廣東省陽江市2023-2024學年高二年級上冊數(shù)學期末經(jīng)典模擬試題含解析

廣東省陽江市2023-2024學年高二上數(shù)學期末經(jīng)典模擬試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.為了解青少年視力情況，統(tǒng)計得到10名青少年的視力測量值（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個位數(shù)，葉表

示十分位數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

398

46420

51320

A.4.6B.4.5

C.4.3D.4.2

EGI

2.在三棱錐S—ABC中，點E,歹分別是SA,的中點，點G在棱所上,且滿足一=彳，若SA=a,S3=b,SC=c，

EF3

則AG=（）

1一1,1一21,1.

A.—a——b+—cB.——a+—b+—c

326366

1_11一1-1r1-

C.—a—brH—cD.——a——b+—c

632362

3.如圖①所示，將一邊長為1的正方形ABC。沿對角線BD折起，形成三棱錐C-A3D,其主視圖與俯視圖如圖②

所示，則左視圖的面積為（）

4.已知。為等腰直角三角形P。。的直角頂點，以0P為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到幾何體7,CD是底面圓。上的弦,

△COD為等邊三角形，則異面直線OC與PD所成角的余弦值為（）

1

A.-旦

44

f喈

5.為了更好地研究雙曲線，某校高二年級的一位數(shù)學老師制作了一個如圖所示的雙曲線模型.已知該模型左、右兩側(cè)

的兩段曲線（曲線A3與曲線CD）為某雙曲線（離心率為2）的一部分，曲線A3與曲線CD中間最窄處間的距離

為30cm,點A與點C,點8與點。均關(guān)于該雙曲線的對稱中心對稱，且卻=36cm,貝（）

A.12V10cniB.

C.38cmD.6A/57cm

6.拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于

拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線C：y2=p%（p>0）,。為坐標原點，一條

平行于X軸的光線4從點M（5,2）射入，經(jīng)過c上的點A反射后，再經(jīng)。上另一點3反射后,沿直線4射出,經(jīng)過點N.下

列說法正確的是（）

A.若°=2,貝!）|AB|=4B.若°=2,則MB平分NABN

C.若。=4,貝!||AB|=8D.若。=4,延長AO交直線％=—1于點O,則O,B,N三點共

線

7.已知向量。=（2,3,4）,匕=（1,2,0）,則卜+,等于（）

A.2\/3B-3A/2

C.5V2D.亞

8.點〃是正方體ABC。-的底面ABC。內(nèi)（包括邊界）的動點.給出下列三個結(jié)論：

①滿足〃臺G的點/有且只有1個;

②滿足，4c的點"有且只有1個；

③滿足D\M//平面的點M的軌跡是線段.

則上述結(jié)論正確的個數(shù)是()

A.OB.1

C.2D.3

9.命題。:任意圓的內(nèi)接四邊形是矩形，則可為()

A.每一個圓的內(nèi)接四邊形是矩形

B.有的圓的內(nèi)接四邊形不是矩形

C.所有圓的內(nèi)接四邊形不是矩形

D.存在一個圓的內(nèi)接四邊形是矩形

10.拋物線必=2'準線方程為()

A.x=_1B.x=--

2

1I

C.y=-1D.y=——

2

22

11.已知雙曲線C：y-^-=l,直線/經(jīng)過點(2021,0),若直線/與雙曲線C的右支只有一個交點，則直線/的斜

率的取值范圍是()

A.(-oo,l]B.[l,+co)

C.(-1/)D.[—1,1]

12.在平面直角坐標系xOy中，線段A3的兩端點A,3分別在％軸正半軸和丁軸正半軸上滑動，若圓

C:(x-4y+(y-3『=1上存在點河是線段A3的中點，則線段A3長度的最小值為()

A.4B.6

C.8D.10

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x+y>l

13.若國丁滿足約束條件》—丁2-1,則z=2x+y的最大值為.

x<2

14.tan75°-tan15"—百tan75°tan15°=

15.如圖，在平行六面體A5CD-AB'C'。'中，底面ABC。是邊長為1的正方形，AA的長度為2,且

7T

ZA'AB=ZA'AD=—,則AC的長度為

3

16.若函數(shù)y=/（x）解析式/（力=/+^+6-，，則使得＞/（21一1）成立的x的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2an,Q<an<—

12,其中記S“為數(shù)列｛4｝的前“項和

17.（12分）已知數(shù)列｛4｝通項公式為：an+l

2an~^--an<17

c

(1)求“2021902022?

（2）數(shù)列間的通項公式為b?=S3n-2"T,求｛bn｝的前n項和Tn

18.（12分）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，也侵害木棉、錦葵等植物.為了防治蟲害，從根源上抑制害蟲數(shù)量.現(xiàn)

研究紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度的關(guān)系，收集到7組溫度x和產(chǎn)卵數(shù)y的觀測數(shù)據(jù)于表I中.根據(jù)繪制的散點圖決定從回

2

歸模型①y=Ge》與回歸模型②y=C3x+C4中選擇一個來進行擬合

表I

溫度x/℃20222527293135

產(chǎn)卵數(shù)W個711212465114325

（D請借助表n中的數(shù)據(jù)，求出回歸模型①的方程:

表n（注：表中G=lny）

777

￡(玉不￡(%-司2

Z=11=1i=li=lZ=1

18956725.2716278106

7

2￡(七一司卜,一力

火”)力(%T")

i=li=lJ=1i=l

11.06304041.86825.09

(2)類似的，可以得到回歸模型②的方程為y=0.36必一202.54,試求兩種模型下溫度為20°C時的殘差;

(3)若求得回歸模型①的相關(guān)指數(shù)氏2=0.95,回歸模型②的相關(guān)指數(shù)尺2=0,81，請結(jié)合(2)說明哪個模型的擬合

效果更好

參考數(shù)據(jù)：e-341?0.03,e°%aL30,eL79?5.46,e520?181.88.

附:回歸方程、=/+］中力=星=y—萬龍

相關(guān)指數(shù)汗=1-4------；

［一)

Z=1

22

19.(12分)已知雙曲線方=1(。〉0,6〉0)的左焦點為歹，R到。的一條漸近線的距離為1.直線/與C交

于不同的兩點p,Q,當直線/經(jīng)過。的右焦點且垂直于x軸時，PQ=2?

(1)求C的方程；

(2)是否存在x軸上的定點使得直線/過點M時，恒有/尸尸?若存在，求出點M的坐標；若不

存在，請說明理由.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=(x+l)lnx-a(九一1).

(D當。=4時，求曲線y=/(x)在。"⑴)處的切線方程；

(II)若當xw(l,+8)時，/(%)>0,求。的取值范圍.

(1X3

21.(12分)在二項式X+」產(chǎn)展開式中，第3項和第4項的二項式系數(shù)比為一.

I2覘U10

(1)求〃的值及展開式中的常數(shù)項；

(2)求展開式中系數(shù)最大的項是第幾項.

22.(10分)已知函數(shù)/(刈=/—a(x—1),其中a為常數(shù)，<0<?<1

(1)求證：x>0時，/(%)<1；

(2)已知a,b,p,q為正實數(shù)，滿足。+4=1,比較pa+4人與的大小關(guān)系.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】將樣本中的數(shù)據(jù)由小到大進行排列，利用中位數(shù)的定義可得結(jié)果.

【詳解】將樣本中的數(shù)據(jù)由小到大進行排列，依次為：3.8、3.9、4.0、4.2、4.4、4.6、5.0、5.1、5.2、5.3,

44+46

因此，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為二一-=4.5.

2

故選:B.

2、B

【解析】利用空間向量的加、減運算即可求解.

由題意可得AG=AE+EG=4石+工跖=4￡+工(5p

33、

411/\2-11

—&4+—S5+SC=——a+-b+-c

326、)366

故選：B.

3、A

【解析】由視圖確定該幾何體的特征，即可得解.

【詳解】由主視圖可以看出，A點在面上的投影為8。的中點,

由俯視圖可以看出C點在面至￡）上的投影為的中點，

所以其左視圖為如圖所示的等腰直角三角形，直角邊長為正,

2

于是左視圖的面積為工x正x正=!

2224

故選：A.

4、B

【解析】設(shè)。。=廠，過點。作0C的平行線，與CD平行的半徑交于點E,找出異面直線0c與所成角，然后

通過解三角形可得出所求角的余弦值.

【詳解】設(shè)=過點。作0c的平行線，與CD平行的半徑交于點E，

則OE=OC=CE>=OD=r,PC=PD=5，

所以ZPDE為異面直線0C與PD所成的角，

r

在三角形PDE中，PE=PD=而,DE=r,所以cosNPDE=2=拒.

41r4

故選：B.

【點睛】本題考查異面直線所成角余弦值的計算，一般通過平移直線的方法找到異面直線所成的角，考查計算能力,

屬于中等題.

5、D

22

【解析】依題意以雙曲線的對稱中心為坐標原點建系，設(shè)雙曲線的方程為「-七=1（?！?）,根據(jù)已知求得“，A點

a23a2

縱坐標代入計算即可求得橫坐標得出結(jié)果.

【詳解】以雙曲線的對稱中心為坐標原點，建立平面直角坐標系xQy,

22

因為雙曲線的離心率為2,所以可設(shè)雙曲線的方程為0—二=1（。＞0）,

a23a2

22

依題意可得2a=30,則a=15,即雙曲線的方程為二-一J=L

1523xl52

因為|AB|=36cm,所以A的縱坐標為18.由泉—手=1,得國=3質(zhì)，故|AD|=6質(zhì)cm.

【解析】根據(jù)“求出焦點為R、A點坐標，可得直線A尸的方程與拋物線方程聯(lián)立得3點坐標，由兩點間的距離公式

求出可判斷AC；

p=2時可得|AM|w|A5|,ZAMB^ZABM.由=可判斷B；

求出D點坐標可判斷D.

【詳解】如圖，若"=2,則C：V=2x,C的焦點為尸］J,。）因為M（5,2）,所以42,2）,

直線A尸的方程為y―0=7n1x—5：整理得與拋物線方程聯(lián)立得

42

y———x—x=2

<33,解得，所以5

.y=2

=2xy

2

所以|AB|=J[2—+=1，選項A錯誤;

25

°=2時，因為|A"|=5—2=3H|AB|=K，所以NAMBWN/?1.又/AMBZMBN,

8

ZMBN^ZABM,所以MB不平分NABN,選項B不正確;

若。=4,則C：V=4x,C的焦點為尸(1,0),因為"(5,2),所以A(l,2),

直線A廠的方程為x=l,所以5(1,—2),

所以|A3|=4,選項C錯誤;

若。=4,則C：V=4x,C的焦點為尸(1,0),因為“(5,2),所以A(l,2),

直線A廠的方程為x=l,所以5(1,—2),直線4?的方程為y=2x,延長49交直線％=—1于點O,所以則

。(-L-2),

所以O(shè),B,N三點共線，選項D正確;

【解析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的坐標運算，即可求解.

【詳解】由a=(2,3,4),Z?=(l,2,0),得a+Z>=(3,5,4),因此,+目=行+5?+4?=50.

故選：C.

8、C

【解析】對于①，根據(jù)線線平行的性質(zhì)可知點知即為A點，因此可判斷①正確；

對于②，根據(jù)線面垂直的判定可知4CL平面D］A5,,由此可判定M的位置，進而判定②的正誤；

對于③，根據(jù)面面平行可判定平面平面QAC,因此可判斷此時M一定落在AC上，由此可判斷③的正誤.

【詳解】如圖：

對于①，在正方體ABC。-AgC］。］中，DXABC1,

若聞異于A,則過A點至少有兩條直線和Bq平行，這是不可能的,

因此底面ABC。內(nèi)(包括邊界)滿足2/〃3G的點河有且只有1個，即為A點,

故①正確；

對于②，正方體ABC?！猘4G。中，AB，平面3CG4,耳Cu平面BCC4,

所以ABLBQ,

又B[CA。，\D±ADX,所以與CLAD],

而A3A"=A,A3,A2u平面D]A3,故耳CL平面D]A3,

因此和BXC垂直的直線0Ml一定落在平面2AB內(nèi)，

由加是平面ABC。上的動點可知，河一定落在AB上，這樣的點有無數(shù)多個，故②錯誤；

對于③，4GAC,4。匚平面。,。，則4GI平面，AC,

同理BCJ/平面2AC,而AG?BQG,

所以平面平面QAC,而〃/〃平面ABC1，

所以QM一定落在平面D.AC上，

由是“平面ABC。上的動點可知，此時/一定落在AC上，

即點河的軌跡是線段AC,故③正確，

故選：C.

9、B

【解析】全稱命題的否定特稱命題，任意改為存在，把結(jié)論否定.

【詳解】全稱量詞命題的否定是特稱命題，需要將全稱量詞換為存在量詞，答案A,C不符合題意，同時對結(jié)論進行

否定，所以T?：有的圓的內(nèi)接四邊形不是矩形，

故選:B.

10、D

【解析】由拋物線好=2〉的準線方程即可求解

【詳解】由拋物線必=2丫方程得：27?=2.所以‘=!，

22

拋物線x2=2y的準線方程為y=-1

故選D

【點睛】本題主要考查了拋物線的準線方程，屬于基礎(chǔ)題

11、D

【解析】以雙曲線的兩條漸近線作為邊界條件，即可保證直線/與雙曲線。的右支只有一個交點.

22

【詳解】雙曲線C：二一21=1的兩條漸近線為丁=龍和丁=一%

22

TT3冗

兩漸近線的傾斜角分別為一和下

44

由經(jīng)過點(2021,0)的直線/與雙曲線C的右支只有一個交點，

jl53冗兀

可知直線’的傾斜角取值范圍為0,u「

74

故直線I的斜率的取值范圍是[-1,1]

故選：D

12、C

【解析】首先求點河的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為兩圓有交點，即根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，求參數(shù)，的取值范圍.

【詳解】設(shè)|AB|=，，(r>0),AB的中點為加，貝！||0M=TA3|=$,

故點”的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，

2

問題轉(zhuǎn)化為圓M:￡+V=：/與圓C：(尤—4)2+(y—3)2=1有交點,

-/+1>5

所以3—1+|MC|=5,即<2

,解得：8<?<12,

L-1<5

2

所以線段AB長度的最小值為8.

故選:C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、7

【解析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象和直線在y軸上的截距，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解.

x+y>l

【詳解】畫出不等式組卜-丁2-1所表示的平面區(qū)域，如圖所示，

x<2

目標函數(shù)z=2x+y可化為y=-2x+z,

當直線v=-2x+z過點A點時，此時直線y=-2x+z在y軸上的截距最大，

此時目標函數(shù)z=2x+y取得最大值,

x-y——1

又由；，解得x=2,y=3,即A(2,3),

x=2

所以目標函數(shù)的最大值為Zm”=2X2+3=7.

故答案為：7.

14、V3

【解析】先由題得到tan75°Tanl50=0+百tan750tanl5°，再整體代入化簡即得解.

【詳解】因為tan（75。-15。）='an750Tan=6,

'71+tan75tan15

所以tan75°-tan15°二6+8tan75°tan15°，

貝！Itan75°—tan15一百tan75°tan15=若+百tan75°tan15°一百tan75°tan15°=y/3

故答案為石

【點睛】本題主要考查差角的正切公式，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

15、710

【解析】設(shè)一組基地向量==將目標4"用基地向量表示，然后根據(jù)向量的運算法則運算即可

【詳解】設(shè)AD=a,AB=匕,AA'=c)則有：=

根據(jù)NAAB=NAAD=-7T，ZDAB=7C-

32

解得：AT=V10

故答案為：Vio

16、｛X|J<X<1｝

【解析】由題意先判斷函數(shù)為偶函數(shù)，再利用了⑴的導函數(shù)判斷了⑴在(0,+8)上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性得

(-co,0)上單調(diào)遞減.要使〃力>/(2彳一1)成立，即|x|>|2x-1|,解不等式即可得到答案.

【詳解】/(%)=*+/+二，.?./(%)=/(—x),y=/(x)為偶函數(shù)，當光>0時，

f\x)=2x+ex-e-x=2x+(--1>0,故函數(shù)在(。,+刈上單調(diào)遞增.y=/(x)為偶函數(shù)，/(x)在(―s,0)上

ex

單調(diào)遞減.要使/(X)>/(2X-1)成立，即|X|>|2x—11n爐>(2x—1)2=>g<X<1.

故答案為：

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)%021=1；$2022=1348;

(2)〈=(〃—1)-2角+2.

【解析】(1)驗證可知數(shù)列｛為｝是以3為周期的周期數(shù)列，則％02i=%，52022=674S3；

(2)由(1)可求得僅=〃.2",利用錯位相減法可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

536

當〃=1時，a2=24—1=??；當〃=2時，％=2%—1=??；當〃=3時，%=2a3~一；

,數(shù)列｛4｝是以3為周期的周期數(shù)列；

二。2021=。3*673+2=。2452022=67453=674x+1+?J=674X2=1348；

【小問2詳解】

1

由(1)得：S3;1=nS3=2n,bn-2n-2'-=n-T,

.?.7；=2i+2x22+3x23+-+(〃—l>2"T+〃-2",

27；,=22+2x23+3x24+---+(n-l)-2,,+n-2',+1,

2(]—2n\

n+l23,1n+1,,+1

兩式作差得：Tn=n-2-2-(2+2+---+2)=7i-2------2=(?-l)-2+2.

1—2

18、(1)y=e°-26jc-3-41(或Rose。")

(2)模型①：1.54；模型②：65.54

(3)模型①

【解析】(1)利用兩邊取自然對數(shù)，利用表中的數(shù)據(jù)即可求解；

(2)分別計算模型①、②在％=20時殘差；

(3)根據(jù)相關(guān)指數(shù)的大小判斷摸型①、②的殘差平方和，再得出那個模型的擬合效果更好.

【小問1詳解】

由，得，

令，得，

由表H數(shù)據(jù)可得，，

所以

所以回歸方程為(或).

【小問2詳解】

由題意可知，模型①在時殘差為

模型②在時殘差為

【小問3詳解】

因為，即模型①的相關(guān)指數(shù)大于模型②的相關(guān)指數(shù)，由相關(guān)指數(shù)公式知，模型①的殘差平方和小于模型②

的殘差平方和，因此模型①得到的數(shù)據(jù)更接近真實數(shù)據(jù)，所以模型①的擬合效果更好.

2

19、(1)---/=1；

3'

(2)存在jo],理由見解析.

【解析】(1)根據(jù)題意，列出的方程組，解得則橢圓方程得解;

(2)假設(shè)存在點加滿足題意，設(shè)出直線/的方程，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達定理以及心尸+為尸=0,即可求解.

【小問1詳解】

丫2v?/、hbej

雙曲線。：亍―￡=1(〃〉0/>0)的左焦點尸(―c,o),其中一條漸近線>=,%，則6+[="=1；

對雙曲線C：1—4=1,令x=c,解得y=土匕，貝！|儼@=也=馬8,解得。=石，

abaa3

丫2

故雙曲線方程為：—-y2=l.

3'

小問2詳解】

根據(jù)(1)中所求可知/(-2,0),假設(shè)存在無軸上的點/(“,0)滿足題意，

2

若直線/的斜率不為零，則設(shè)其方程為x=+聯(lián)立雙曲線方程土-V=1,

3

可得（加？-3）y2+2mny+n1—3=0,貝?。?=47?2n2—4^m~—3）（/—3^>0,

即加2+*—3>o,此時直線/與雙曲線交于兩點P（%，M）,Q（X2，%），

,.2mnn2—3,%+%=2町%+（〃+2）（%+%）=0

則n%+%=-口，%%=人‘貝內(nèi)7"37

%+2x2+2（玉+2）伍+2）

即27孫為+5+2)(乂+為)=叫")_2叫〃+2)=0,,即加(3+2〃)=0,

m—3m—3

則”=一|,此時滿足題意；

若直線/的斜率為零，且過點|,o],此時/尸尸“=NQFM=0。，滿足題意.

綜上所述，存在》軸上的一點加[一滿足NPFM=ZQFM.

【點睛】本題考察雙曲線方程的求解，以及雙曲線中存在某點滿足條件的問題；解決問題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化

ZPFM=ZQFM,利用韋達定理進行求解，屬綜合中檔題.

20>(1)2x+y—2=0.(2)(—00,2].

【解析】(1)先求/(%)的定義域，再求尸(九)，尸⑴，/⑴，由直線方程的點斜式可求曲線丁=/(%)在(L/⑴)處

的切線方程為2x+y-2=0.(II)構(gòu)造新函數(shù)g(x)=lnx_a/—l),對實數(shù)。分類討論，用導數(shù)法求解.

%+1

試題解析：⑴/(X)定義域為(0,+8).當a=4時,

/(x)=(x+1)Inx-4(x-1),尸⑴=Inx+工-3,/'⑴=-2,/(I)=0.

x

曲線y=于(X)在(L/(D)處的切線方程為2x+y—2