2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)【舉一反三】系列重難點(diǎn)01 利用基本不等式求最值【八大題型】（舉一反三）（新高考專用）（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)【舉一反三】重難點(diǎn)01利用基本不等式求最值【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1直接法求最值】 2【題型2配湊法求最值】 3【題型3常數(shù)代換法求最值】 4【題型4消元法求最值】 6【題型5構(gòu)造不等式法求最值】 7【題型6多次使用基本不等式求最值】 10【題型7實(shí)際應(yīng)用中的最值問題】 12【題型8與其他知識(shí)交匯的最值問題】 16基本不等式是高考熱點(diǎn)問題，是常考常新的內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn).題型通常為選擇題或填空題，但它的應(yīng)用范圍很廣，涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容，它在高考中常用于大小判斷、求最值、求最值范圍等.在高考中經(jīng)?？疾爝\(yùn)用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值，具有靈活多變、應(yīng)用廣泛、技巧性強(qiáng)等特點(diǎn).在復(fù)習(xí)中切忌生搬硬套，在應(yīng)用時(shí)一定要緊扣“一正二定三相等”這三個(gè)條件靈活運(yùn)用.【知識(shí)點(diǎn)1利用基本不等式求最值的方法】1．利用基本不等式求最值的幾種方法(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值．(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值.(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)構(gòu)造不等式法：構(gòu)建目標(biāo)式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對(duì)和式或積式利用基本不等式，構(gòu)造目標(biāo)式的不等式求解.【知識(shí)點(diǎn)2基本不等式的實(shí)際應(yīng)用】1．基本不等式的實(shí)際應(yīng)用的解題策略(1)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(2)解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍.(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，若等號(hào)取不到，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.【題型1直接法求最值】【例1】（2023上·北京·高一?？茧A段練習(xí)）已知a>0，則a+1a+1的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】用基本不等式求解即可.【解答過程】因?yàn)閍>0，所以a+1a+1≥2a?1故選：B.【變式1-1】（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）已知x>0，則x?4+4x的最小值為（A．－2 B．0 C．1 D．2【解題思路】由基本不等式求得最小值．【解答過程】∵x>0，∴x+4x?4≥2x×4故選：B．【變式1-2】（2023上·山東·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)y=x2?x+9x（A．1 B．3 C．5 D．9【解題思路】利用均值不等式求最小值即可.【解答過程】y=x2?x+9x=x+故選：C.【變式1-3】（2023下·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）3+1x2A．93 B．7+42 C．83【解題思路】依題意可得3+1【解答過程】3+1當(dāng)且僅當(dāng)1x2=12故3+1x2故選：D.【題型2配湊法求最值】【例2】（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知a>1，則a+16a?1的最小值為（A．8 B．9 C．10 D．11【解題思路】運(yùn)用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解答過程】因?yàn)閍>1，所以由a+16a?1=a?1+16a?1故選：B.【變式2-1】（2023上·吉林·高一?？茧A段練習(xí)）已知x>3，則y=2x?3+2xA．6 B．8 C．10 D．12【解題思路】利用基本不等式求和的最小值，注意取值條件.【解答過程】由x?3>0，則y=2當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)等號(hào)成立，故最小值為10.故選：C.【變式2-2】（2023上·海南省直轄縣級(jí)單位·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)x>2，則函數(shù)y=4x?1+4x?2，的最小值為（A．7 B．8 C．14 D．15【解題思路】利用基本不等式求解.【解答過程】因?yàn)閤>2，所以x?2>0，所以y=4x?1+4當(dāng)且僅當(dāng)4x?2=4所以函數(shù)y=4x?1+4故選:D．【變式2-3】（2023上·遼寧·高一校聯(lián)考期中）若x>0，y>0且滿足x+y=xy，則2xx?1+4yA．6+26 B．4+62 C．2+46【解題思路】結(jié)合條件等式，利用基本不等式求和的最小值.【解答過程】若x>0，y>0且滿足x+y=xy，則有1x+1y=12x≥6+22當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=4所以2xx?1+4y故選：D.【題型3常數(shù)代換法求最值】【例3】（2023上·內(nèi)蒙古通遼·高三?？茧A段練習(xí)）已知a>0，b>0，若2a+3b=1，則2a+bA．8 B．9 C．10 D．11【解題思路】利用基本不等式“1”的應(yīng)用即可求解.【解答過程】由題意得a>0，b>0，2a所以2a+b當(dāng)且僅當(dāng)2b3a=6ab時(shí)，即故選：B.【變式3-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)a，b，點(diǎn)M1,4在直線xa+ybA．4 B．6 C．9 D．12【解題思路】根據(jù)題意可得1a【解答過程】由題意得1a+4故a+b=a+b當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab，即故選：C.【變式3-2】（2023上·重慶·高一統(tǒng)考期末）若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+8y?xy=0，則2x+y的最大值為（

A．25 B．16 C．37【解題思路】根據(jù)等式計(jì)算得出1，再結(jié)合常值代換求和的最值，計(jì)算可得最大值.【解答過程】∵x>0,y>0,2x+8y?xy=0,∴x+y=∴2故選:D.【變式3-3】（2023·重慶·統(tǒng)考一模）已知a，b為非負(fù)實(shí)數(shù)，且2a+b=1，則2a2a+1A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】首先根據(jù)題意求出0≤a<12，0<b≤1，然后將原式變形得【解答過程】∵2a+b=1，且a,b為非負(fù)實(shí)數(shù)，b≠0，則a≥0,b>0則b=1?2a>0，解得0≤a<12，2a=1?b≥0，解得∴=2(a+1)?4+2=1當(dāng)且僅當(dāng)4b2a+2=2a+2b即2a+2=2b，故2a+1故選：B.【題型4消元法求最值】【例4】（2023上·江蘇·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足3x?4=9y，則x+8【解題思路】根據(jù)指數(shù)方程，得出x,y的關(guān)系式，運(yùn)用消元法將所求式化成關(guān)于y的關(guān)系式，再利用基本不等式求解.【解答過程】由3x?4=9y，可得x?4=2y，即可得2y+4+8y當(dāng)且僅當(dāng)y=2,x=8時(shí)，取等號(hào)，所以x+8故答案為：12.【變式4-1】（2023上·安徽池州·高一統(tǒng)考期中）已知x,y∈R+，若2x+y+xy=7，則62?5【解題思路】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到x+2y=x2?3x+14x+1，設(shè)【解答過程】由x,y∈R+，且2x+y+xy=7，可得則x+2y=x+2×7?2x設(shè)t=x+1，可得x=t?1且t>1，可得x2當(dāng)且僅當(dāng)t=18t時(shí)，即t=32時(shí)，等號(hào)成立，所以x+2y故答案為：62【變式4-2】（2023上·山東淄博·高一?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a,b，且2a+b+6=ab，則a+2b的最小值為13.【解題思路】根據(jù)基本不等式即可求解.【解答過程】由2a+b+6=ab可得a=b+6b?2>0，由于b>0故a+2b=b+6由于b>2，所以8b?2+2b?2故a+2b=8故a+2b的最小值為13，故答案為：13.【變式4-3】（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知正實(shí)數(shù)a,?b,?c,?d滿足a2??ab+1=0，【解題思路】將(a?c)2+(b?d)2轉(zhuǎn)化為a,b與c,d兩點(diǎn)間距離的平方，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為【解答過程】可將(a?c)2+(b?d)2轉(zhuǎn)化為由a2?ab+1=0，得而c2+d2=1則a,b與圓心0,0的距離為：a2當(dāng)且僅當(dāng)2a2=此時(shí)a,b與圓心0,0的距離最小，即a,b與c,d兩點(diǎn)間距離的平方最小，即(a?c)2當(dāng)a=412故答案為：22【題型5構(gòu)造不等式法求最值】【例5】（2023下·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)b的最大值為8B．1a?1C．a(chǎn)+b有最小值3+D．a(chǎn)2【解題思路】根據(jù)基本不等式運(yùn)用的三個(gè)條件“一正?二定?三相等”，可知ab≥8，所以A錯(cuò)誤；將原式化成a?1b?2=2，即可得1a?1+2b?2=1a?1【解答過程】對(duì)于A選項(xiàng)，ab=2a+b≥22ab，即ab≥22當(dāng)且僅當(dāng)a=2,b=4時(shí)等號(hào)成立，故ab的最小值為8，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，原式化為a?1b?2=2,b=2aa?1>0，故a?1>0所以1a?1+2b?2=對(duì)于C選項(xiàng)，原式化為2b+1當(dāng)且僅當(dāng)a=2+1,b=2+2對(duì)于D選項(xiàng)，a2當(dāng)且僅當(dāng)a=1+2,b=2+2故選：B.【變式5-1】（2022上·山東青島·高一青島二中校考期中）已知x>0，y>0，且x+y+xy?3=0；則下列結(jié)論正確的是（

）A．xy的最小值是1 B．x+y的最小值是2C．x+4y的最小值是8 D．x+2y的最大值是4【解題思路】利用基本不等式得x+y+xy?3≥(xy+3)(xy?1)、x+y+xy?3≤(x+y)24+(x+y)?3分別求xy、x+y的最值，注意取等條件；由題設(shè)有【解答過程】由x+y+xy?3≥xy+2xy?3=(xy即(xy+3)(xy?1)≤0，又x>0，y>0，故所以0<xy≤1，故xy的最大值是1，A錯(cuò)誤；由x+y+xy?3≤(x+y)24所以(x+y)24+(x+y)?3≥0，即(x+y+6)(x+y?2)≥0，又x>0則x+y≥2，僅當(dāng)x=y=1時(shí)等號(hào)成立，故x+y的最小值是2，B正確；由x+y+xy?3=0，x>0，y>0，可得x=3?yy+1，且所以x+4y=3?yy+1+4y=當(dāng)且僅當(dāng)y+1=1，即y=0、x=3時(shí)等號(hào)成立，故x+4y>3，C錯(cuò)誤；同上，x+2y=3?yy+1+2y=當(dāng)且僅當(dāng)y+1=2，即y=2?1、x=2故選：B.【變式5-2】（2023上·江蘇·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．若x>2，則函數(shù)y=x+1B．若x>0，y>0，3x+1C．若x>0，y>0，x+y+xy=3，則xy的最小值為1D．若x>1，y>0，x+y=2，則1x?1+【解題思路】選項(xiàng)A：將函數(shù)變形再利用基本不等式進(jìn)行判斷最值即可，選項(xiàng)B：由基本不等式進(jìn)行判斷即可，選項(xiàng)C：結(jié)合換元法與基本不等式求最值進(jìn)行判斷即可，選項(xiàng)D：對(duì)式子進(jìn)行變形得到1+y【解答過程】解：選項(xiàng)A：y=x+1x?1=x?1+但題設(shè)條件中x>2，故函數(shù)最小值取不到3，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：若x>0，y>0，3x則5x+4y=153選項(xiàng)C：3?xy=x+y?2xy?xy+2xy令xy=tt?0，t2+2t?3?0，解得?3?t?1，即選項(xiàng)D：x+y=2，(x?1)+y=1，1x?1當(dāng)且僅當(dāng)y=2又因?yàn)閤+y=2，故x=2即1x?1+2故選：D．【變式5-3】（2023上·廣東中山·高三校考階段練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y=3，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．yx+3y的最小值為4 C．x+2y的最大值為2 D．x【解題思路】根據(jù)基本不等式以及“1”的妙用判斷各選項(xiàng).【解答過程】對(duì)于A，yx+3對(duì)于B，xy=12?x?2y≤12對(duì)于C，(x則x+2y≤6，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于D，x2+4y故選：C.【題型6多次使用基本不等式求最值】【例6】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)a，b，滿足a+b≥92a+2bA．5 B．52 C．52 【解題思路】先根據(jù)基本不等式求出92a+2【解答過程】由已知可得，a>0，b>0，a+b>0.因?yàn)?2a+2當(dāng)且僅當(dāng)9b2a=2a所以，a+b2當(dāng)且僅當(dāng)2a=3ba+b=92a所以，a+b≥3故選：D.【變式6-1】（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=1，y>0，x≠0，則1x+2A．22?1 B．22+1 C．【解題思路】分為x>0與x<0，去掉絕對(duì)值后，根據(jù)“1”的代換，化簡(jiǎn)后分別根據(jù)基本不等式，即可求解得出答案.【解答過程】當(dāng)x>0時(shí)，1x+2xy當(dāng)且僅當(dāng)yx=2xy，即x=2當(dāng)x<0時(shí)，1x+2當(dāng)且僅當(dāng)y?x=?2xy，即x=?1?2所以，1x+2故選：A.【變式6-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)x,y,z>0，滿足xy+zx=2，則當(dāng)4y+A．1 B．32 C．2 D．【解題思路】?jī)纱螒?yīng)用基本不等式，根據(jù)兩次不等式等號(hào)成立的條件列方程求解即可.【解答過程】因?yàn)閷?shí)數(shù)x,y,z>0，滿足xy+z所以xy+zx=2≥2xy×z所以4y+1z≥2所以當(dāng)yz=1且4y=1此時(shí)解得y=2z=故選：D.【變式6-3】（2023上·遼寧大連·高一期末）若a>0,b>0,a+b=1，則a2+3aba+2bA．2 B．2?2 C．3?2 【解題思路】由已知可得a2+3aba+2b+1【解答過程】由題設(shè)，a2+3aba+2b+1所以a(2b+1)+1b+1所以a2+3aba+2b+2又2b+1b≥2所以a2+3aba+2b即目標(biāo)式最大值為3?22故選：D.【題型7實(shí)際應(yīng)用中的最值問題】【例7】（2023上·四川眉山·高一校聯(lián)考期中）如圖，高新區(qū)某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場(chǎng)所，它的主體造型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為400m2的十字形地域.計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價(jià)為8400元/m2；在四個(gè)相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價(jià)為420元/m2；再在四個(gè)空角（圖中四個(gè)三角形）上鋪草坪，造價(jià)為160元/m2.設(shè)總造價(jià)為y（單位：元），AD長(zhǎng)為x（單位：m）.(1)用x表示AM的長(zhǎng)度，并求x的取值范圍；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，y最小？并求出這個(gè)最小值.【解題思路】（1）由題意可得矩形AMQD的面積，即可得出AM=400?（2）先表示出總造價(jià)y，再由基本不等式求解即可.【解答過程】（1）由題意可得，矩形AMQD的面積為SAMQD因此AM=400?∵AM>0，∴0<x<20.（2）y=8400x2=8000x2+由基本不等式y(tǒng)≥28000當(dāng)且僅當(dāng)8000x2=3200000故當(dāng)x=25時(shí)，總造價(jià)y【變式7-1】（2023上·山東·高一校聯(lián)考期中）某校地勢(shì)較低，一遇到雨水天氣校園內(nèi)會(huì)有大量積水，不但不方便師生出行，還存在嚴(yán)重安全問題.為此學(xué)校決定利用原水池改建一個(gè)深3米，底面面積16平方米的長(zhǎng)方體蓄水池.不但能解決積水問題，同時(shí)還可以利用蓄水灌溉學(xué)校植被.改建及蓄水池蓋兒固定費(fèi)用800元，由招標(biāo)公司承擔(dān).現(xiàn)對(duì)水池內(nèi)部地面及四周墻面鋪設(shè)公開招標(biāo).甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)如下：四周墻面每平方米150元，地面每平方米400元.設(shè)泳池寬為x米.2≤x≤6(1)當(dāng)寬為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低，并求出最低報(bào)價(jià).(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也要參與競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為900ax+2x元(a>0)（整體報(bào)價(jià)中含固定費(fèi)用）.若無論寬為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功，試求【解題思路】（1）根據(jù)題意，列出函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，列出不等式，分離參數(shù)，再結(jié)合基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解答過程】（1）設(shè)甲工程隊(duì)的總造價(jià)為y元，則y=150×2=900=14400當(dāng)且僅當(dāng)x=16x時(shí)，即即當(dāng)寬為4m（2）由題意可得900x+16x即a<令y=∵2≤x≤6,∴4≤x+2≤8.令t=x+2,t∈4,8則y=t+4t+4且t=4時(shí)，ymin∴0<a<9.即a的取值范圍為0,9.【變式7-2】（2023上·江蘇蘇州·高一校考階段練習(xí)）因新冠疫情零星散發(fā)，某實(shí)驗(yàn)中學(xué)為了保障師生安全，同時(shí)考慮到節(jié)省費(fèi)用，擬借助校門口一側(cè)原有墻體建造一間高為4米、底面積為24平方米、背面靠墻體的長(zhǎng)方體形狀的隔離室．隔離室的正面需開一扇安全門，此門高為2米，且此門高為此門底的13．因此室的后背面靠墻，故無需建墻費(fèi)用，但需粉飾．現(xiàn)學(xué)校面向社會(huì)公開招標(biāo)，甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)：正面為每平方米360元，左右兩側(cè)面為每平方米300元，已有墻體粉飾為每平方米100元，屋頂和地面以及安全門報(bào)價(jià)共計(jì)12000元．設(shè)隔離室的左右兩側(cè)面的底邊長(zhǎng)度均為x米(1≤x≤5)(1)記y為甲工程隊(duì)整體報(bào)價(jià)，求y關(guān)于x的關(guān)系式；(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也要參與此隔離室建造的競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為4800t(x+1)x元，問是否存在實(shí)數(shù)t，使得無論左右兩側(cè)底邊長(zhǎng)為多少，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功（注：整體報(bào)價(jià)小者競(jìng)標(biāo)成功），若存在，求出t【解題思路】（1）根據(jù)題意分別計(jì)算正面和側(cè)面以及其它各面的費(fèi)用，相加，可得答案;（2）由題意可得不等關(guān)系240(184x+10x)?3120>4800t(x+1)x,對(duì)任意【解答過程】（1）由題意，隔離室的左右兩側(cè)的長(zhǎng)度均為x米(1≤x≤5)，則底面長(zhǎng)為24x米，正面費(fèi)用為360(4×故y=360(4×24=240(184x+10x)?3120（2）由題意知,240(184x+10x)?3120>4800t(x+1)即t<10x2令k=x+1,則x=k?1,k∈[2,6]，則t<10而k2+207故0<t<207即存在實(shí)數(shù)0<t<207【變式7-3】（2023上·重慶·高一?？茧A段練習(xí)）為宜傳2023年杭州亞運(yùn)會(huì)，某公益廣告公司擬在一張面積為36000cm2的矩形海報(bào)紙（記為矩形ABCD，如圖）上設(shè)計(jì)四個(gè)等高的宣傳欄（欄面分別為兩個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角三角形），為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm，設(shè)DC=x(1)將四個(gè)宣傳欄的總面積y表示為x的表達(dá)式，并寫出x的范圍；(2)為充分利用海報(bào)紙空間，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸（AD和CD分別為多少時(shí)），可使用宣傳欄總面積最大？并求出此時(shí)宣傳欄的最大面積．【解題思路】（1）根據(jù)題意列出總面積y表示為x的表達(dá)式即可.（2）根據(jù)（1）利用基本不等式求可使用宣傳欄總面積最大時(shí)AD和CD的值.【解答過程】（1）根據(jù)題意DC=xcm，矩形海報(bào)紙面積為所以AD=36000又因?yàn)楹?bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm，所以四個(gè)宣傳欄的總面積y=CD其中x?50>036000x?20>0即y=x?50（2）由（1）知y=x?50則y=20x+1800000x≥2則y=37000?20x+1800000x即CD=300cm,可使用宣傳欄總面積最大為25000cm【題型8與其他知識(shí)交匯的最值問題】【例8】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足c+bcos(1)求A；(2)若角A的平分線交BC于D點(diǎn)，且AD=1，求△ABC面積的最小值.【解題思路】（1）由已知結(jié)合正弦定理邊化角即可求解;（2）表示出所求面積后運(yùn)用基本不等式即可求解.【解答過程】（1）由已知和正弦定理可得：sinC+所以sinC=又因?yàn)镃∈(0,π)，2A?B∈(0,π)，所以C=2A?B或者C+2A?B=π.當(dāng)C=2A?B時(shí)，A+B+2A?B=π，A=π當(dāng)C+2A?B=π時(shí)，A=2B與題設(shè)A≤B不符.綜上所述，A=π（2）△ABC面積S=1由AD是角平分線，∠BAD=∠CAD=π因?yàn)镾△ABC=S即b+c=3bc，由基本不等式3bc≥2當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2所以面積S=3故△ABC面積的最小值33【變式8-1】（2023上·安徽銅陵·高二校聯(lián)考期中）已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，面積為9π(1)求圓C的方程；(2)若直線l，l'都經(jīng)過點(diǎn)(0,2)，且l⊥l'，直線l交圓C于M，N兩點(diǎn)，直線l'交圓C于P，【解題思路】（1）根據(jù)面積解出半徑，再應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）根據(jù)幾何法求出弦長(zhǎng)，再應(yīng)用面積公式計(jì)算，最后應(yīng)用基本不等式求最值即可.【解答過程】（1）由題可知圓C的圓心為C(0,0)，半徑r=3．所以圓C的方程為x2（2）當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，圓心到直線l的距離為d，則d=2k2同理可得|PQ|=29?則SPMQN當(dāng)且僅當(dāng)9?4k2當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，|MN|=6，|PQ|=23此時(shí)SPMQN當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可得SPMQN綜上所述，四邊形PMQN面積的最大值為14．【變式8-2】（2023上·江蘇鹽城·高一?？茧A段練習(xí)）已知在定義域內(nèi)單調(diào)的函數(shù)fx滿足f(1)設(shè)fx+1(2)解不等式f7+2x(3)設(shè)gx=fx?lnx，若【解題思路】（1）由題意列方程求解；（2）由函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化后求解；（3）參變分離后轉(zhuǎn)化為最值問題，由換元法結(jié)合基本不等式求解.【解答過程】（1）由題意得fx=ln由于y=lnk?1觀察lnk?12（2）由于fx在定義域內(nèi)單調(diào)，所以f由（1）得fx=lnx?1f?x故原不等式可化為f7+2x由2x+7>0?x>07+2x>?x，解得故原不等式的解集為?7（3）gxgx≥mg對(duì)于任意的x∈1,2設(shè)t=?2x+1∈?3,?1，則由基本不等式得t+2t=??t+2故當(dāng)t=?2時(shí)1故m≤22?2，當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)m的取值范圍為?∞【變式8-3】（2023下·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)(1)證明：點(diǎn)P在A1(2)若AB=BC，求直線PA與平面PCD所成角的正弦的最大值.【解題思路】（1）由二面角定義知AP⊥PD1,CP⊥PD1，利用線面垂直的判定及性質(zhì)可證PD1⊥面APC、（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令P(12,12,k)且【解答過程】（1）由∠APC是二面角A?PD1?C又AP∩CP=P，AP,CP?面APC，則PD1⊥又AC?面APC，即PD1⊥AC，由長(zhǎng)方體性質(zhì)知A由長(zhǎng)方體性質(zhì)：AA1⊥面A1B1C又A1C1∩AA1=A1而面APC∩面ACC1A1=AC，且PD1⊥面APC、P所以面APC與面ACC1A1為同一平面，又P∈面A1B1所以點(diǎn)P在A1（2）構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，令A(yù)B=BC=1，AA由題設(shè)，長(zhǎng)方體上下底面都為正方形，由（1）知PD1⊥A1所以P(12,12,k)且則AP=(12,1若m=(x,y,z)是面PCD的一個(gè)法向量，則m?PC=1所以|cos僅當(dāng)k=422時(shí)等號(hào)成立，故直線PA與平面PCD1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若x，y滿足x2+yA．x+y≤1 B．x+y≥?2C．x2+y【解題思路】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假．【解答過程】因?yàn)閍b≤a+b22≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y由x2+y2?xy=1可變形為x因?yàn)閤2+y2?xy=1變形可得x?y=43+23