生活中的數(shù)學(xué)(十一)-生活中的二次函數(shù)

生活中的數(shù)學(xué)（十一）—生活中的二次函數(shù)二次函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中占據(jù)重要的地位，同時(shí)也是進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要的工具，它貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)與學(xué)。從最淺顯的直觀的利用圖象解方程、解不等式、求最值，到利用數(shù)形結(jié)合的思想研究一元二次方程中根的分布問題，再進(jìn)而用二次函數(shù)來解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，無不體現(xiàn)二次函數(shù)的重要性和它獨(dú)特的魅力。在中考中，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用同樣是一個(gè)考察的重難點(diǎn)，而很多學(xué)生在考試中暴露出一個(gè)問題：用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力不足。所以，我們需要進(jìn)一步研究二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用和對實(shí)際生活的影響，從而培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。1.在橋梁建筑方面的應(yīng)用拋物線在橋梁建筑方面有著廣泛的應(yīng)用。在實(shí)際生活中，由于各種不同的需要，大多數(shù)的橋梁建筑都運(yùn)用了二次函數(shù)的性質(zhì)，將其形狀設(shè)計(jì)為拋物線的形式。所以，我們在現(xiàn)實(shí)生活中能夠找到很多具有拋物線特征的建筑物，如下圖所示：圖1-1圖1-2同時(shí)，在現(xiàn)實(shí)生活中也存在許多與建筑、設(shè)計(jì)有關(guān)的二次函數(shù)的數(shù)學(xué)問題。下面，我們用以下幾個(gè)例子來進(jìn)行說明。例1.一座單行隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長為，寬為，隧道最高點(diǎn)位于的中央且距地面，建立如圖1-3所示的坐標(biāo)系。（1）求拋物線的解析式；（2）一輛貨車高，寬，能否從該隧道內(nèi)通過，為什么？（3）如果隧道內(nèi)設(shè)雙行道如圖1-4所示，那么這輛貨車是否可以順利通過，為什么？圖1-3圖1-4解（1）由題意可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，。設(shè)拋物線的方程為，將、、三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程。解得拋物線方程為：.（2）令，則有,解得,而,所以貨車可以通過。（3）由（2）可知,所以貨車可以通過。2.在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用在產(chǎn)品銷售過程中，產(chǎn)品的單價(jià)影響銷售量，從而影響著銷售所獲得的利潤。而經(jīng)營者為了獲得最大利潤，產(chǎn)品的銷售定價(jià)和銷售量、產(chǎn)品成本等不同因素之間的影響是我們必須要探究、解決的。因此，此類問題的解決我們同樣需要運(yùn)用二次函數(shù)的相關(guān)知識。例2.為了落實(shí)國務(wù)院副總理李克強(qiáng)同志到恩施考察時(shí)的指示精神，最近，州委州政府又出臺了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加。某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為元/千克。市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量(千克)與銷售價(jià)(元/千克)有如下關(guān)系：。設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為(元)。

(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式。

(2)當(dāng)銷售價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？(3)如果物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不得高于元/千克，該農(nóng)戶想要每天獲得元的銷售利潤，銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？分析利潤=（單價(jià)-成本）*銷售數(shù)量，這是問題解答的關(guān)鍵。解(1)與的函數(shù)關(guān)系式為：,所以，與的函數(shù)關(guān)系式為：，

由（1）可知：，因?yàn)椋院瘮?shù)有最大值，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為，

所以，當(dāng)時(shí)，有最大值，因此，當(dāng)銷售價(jià)定為元/千克時(shí),每天可獲最大銷售利潤元。當(dāng)時(shí)，可得方程，

解這個(gè)方程，得，

根據(jù)題意，不合題意,應(yīng)舍去，

所以，當(dāng)銷售價(jià)定為元/千克時(shí)，該農(nóng)戶每天可獲得銷售利潤元。銷售定價(jià)問題的根本就是保證利潤的最大化，利潤=（單價(jià)-成本）*銷售數(shù)量，而產(chǎn)品的成本是固定，所以單價(jià)越大，利潤越高；銷售量越大，利潤也越高。而當(dāng)銷售單價(jià)越來越大時(shí)，銷售數(shù)量往往逐漸減少，所以我們需要在這個(gè)變化過程中找到使得利潤最大化的最優(yōu)銷售單價(jià)。3.在日常生活中的應(yīng)用二次函數(shù)除了在建筑設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用外，在日常生活的應(yīng)用也是十分廣泛的。我們在日常生活中所參加的各種體育運(yùn)動(dòng)如籃球、排球、羽毛球等，其球體的運(yùn)動(dòng)路徑就是一個(gè)拋物線。在運(yùn)動(dòng)過程中，對于運(yùn)動(dòng)員的成績和球體命中的準(zhǔn)確性的估計(jì)都離不開二次函數(shù)。例3.在體育測試時(shí)，初三的一名高個(gè)子男同學(xué)推鉛球，已知鉛球所經(jīng)過的路線是某個(gè)二次函數(shù)圖像的一部分，如圖所示，如果這個(gè)男同學(xué)的出手處點(diǎn)的坐標(biāo)，鉛球路線的最高處點(diǎn)的坐標(biāo)為。(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)該男同學(xué)把鉛球推出去多遠(yuǎn)？(精確到米，)圖3-1圖3-1解(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，圖3-1所以，而點(diǎn)在拋物線上，

所以，則.當(dāng)時(shí)，，解得(不合題意，舍去)，所以（米）。4.在政策補(bǔ)貼上的應(yīng)用對于社會(huì)上城鄉(xiāng)居民的生活補(bǔ)助，對城市規(guī)劃的建設(shè)，對公共設(shè)施的建設(shè)要求等都有涉及到二次函數(shù)的應(yīng)用。下面就以其中一個(gè)方面進(jìn)行舉例說明。例4某市種植某種綠色蔬菜，全部用來出口。為了擴(kuò)大出口規(guī)模，該市決定對這種蔬菜的種植實(shí)行政府補(bǔ)貼，規(guī)定每種植一畝這種蔬菜一次性補(bǔ)貼菜農(nóng)若干元。經(jīng)調(diào)查，種植畝數(shù)（畝）與補(bǔ)貼數(shù)額（元）之間大致滿足如圖(1)所示的一次函數(shù)關(guān)系。隨著補(bǔ)貼數(shù)額的不斷增大，出口量也不斷增加，但每畝蔬菜的收益（元）會(huì)相應(yīng)降低，且與之間也大致滿足如圖(2)所示的一次函數(shù)關(guān)系。(1)(2)圖4-1（1）在政府未出臺補(bǔ)貼措施前，該市種植這種蔬菜的總收益額為多少？（2）分別求出政府補(bǔ)貼政策實(shí)施后，種植畝數(shù)和每畝蔬菜的收益與政府補(bǔ)貼數(shù)額之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）要使全市這種蔬菜的總收益（元）最大，政府應(yīng)將每畝補(bǔ)貼數(shù)額定為多少？并求出總收益的最大值。分析惠農(nóng)政策是國家的基本政策，能進(jìn)入中考，是對國家政策的正面宣傳。解（1）政府沒出臺補(bǔ)貼政策前，這種蔬菜的收益額為：（元）。由題意可設(shè)與的函數(shù)關(guān)系為，將代入上式得，得，所以種植畝數(shù)與政府補(bǔ)貼的函數(shù)關(guān)系為，同理可得每畝蔬菜的收益與政府補(bǔ)貼的函數(shù)關(guān)系為.（3）由題意，得：所以