6.3平面向量線性運算的應用

6.3平面向量線性運算的應用TOC\o"13"\h\z\u題型1向量在平面幾何中的應用 1題型2向量在功力問題中的應用 6題型3向量在速度問題中的應用 10知識點一.用向量運算解決平面幾何問題的“三步法”1.建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題.2.通過向量運算，研究幾何元素之間的關系.3.把運算結果“翻譯”成幾何關系.知識點二.平面向量在物理中的應用1.物理問題中常見的向量有力、速度、加速度、位移等．2.向量的加減法運算體現(xiàn)在力、速度、加速度、位移的合成與分解.3.動量mv是向量的數(shù)乘運算.題型1向量在平面幾何中的應用【方法總結】用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路（1）向量的線性運算法的四個步驟：①選取基底；②用基底表示相關向量；③利用向量的線性運算或數(shù)量積找相應關系；④把幾何問題向量化.（2）向量的坐標運算法的四個步驟：①建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?；②把相關向量坐標化；③用向量的坐標運算找相應關系；④把幾何問題向量化.【例題1】（2022下·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）已知△ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，點D在BC邊上且BD=13BCA．3 B．32 C．33【答案】D【分析】利用向量數(shù)量積去求AD長度即可.【詳解】△ABC中，點D在BC邊上且BD=1則AD又AB=1，AC=2，則AD=19×4+4故選：D【變式11】1．（2023下·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學校考期中）在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，|ABA．72 B．4 C．9【答案】D【分析】以B為原點，BC為x軸正方向，BA為y軸正方向建立平面直角坐標系，利用坐標法求解.【詳解】如圖示，以B為原點，BC為x軸正方向，BA為y軸正方向建立平面直角坐標系.則B0,0,A0,2,C2d,0所以PC=2d-p,0，所以PC+3所以|PC+3PD所以|PC故選：D【變式11】2．（2023下·湖南常德·高一臨澧縣第一中學?？茧A段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為6,E是AB的中點，F(xiàn)是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于點M．(1)求∠EMF的余弦值．(2)若點P自A點逆時針沿正方形的邊運動到C點，在這個過程中，是否存在這樣的點P，使得EF⊥MP？若存在，求出MP的長度，若不存在，請說明理由．【答案】(1)2(2)存在MP=【分析】（1）如圖所示，建立以點A為原點的平面直角坐標系，由于∠EMF就是DE,AF（2）根據(jù)向量的共線表示聯(lián)立方程組可求解M187,67，分點P在AB【詳解】（1）如圖所示，建立以點A為原點的平面直角坐標系．則D0,6由于∠EMF就是DE,∴cos∠EMF=DE（2）設M∵AM∴x=18由題得EF=①當點P在AB上時，設Px,0∴3x-54②當點P在BC上時，設P6,y∴72綜上，存在P22【變式11】3．（2023下·江西上饒·高一校聯(lián)考階段練習）在菱形ABCD中，O為菱形ABCD內一點.(1)用OA，OB，OC，表示OD；(2)若AB=2，∠DAB=60°，求AB+【答案】(1)OD(2)AB+AD【分析】（1）根據(jù)菱形對邊所在向量相等，利用向量的線性運算即可求解；（2）根據(jù)菱形的性質求出AB與AD的數(shù)量積，然后求模的平方再開方即可求解.【詳解】（1）因為四邊形ABCD為菱形，所以BC=則OC-OB=（2）因為AB=2，∠DAB=60所以AB?則AB+AB-【變式11】4．（2023下·河北滄州·高一?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，AB=4,AC=6,BD(1)求BC的長；(2)求AD的長.【答案】(1)2(2)2【分析】（1）確定DE=-13AC，DF=-（2）AD=23【詳解】（1）DE=DF=DE?DF=BC=（2）AD=AD=4題型2向量在功力問題中的應用【例題2】（2023下·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）若平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3作用于一點，且處于平衡狀態(tài)．已知F1=1N，F(xiàn)3=2NA．1N B．3N C．7【答案】C【分析】根據(jù)三力平衡得到F1+F【詳解】根據(jù)三力平衡得F1+F兩邊同時平方得F1即F1即12解得F2故選：C.【變式21】1．（2023下·湖南長沙·高一長郡中學?？计谥校┤鐖D，某人用1.5m長的繩索，施力25N，把重物沿著坡度為30°的斜面向上拖了6mA．13J B．3013J C．【答案】B【分析】利用正弦定理得出cos∠BAC=【詳解】在△ABC中，由正弦定理，ABsin∴W=F故選：B【變式21】2．（2023·高一課時練習）已知力F的大小為50N，與水平方向的夾角為30°（斜向上），使物體沿水平方向運動20m，則力【答案】500【分析】由數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】由題意可知力F所做的功為F?故答案為：500【變式21】3．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，質量m=2.0kg的木塊，在平行于斜面大小為10N向上的拉力F的作用下，沿傾角θ=30°的光滑斜面向上滑行2.0m的距離．(1)分別求物體所受各力在這一過程中對物體做的功；(2)求在這一過程中物體所受各力對物體做的功的代數(shù)和；(3)求物體所受合外力對物體所做的功，它與物體所受各個力對物體做功的代數(shù)和之間有什么關系？【答案】(1)拉力20J，支持力不做功，重力-19.6(2)0.4J(3)物體所受合外力對物體做的功與物體所受各力對物體做功的代數(shù)和相等.【分析】（1）分析物體受力，按功的定義式求解每個力做的功；（2）將（1）中各值累加即可;（3）計算物體所受合外力對物體所做的功，與物體所受各力對物體做功的代數(shù)和比較即可.【詳解】（1）木塊受三個力的作用，重力G，拉力F和支持力N，如圖所示.拉力F與位移s方向相同，所以拉力對木塊所做的功為WF支持力N與位移方向垂直，不做功，所以WN重力G對物體所做的功為WG（2）物體所受各力對物體做功的代數(shù)和為W=20+0-19.6=0.4(J（3）設物體所受合外力的大小為F1則F1故合外力做功為W=0.2×2=0.4.故物體所受合外力對物體做的功與物體所受各力對物體做功的代數(shù)和相等.【變式21】4．（2023·高一課時練習）已知兩個力F1=5i+4j，F(xiàn)2=-2i+j，F(xiàn)1，F(xiàn)2作用于同一質點，使該質點從點(1)F1，F(xiàn)(2)F1，F(xiàn)2的合力【答案】(1)120；9(2)111【分析】（1）由已知可得兩個力F1，F(xiàn)2和位移（2）先計算F1，F(xiàn)【詳解】（1）依題意有F1=5,4，F(xiàn)則F1做的功為WF2做的功為W（2）由F=所以F做的功為W=F題型3向量在速度問題中的應用【方法總結】向量在物理中的應用主要解題思路分四步：（1）轉化問題：將物理問題轉化為數(shù)學問題；（2）建立模型：建立以向量為載體的數(shù)學模型；（3）求解參數(shù)：求向量的模長、夾角、數(shù)量積等；（4）回答問題：把所得到的數(shù)學結論回歸到物理問題?！纠}3】（2023下·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟源第一中學?？茧A段練習）已知船在靜水中的速度大小為5m/s，且知船在靜水中的速度大小大于水流的速度大小，河寬為20m，船垂直到達對岸用的時間為【答案】3【分析】根據(jù)向量的加法運算，確定船行駛的方向與水流方向和船實際的方向之間的關系，進而解三角形可得.【詳解】設船在靜水中的速度為a，船的實際速度為b，水流速度為c，如圖所示c⊥∵a=5m∴c→=a故答案為：3.【變式31】1．（2023·全國·高一隨堂練習）雨滴在下落一定時間后的運動是勻速的，無風時雨滴下落的速度是4.0m/s．現(xiàn)在有風，風使雨滴以3.0m/s的速度水平向東移動，那么雨滴將以多大的速度著地？這個速度的方向怎樣？【答案】與地面成53.1°的方向，以5m/s的速度著地【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則分析即可.【詳解】如圖所示，AB為雨滴無風時的下落速度，AD為雨滴有風時的水平速度，由平行四邊形法則，雨滴實際下落的速度為：AC=AB+AD，即雨滴將沿向下偏東，與地面成53.1°的方向，以5m/s的速度著地．【變式31】2．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，在一場足球比賽中，中場隊員在點A位置得球，將球傳給位于點B的左邊鋒，隨即快速直向插上．邊鋒得球后看到對方后衛(wèi)上前逼搶，于是將球快速橫傳至門前，球到達點C時前插的中場隊員正好趕到，直接射門得分．設BC=30m，∠ABC=37°．（取sin(1)求中場隊員從傳球至射門這一過程中足球的位移；(2)這一過程中中場隊員的位移與球的位移是否相等？【答案】(1)位移大小為22.5m(2)相等【分析】（1）解直角三角形ABC求出AC，再根據(jù)AB+（2）根據(jù)向量加法得幾何意義即可得解.【詳解】（1）由題意，△ABC為直角三角形，由BC=30m，∠ABC=37°得AC=BC?tan又AB+所以中場隊員從傳球至射門這一過程中足球的位移大小為22.5m（2）因為AB+所以中場隊員的位移與球的位移相等.【變式31】3．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，一艘船從長江南岸點A出發(fā)，以23(1)試用向量表示江水速度、船速以及該船實際航行的速度；(2)求船實際航行速度的大小與方向（方向用與江水速度間的夾角表示）．【答案】(1)答案見解析(2)船實際航行速度的大小為4km/h，方向與江水速度間的夾角為【分析】（1）直接利用向量加法的平行四邊形法則作圖即可；（2）利用勾股定理求解船速的實際大小，在求解直角三角形即可得方向.【詳解】（1）如圖所示，AD表示船速，AB表示水速，以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，則AC表示該船實際航行的速度；（2）由題意AB⊥AD，在Rt△ABC中，AB則AC=22+2所以船實際航行速度的大小為4km/h，方向與江水速度間的夾角為60°【變式31】4．（2023·全國·高一隨堂練習）飛機從A地向西北飛行200km到達B地后，又從B地向東飛行1002km到達C地，再從C地向南偏東60°飛行