高一數(shù)學(xué)北師大版必修1教學(xué)教案第三章3-1指數(shù)函數(shù)的概念

指數(shù)函數(shù)的概念一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容的本質(zhì)：指數(shù)函數(shù)刻畫(huà)了現(xiàn)實(shí)事物中增長(zhǎng)率或衰減率為常數(shù)的變化規(guī)律，它的一般形式是，其中是自變量，定義域?yàn)?思想和方法：抽象是概念形成的基本方法，通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)代數(shù)規(guī)律，得到增長(zhǎng)率或衰減率是常數(shù)，從而抽象出函數(shù)關(guān)系，歸納指數(shù)函數(shù)的概念.數(shù)形結(jié)合思想是函數(shù)研究的核心思想，借助冪函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)觀(guān)察指數(shù)函數(shù)的圖象，從特殊到一般、具體到抽象，歸納得到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).知識(shí)上下位：函數(shù)的一般概念和性質(zhì)，是指數(shù)函數(shù)研究的上位.指數(shù)冪及其運(yùn)算，是指數(shù)函數(shù)研究的基礎(chǔ).冪函數(shù)的研究方法，可類(lèi)比遷移到指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，為指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)的研究提供了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).函數(shù)函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)育人價(jià)值：通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)變量之間的關(guān)系，抽象出函數(shù)模型，在層層遞進(jìn)地精確化過(guò)程中，形成數(shù)學(xué)概念，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).借助圖象和運(yùn)算，研究指數(shù)函數(shù)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式，研究一類(lèi)變化規(guī)律，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)規(guī)律.在豐富的生活實(shí)例中，感受數(shù)學(xué)的文化價(jià)值、科學(xué)價(jià)值與應(yīng)用價(jià)值.教學(xué)重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì).二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.單元目標(biāo)（1）通過(guò)具體實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念.（2）能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫(huà)出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）學(xué)生經(jīng)歷對(duì)典型實(shí)例中蘊(yùn)含的代數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析的過(guò)程，能通過(guò)運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)增長(zhǎng)率或衰減率為常數(shù)這一特征，抽象出指數(shù)函數(shù)的概念，明確它的一般形式是，其中是自變量，定義域?yàn)?，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.（2）學(xué)生能畫(huà)出典型函數(shù)的圖象，觀(guān)察指數(shù)函數(shù)的圖象特征，得到指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)，并能初步應(yīng)用．三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析1.學(xué)生在初中一次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)有用函數(shù)來(lái)刻畫(huà)事物變化規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)，但學(xué)生對(duì)“具體情境——發(fā)現(xiàn)問(wèn)題——數(shù)學(xué)問(wèn)題——數(shù)學(xué)表征——數(shù)學(xué)概念”這樣的抽象過(guò)程仍然有困難，對(duì)“用運(yùn)算來(lái)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律”的認(rèn)識(shí)不足.學(xué)生不習(xí)慣從運(yùn)算的角度去研究?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系，對(duì)于層層遞進(jìn)的代數(shù)化過(guò)程，有一定的困難.教學(xué)中應(yīng)注重對(duì)利用運(yùn)算來(lái)發(fā)現(xiàn)代數(shù)規(guī)律這一研究方法的引導(dǎo).2.學(xué)生在前一章已經(jīng)經(jīng)歷了冪函數(shù)的研究，了解了研究一類(lèi)函數(shù)的過(guò)程和方法.在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，只需要進(jìn)行方法的類(lèi)比遷移.有一些學(xué)生對(duì)于研究方法的認(rèn)識(shí)不到位，在觀(guān)察指數(shù)函數(shù)的特征，歸納性質(zhì)的過(guò)程中，對(duì)于底數(shù)的分類(lèi)，性質(zhì)研究的一些角度（單調(diào)性，特殊點(diǎn)等），需要教師引導(dǎo)啟發(fā)，并且通過(guò)合作探究活動(dòng)，讓學(xué)生自主.教學(xué)難點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的抽象過(guò)程，指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解.四、教學(xué)支持條件分析1.本單元涉及的函數(shù)模型源于生活實(shí)際，數(shù)據(jù)較多，不易處理，借助圖形計(jì)算器來(lái)計(jì)算，需要學(xué)生能夠熟練地使用圖形計(jì)算器的運(yùn)算功能.2.從幾個(gè)特殊的指數(shù)函數(shù)圖象到一般的指數(shù)函數(shù)圖象，需要借助圖形計(jì)算器來(lái)畫(huà)圖，需要學(xué)生能夠熟練地使用圖形計(jì)算器的作圖功能.3.本單元注重研究方法的形成過(guò)程，及時(shí)展示學(xué)生解決問(wèn)題的切入點(diǎn)、思維過(guò)程、解答結(jié)果，暴露學(xué)生解題過(guò)程中的知識(shí)缺陷和思維漏洞，所以，需要借助黑板和多媒體投影及時(shí)有效地輔助教學(xué).五、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)第一課時(shí)課時(shí)教學(xué)內(nèi)容指數(shù)函數(shù)的概念課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)游客和碳14兩個(gè)實(shí)例，利用運(yùn)算來(lái)刻畫(huà)增長(zhǎng)率和衰減率為常數(shù)這一變化規(guī)律，概括出指數(shù)函數(shù)的概念，從中體驗(yàn)抽象一類(lèi)函數(shù)概念的方法，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；2．通過(guò)鞏固、應(yīng)用，在問(wèn)題解決的過(guò)程中，理解指數(shù)函數(shù)的概念，進(jìn)一步深化對(duì)指數(shù)函數(shù)變化規(guī)律的認(rèn)識(shí).（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)概念的抽象過(guò)程，指數(shù)函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系特征的理解．難點(diǎn)：通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)數(shù)的變化規(guī)律，利用增長(zhǎng)率和衰減率抽象出指數(shù)函數(shù)的概念.（四）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)引言：前幾節(jié)課，我們已經(jīng)將整數(shù)指數(shù)冪拓展到實(shí)數(shù)指數(shù)冪，經(jīng)歷了冪函數(shù)的研究方法，認(rèn)識(shí)了冪函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì).今天，我們繼續(xù)研究一類(lèi)與此相關(guān)的基本初等函數(shù).【設(shè)計(jì)意圖】回顧舊知，建立新舊知識(shí)的聯(lián)系.（一）創(chuàng)設(shè)情境，探究模型問(wèn)題1游客人數(shù)增長(zhǎng)模型隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來(lái)越多家庭的重要生活方式.由于旅游人數(shù)不斷增加，A，B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對(duì)措施，A地提高了景區(qū)門(mén)票價(jià)格，而B(niǎo)地則取消了景區(qū)門(mén)票.表格中給出了A，B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次.探究1：比較兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)怎樣的變化規(guī)律？【學(xué)生回答】隨著年份的變化，游客人數(shù)隨之增長(zhǎng)，且B地人次比A地增長(zhǎng)快.【教師追問(wèn)1】這是數(shù)據(jù)給我們的宏觀(guān)印象，你能用什么數(shù)學(xué)方法來(lái)描述這種變化？【學(xué)生回答】畫(huà)出散點(diǎn)圖.【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生機(jī)器作圖，分別畫(huà)出A，B兩地景區(qū)采取不同措施后的15年游客人次的圖像，投影展示圖象.【教師追問(wèn)2】為了便于觀(guān)察，可以先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描點(diǎn)，然后用光滑的曲線(xiàn)將離散的點(diǎn)連起來(lái).觀(guān)察圖象，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？【學(xué)生回答】A地景區(qū)的游客人次近似于直線(xiàn)上升（線(xiàn)性增長(zhǎng)），B地景區(qū)的游客人次則是非線(xiàn)性增長(zhǎng).【教師追問(wèn)3】你能解釋什么是線(xiàn)性增長(zhǎng)嗎？【學(xué)生回答】圖象近似于一條直線(xiàn).【教師追問(wèn)4】以一次函數(shù)y=kx+b的形式增長(zhǎng)，刻畫(huà)均勻增長(zhǎng)，也就是說(shuō)在相同的時(shí)間間隔，增加的量相同.那我們?cè)倩氐綌?shù)據(jù)去，請(qǐng)同學(xué)們算一算兩地人次的逐年增加量.【教師追問(wèn)5】你從增加量上發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？【學(xué)生回答】后一年與前一年人次作差.A地年增加量大致相等（約為10萬(wàn)次）【教師追問(wèn)6】A地景區(qū)年增長(zhǎng)穩(wěn)定在10萬(wàn)次左右，這個(gè)10是個(gè)常量，那么，我們可以通過(guò)后一年與前一年人次的差，用逐年增加量10來(lái)刻畫(huà)他的增長(zhǎng)規(guī)律.你能寫(xiě)出這個(gè)一次函數(shù)嗎？【學(xué)生回答】設(shè)自變量為年份，游客人次為因變量，【教師追問(wèn)7】在這里，我們更關(guān)注的是年份的增量，我們可以怎么表示？【學(xué)生回答】不妨設(shè)經(jīng)過(guò)的年數(shù)為，可得.【教師追問(wèn)8】我們可以通過(guò)作差運(yùn)算，用逐年增加量來(lái)刻畫(huà)A地的增長(zhǎng)規(guī)律.但是，我們也發(fā)現(xiàn)B地年增加量越來(lái)越大.這依然是一種定性的刻畫(huà)，能不能像A地一樣，從定量的角度來(lái)表達(dá)它的變化規(guī)律？【學(xué)生回答】能不能試試其他運(yùn)算.【設(shè)計(jì)意圖】首先，學(xué)生直觀(guān)感知表格中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，建立初步認(rèn)識(shí).教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察圖象，從形到數(shù)，回歸數(shù)與數(shù)之間的運(yùn)算.類(lèi)比年增加量，遷移運(yùn)算思路，從對(duì)給出的數(shù)據(jù)的認(rèn)識(shí)，抽象到對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的認(rèn)識(shí).探究2：我們知道，年增加量是對(duì)相鄰兩年的游客人次做減法得到的，能否通過(guò)對(duì)B地景區(qū)每年的游客人次做其他運(yùn)算發(fā)現(xiàn)游客人次的變化規(guī)律呢？請(qǐng)你試一試.【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生機(jī)器運(yùn)算，并展示運(yùn)算結(jié)果.允許學(xué)生嘗試各種不同的運(yùn)算，進(jìn)行比較分析.從2002年起，將B地景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次.結(jié)果表明是一個(gè)常數(shù)，我們可以將1.111=0.11稱(chēng)之為年增長(zhǎng)率.提出增長(zhǎng)率的概念.像這樣，增長(zhǎng)率為常數(shù)的變化方式，我們成為指數(shù)增長(zhǎng)（指數(shù)部分的變化）.因此，B地景區(qū)的游客人次近似于指數(shù)增長(zhǎng).探究3：寫(xiě)出B地景區(qū)人數(shù)變化規(guī)律的函數(shù)解析式.【學(xué)生活動(dòng)】引導(dǎo)學(xué)生用增長(zhǎng)率來(lái)描述每年的游客人次，得到游客人次的增長(zhǎng)倍數(shù)與年數(shù)之間的關(guān)系.顯然，從2001年開(kāi)始，B地景區(qū)游客人次的變化規(guī)律可以近似描述為：1年后，游客人次是2001年的倍；2年后，游客人次是2001年的倍；3年后，游客人次是2001年的倍……年后，游客人次是2001年的倍如果設(shè)經(jīng)過(guò)年后的游客人次為2001年的倍，那么，這是一個(gè)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題串，啟發(fā)學(xué)生思維.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從表格到圖象，再到解析式的研究過(guò)程，分析游客人次的增長(zhǎng)倍數(shù)與年份之間的關(guān)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)函數(shù)模型的抽象過(guò)程，體會(huì)函數(shù)模型的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，體會(huì)學(xué)會(huì)研究問(wèn)題的一類(lèi)方法.問(wèn)題2碳14衰減模型1936年，良渚遺址第一次被發(fā)現(xiàn).2007年，考古專(zhuān)家根據(jù)古城墻邊的碎陶片，作出判斷：良渚古城的年代下限是公元前2300年.2011年，浙江省考古研究所與北京大學(xué)碳14實(shí)驗(yàn)室合作，對(duì)從良渚古城發(fā)掘出的一系列樣本進(jìn)行碳14測(cè)年.十幾組數(shù)據(jù)顯示，良渚古城城墻的年代大致在距今4300年至4500年之間.思考1：當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱(chēng)為衰減率），若年衰減率為，你能刻畫(huà)死亡生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間的關(guān)系嗎？【學(xué)生活動(dòng)】自主嘗試建立模型.如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，設(shè)生物死亡年數(shù)為，生物體內(nèi)碳14含量為，死亡1年后，生物體內(nèi)碳14含量為；死亡2年后，生物體內(nèi)碳14含量為；死亡3年后，生物體內(nèi)碳14含量為；……死亡年后，生物體內(nèi)碳14含量為.思考2：科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這是時(shí)間稱(chēng)為“半衰期”.你能求出嗎？，從而，所以，可得.這也是一個(gè)函數(shù)，指數(shù)是自變量.死亡生物體內(nèi)碳14含量每年都以的衰減率衰減.像這樣，衰減率為常數(shù)的變化方式，我們稱(chēng)為指數(shù)衰減.因此，死亡生物體內(nèi)碳14含量呈指數(shù)衰減.【設(shè)計(jì)意圖】從已有的科學(xué)結(jié)果出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，在數(shù)學(xué)化的過(guò)程中，歸納推理出指數(shù)函數(shù)模型.兩個(gè)實(shí)例側(cè)重點(diǎn)不同，實(shí)例1重在體驗(yàn)函數(shù)模型的形成發(fā)生過(guò)程，實(shí)例2重在數(shù)學(xué)化過(guò)程，所以教師在處理方法上也應(yīng)有所區(qū)別，體現(xiàn)層次性.（二）抽象特征，形成概念思考1：你還能舉出其他類(lèi)似的函數(shù)模型嗎？思考2：這些函數(shù)有什么共同特征？思考3：推廣到一般，底數(shù)有什么要求？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)幾個(gè)不同的函數(shù)模型，抽象出指數(shù)函數(shù)的概念，經(jīng)歷從特殊到一般，具體到抽象的過(guò)程，從中體驗(yàn)抽象一類(lèi)函數(shù)概念的方法，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).教師引導(dǎo)分析結(jié)構(gòu)特征，理解概念，并通過(guò)追問(wèn)，引發(fā)學(xué)生思考，完善底數(shù)的取值范圍.抓住自變量在指數(shù)位置這一基本特征，理解底數(shù)取值的合理性．（三）概念應(yīng)用，加深理解例1已知指數(shù)函數(shù)，且，求的值.【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)函數(shù)概念的理解和應(yīng)用例2（1）在問(wèn)題1中，如果平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛?lái)1000元門(mén)票之外的收入，A地景區(qū)的門(mén)票價(jià)格為150元，比較這15年間A，B兩地旅游收入變化情況.【學(xué)生活動(dòng)】同桌合作完成，借助機(jī)器計(jì)算作圖，分享交流.（2）在問(wèn)題2中，某生物死亡10000年后，它體內(nèi)碳14的含量衰減為原來(lái)的百分之幾？思考：連續(xù)兩個(gè)半衰期是否就是一個(gè)“全衰期”？（閱讀材料）從特殊到一般，得到一般地指數(shù)增長(zhǎng)模型：設(shè)原有量為，每次的增長(zhǎng)率為，經(jīng)過(guò)次增長(zhǎng)，該量增長(zhǎng)到，則.形如的函數(shù)是刻畫(huà)指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減變化規(guī)律的非常有用的函數(shù)模型.【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步加深理解，例1是數(shù)學(xué)內(nèi)部的指數(shù)函數(shù)概念應(yīng)用，例2是實(shí)例中的指數(shù)函數(shù)概念應(yīng)用，解答中要使用大量的符號(hào)語(yǔ)言，文字語(yǔ)言，引導(dǎo)學(xué)生恰當(dāng)?shù)妹枋鼋Y(jié)果.（1）中引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)增長(zhǎng)模型的增長(zhǎng)速度.（2）中引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)衰減模型的衰減速度，從而對(duì)指數(shù)函數(shù)的圖象形成初步的認(rèn)識(shí)，為下一課作鋪墊.（四）課堂總結(jié)，提煉升華從實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，認(rèn)識(shí)、表達(dá)、理解指數(shù)函數(shù)的概念，體會(huì)通過(guò)運(yùn)算來(lái)發(fā)現(xiàn)不變關(guān)系，用函數(shù)來(lái)刻畫(huà)規(guī)律的基本方法.【設(shè)計(jì)意圖】總結(jié)提煉，內(nèi)化概念，明晰研究方法.（五）目標(biāo)檢測(cè)，練習(xí)鞏固1.下列圖象中，有可能表示指數(shù)函數(shù)的是（）B.C.