiàn)常數(shù)，對(duì)數(shù)，正弦的形式，

由11=3x3+2,所以該數(shù)列的第11項(xiàng)為Inll.

故Inll.

14.若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是.

【正確答案】9

【詳解】試題分析.知+1=10=X.”=9

拋物線的定義.

【思路點(diǎn)睛】當(dāng)題目中出現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，一般都會(huì)想到轉(zhuǎn)化為拋物線上的

點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.解答本題時(shí)轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而可得點(diǎn)到V軸的距離.

15.已知圓C過(guò)點(diǎn)(1,0),(0,√5),(-3,0),則圓C的方程為一.

【正確答案】x2+y2+2x-3=0

【分析】設(shè)圓的一般方程，然后將點(diǎn)代入組成方程組解出即可.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓的方程為/+/+瓜+或，+尸=()

又由圓C過(guò)點(diǎn)(1,0),(0,6),(-3,0),

'?+D+F=O

則有<3+石E+尸=0,

9-30+F=O

解可得D=2,E=Q,F=—3,

即圓的方程為：x2+y2+2x-3=0,

故答案為./+y2+2χ-3=0

16.設(shè)函數(shù)尸(x)是奇函數(shù)〃X)(XeR)的導(dǎo)函數(shù)./(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí),V^,(x)-∕(x)<0,

則使得/(x)<O成立的X的取值范圍為.

【正確答案】(T,0)u(l,+8)

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=烏，求解單調(diào)性與奇偶性，再結(jié)合g(χ),X的正負(fù)求解.

【詳解】令g(x)=以立，當(dāng)x>0時(shí)，g'(χ)=丁“卜)一/、(“<0,

所以函數(shù)g(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，

又因?yàn)?(χ)為奇函數(shù)，g(x)的定義域?yàn)?-8,o)u(o,4∞),

所以g(-)="2=∑23=g(χ),

~X-X

所以g(χ)為偶函數(shù)，得g(χ)在(y,0)上為增函數(shù)，

因?yàn)?(T)=O,所以g⑴=g(τ)=o,

作出g(χ)的大致圖象如圖所示，

當(dāng)/(x)<0,x>0時(shí)，g(x)<O,得x∈(l,+∞),

當(dāng)/(x)<0,x<0時(shí)，g(x)>O,得x∈(T,0)

所以X的取值范圍為(-1,0)=(1,內(nèi))

故(一l,0)u(l,+∞)

根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧，許多

問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.

四、解答題

17.已知函數(shù)〃X)=Sinr-ox+b(?,b∈R)的圖象在點(diǎn)(0,”0))處的切線方程為y=l.

(1)實(shí)數(shù)α的值；

(2)求函數(shù)”x)在區(qū)間［0用上的最大值和最小值.

【正確答案】(1)1；

⑵最大值為江最小值為sinl-1+瓦

【分析】(1)直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出m

(2)先利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最值.

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)y(x)=sinr-tυc+b,則f'(X)=COsr-α.

所以f'(0)=COSo-α=l-α.

又函數(shù)/(x)的圖象在點(diǎn)(0,Λ0)處的切線方程為y=l,

所以/'⑼=>α=0,解得?a=l

(2)由(1)知，/(x)=sinx-X+?,∕,(x)=∞sr-l.

在xe［0,l］時(shí)，有r(x)=cc≡-l≤O,所以函數(shù)人X)在區(qū)間［0,1］上單減，

所以/(x)ITOX="0)=6,f(x)min=∕(l)=sinl-l+?.

18.已知｛α,J是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，q=2,4=2為+16.

(1)求｛α,J的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)々fog?%,求數(shù)列也J的前"項(xiàng)和.

22

【正確答案】(1)?=2"^';(2)Sll=n.

【分析】(1)本題首先可以根據(jù)數(shù)列｛為｝是等比數(shù)列將由轉(zhuǎn)化為％/,%轉(zhuǎn)化為a∣q,再然后

將其帶入％=2%+16中，并根據(jù)數(shù)列｛%｝是各項(xiàng)均為正數(shù)以及4=2即可通過(guò)運(yùn)算得出結(jié)

果；

(2)本題可以通過(guò)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式以及對(duì)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)計(jì)算出數(shù)列｛〃,｝的通項(xiàng)公式，再

通過(guò)數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式得知數(shù)列也｝是等差數(shù)列，最后通過(guò)等差數(shù)列求和公式即可得出結(jié)

果.

【詳解】(1)因?yàn)閿?shù)列｛%｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，4=24+16,4=2,

22

所以令數(shù)列｛4｝的公比為4，a3=a,q=2q,々=44=24，

所以2∕=4q+16,解得q=-2(舍去)或4,

2

所以數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為2、公比為4的等比數(shù)列，all=2×4"-'=2"-'.

(2)因?yàn)閍=log2∕,所以粼=2"-l,d+∣=2"+l,b”=2,

所以數(shù)列｛〃,｝是首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列，S"=『？"∏2.

本題考查數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等差數(shù)

列求和公式的使用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，是簡(jiǎn)單題.

19.已知拋物線Uy?=?的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P(4,0).

(1)設(shè)。是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，求IPQl的最小值；

(2)過(guò)點(diǎn)尸的直線/與拋物線C交于M、N兩點(diǎn)，若.FMN的面積為66,求直線/的方程.

【正確答案】(1)26

⑵x±y-4=0

【分析】(1)設(shè)Q(X,)，)，由兩點(diǎn)間距離公式得IPQI=J(X-2尸+12,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可

得結(jié)果；

(2)設(shè)直線/：X=Wy+4,與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理與一月WN面積的表達(dá)式求解即

可.

【詳解】(1)設(shè)Q(xy),則IPQI=J(X-4)2+V=J(X-4>+4X=J(X-2α+12,

當(dāng)x=2時(shí)，∣Pβ∣min=2√3.

(2)設(shè)直線/"=my+4,M(xt,y,),N(X2,%),焦點(diǎn)廠(1,0).

IX—my+4

聯(lián)立J)2=4χ，消去X得V-4/My-16=0,

.?.yl+y2=4m,yly2=-16.

?■?SWFMN=∣∣ff∣?.-Λ∣=IJ(M+%)2-4*>2=∣√(4∕M)2+64=6√TO2+4=6√5,

.?.∕72=±1,

，直線/的方程為：χ±y-4=0.

22

20.已知點(diǎn)A(2,l)在雙曲線C:與一一=l(α>l)±.

Cra~

(1)求雙曲線的方程；

(2)是否存在過(guò)點(diǎn)P，,一；)的直線/與雙曲線相交于48兩點(diǎn)，且滿足P是線段AB的中點(diǎn)？

若存在，求出直線/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【正確答案】⑴E-V=I

2

(2)不存在，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)代入點(diǎn)42,1)的坐標(biāo)，解方程可得。的值，即可得雙曲線方程；

(2)假設(shè)存在，設(shè)過(guò)的直線方程為：y=k(x-l)~,A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(為，乂)，

(芻，%),代入雙曲線方程，再相減，運(yùn)用平方差公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，及斜率公式，即可

得到所求直線的斜率，進(jìn)而得到直線方程，代入雙曲線方程，檢驗(yàn)判別式即可判斷.

22

【詳解】(1)解：已知點(diǎn)A(2,l)在雙曲線=上

a'礦一1

所以‘一工=1,整理得：/-4/+4=0,解得：a2=2,則4=0

aa`--l

所以雙曲線方程為?5-V=I

(2)解：由題可知若直線存在則直線/的斜率存在，故設(shè)直線/的方程為：y=?U-l)-∣

且設(shè)交點(diǎn)Aa，%)，8區(qū),%)

則12，兩式相間得：(Xl-W)(X+w)=2(y∣-%)(%+%)

i^"=∣

由于尸卜，總為AB中點(diǎn),則占+W=2,X+%=T

貝Ij%=’——=-1

即有直線/的方程：y=-U-l)-∣,^y=-x+L

1

產(chǎn)…萬(wàn)，

<=>2x~-4Λ,+5=0

尸2-1

~γ~y=

檢驗(yàn)判別式為A=(-4『-4×2×5=-24<0,方程無(wú)實(shí)根.

故不存在過(guò)點(diǎn)的直線/與該雙曲線相交A,8兩點(diǎn)，且滿足尸是線段AB的中點(diǎn).

21.設(shè)S“為等差數(shù)列｛/｝的前"項(xiàng)和，已知％=9,S5=25.

(1)求數(shù)列｛a,｝的通項(xiàng)公式；

(2)記2=-1—,7,為數(shù)列也,｝的前“項(xiàng)和，求力,的取值范圍.

44+1

【正確答案】⑴q=2〃-l(〃wN*)

1

2)3-

【分析】(1)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前"項(xiàng)公式列出方程組解出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差即

可；

(2)先求出數(shù)列也J的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相減法求和，在根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求出(的

取值范圍.

【詳解】(1)等差數(shù)列｛&｝中,,?=9,S5=25,

q+4d=9

???、5x4」《，

5q+~~~-d—25

解得4=1,d=2,

:.anEN)

(2)么=」一，

,h=1=I(I______

一,I-^(2H-1)(2H÷1)-2V2n-l^2n+l),

-2(1-2n+l)-2n+l,

n_1

由于訴T=口為遞增數(shù)列，

Zπ---

n

1n11

〃=1時(shí)，取得最小值9且2〃+1一2，

3」十一

n

嗚≤τ<g,

^11、

故7；的取值范圍為.

3Δ)

22.已知函數(shù)/(x)=InX+gαr2-(α+l)x(αeR).

(1)當(dāng)α=2時(shí)，求函數(shù)y=∕(x)的極值；

⑵求當(dāng)α>O時(shí),函數(shù)y=?(?)在區(qū)間U,e］上的最小值0(。)；

2

(3)若關(guān)于X的方程?(?)=^ox有兩個(gè)不同實(shí)根χ,,χ2,求實(shí)數(shù)”的取值范圍并證明：

2

x1?x2>e.

【正確答案】⑴極大值為一心?極小值為-2

121

1+一〃e—（α+l）e,0<0≤-

2e

11

⑵Qm）=,-InQ--------11,—<?<11

2ae

-Q-La≥1

2

(3)T<“<'-l,證明見(jiàn)解析

e

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值的概念即可得到結(jié)果；

(2)由函數(shù)/(X)的定義域是(0,+8),分為a>O,O<L≤l,l<,<e和j≥e四種情況，進(jìn)行

aaa

分類討論即可求出結(jié)果；

(3)根據(jù)題意和函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，當(dāng)-l<α<J-l時(shí)，"x)=!0χ2有

e2

lnxlx2_x1+x2

兩個(gè)不同實(shí)根%W,滿足ln%=(α+l)%,Inx2=(o+l)w,兩式化簡(jiǎn)得到∣n?/-

?.

不妨設(shè)內(nèi)<%，利用分析證明法和換元法即可證明結(jié)果.

【詳解】(1)當(dāng)α=2時(shí)，函數(shù)F(X)=InX+f-3χ(χ>0).

(2)()

∕?x)=1+2x-3='——,

XX

令f'(X)=0,得X=I或X=；

當(dāng)XW(Os)時(shí)，∕,(x)>0,/(χ)在(0,；)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(g,l)時(shí)，∕,(x)<0,/(χ)在(；,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(l,+8)時(shí)，∕,(x)>0,/(χ)在(1,內(nèi)))上單調(diào)遞增，

則/(χ)在尤=g處取得極大值，在X=1處取得極小值.

極大值為∕g)=-ln2-j,極小值為/(1)=-2.

(2)函數(shù)/(x)的定義域是［Le］,

Ia(x—)(x-1)

ff(x)=-+ax-(a+l)=----------------(α>0)'

XX

當(dāng)?！?時(shí)，令/'0)=0有兩個(gè)解，％=1或x='?

a

當(dāng)0<。4!，即工≥e時(shí)，<(x)≤0,.?.f(x)在口,e］上單調(diào)遞減，

ea

.?.∕U)在U,e］上的最小值是/(e)=l÷∣6ze2-(a+l)e,

當(dāng)!<α<1,即1<L<e時(shí)?，

ea