2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測第28講平面向量的概念及線性運(yùn)算（講）（原卷版）

第28講平面向量的概念及線性運(yùn)算（講）思維導(dǎo)圖知識梳理1．向量的有關(guān)概念(1)向量的定義及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的向量記作eq\o(AB,\s\up7(→))，也可用黑體的單個(gè)小寫字母a，b，c，…來表示向量．(2)向量的長度(模)：向量eq\o(AB,\s\up7(→))的大小即向量eq\o(AB,\s\up7(→))的長度(模)，記為eq\o(|AB|,\s\up7(→)).2．幾種特殊向量名稱定義備注零向量長度為0的向量零向量記作0，其方向是任意的單位向量長度等于1個(gè)單位的向量單位向量記作a0，a0＝eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量(也叫共線向量)0與任意向量共線相等向量長度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量相反向量長度相等且方向相反的兩個(gè)向量若a，b為相反向量，則a＝－b3．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則eq\a\vs4\al(平行四邊形,法則)(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|；當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb4．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.題型歸納題型1平面向量的有關(guān)概念【例11】（2020春?臨川區(qū)校級期中）下列說法正確的是（）A．零向量沒有方向 B．向量就是有向線段 C．只有零向量的模長等于0 D．單位向量都相等【例12】（2020春?芮城縣月考）有下列命題：①兩個(gè)相等向量，若它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若|a→|=|③若|AB→|=|④若m→=n→，⑤若a→∥b→，⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中，假命題的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【跟蹤訓(xùn)練11】（2019春?城關(guān)區(qū)校級月考）給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的：②若a→，b→都是單位向量，則a→=b→；A．① B．③ C．①③ D．①②【跟蹤訓(xùn)練12】（2019春?北碚區(qū)期末）下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）①單位向量都相等；②模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量；③若a→，b→滿足|a→|＞|b→|且a→④若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合；⑤若a→∥b→，b→∥c→，則A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【跟蹤訓(xùn)練13】（2019?西湖區(qū)校級模擬）下列關(guān)于向量的敘述不正確的是（）A．向量AB→的相反向量是BAB．模為1的向量是單位向量，其方向是任意的 C．若A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，且AB＝CD，則AB→D．若向量a→與b→滿足關(guān)系a→+b【跟蹤訓(xùn)練14】（2019春?民樂縣校級月考）下列關(guān)于向量的結(jié)論：（1）若|a→|＝|b→|，則a→（2）向量a→與b→平行，則a→（3）起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量a→與b→同向，且|a→|＞|b→其中正確的序號為（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）【名師指導(dǎo)】向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度．(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制．(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等．(4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個(gè)單位長度．(5)零向量的關(guān)鍵是長度是0，規(guī)定零向量與任意向量共線．題型2向量的線性運(yùn)算【例21】（2020?海南）在△ABC中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則CB→A．2CD→+CA→ B．CD→-2CA→ C．2【例22】（2020?綏化模擬）已知點(diǎn)D在△ABC的邊AC上，CD＝2DA，點(diǎn)E是BD中點(diǎn)，則EC→A．13AB→+23AC→ B．1【例23】（2020春?焦作期末）在正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別滿足DM→=MC→，CN→A．2 B．1 C．12 D．【跟蹤訓(xùn)練21】（2020春?涼山州期末）如圖，△ABC中，已知CD→=2DB→A．13AB→+23AC→ B．3【跟蹤訓(xùn)練22】（2020?東莞市二模）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿足16OAA．OA→=12AB→+3C．OA→=12AB→【跟蹤訓(xùn)練23】（2020?湖北模擬）△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AB→=3AE→，M為AD與CE的交點(diǎn)，若A．14 B．13 C．25 【名師指導(dǎo)】平面向量線性運(yùn)算問題的常見類型及解題策略(1)向量加法或減法的幾何意義：向量加法和減法均適合三角形法則．(2)求已知向量的和：一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則．題型3共線向量定理的應(yīng)用【例31】（2020春?新余期末）已知兩個(gè)非零向量e1→，e2→不共線，若AB→=λe1→+3e2→，BC→=6e1→+23e2【例32】（2019春?西城區(qū)校級期中）向量OA→=（k，12），OB→=（4，5），OC→=（10，k），當(dāng)k為何值時(shí)，【跟蹤訓(xùn)練31】（2020?江都區(qū)校級模擬）在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，記AB→=a→，AC→=b→，若DE→【跟蹤訓(xùn)練32】（2020?茂名二模）設(shè)a→，b→是不共線的兩個(gè)平面向量，已知AB→=a→-2b→，BCA．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6【跟蹤訓(xùn)練33】（2020春?臨川區(qū)校級期中）設(shè)a→，b→不共線，AB→=a→+3b→，BC→=A．23 B．15 C．72 【名師指導(dǎo)】利用向量共線定