2021年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)一遍過-直線、平面垂直的判定及其性

考點(diǎn)32直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

受、考點(diǎn)解篌

線面位置關(guān)系的證明是高考的重點(diǎn)，常出現(xiàn)在解答題的第一問中，是容易得分的試題，我們必須掌握.

(1)以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.

理解以下判定定理：

?如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.

?如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.

理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明：

?如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直.

(2)能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題.

知識整合

一、直線與平面垂直

1.定義

如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線/與平面a互相垂直.記作：圖形表示

如下：

【注意】定義中的“任意一條直線”這一詞語與“所有直線”是同義語，與“無數(shù)條直線”不是同義語.

2.直線與平面垂直的判定定理

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.

文字語言

簡記為：線線垂直今線面垂直

1

圖形語言

符號語言l-La,l-Lb,aua,bua,ab—P=>Z_L?

作用判斷直線與平面垂直

【注意】在應(yīng)用該定理判斷一條直線和一個(gè)平面垂直時(shí)，一定要注意是這條直線和平面內(nèi)的兩條相有直

線垂直，而不是任意的兩條直線.

3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理

垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

文字語言

簡記為：線面垂直n線線平行

ab

圖形語言7

aLa

符號語言>=Q〃Z?

bLa

①證明兩直線平行；

作用

②構(gòu)造平行線.

4.直線與平面所成的角

(1)定義：一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平

面的交點(diǎn)叫做斜足.

過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.

(2)規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角等于90；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi),

我們說它們所成的角等于0.因此，直線與平面所成的角a的范圍是[0,m7T].

5.常用結(jié)論(熟記)

(1)若兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.

(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)任何一條直線.

(3)過空間任一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.

(4)過空間任一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.

二、平面與平面垂直

1.定義

兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.平面a與平面夕垂直，

記作a,尸.圖形表示如下：

2.平面與平面垂直的判定定理

一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.

文字語言

簡記為：線面垂直=面面垂直

3i

圖形語言

Z

符號語言/_La,1u)3na_L夕

作用判斷兩平面垂直

3.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.

文字語言

簡記為：面面垂直今線面垂直

a

a

圖形語言

J

aA-/3

a。=1

符號語言=>aA_/3

aua

aVI

作用證明直線與平面垂直

4.二面角

（1）二面角的定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面.

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做三面用.

這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.

（2）二面角的平面角的定義：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于

棱的射線，則這兩條射線構(gòu)成的角叫做這個(gè)二面角的平面角.

（3）二面角的范圍：［0,兀］.

5.常用結(jié)論（熟記）

（1）兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直.

（2）兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

（3）如果兩個(gè)平面互相垂直，那么過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi).

三、垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系

點(diǎn)考向,

考向一線面垂直的判定與性質(zhì)

線面垂直問題的常見類型及解題策略：

(1)與命題真假判斷有關(guān)的問題.

解決此類問題的方法是結(jié)合圖形進(jìn)行推理，或者依據(jù)條件舉出反例否定.

(2)證明直線和平面垂直的常用方法：

①線面垂直的定義；

②判定定理；

③垂直于平面的傳遞性(?！?,aJ_c=/>_!_7)；

④面面平行的性質(zhì)(a_La,工B)；

⑤面面垂直的性質(zhì).

(3)線面垂直的證明.

證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定

理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.

(4)線面垂直的探索性問題.

①對命題條件的探索常采用以下三種方法：

a.先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；

b.先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性；

c.把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，探索命題成立的條件.

②對命題結(jié)論的探索常采用以下方法：

首先假設(shè)結(jié)論存在，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，如果通過推理得到了合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè),

如果得到了矛盾的結(jié)果就否定假設(shè).

典例引領(lǐng)

典例1已知兩條直線W,兩個(gè)平面a,",給出下面四個(gè)命題:

//f3,m//a,n±13nm1n；

②a1氏Iua,mu°=I工m

③a11/3,m11，a=n1(3；

@a.L/3,1-La,m///3=>I.Lm.

其中正確命題的序號是（）

A.①③B.②④

C.①④D.②③

【答案】A

【解析】對于①，過m做平面7與a交于。，

因?yàn)闄C(jī)//1,所以m//a,又

所以〃_La,aua,n±a,所以故①正確;

對于②，aL/3,lua,ntu/3,則/與根平行、相交或異面，故②不正確;

對于③，若加//","」。，則“J_a,又a//夕，則"_L〃，故③正確;

對于④，若7/，名機(jī)//齊，貝心與根平行、相交或異面，故④不正確,

綜上，正確命題的序號為①③,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了空間直線與平面的位置關(guān)系.重點(diǎn)考查了空間想象能力，屬基礎(chǔ)題.

對于①，根據(jù)線面平行、線面垂直的性質(zhì)，可得①正確；

對于②，由條件可得/與加平行、相交或異面，即②不正確；

對于③，由空間線面關(guān)系可得③正確；

對于④，由條件可得/與加平行、相交或異面，即④不正確，得解.

典例2如圖所示，A2D2和A4DC都是以。為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且NB2C=60。，下列說法中錯(cuò)

誤的是

A.AD1平面8DCB.BD_L平面4DC

C.DC_L平面力BDD.BC1平面4BD

【答案】D

【解析】易知4。1BD,AD1DC,所以AD平面BDC,

又與均為以。為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以AB=AC,BD=DC=^AB.

又乙BAC=60。,所以ZVLBC為等邊三角形,

故BC=2B=&BD,

所以N8DC=90。,即BD1DC.

所以BD1平面4DC,

同理。C1平面48D.

故選D.

變式拓展

1.如圖，在以下四個(gè)正方體中，使得直線A5與平面CDE垂直的個(gè)數(shù)是（）

①①CD④

A.1B.2

C.3D.4

典例引領(lǐng)

典例3如圖，在三棱柱中，各個(gè)側(cè)面均是邊長為2的正方形，。為線段AC的中點(diǎn).

(1)求證：BD_L平面ACGAi；

(2)求證：直線力名||平面BCiO；

(3)設(shè)M為線段BG上任意一點(diǎn)，在內(nèi)的平面區(qū)域(包括邊界)是否存在點(diǎn)E,使CE1DM?請說

明理由.

【解析】(1)?.?三棱柱4BC-&B1C1中，各個(gè)側(cè)面均是邊長為2的正方形,

：.CCr1BC,CCt1AC,

：.CCt，平面ABC,

又,：BDu平面ABC,

CQ1BD,

又底面為等邊三角形，D為線段4c的中點(diǎn),

：.BDLAC,

又ACnCCi=C,

：.BD_L平面/1CG4.

（2）如圖，連接BiC交BCi于點(diǎn)0,連接?！辏?貝U。為BiC的中點(diǎn),

是4c的中點(diǎn),：.0D||ABr,

又。Du平面BCDABiC平面BGD,

直線4Bi||平面BQD.

（3）在△3C］。內(nèi)的平面區(qū)域（包括邊界）存在點(diǎn)E,使CE1DM,此時(shí)E在線段的。上，證明如下:

如圖，過C作CE1GD,交線段于點(diǎn)E,

由（1）可知，BD_L平面4CG41，

又CEu平面4eq41，：.BD1CE,

由CE1CI。，BDCGfD=D,得CE1平面BQ。，

'：DMu平面BCD

ACE1DM.

變式拓展

2.如圖，在四棱錐尸一A5CD中，PA±AB，AB//CD,AB±BC,AB=1,AD=AP=近,

CD=PD=2.

(1)求證：B4_L平面ABCD；

(2)求點(diǎn)A到平面BBC的距離.

考向二面面垂直的判定與性質(zhì)

判定面面垂直的常見策略：

(1)利用定義(直二面角).

(2)判定定理：可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直.

(3)在運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，若沒有與交線垂直的直線，則一般需作輔助線，基本作法是過其中一個(gè)

平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直.

典例引領(lǐng)

典例4已知在梯形48CD中，AB//CD,E,尸分別為底48,CD上的點(diǎn)，且EF14B,EF=EB=加=2,

EA=^FD,沿EF將平面4EFD折起至平面力EFD1平面EBCF,如圖.

(1)求證：平面BCD_L平面BDF；

(2)若4E=2,求多面體48CDEF的體積.

【解析】(1)由平面4EFD_L平面EBCF,且DF1EF知。F1平面EBCF.

而。下U平面BDF,所以平面BOF上平面

由BF=26,BC=26,FC=4,可知5尸？+BC?=尸。2,即，BF,

又3Cu平面EBCF,

所以BC1平面BOF.

又BCu平面BCD,所以平面BCD1平面BOF.

(2)依題意知，多面體4BCDEF是三棱臺ABE—OCF,

易得高為EF=2,

兩個(gè)底面面積分別是2和8,

故體積為|x(2+8+723^8)=y.

典例5如圖，直三棱柱4BC-4B1G中,D,E分別是的中點(diǎn),4B=BC.

(1)證明:BQ〃平面&CD;

(2)證明:平面4EC1平面4CC14.

【解析】(1)連接4G，交41c于點(diǎn)0,連接DO,則。是4G的中點(diǎn),

因?yàn)镈是48的中點(diǎn)，所以O(shè)D〃BQ.

因?yàn)椤?。u平面AiCn,BGC平面4CD,

所以86〃平面410

(2)取力C的中點(diǎn)F,連接EO,OF,FB,

因?yàn)椤Ｊ?G的中點(diǎn)，

所以。尸〃44i且OF=\^AV.

顯然BE/-,且BE=豺&,

所以O(shè)F//BE且OF=BE,

則四邊形BEOF是平行四邊形.

所以EO//BF,

因?yàn)榱=BC,所以BF1AC.

又BF1CC1；

所以直線BF1平面4CC1&.

因?yàn)镋O//BF,所以直線E。1平面

因?yàn)镋。u平面&EC,

所以平面41EC1平面2CC141.

變式拓展

3.如圖所示，在四棱錐尸—A3CD中，底面A8CO是菱形，ZDAB=60°,側(cè)面PA。為等邊三角形，其

所在平面垂直于底面ABCD.

(1)求證：AD±PB-,

(2)若E為BC邊上的中點(diǎn)，能否在棱尸C上找到一點(diǎn)F使平面DE尸，平面ABC。？并證明你的結(jié)

論.

4.如圖(1),在直角梯形ABCZ)中，AD//BC,NBAO=90。，AB=BC=-AD=2,E是的中點(diǎn),

2

。是AC與BE的交點(diǎn).將AABE沿BE折起到圖(2)中AAiBE的位置，得到四棱錐Ai-BCDE

⑵

(1)求證：平面8cZ)E_L平面4OC；

(2)當(dāng)平面AiBE_L平面BCL歷時(shí)，求四棱錐4-0CDE的體積.

考向三線面角與二面角

求直線與平面所成的角的方法:

(1)求直線和平面所成角的步驟:

①尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；

②連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；

③把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過解三角形，求出該角.

(2)求線面角的技巧：

在上述步驟中，其中作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的

依據(jù)，射影一般都是一些特殊的點(diǎn)，比如中心、垂心、重心等.

求二面角大小的步驟：

簡稱為“一作二證三求”.作平面角時(shí)，一定要注意頂點(diǎn)的選擇.

典例引領(lǐng)

典例6正三棱柱A3C-4與G的所有棱長都相等，。是AC的中點(diǎn)，則直線與平面耳。C所成角的

正弦值為

34

A.-B.-

55

3

C.一

4

【答案】B

【解析】解法一：由正三棱柱的所有棱長都相等，依據(jù)題設(shè)條件，可知用DJ.平面ACD二四。，。。,

故△及DC為直角三角形.設(shè)棱長為1,則有=Y，與。=冷,。。=乎,

。1A/3V?V15

設(shè)A到平面B.DC的距離為h,則有匕_BQC=yBl-ADC-

,耳義"xS△片￡?c=耳x耳。xSAADC,

1,,2

X-,.?用二-產(chǎn)

3832245

h4

設(shè)直線AD與平面耳。C所成的角為仇貝Usin8=——=-

AD5

解法二：在正三棱柱中，由。為AG中點(diǎn)可證用。，平面A41clC，如圖，

又BQCD=D,平面4CD,.?./ADH為所求的線面角.

4A/5

設(shè)棱長為2,在中由等面積法得

4」

c4

???sinZADH=^=-=-

455

故選B.

典例7如圖，直三棱柱ABC-451cl的底面是邊長為2的正三角形，E,F分別是BC,CG的中點(diǎn).

(1)證明：平面AEF7,平面4BCG；

(2)若直線A。與平面$所成的角為45。，求三棱錐尸-AEC的體積.

【解析】（1）因?yàn)槿庵鵄BC-4gG是直三棱柱，

所以AE，33],

又E是正三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，

所以因此AEL平面片3。?！?/p>

而AEu平面AEF,

所以平面AEF1平面B\BCC「

（2）如圖，設(shè)A3的中點(diǎn)為D,連接4。,CD,

因?yàn)椤鰽BC是正三角形,

所以CDLAB,

又三棱柱ABC-A^Q是直三棱柱,

所以CDLAA，因此CD,平面4A3與，于是NCA。是直線AC與平面AABB]所成的角.

由題設(shè)知/（洱。=45,所以4。=8「3

在RtZvlA。中，A4,=JAD?_AD?=VL

所以==—,

2?2

故三棱錐尸―AEC的體積等義曰=普.

變式拓展

5.已知三棱錐底面是邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱長均為2,則側(cè)棱與底面所成角的余弦值為()

ACR1

32

口6

x_>?LJ.

36

6.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，_PCD為等邊三角形，平面平面PCD,

PA1CD,CD=2,AD=3.

(1)求證：F*A_L平面PCD；

(2)求直線A￡)與平面P4C所成角的正切值.

典例引領(lǐng)

典例8已知A8CD是正方形，E是的中點(diǎn)，將和△CfiE分別沿DE、CE折起，使AE與BE

重合，A、8兩點(diǎn)重合后記為點(diǎn)P,那么二面角P—CD—E的大小為.

【答案】30

【解析】如圖，取CO中點(diǎn)F,連接PF、EF.

C

D

'JEPLPD,EPLPC,PCD,J.EPLCD.

,:PC=PD,：.PF±CD,

又PFCPE=P,...C。，平面尸EF,

又EPu平面PEB,：.CD±EF,

/PFE為二面角P-CD-E的平面角.

設(shè)正方形ABC。的邊長為2,

在Rt△跳尸中，PE=LEF=2,：.ZPFE=30°.

【名師點(diǎn)睛】(1)二面角的平面角的頂點(diǎn)是二面角棱上任意一點(diǎn).為了解題方便，可以把其放在某一特殊位

置，這要具體問題具體分析.

(2)求二面角的關(guān)鍵是找出(或作出)平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂線法來作平面角，

即過二面角的一個(gè)半平面內(nèi)且不在棱上的一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直

可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角.

典例9在NIBC中，AB=4,AC=4V2,^BAC=45°,以AC的中線BD為折痕，將A4BD沿BD折起，如圖所

示，構(gòu)成二面角A—BD—C,在平面BCD內(nèi)作CE1CD,且CE=/.

(1)求證：CE〃平面4BD；

(2)如果二面角A—BD—C的大小為90。，求二面角8—AC—E的余弦值.

【解析】(1)由4B=4,4C=4VXNB4C=45°得BC=4,

所以ATIBC為等腰直角三角形，

由。為力C的中點(diǎn)得BD1AC,

以AC的中線BD為折痕翻折后仍有BD1CD.

因?yàn)镃E1CD,所以CE〃BD,

又CEC平面48D,8。＜2平面43。，

所以CE〃平面4BD.

(2)因?yàn)槎娼茿—BD—C的大小為90。，所以平面48。，平面BDC,

又平面48。C平面BDC=BD,A'D1BD,

所以4。J?平面BDC,因此4D1CE,

又CE1CD,A'DQCD=D,

所以CE1平面4CD,從而CE1A'C.

由題意4。=DC=2V2,

所以在RtAADC中，A'C=4.

如圖，設(shè)4c中點(diǎn)為F,連接8尸，

因?yàn)?8=BC=4,所以BF1AC,且8F=2百，

如圖，設(shè)AE的中點(diǎn)為G,連接FG,BG,則尸G〃CE,

由CE1AC得FG1AC,

所以NBFG為二面角B-A'C-E的平面角,

如圖，連接BE,在ABCE中，因?yàn)锽C=4,CE=VX/BCE=135。，所以BE=屆.

在RtAOCE中，DE=J(2V2)2+(V2)2=V10,

于是在RtAADE中，A'E=J(2/尸+(孤4=3位.

11133

在Aa'BE中，BG2=-AB2+-BE2——AE2=——,

2242

133

12+———y/6V6

所以在A8FG中，cosZBFG=22因此二面角B-A'C-E的余弦值為-

V

2X2A/3X—

2

變式拓展

7.如圖，正方體A3CD-4耳G2的棱長為1,E、F分別為棱A。、的中點(diǎn)，則平面6口后歹與底面

8.如圖，在五面體A8CZJE1尸中，E4_L平面A8CD,AD//BC//FE,AB1AD,M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC

=FE=LAD.

2

(1)證明：平面AM￡>_L平面CDE；

(2)求二面角A-CD-E的余弦值.

百點(diǎn)沖關(guān)充

1.已知三條不同的直線a、b、I,平面e,且a,bua,則“/_La,/_1_/?”是"/_1_?！钡模ǎ?/p>

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.如圖，在正方體A3CD-中，尸為線段48上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論不正確的為（）

A.平面平面8片P

C.AP±BCD.AP〃平面。。CC

3.用六個(gè)完全相同的正方形圍成的立體圖形叫正六面體.已知正六面體ABC。-A4GA的棱長為4,則

平面A與2與平面BCQ間的距離為（）

A.6B.逅

3

C.巫D.273

3

4.把邊長為4的正方形ABC。沿對角線AC折起，當(dāng)直線5。和平面ABC所成的角為60°時(shí)，三棱錐

。一ABC的體積為（）

A.-V2B.-76

33

C.-V6D.”

33

5.如圖，在三棱錐C-A血中，84。與「G4D是邊長為2的等邊三角形，平面的與平面ACD所成

角為60。，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，則異面直線與AE所成角的余弦值為（)

1

A.-D.----------

44

1

C.—

2

6.如圖，已知P是矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，平面ABC。，E、P分別是A3,PC的中點(diǎn).若

ZPZM=45°,則砂與平面ABCD所成角的大小是()

A.90°B.60°

C.45°D.30°

7.在四面體A5CD中，平面3CQ,BC±BD,AB=BD=2,石為CD的中點(diǎn)，若異面直線AC

與應(yīng);所成的角為60。，則BC=()

A.y[2B.2

C.2A/2D.4

8.如下圖，梯形ABCD中，AD//BC,AD=AB^1,AD±AB,ZBCD^45，將AABD沿對角線BD

折起.設(shè)折起后點(diǎn)4的位置為4,并且平面43。，平面5CD.給出下面四個(gè)命題:

①A'OLBC；②三棱錐A—5co的體積為二；③CD，平面ABD；

2

④平面ABC，平面A'。。.其中正確命題的序號是（）

9.已知直線a,6,平面a,滿足a1a,且b||a,有下列四個(gè)命題：①對任意直線cua,有cla；②存在直

線cCa,使clb且cla；③對滿足au0的任意平面有。1a；④存在平面01a,使bld其中正

確的命題有.（填寫所有正確命題的編號）

10.在四面體ABCD中，平面ABC,AB±AC,AB=4,AC=3,AD=1，E為棱BC上一

點(diǎn)，且平面仞￡，平面5CD,則OE=.

7T

11.如圖，在五面體A5CDEF中，AB//DC,NBAD=—,CD=AD=3,四邊形A班E為平行四邊

2

形，平面ABC。，F(xiàn)C=5,則直線A3到平面EFCD距離為.

12.如圖，大擺錘是一種大型的游樂設(shè)備，常見于各大游樂園.游客坐在圓形的座艙中，面向外.通常，大擺

錘以壓肩作為安全束縛，配以安全帶作為二次保險(xiǎn).座艙旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，懸掛座艙的主軸在電機(jī)的驅(qū)動下做

單擺運(yùn)動.大擺錘的運(yùn)行可以使置身其上的游客驚心動魄.今年元旦，小明去某游樂園玩“大擺錘”，他坐在

點(diǎn)A處，“大擺錘”啟動后，主軸06在平面戊內(nèi)繞點(diǎn)。左右擺動，平面1與水平地面垂直，08擺動的

過程中，點(diǎn)A在平面夕內(nèi)繞點(diǎn)3作圓周運(yùn)動，并且始終保持。6，尸，Be/3,已知03=645,在“大

擺錘”啟動后，下列4個(gè)結(jié)論中正確的是（請?zhí)钌纤姓_結(jié)論的序號）.

①點(diǎn)A在某個(gè)定球面上運(yùn)動;

②線段AB在水平地面上的正投影的長度為定值;

③直線0A與平面?所成角的正弦值的最大值為叵；

37

④直線Q4與平面e所成角的正弦值的最大值為?12.

37

13.如圖，在三棱錐P—A5C中，ACLBC,BC=6AP=CP,。是AC的中點(diǎn)，尸0=1,OB=2,

PB=5

(1)證明：3CJ■平面PAC；

(2)求點(diǎn)A到平面尸5C的距離.

14.如圖所示，在四棱錐中尸—A5CD中，底面A3CD是邊長為2的正方形，平面平面7W,AC

與交BD于點(diǎn)。.

(1)連接P0,試證明：PO±BD-,

(2)若G是尸。的中點(diǎn)，AG,平面PC。，求多面體A3CGP的體積.

15.如圖，在四棱錐尸—A5CD中，底面ABCD為菱形，且NA3C=60°,AB=PC=2,PA=PB=42.

(1)證明：平面？AB_L平面ABC。；

(2)有一動點(diǎn)M在底面ABCD的四條邊上移動，求三棱錐M-PAC的體積的最大值.

16.如圖，四邊形ABCD是圓柱。。的軸截面，點(diǎn)P在圓柱。。的底面圓周上，G是0P的中點(diǎn)，圓柱。。

的底面圓的半徑。4=2,圓柱的側(cè)面積為8J。，ZAOP=120°.

(1)求點(diǎn)G到直線的距離;

(2)求平面PAG與平面A4G的夾角的余弦值.

7T

17.如圖，在五面體ABC/)所中，面ABCD是正方形，AD±DE，AD=4,DE=EF=2,且NEDC=-.

3

(1)求證：AO,平面CDEF；

(2)求直線8。與平面ADE所成角的正弦值；

(3)設(shè)加是CB的中點(diǎn)，棱AB上是否存在點(diǎn)G,使得MG//平面ADE?若存在，求線段AG的長;

若不存在，說明理由.

昌通高

1.[2020年新高考全國I卷】日號是中國古代用來測定時(shí)間的儀器，利用與唇面垂直的唇針投射到唇面的

影子來測定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球（球心記為。），地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面

所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日唇，若辱面與赤道所在平

面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40。，則號針與點(diǎn)A處的水平面所成角為

A.20°B.40°

C.50°D.90°

2.【2019年高考浙江卷】設(shè)三棱錐"8C的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，尸是棱儂上的點(diǎn)（不含端

點(diǎn)）.記直線PB與直線AC所成的角為a,直線尸8與平面ABC所成的角為￡,二面角尸-AC-8的平面

角為為則

A.P<y,a<yB./3<a,P<y

C.P<a,y<aD.a</3,y<p

3.【2020年高考全國II卷理數(shù)】設(shè)有下列四個(gè)命題：

pi：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).

P2:過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.

P3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線/u平面a,直線機(jī)_L平面a,則機(jī)_L/.

則下述命題中所有真命題的序號是.

①Pl八P4②Pl八P2③「P2Vp3④fVf

4.【2020年高考全國I卷理數(shù)節(jié)選】如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，/正為底面直徑,

AE=AD.AASC是底面的內(nèi)接正三角形，尸為DO上一點(diǎn)，尸。=如。。.

6

（1）證明：上4_L平面PBC；

5.【2020年高考全國II卷理數(shù)節(jié)選】如圖，己知三棱柱ABC-ALBCI的底面是正三角形，側(cè)面BBCC是矩

形，M,N分別為8C,BiG的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過以。和P的平面交AB于E,交AC于尸.

（1）證明：AAi//MN,且平面4AMN_L平面EBiCiR

（2）設(shè)。為△A18C1的中心，若AO〃平面E81GF,且AO=A8,求直線?E與平面4AMN所成角的

正弦值.

6.【2020年高考江蘇】在三棱柱ABC—48C1中，ABLAC,平面ABC,E,E分別是AC,8C的中

點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面AB1G；

(2)求證：平面ABC，平面ABC.

7.【2020年高考浙江】如圖，在三棱臺ABCDEP中，平面ACFD_L平面ABC,ZACB=ZACD=45°,DC=1BC.

(I)證明：EFLDB-,

(II)求直線與平面03c所成角的正弦值.

8.【2019年高考全國II卷理節(jié)選】如圖，長方體ABCD-4SC1D1的底面ABC。是正方形，點(diǎn)E在棱AAi

上，BE±ECi.

(1)證明：BE,平面E81G；

9.【2019年高考全國III卷理節(jié)選】圖1是由矩形AOEB,RtA48C和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其

中AB=1,BE=BF=2,ZFBC=6Q°,將其沿A8,BC折起使得BE與8尸重合，連結(jié)。G,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面ABC,平面BCGE；

8C

G

圖I圖2

10.[2019年高考北京卷理節(jié)選】如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD,ADLCD,AD//BC,

PF1

PA=AD=CD=2,BC=3.E為尸。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在PC上，且正=§.

(1)求證：平面PAD；

11.【2019年高考江蘇卷】如圖，在直三棱柱ABC—AiBiG中，D,E分別為8C,AC的中點(diǎn)，AB=BC.

求證：(1)481〃平面。EG；

(2)BELC\E.

B

D

14.12018浙江】如圖，己知多面體ABCAiBiCi,4A,BiB,CiC均垂直于平面ABC,ZABC=120°,AiA=4,

C1C=1,AB=BC=B1B=2.

(I)證明：ABi_L平面AiBiCi；

(ID求直線AG與平面所成的角的正弦值.

15.【2018新課標(biāo)全國I理科】如圖，四邊形A3CD為正方形，E,E分別為AD,5c的中點(diǎn)，以DF為

折痕把△0FC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且/用，斯.

(1)證明：平面，平面ABED；

(2)求。。與平面ABED所成角的正弦值.

P

E,

AB

最參考答案.

變式拓展

----------------

1.【答案】B

【分析】

①根據(jù)/A5C是正三角形，利用異面直線所成的角結(jié)合線面垂直的定義判斷；②根據(jù)正方形對角線相

互垂直，利用線面垂直的判定定理判斷；③根據(jù)AB與CE的夾角為60，再由線面垂直的定義判斷；④

易知CEL平面ABD,得到WCE,同理ABLED,再利用線面垂直的判定定理判斷.

【詳解】

①因?yàn)椤?A5C是正三角形，所以AB與AC的夾角為60，又因?yàn)锳C/AE。，所以A8與的夾角為

60，故錯(cuò)誤；

②因?yàn)檎叫螌蔷€相互垂直，所以A3八CE,AB工ED,EDcCE=E,AB,平面CDE,故正

確；

③由①知與CE的夾角為60，故錯(cuò)誤；

④因?yàn)镃E，AD,CE，3￡）,3￡）cA￡）=。，所以CE,平面鉆￡>,則AX八CE,同理ABLE。，

又EDcCE=E,所以A3,平面CDE,故正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，還考查了空間想象和邏輯推理的能力，屬于中檔題.

2.【答案】（1）證明見解析；（2）好.

3

【分析】

（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明線面垂直；

（2）過點(diǎn)A作A/J_CD,垂足為口，根據(jù)題中條件，求出KTBCM上，設(shè)點(diǎn)A到平面尸的距

離為d,由等體積法，即可求出結(jié)果.

【詳解】

(1)證明：：B42+AD2=4=P￡>2>

，PA1AD

VPAIADPA±AB，ABcAD=A，Afil平面A3C。，AZ)u平面ABC。,

，AP，平面ABCD-

(2)過點(diǎn)A作AELCD,垂足為P，

c

在RtAAED中，AF=y/AD2-DF2=A/2^1=1

可得BC—1,

則

SABC=gxlxl=:,V=1X-X72=—

22戶一板326

又BC上AB,BC1AP,ABIAP=A,ABI平面ABP，APu平面ABP，

8CL平面ABP

,/BPu平面

BCVBP,

在RtPAB中，BP=y/AB2+AP~=V1+2=V3'

則S^BCP=；xlxg=^

設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d,

則匕="走=旦，

A-BPC326

有好d=絲,解得d=』S

663

故點(diǎn)A到平面PBC的距離為好.

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查證明線面垂直，考查由等體積法求點(diǎn)到面的距離，屬于?？碱}型.

3.【答案】（1）證明見解析；（2）能，當(dāng)尸為尸C的中點(diǎn)時(shí)，平面￡）石尸_1_平面ABC。，證明見解析.

【分析】

（1）由PG_LAD,33,4￡）可得40，平面尸68,因?yàn)镸u平面尸GB,所以

（2）當(dāng)尸為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面￡）石尸，平面ABCD利用平面平面ABCD,可得PGL平

面ABCD,通過證明平面DEF//平面尸GB,可得平面DEF_L平面ABCD

【詳解】

（1）證明：設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接PG,BG,BD,如圖：

因?yàn)椤鰾4。為等邊三角形，所以PG_LAO.

在菱形ABC。中，ZZMB=60°,所以為等邊三角形，

又因?yàn)镚為A。的中點(diǎn)，所以BGLAO.

又因?yàn)?GPG=G,BG,PGu平面PG3,所以AO,平面PG8

因?yàn)镼Bu平面PGB,所以

（2）解：當(dāng)尸為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面平面4BCD

如圖，設(shè)尸為PC的中點(diǎn)，則在一PBC中，EF//PB,Eba平面PGB,P2U平面PGS所以EF//

平面PGB,

在菱形ABC。中，GB//DE,DEa平面PG8,GBu平面PG8,所以O(shè)E7/平面尸G8,而所,￡>￡<=

平面DEREFcDE=E

所以平面。EFV/平面PGB,

由（1）得，PGLAD,

又因?yàn)槠矫鍱4D，平面ABC。，

平面PA。'平面ABCD=AZ）,PGu平面EW,

所以PG，平面ABC。，

而PGu平面PGB,

所以平面PGBL平面ABCD所以平面D砂，平面ABCD

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：證明垂直關(guān)系的方法有：

①證明線線垂直的常用方法：勾股定理、線面垂直的性質(zhì)；

②證明線面垂直的常用方法：定義法、線面垂直的判定定理、面面垂直的性質(zhì)定理；

③證明面面垂直的常用方法：定義法、面面垂直的判定定理、兩平行平面中的一個(gè)垂直于一個(gè)平面，則

另一個(gè)也垂直于這個(gè)平面.

4.【答案】（1）證明見解析；（2）、女.

【分析】

（1）在題圖（1）中，易得BE_LAC,即在題圖（2）中，BE±AiO,BELOC,平面40C,然后

由CDHBE,利用面面垂直的判定定理證明.

（2）根據(jù)平面48￡，平面8。區(qū)結(jié)合（1）得到40,平面BCDE,即4。是四棱錐4-OCDE的高，

然后再求得梯形。8￡的面積，利用錐體的體積公式求解.

【詳解】

（1）證明：在題圖（1）中，因?yàn)?

2

E是的中點(diǎn)，ZBAD=90°,所以2E_LAC

即在題圖（2）中，BE±AiO,BELOC,

所以BE_L平面AiOC.

又CD//BE,

所以平面4OC.

而COu平