2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué) 人教A版2019必修第一冊(cè) 同步講義 第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式單元檢測(cè)題 含解析

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式單元檢測(cè)題

第I卷（選擇題）

一、單選題

1.（2022.湖北?宜昌市夷陵中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）記集合M={φ2>4},^V={Ψ2-4X≤O},則

MN=（）

A.{x∣2<x≤4}B.{x∣x≥0或X<-2}

C.{x∣0≤x<2}D.{x∣-2<x≤4}

【答案】A

【分析】化簡(jiǎn)集合，再由交集的定義即得.

［詳解］VM={x∣x2>4）={x∣x<-2X>2},/V={X∣√-4Λ?≤0}={X∣0<X≤4},

所以MN={x∣2<x≤4}.

故選：A.

2.（2022?江蘇?蘇州中學(xué)高二期末）已知集合A={x∣χ2+x-2≤θ},8={x∣mzθ1,則

A∩B=（）

A.{x∣-2<x<2）B.{x∣-2<x<l}C.{x∣-2<x<-l}D.{x∣-2<r<-l}

【答案】D

【分析】求出集合AB后可求4B.

【詳解】A={x∣-2≤x<l},而8={x∣x<T或xN2},

故AB={x∣-2≤x<-l},

故選：D.

3.（2022?浙江?諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)xwR,則“l(fā)<x<2"是“χ2-2x-3<（Γ'

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】先解出不等式f-2χ-3<0,再判斷充分性和必要性即可.

【詳解】由于不等式f-2x—3<0的解集為{x∣-l<x<3},貝∣Jl<x<2可推出-l<x<3,反

之不成立，

所以"l<x<2”是“丁―2x-3<0”的充分而不必要條件.

故選：A.

4.（2022.河南?新蔡縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知以b、c、JeR,下列命題正

確的是（）

A.若α>0,則ac>bcB.若a>b,c>d,貝IJaC>

C.若a>b,則，?<?D.若L<4，則∣α∣>∣b∣

ab?a??b?

【答案】D

【分析】舉反例否定選項(xiàng)A,B,C;利用不等式的性質(zhì)證明選項(xiàng)D正確.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)c≤0時(shí)不成立；

對(duì)于B,當(dāng)。=1,。=-2,C=O,d=T時(shí)，顯然不成立；

對(duì)于C,當(dāng)。=1,〃=-2時(shí)不成立；

對(duì)于D,因?yàn)?<上<上，所以有∣α∣>屹>0,即∣S>∣b∣成立.

Ial?b?

故選：D.

5.(2021?新疆?和碩縣高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí))關(guān)于X的一元二次不等式a√+20r+l>0的

解集為R,則。的取值范圍()

A.a>0B.0<a<lC.0<α≤lD.a>1

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，即可求解.

【詳解】要使一元二次不等式62+2依+1>0的解集為R,則需滿足

”>0

■.、2=>0<α<l,

?=(2iz)-467<0

故選：B

6.(2022?全國(guó)?高一專題練習(xí))若命題FXOeR,年+(α-l)%+1<0”的否定是假命題，則實(shí)

數(shù)α的取值范圍是()

A.[-I,3JB.(-1,3)

C.(-co,-1]U[3,+∞)D.(-8,-1)U(3,+∞)

【答案】D

【分析】由命題的否定是假命題，可得該命題是真命題，利用A>0求得”的取值范圍.

【詳解】命題咱x°eR,引+(叱1比+1<0”的否定是假命題，

則命題“mx^eR,Xo,+(α-l)%+l<0”是真命題，

BP?=(Λ-1)2-4>0,

解得?>3或a<-1,

實(shí)數(shù)4的取值范圍是(-8,-I)U(3,+8)

故選：D

41

7.(2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí))已知正實(shí)數(shù)匕滿足■~~-+—=!,則α+2A的最

a+bb+?

小值為（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

41

【分析1令α+M=α+b+"lT,用。+〃+〃+1分另IJ乘T+1=l兩邊再用均值不等式

a+b?7+7l

求解即可.

41

【詳解】因?yàn)椤?+士=1,且。涉為正實(shí)數(shù)

a+b?+l

rr?∣,,1?∕41\4a+b4(?÷1)

所以r。+。+Z7?+1I=(λQ+0+87+1)(------1------)=4+-------F---------+1

a+bb+1?+la+b

知2借，號(hào)=9,當(dāng)且僅當(dāng)鬻=誓即j+2時(shí)等號(hào)成立.

所以α+2?+l≥9,α+20≥8.

故選：B.

8.（2022?遼寧撫順?高二期末）已知4>0,b>0,ab=?,則“一+1一+6的最小值為（）

a+b

A.2B.4C.2√2D.4√2

【答案】B

【分析】對(duì)原式化簡(jiǎn)，然后根據(jù)基本不等式求解.

【詳解】因?yàn)閍>0,b>O,ab=?.所以

i+6=(α+/2"+6=("+4+4=4+[+、4,當(dāng)且僅當(dāng)α=b=l時(shí)，等號(hào)成

a+ba+ba+ba+b

立?

故選：B.

二、多選題

9.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)t下列不等關(guān)系中正確的是（）

ab

,,c,,CbaACba

A.ub>ci—bB.cιb<—u—bC.—ι—>2D.—>一

abab

【答案】CD

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，特值法以及基本不等式即可判斷各關(guān)系式的真假.

【詳解】對(duì)A,由1<?<0,得b<a<O,當(dāng)a=—1,/,=-2時(shí)，A錯(cuò)誤；

ab2

對(duì)B,當(dāng)”=一2,。=一3時(shí)，B錯(cuò)誤；

對(duì)C,由L<?<0,得b<a<O,根據(jù)基本不等式知，C正確：

ab

對(duì)D,由！<,<0,得b<a<0,所以〃>/,因?yàn)?-g=2二￡>0,所以D正確.

ababab

故選：CD.

10.（2022.福建省華安縣第一中學(xué)高二期末）下列條件中，為，，關(guān)于X的不等式

Znr2_Znr+］>0對(duì)VXCR恒成立”的充分不必要條件的有（）

A.0≤〃？<4B.0<m<2

C.?<m<4D.—1<m<6

【答案】BC

【分析】對(duì)陽(yáng)討論：m=0;∕n>0,J<0：m<0,結(jié)合二次函數(shù)的圖象，解不等式可得陽(yáng)

的取值范圍，再由充要條件的定義判斷即可.

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于X的不等式皿2—Anr+1>0對(duì)VXeR恒成立，

當(dāng)m=0時(shí)，原不等式即為1>0恒成立；

當(dāng)m>0時(shí)，不等式/nr?—*+］〉。對(duì)VXeR恒成立，

可得/<0,即能2—4m<0,解得：0<∕n<4.

當(dāng)m<0時(shí)，y=∏ιr2-znx+］的圖象開(kāi)口向下，原不等式不恒成立，

綜上：皿的取值范圍為：［0,4）.

所以''關(guān)于X的不等式皿2-nr+1>0對(duì)VXeR恒成立”的充分不必要條件的有

（）<加<2或1<<4.

故選：BC.

11.（2021?江蘇省沐陽(yáng)高級(jí)中學(xué)高一期中）下列說(shuō)法正確的有（）

A.y=蘭±1的最小值為2

X

B.任意的正數(shù)以b,且α+b=l,都有&+揚(yáng)≤近

C.若正數(shù)X、>滿足x+2y=3孫，則2x+y的最小值為3

D.設(shè)x、V為實(shí)數(shù)，若9∕+V+孫=1,則3x+y的最大值為旭

7

【答案】BCD

【分析】對(duì)于A、B、C選項(xiàng)直接用均值不等式計(jì)算即可.對(duì)于D選項(xiàng)，先用均值不等式計(jì)算

9x2+Γ,將結(jié)果代入已知得到孫的范圍，再將9/+尸+Xy=I配方、解出不等式即可.

2

Y+1I

【詳解】選項(xiàng)A:y==x+L,

XX

當(dāng)x>0時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)有最小值.

故A不正確.

選項(xiàng)B：&+揚(yáng)=’(6+〃)=^(Λ+?)÷2>∕^?=Λ∕1+2>∕^?

對(duì)于任意正數(shù)〃、b,a-^rb≥2?[ab,而。+人=1,所以2j^≤l，

當(dāng)且僅當(dāng)a=人=T時(shí)取得最大值.

所以G+√F≤0,當(dāng)且僅當(dāng)。=6=g時(shí)取得最大值.

故B正確.

21

選項(xiàng)C：對(duì)于正數(shù)X、y,x+2y=3xy,所以一+—=3

Xy

所以2x+y=gx3(2x+y)=；(：+()(2x+y)

45+祖+竺]≥%+2岸]=3

31X”31NXyl

當(dāng)且僅當(dāng)空=旦，即χ=y=l時(shí)取得最小值.

Xy

故C正確.

選項(xiàng)D：因9/+9+e=(3χ+y)2-5Xy=I

所以(3x+y)2-l=5w≤∣x(N∣H)2,BP(3x+>02≤y

所以-差i≤3χ+y≤益"，當(dāng)且僅當(dāng)3χ=y=率時(shí)等號(hào)成立.

故D正確.

故選：BCD.

12.(2022?湖南?邵陽(yáng)市第二中學(xué)高一期末)已知a>0,b>O,下列命題中正確的是()

A."5+9+JJ+J的最小值為2

B.若CIb-a-2h=U,則α+2?≥8

]4

C.若Q+力=2,則一+;≥9

ah

D.若一二+=[,則〃/?+〃+人≥14+66

。+1hJ+23

【答案】BD

【分析】求得^/^3+開(kāi)工最小值排除選項(xiàng)A；求得α+力最小值選B；求得:最小

√x+9ab

值排除選項(xiàng)C：求得必+α+6最小值選D.

【詳解】選項(xiàng)A：f=√73（fN3）,則G7歷+彳有=1+7

令”舊（x≥3）,則y=x+：在［3,+∞）上為增函數(shù),則一+鴻

則必最小值為號(hào).判斷錯(cuò)誤;

故Jd+9H—，■’-tH—≥j,3+

√X2+9t

選項(xiàng)B：由α>0,b>0,ab-a-2b=0^^a+2b=ab,

2

Q+2。

則2(α+2?)=2ab≤I（、與“僅當(dāng)。=?=4時(shí)等號(hào)成立）,

2

解之得〃+2b≥8.判斷正確;

選項(xiàng)C：α>0,b>O,a+b=2,

14143，叱」以色)」(5+2、匕'bg4a=29

—+—一+一

abab22ab2Vab2

（當(dāng)且僅當(dāng)“勿二§時(shí)等號(hào)成立），則∕g≥?∣?判斷錯(cuò)誤;

選項(xiàng)D：由六+￡=3,可得3(α+l)+3(b+2)=(α+D(6+2),

則a=2?+7,又。>0,/?>0,則8>1

b-?

則9+。+於也"空2+b=2/+9H7+0

b-?b-?h-?

2

2(?-l)+13(Z>-l)+18+?=3(?-l)+^η-+14≥14+6√6

b-?

（當(dāng)且僅當(dāng)b=后+1時(shí)等號(hào)成立），故有4b+a+6214+6指.判斷正確.

故選：BD

第II卷（非選擇題）

三、填空題

13.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如果關(guān)于X的不等式加+6χ+c>0的解集為{x∣T<x<2},

則關(guān)于X的不等式bx2-ax-c>0的解集為.

【答案】（-8,-2）51，+e）

【分析】由解集得T2是方程fl√+fer+c=O的兩實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理得

b^-a>0,c=-2a>0,代入不等式6/一④一心?；?jiǎn)后解不等式可得答案.

【詳解】關(guān)于X的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x∣-l<x<2},

-L2是方程蘇+?r+c=O的兩實(shí)數(shù)根，且"0,

由韋達(dá)定理得,

-1×2=-

a

.?h=-a>O,c=-2a>O,

二?不等式加一打一。>0化為-OX2-奴+2。>0nχ2+工_2>0,

即(X-I)(X+2)>0,解得x<—2或x>l,

故答案為：(Yo,-2)U(1,4∞).

14.(2022?陜西漢中?高一期末)若關(guān)于X的一元二次不等式2χ2-日+三>0對(duì)于一切實(shí)數(shù)X

O

都成立，則實(shí)數(shù)&的取值范圍為.

【答案】(-√3,√3)

【分析】由判別式小于0可得.

【詳解】由題意A=∕-4x2*B<0,-^<?<√3.

O

故答案為：(-6,6).

15.(2021.河北省曲陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí))已知”,ft∈R,且”>g>O,則

/+—MI的最小值是_____?

[2a-b)b

【答案】2

【分析】?jī)纱卫没静坏仁郊纯傻贸鼋Y(jié)論.

【詳解】???*>o,

a2+----------->a2+----------------7=a2+二N2

.?.(2a-b)b^2a-b+b^/,當(dāng)且僅當(dāng)α=I=b時(shí)取等號(hào)，

其最小值是2,

故答案為：2.

16.(2022?黑龍江?大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末)已知α>0,b>0,下面四個(gè)結(jié)論：

①"≤孚；②若α>b>O,則"+1+77?7的最小值為4；③若α>'則C≤??;

i

a+b2bb(a-b)ab

④若^+τ—=1,則α+2?的最小值為2&;

α+lb+?

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)

【答案】①③④

【分析】對(duì)于①，由/+A2≥2",^a2+b2+2ab≥4ab,然后變形后判斷，對(duì)于②，變形

后利用基本不等式判斷，對(duì)于③，由不等式的性質(zhì)判斷，對(duì)于④，將

(α+l+2"2)J[+J7]展開(kāi)由基本不等式可推導(dǎo)出結(jié)果

1α+l?+l)

【詳解】對(duì)于①，l?I^Ja2+b2≥2ab^所以/+〃+2α力≥4α0,B∣J(tz÷?)2≥4(7?,

因?yàn)棣?gt;O,b>O,所以當(dāng)≤孚，所以①正確，

a+b2

對(duì)于②，因?yàn)棣?gt;8>0,所以。一b>O,

所以"+5+止=("+?)+雙。一切+出

22"2出血高=6,

當(dāng)且僅當(dāng)b(a-b)=—^—,即α=邁,6=應(yīng)時(shí)取等號(hào)，所以②錯(cuò)誤，

bb(a-b)2

11「262

對(duì)于③，因?yàn)棣?gt;b>O,所以0)<!，因?yàn)楱M≥o,所以J≤J,所以③正確，

abab

對(duì)于④，因?yàn)?a+l+2^+2)j-!-+-?-]=3+23+1)+四≥3+2j2S+D?巫=3+2夜,

Ia+1b+1Jα+lZ?÷IV。+1Z?+1

當(dāng)且僅當(dāng)衛(wèi)字=冷，即α=√5,6=立時(shí)取等號(hào)，

a+?h+?2

因?yàn)?L+Jτ=L所以。+l+2h+2≥3+20，所以α+2∕?≥20,3且僅當(dāng)α=V∑,Z?=

α+l?+l2

時(shí)取等號(hào)，所以④正確，

故答案為：①③④

四、解答題

17.(2021.新疆?和碩縣高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí))解下列不等式：

(1)4X2-4X÷1>0;

(2)X2-6X+9≤0;

(3)—x2÷2x—3>0;

【答案】(1){XXH(};

(2){X∣X=3}5

⑶0;

【分析】利用二次方程與二次不等式的關(guān)系直接求解即可.

(1)因?yàn)?丁_41+1=(2*-1)2,所以4f-4x+l>0的解集為卜x≠g

(2)因?yàn)棣?-6χ+9=(x-3)2≤0,所以W—6x+9≤0的解集為{x∣x=3}:

(3)原不等式可化為χ2-2χ+3<0,S^Δ=22-4×3=-12<0,所以方程M-2x+3=O無(wú)

實(shí)根，又因?yàn)閥=V-2x+3的圖象開(kāi)口向上，所以原不等式的解集為0；

18.(2022?湖南常德?高一期末)己知二次函數(shù)/(X)=公2+bx+c(ab,C為實(shí)數(shù))

⑴若/(x)<。的解集為(1，2),求不等式。/+^+。〈。的解集；

(2)若對(duì)任意x∈R,b>0時(shí)，/(x”0恒成立，求華的最小值；

b

(3)若對(duì)任意xeR,2x+2≤∕(x)≤2f-2x+4恒成立，求他的最大值.

【答案】⑴卜《<x<l)

(2)1

(3?

【分析】(1)根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程的根之間的關(guān)系即可求解.

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得”>0,6>0,∕-4ac≤0,進(jìn)而根據(jù)基本不等式即可求解.

⑶取x=l得α+b+c=4,根據(jù)判別式小于0可得c=α+2,進(jìn)而可得&c力的關(guān)系，根據(jù)

基本不等式即可求解

(1)依題意知，a>0,且方程o√+?r+c=0的兩根為1,2由根與系數(shù)間的關(guān)系得

hC

--=3,-=2,則6=—34,c=2”.故不等式

aa

CX2+?r+α=2α2-30r+α="(2χ2-3χ+l)=α(2X-I)(X-I)<0解得：∣<x<l,即原不等式

的解集為{χj<χ<ι).

2

⑵因?yàn)閤∈R5b>0時(shí),F(X)20恒成立,??t?a>0,?>0,?-4izc≤0,那4αc≥Z√,即c>0,

所以竺￡≥亞≥2=ι(當(dāng)且僅當(dāng)α=c=與時(shí)等號(hào)成立)

bbb2

(3)令x=l,則4≤"+A+c≤4,所以α+6+c=4.>?{≡?x∈R,2x+2≤ax2+hx+c,恒

成立，所以加+(。-2)x+c-2≥0恒成立.所以4>0且

△=(b—2)2-4ɑ(c—2)=(ɑ+c—2)2—4ɑ(c—2)=(“一c+2)2≤0所以c=ɑ+2,此時(shí)加+6=2,

因此o6=Jχ2α6vJ(世史丫=!，當(dāng)且僅當(dāng)α=1S=l時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)c=￡,(或

2212J222

“∕>=”(2-2a)=2α(l-α)=-2(a-g)+-^≤?^)驗(yàn)證，

2χ2-2x+4-"X)=2X2-2Λ+4-+Λ+-∣J=-∣Λ2-3%+=?∣(X-1)^≥O成立故“匕的最

大值為T(mén).

19.(2022?四川廣安?高一期末(理))已知不等式(a+l*—4x-6<0的解集是兇―l<x<3}.

(1)求常數(shù)“的值；

(2)若關(guān)于X的不等式or?+znv+4≥0的解集為R,求m的取值范圍.

【答案】(Da=I

⑵H4]

【分析】(I)由題意可得T和3是方程(α+l)x2-4x-6=0的解，將X=T代入方程中可

求出α的值；

(2)由χ2+"ur+4≥0的解集為R,可得A4θ,從而可求出，"的取值范圍

(1)

因?yàn)椴坏仁?α+l)x2-4x-6<0的解集是何-l<x<3}?

所以一1和3是方程(α+l)χ2-4x—6=0的解，

把X=T代入方程解得。=1.經(jīng)驗(yàn)證滿足題意

(2)

若關(guān)于X的不等式α√+zmr+4N0的解集為R,即丁+g+420的解集為R,

所以A="∕-16≤0,

解得T≤m44,所以"?的取值范圍是[Y,4].

20.(2022?福建南平?高二期末)設(shè)全集U=R,集合M={x∣x2-4x+3≤θ},N=3―2<x<2},

P=^x?a<X<α+2∣

⑴求MUN,M(心加

(2)若PqN,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【答案】(I)MUN={x∣-2<x≤3},MC(Q,N)={x∣2≤x≤3}

(2)α∈[-2,0]

【分析】(1)解一元二次不等式得集合M,按集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可；

(2)利用集合間的包含關(guān)系，列不等式求解.

(1)

解：由M={x,-4x+3≤θ}得M={x∣l≤x≤3},

所以Λ∕□N={H-2<X≤3}

由N={x∣-2<Λ<2}得Q,N={X∣Λ≤-2Mr≥2},

所以M(4,N)={M24x≤3}

(2)

解：根據(jù)集合PaN得[”：二，解得a∈[-2,0]

[4+2≤2

9

21.(2022.四川達(dá)州.高一期末(理))(1)已知x>3,求x+——的最小值;

x-2

(2)已知x>O,y>O,且3x+2y-l=0,證明：；+；￡4.

3x2y

【答案】(1)8；(2)證明見(jiàn)解析.

99

【分析】(1)X+'可化為x-2+?+2,再由基本不等式求其最值；(2)由條件可得

x-2x-2

4+3=α→3](3x+2y),結(jié)合基本不等式完成證明.

3x2y(3x2y)

99

【詳解】解：(1)因?yàn)楣?gt;3,所以％—2>1,則x+―-=x-2+-?-+2≥6+2=8,

x-2x-2

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當(dāng)且僅當(dāng)一二”，即x=5時(shí)，等號(hào)成立.所以x+最小值8.

x-2

(2)因?yàn)棣?gt;0,y>0,3x+2y-l=0得3x+2y=l.

1111

則LL=—+—×1=(3x+2y)=l+?+-+l≥2+2

3x2y13X2y73xIy

所以成立，當(dāng)且僅當(dāng)X