2023年江蘇省常州某學校中考數(shù)學一模試卷（附答案詳解）

2023年江蘇省常州外國語學校中考數(shù)學一模試卷

1.一7的倒數(shù)是（）

A.-iB.7C.iD.-7

77

2.若二次根式巾忑有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）

A.x力3B.%>3C.x<3D.x=3

3.根據(jù)世衛(wèi)組織實時統(tǒng)計數(shù)據(jù)，截至歐洲中部時間6月28日18時30分全球新冠肺炎確診

病例超54218萬例，其中54218萬例用科學記數(shù)法表示是例.（）

A.5.4218x108B.5.4218x107C.54.218x107D.54.218x108

4.下列運算正確的是（）

A.a2+a3=a5B.-6a2+3a=-2a

C.（—3pq）2——6p2q2D.（b—a）2=b2—a2

5.“春蕾計劃”是在全國婦聯(lián)領導下，中國兒童少年基金會發(fā)起的一項社會公益活動，旨

在幫助困境女童順利完成學業(yè).某中學廣大教師為此積極捐款獻愛心，該校50名教師的捐款

情況統(tǒng)計如圖所示，則他們捐款金額的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

人數(shù)

一

二

一

9

501002005001000金額/元

A.200元，100元B.100元，200元C.200元，150元D.100元，150元

6.如圖，AB,C￡）相交于點。，OC=2,OD=3,AC//BD,EF

是AODB的中位線，且E尸=2,則AC的長為（）

C.2

D.5

3

7.如圖，△48。內(nèi)接于。。，若NOAB=35°,則NC的度數(shù)是（

A.35°

B.45°

C.65°

D.55°

8.函數(shù)y=—/(x-4)和y=g(x>0)的圖象如圖所示.若x=a,x=b分別為方程—x?。一

A.a>B.a<dC.a>bD.a<b

9..

10.計算：(a+b)2-2ab=.

11.分解因式：2/—8x=.

12.點(4,2)關于y軸的對稱點的坐標為.

13.己知扇形的圓心角為80。，半徑為3c”,則這個扇形的面積是cm2.

14.如圖，AB//CD,FE1DB,垂足為E,41=50。，則42的度數(shù)是.

15.如圖，四邊形ABC。是菱形，Z.ABC=60°,延長BC到點E,CA/平分NOCE,過點。

作。尸1CM,垂足為尸.若OF=1,則對角線BD的長是.

16.對于平面直角坐標系x。)，中的點M(a,b),若N的坐標為(ka,b+k),其中改為常數(shù)，且

k豐0,則M、N互為“無系關聯(lián)點"，比如：”(2,3)的“2系關聯(lián)點”為N(2X2,3+2),即:

N(4,5),若點P(m,-2)的“一1系關聯(lián)點”為Q(x,y),且滿足x+y=—9,則機的值為

17.在銳角△ABC中，sin4=5^,COSB=*若4B=15,則4C

18.如圖，將拋物線y=2(%+1)2+1繞原點。順時針旋

轉45。得到新曲線，新曲線與直線y=x交于點則點M

的坐標為.

19.計算：<4-|-^|+(<3-2)°+2~2.

20.(1)解方程：號+--=1；

X—44-X

(3x<5%+6

(2)解不等式組：卜+1>〃「

21.為倡導綠色健康節(jié)約的生活方式，某社區(qū)開展“垃圾分類,從我做起”的活動，志愿者

隨機抽取了社區(qū)內(nèi)50名居民，對其3月份垃圾分類投放次數(shù)進行了調(diào)查，并對數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)

計整理，以下是部分數(shù)據(jù)和不完整的統(tǒng)計圖表：

信息1：垃圾分類投放次數(shù)分布表信息

組別投放次數(shù)頻數(shù)

A0<x<5a

B5<%<1010

C10<%<15C

D15<x<2014

Fx>20e

合計50

信息2：垃圾分類投放次數(shù)占比統(tǒng)計圖

信息3：C組包含的數(shù)據(jù)：12,12,10,12,13,10,11,13,12,11,13.

請結合以上信息完成下列問題：

(1)統(tǒng)計表中的a—,e—.

(2)統(tǒng)計圖中B組對應扇形的圓心角為度；

(3)根據(jù)調(diào)查結果，請你估計該社區(qū)2000名居民中3月份垃圾分類投放次數(shù)不少于15次的人

數(shù).

22.近年來，常州的文藝創(chuàng)作迎來井噴狀態(tài)，被譽為舞臺藝術“常州現(xiàn)象”.如音樂類；《昔

我往矣)、《教我如何不想你》；電影類：《秋之白華》、《桂香街》等精品佳作，處處彰顯

著常州文化的韻味.現(xiàn)有四張不透明的卡片，它們的背面完全一樣，正面分別寫有：昔我往矣、

教我如何不想你、秋之白華、桂香街，將四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌子上.

(1)從中隨機抽取一張，抽到“秋之白華”的概率為；

(2)從中隨機抽取一張(不放回)，接著再隨機抽取一張.請通過畫樹狀圖或列表的方法，求抽到

的兩張卡片所寫的都屬于音樂類作品的概率.

23.如圖，四邊形ABC。中，對角線AC,8。相交于點。，AO=OC,BO=OD,且N40B=

2^OAD.

(1)求證：四邊形ABC。是矩形；

(2)若乙40B：AODC=6：7,求乙40。的度數(shù).

24.已知購買1千克甲種水果和3千克乙種水果共需52元，購買2千克甲種水果和1千克乙

種水果共需44元.

(1)求每千克甲種水果和每千克乙種水果的售價；

(2)如果購買甲、乙兩種水果共20千克，且甲種水果的重量不少于乙種水果的重量.則購買多

少千克甲種水果，總費用最少，最少總費用是多少？

25.如圖，在平面直角坐標系X。)，中，函數(shù)y=,x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B.點C

為線段AO上的一個動點(點C不與4、。重合)，點。為第一象限內(nèi)一點，且同時滿足NOBC=

乙OBA,BD：BC=3；5.

(1)求點A、點8的坐標；

(2)是否存在滿足條件的點。在函數(shù)、=京(%>())的圖象上？若存在，請求出點。的坐標；

若不存在，請說明理由.

26.操作：我們知道等腰三角形是軸對稱圖形,

AB=ACBC,用尺規(guī)在圖3中作出△的對稱軸(方法與圖1、圖2不同，保留作圖痕跡,

不寫作法).

圖3圖4

探究1：如圖4,在等腰△ABC中，AB=AC=8,BD14C于點。，BD=4<2,點E為邊

A8上一點，BE=10-4/1，求CE的長.

探究2：在等腰△ABC中，AB=AC=8,點。，點E分別為邊AC、A8上一點，BD=CE,

若CD=1,BE=3,求CE的長.

27.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+4(aH0)與x軸交于2(-1,0)、C(4,0)

兩點，與y軸交于點B.

(1)求該拋物線的解析式以及頂點坐標；

(2)若點。是拋物線上的一個動點，滿足AABO與△BCD的面積相等.求出點。的坐標；

(3)若點E在第一象限內(nèi)拋物線上，過點E作EF1x軸于點F,交BC于點P,且滿足△BFP與

△CEP相似，求出點E的橫坐標.

28.在平面直角坐標系*0)，中，有不重合的兩個點P(Xi，yi)與QQz，%)，若尸，。為某個直

角三角形的兩個銳角頂點，且該直角三角形的直角邊均與x軸或)，軸平行(或重合)，則我們

將該直角三角形的兩條直角邊的邊長之和稱為點P與點。之間的“折距”，記作LPQ或殳戶.特

別地，當P。與某條坐標軸平行(或重合)時，線段P0的長即是點P與點0之間的“折距”.

例如，如圖，點P(2,4),點Q(4,l),此時LPQ=5,已知。為坐標原點，解答下列問題：

(1)①若點P(3,2),則Lop=；

②若點Q是以。為圓心，2為半徑的。。上任意一點，則A。。的最大值是；

(2)若一次函數(shù)y=x+2的圖象分別交x軸、y軸于點A、B,點尸是線段AB上一點，求L°p的

值；

(3)已知點M(2,l),若/?為半徑的。。上有且只有兩個點到點M的折距為3,直接寫出/?的取

值范圍.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：設一7的倒數(shù)是x,則

—7x=1,

解得“T

故選：A.

根據(jù)倒數(shù)的定義解答.

主要考查倒數(shù)的概念及性質(zhì).倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1,我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù).

2.【答案】B

【解析】解：由題意可知：x-3>0,

???x>3.

故選：B.

根據(jù)二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)是非負數(shù)可求出答案.

本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義，被開方數(shù)是非負數(shù)是關鍵.

3.【答案】4

【解析】解:54218萬=542180000=5.4218x108.

故選：A.

科學記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中l(wèi)S|a|<10,〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原

數(shù)變成。時.，小數(shù)點移動了多少位，"的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值210時，

〃是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值<1時，〃是負整數(shù).

此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為ax10”的形式，其中n

為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定〃的值以及〃的值.

4.【答案】B

【解析】解：a?與不是同類項，不能合并，故A錯誤，不符合題意；

—6a23a=—2a,故B正確，符合題意；

(—3pq)2=9p2q2,故C錯誤，不符合題意；

(b-a)2=b2-2ab+a2,故。錯誤，不符合題意；

故選：B.

由同類項概念，單項式除法法則，積的乘方與基的乘方公式，完全平方公式逐項判斷即可.

本題考查整式的混合運算，解題的關鍵是掌握整式相關運算的法則.

5.【答案】B

【解析】解：由條形統(tǒng)計圖知，100出現(xiàn)次數(shù)最多，

所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為100,

這組數(shù)據(jù)的第25、26個數(shù)據(jù)均為200,

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為迎磬=200,

故選：B.

根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可.

本題主要考查眾數(shù)、中位數(shù)，解題的關鍵是掌握眾數(shù)和中位數(shù)的定義.

6.【答案】A

【解析】解：「EF是ZkODB的中位線，

:.DB=2E尸=2X2=4,

vAC//BD.

AOCSABOD,

.t.AC：BD=OC：OD,

即牛=|,

解得AC=

故選：A.

根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出OB,再根據(jù)相似三角形對應邊成比

例列式計算即可得解.

本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟

記定理與性質(zhì)是解題的關鍵.

7.【答案】D

【解析】解：連接OB,如圖，

,1?0A=0B,

Z.OAB=Z.OBA=35°,

Z.AOB=180°-35°-35°=110°,

1

ZC=2^408=55。.

故選：D.

連接。2,如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出乙408=110。，然后根據(jù)圓周角的

定理求NC的度數(shù).

本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫

做三角形的外心.也考查了圓周角定理.

8.【答案】C

【解析】解：???方程一/。-4）=—1的解為函數(shù)y=—/（萬一4）圖象與直線y=—1的交點的橫坐

標，

:=-1的一個解為函數(shù)y=>0）的圖象與直線y=-1交點的橫坐標，

故選：C.

根據(jù)方程的解是函數(shù)圖象交點的橫坐標，結合圖象得出結論.

本題考查了反比例函數(shù)的應用，函數(shù)圖象與方程的解之間的關系，關鍵是利用數(shù)形結合，把方程

的解轉化為函數(shù)圖象之間的關系.

9.【答案】-3

【解析】解：?；（一3>=-27,

7^27=-3.

根據(jù)立方根的定義即可求解.

此題主要考查了立方根的定義，注意：一個數(shù)的立方根只有一個.

10.【答案】a2+b2

【解析】解：（a+b）2-2ab

=a2+2ab+b2—2ab

=a2+b2.

故答案為:a2+b2.

先進行完全平方運算，再合并同類項即可.

本題主要考查完全平方公式，解答的關鍵是熟記完全平方公式：(a±b)2=a2+2ab+b2.

IL【答案】2x(x-4)

【解析】解：原式=2尤(x-4).

故答案為：2x(%-4).

直接提取公因式2%,進而得出答案.

此題主要考查了提公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關鍵.

12.【答案】(一4,2)

【解析】解：點(4,2)關于)，軸的對稱點的坐標為(-4,2),

故答案為：(—4,2).

根據(jù)關于y軸的對稱點的坐標是橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，即可得到答案.

本題考查了關于)，軸的對稱點的坐標，熟練掌握關于y軸的對稱點的坐標的特點：橫坐標互為相

反數(shù)，縱坐標不變，是解題的關鍵.

13.【答案】27r

2

【解析】解：扇形的面積=及旦=2女爪2.

360

故答案是：27r.

根據(jù)扇形的面積公式即可求解.

本題主要考查了扇形的面積公式，正確理解公式是解題關鍵.

14.【答案】40°

【解析】

【分析】

本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和為180。，解題的關鍵是求出NO=40。.解決該題型題目

時，根據(jù)平行線的性質(zhì)，找出相等或互補的角是關鍵.

由EF1B。，41=50。，結合三角形內(nèi)角和為180。，即可求出4。的度數(shù)，再由“兩直線平行，同

位角相等”即可得出結論.

【解答】

解：在ADEF中，21=50。，又EF1BD,可得4DEF=90°,

???乙D=180°-4DEF-Z1=40°.

■■■AB//CD,

??.z2=ZD=40°.

故答案為：40°.

15.［答案］2y/~3

解：連接AC交3。于點。

???四邊形A5CQ是菱形，

:.AB=BC,Z.CBO=Z.ABO,OB=OD,AC±BD,

???2LABC=60°,

???乙OBC=30°,(BCD=120°,

/.乙DCE=60°,

???CM平分4OCE,

:.Z-DCF=乙ECF=30°,

vDF=1,DF1CM,

??.DC=2DF=2,

OC=^CD=1,

OD=VCD2-OC2=<3，

BD=2OD=2<7.

故答案為：2，W

連接AC交BQ于點。，由菱形的性質(zhì)得出AB=BC,ZCFO=^ABO,OB=OD,AC1BD,由

直角三角形的性質(zhì)得出DC=2,求出0。的長，則可得出答案.

本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)

是解題的關鍵.

16.【答案】6

【解析】解：???點P(m,—2)的“一1系關聯(lián)點”為Q(x,y),

/.%=mx(-1),y=-2+(—1),

???x=—m,y=—3,

又???%+y=-9,

??,-m+(-3)=-9,

Am=6,

即m的值是6.

故答案為：6.

點P(m,—2)的“一1系關聯(lián)點”為Q(x,y),可得點Q(—m,-2-1),由x+y=-9即可得出旭的值.

本題主要考查點的坐標與新定義，熟練掌握新定義并列出相關的方程是解題的關鍵.

17.【答案】3廠再

【解析】解：過點C作垂足為。,

在RtABCD中，由勾股定理得:

CD2=(5k)2-(4k)2,

???CD=3k,

..CD

VSIn?1=^=—

???AC=y/~10k，

由勾股定理得：AD=k,

AB=k+4/c=5/c=15,

:?k=3,

：.AC=3y1~10.

故答案為：3/TU.

過點C作CO1AB構造直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)定義解直角三角形即可.

本題考查了解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義，學會作出輔助線構造直角三

角形解決問題.

18.【答案】(學，學)

【解析】解：直線y=x繞原點。逆時針旋轉45°得到久=0,

設拋物線y=2(x+I)2+1與y軸的交點為M',

???拋物線y=2(x4-1)2+1,

???x=0時，y=3,

???M'(0,3),

設點m),

由題意得：0M=0M'=3,

???m2+m2=32,

???點M的坐標為(亨,學).

故答案為：(學,等).

直線y=x繞原點。逆時針旋轉45。得到x=0,求得拋物線與y軸的交點M',W繞原點。順時針

旋轉45。得到M,由0M=0M',即可求解.

本題考查的是二次函數(shù)圖象與幾何變換，旋轉的選擇、勾股定理的應用，利用逆向思維，確定對

應點M、的關系，是本題的突破點.

19.【答案】解：原式=C-|-；|+1+2-2

4

11

=2—彳+1+7

44

=3.

【解析】按照有理數(shù)混合運算的法則進行計算即可，需注意非零有理數(shù)的零次幕等于1的法則.

本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)運算法則是解題關鍵.

3-x—1=x—4,

解得：%=3,

檢驗：當％=3時，%—40,

???x=3是原方程的根；

3%<5%4-6①

(2){x+i

—>%-1(2)

解不等式①得：%>-3,

解不等式②得：x<l，

二原不等式組的解集為：-3<X■

【解析】(1)按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答；

(2)按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，即可解答.

本題考查了解一元一次不等式組，解分式方程，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

21.【答案】51072

【解析】解：(l)a=50x10%=5,e=50-(5+10+14+ll)=10；

故答案為：5,10；

(2)統(tǒng)計圖中8組對應扇形的圓心角為360。x線=72。；

故答案為：72；

(3)估計該社區(qū)2000名居民中3月份垃圾分類投放次數(shù)不少于15次的人數(shù)為2000x=960(

人).

答：投放次數(shù)不少于15次的人數(shù)為960人.

(1)總人數(shù)乘以A組對應百分比可得其人數(shù)，根據(jù)各組人數(shù)之和等于總人數(shù)可得E組人數(shù)；

(2)用360。乘以8組人數(shù)所占比例即可；

(3)根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可；

(4)用總人數(shù)乘以樣本中D、E組人數(shù)所占比例即可.

本題考查扇形統(tǒng)計圖，應結合統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖，利用部分與總體之間的關系進行求解.

22.【答案】

4

【解析】解：(I)：?共有4張卡片，分別標有昔我往矣、教我如何不想你、秋之白華、桂香街,

???從中隨機抽取一張，抽到的卡片恰好是“秋之白華”的概率為;.

故答案為：

(2)畫樹狀圖如下：

開始

A

/K/B\/Ch/DN

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結果，其中抽到卡片上所寫的都屬于音樂類作品的有共2種,

???抽到卡片上所寫的都屬于音樂類作品的概率為焉=

1Zo

(1)直接根據(jù)概率公式求解即可；

(2)根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能結果，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得

出答案.

此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適

合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗

還是不放回試驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

23.【答案】(1)證明：AO=OC,BO=0D,

四邊形ABCD是平行四邊形，

v乙AOB=Z.DAO+Z.ADO=2/.0AD,

Z.DAO=Z.ADO,

?1-40=D0,

???AC=BD,

???平行四邊形A8CO是矩形；

(2)解：?.?四邊形A3co是矩形，

AB//CD,Z.BAD=90°,

???(ABO=(CDO,

??,乙408：Z-ODC=6：7,

???Z,A0B：(ABO=6：7,

:.乙BAO：Z,A0B：乙ABO=7：6：7,

???乙ABO=63°,

=90°,

:./.ADO=90°-63°=27°.

【解析】(1)證四邊形ABC。是平行四邊形，再證=即可得出結論；

(2)由矩形的性質(zhì)得到AB〃CD,再由平行線的性質(zhì)得到N4B0="D。，然后由三角形的內(nèi)角和求

出448。=63°,即可求解.

本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識；熟練掌握

矩形的判定與性質(zhì)，證明4c=BD是解題的關鍵.

24.【答案】解：(1)設甲種水果的售價為x元/千克，乙種水果的售價為y元/千克，

由題意可得：卷";二

解喉學

答：甲種水果的售價為16元/千克，則乙種水果的售價為12元/千克.

(2)設購進甲種水果〃?千克，則購進乙種水果(20-m)千克，總費用為w元，

由題意可得：w=16m+12(20—m)=4m+240,

.1?w隨m的增大而增大，

???甲種水果的重量不少于乙種水果的重量，

m>20—m,

解得Hl>10,

二當m=10時，w取得最小，此時w=280,20—m=10,

答：購進甲種水果10千克，乙種水果10千克能使費用最少，最少費用為240元.

【解析】(1)設甲種水果的售價為x元/千克，乙種水果的售價為y元/千克，即可得出關于x,y的

二元一次方程組，然后求解即可；

(2)根據(jù)總費用=售價x銷售量，可以寫出費用與購買的甲種水果重量的函數(shù)關系式，然后根據(jù)甲

種水果的重量不少于乙種水果重量，即可得到甲種水果重量的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，

即可得到總費用的最小值.

本題考查二元一次方程組的應用、一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組，

寫出相應的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

25.【答案】解：(1)：函數(shù)丫=:工+3與》軸交于點4,與y軸交

于點B,

???y=0時，?％+3=0,解得％=—4,

4

.-.^(-4,0),

令％=0,則y=3,

???8(0,3)；

(2)存在滿足條件的點力在函數(shù)y=^(x>0)的圖象上,

作DE1x軸于E,

vOA=4,OB=3,

??.AB=VOA2+OB2=5,

OB3

—―，

AB5

vZ.DBC=Z-OBA,

??Z.DBO=Z.ABC,

vBD：BC=3；5,

??.△BODs〉BACf

ArBCAB5

???乙BOD=/-BAC,生

ODBDOB=3f

設4c=mf

3

.?.OD=-m,

???^LBAC+乙ABO=90°=乙BOD+乙DOE,

???eDOE=Z.ABO,

???"OB=(OED=90°,

AOBSAOED,

：_OE=DE=OD即OE_DE_Jm

OBOAAB3~~~5

129

:"DE=-m,OE=-m,

917

??.D(元皿而E),

??,點D在函數(shù)y=^(x>0)的圖象上,

9123

***25m，25m=W'

解得m=

［嗚31).

【解析】(1)坐標軸上點的坐標特征，即可求得點A、8的坐標；

(2)求得4B=5,即可得到第=從而求得小BODSABAC,即可對稱NB。。=Z.BAC,空=羔=

AD5UDDU

黑=4，設4C=m,則。。=|巾，求得NOOE=〃B。，通過證得△AOBSAOED,求得

UD35

D(^m,^m),代入y=得(％>0)即可求得m=*即可求得Dq,l).

本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標圖象，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形相似的判定

和性質(zhì)，通過三角形相似表示出點。的坐標是解題的關鍵.

26.【答案】解：操作：如圖3,以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC、AB于。和E,分

別連接B。、CE交于點。，作直線40.則直線A。就是A4BC的對稱軸；

探究1：如圖4,???BDJ.AC于點D,

???^ADB=90°,

又???AB=4C=8,BD-44，

AD=VAB2-BD2=82-(4/7)2=??，

???乙4=45°,

過點E作EF_L4C于F,

.??△4EF為等腰直角三角形，

AB=8,BE=10-4y/~2,

?.AE=4\/~2-2,

???AF=EF=4-V2,

???CF=AC-AF=4+C，

在Rt△CEF中，CE=VCF2+EF2=(4+AT2)2+(4-=6；

圖5

又???乙4=乙4,AB=AC,

??.△4BFZA4CE(S4S),

???BF=DE,

又：CE=BD,

:.BD=BF,

過點8作8G14C于G,

1

.?,FG=GD=”F,

-AB=AC,AE=AFf

:.CF=BE=3,

又??.CD=1,

???FD=2,

???FG=GD=1,

/.AG=AC-CG=6,

在Rt△ABG中，BG=VAB2-AG2=V82-62=2/7,

在RtABDG中，BD=VBG2+DG2=

CE=BD=V^9，

即CE的長為

【解析】操作：以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC、AB于。和E,分別連接8。、CE

交于點0,作直線A0即可；

探究1：根據(jù)已知條件判定A/IBD是等腰直角三角形，過點E作EFL4C于尸，判定AAEF為等腰

直角三角形，求出EF和AF的長，易求CF,然后根據(jù)勾股定理在Rt^EFC中求出CE的長即可；

探究2：在AC上取點尸，使4F=4E,連接8片作BG14C于G,根據(jù)已知條件判定△ACE,

得到8F=CE,易得8尸=8凡然后根據(jù)“三線合一”和勾股定理先求出BG的長，再根據(jù)勾股定

理求出的長就是CE的長.

本題是幾何變換綜合題，主要考查軸對稱的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定

理，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，深入理解題意是解決問題的關鍵.

27.【答案】解：⑴???拋物線y=ax2+bx+4(aH0)與無軸交于4(一1,0)、C(4,0)兩點,

.(0=a—b+4

'lo=16a+4b+4'

解得仁:，

???該拋物線的解析式為y=-%2+3%+4,

vy=-x2+3%+4=—(x-1)2+今

???拋物線的解析式的頂點坐標為(|,令；

(2),拋物線y=-%2+3%+4與y軸交于點B,

???8(0,4),

???點。是拋物線上的一個動點，△48。與△BCD的面積相等，

??.BD//AC,

???。點的縱坐標為4,

當y=4時，即一/+3%+4=4,

解得％1=0,不=3,

???。(3,4)；

(3)設直線BC的解析式為y=kx+b,

(b=4

‘Uk+b=0，

解得仁廣，

???直線BC的解析式為y=-x+4,

設尸(m,0),—m2+3m+4),P(m,—m4-4),

???OB=OC=4,

??.△BOC是等腰直角三角形，

???ABCO=45°,

vEF1.AC,

??.△CPF是等腰直角三角形，

CP=C(4-m),

BP=-V-2(4-m)=yj~2m,

①當△BPFS^CPE時，

則竺=”,

ZpFPB

,—m24-3?n+44-?n—4_V2(4—m)

4一？n\/~2m

解得m=T土尸或m=4,

,:m＞。且mH4,

-1+/T7

:.m=-------------，

②當△BP尸EPC時，

則〃="，

PEPC

.y/~2m_4-m

**—m2+3m+4+m—4V~"2(4-zn)'

解得m=2或m=0(不合題意舍去)，

???點E的橫坐標為2或匚尹.

【解析】(1)根據(jù)題意列方程組，解方程組得到該拋物線的解析式為y=-x2+3x+4,由于y=

-x2+3x+4=一(％-|)2+京于是得到拋物線的解析式的頂點坐標為(|,令；

(2)根據(jù)點。是拋物線上的一個動