1.5有限集合的子集系-參考答案

1.5有限集合的子集系參考答案例1【解析】因為與不能在的同一互補子集組中，所以．另一方面，由可以組成個子集，每一個子集都添上所得出的滿足條件，所以的最大值為．例2【分析】從特殊情況入手，取，，有，所以，是一個符合要求的分拆．又取，，有，所以，是一個符合要求的分拆．猜測：把中前個數(shù)作為，后個數(shù)作為可能是一個符合要求的分拆．【證明】由．可見，取，是一個符合要求的分拆．例3【分析】利用退回最簡原則，考慮兩個元素時，，其子集為，，，，其中每個元素出現(xiàn)兩次．考慮三個元素時，，其子集為，，，，，，，，其中每個元素出現(xiàn)四次．依次類推，集合共有個子集，每個元素出現(xiàn)次數(shù)為，于是中所有子集的元素個數(shù)之和為：．【解析】如果考慮中含元素的子集的個數(shù)，則集合且的元素個數(shù)為99個，的子集共有個．當把加到這個子集中去，就有的個子集包含元素，即出現(xiàn)在的個子集中，從而的所有子集的元素之和為：．若時，可得的所有子集的元素之和為：．例4【證明】用反證法，假設，兩集合均不存在和為平方數(shù)的兩個元素，不妨設，則，，，從而．考慮元素10，若，則矛盾；若，則矛盾．所以，原命題成立．例5【分析】這是1990年的一道高中聯(lián)賽題，關鍵是弄清楚題意．條件（1）說明與不能同時屬于，條件（2）表明的元素和為定值，且是8的倍數(shù)，由，便可一舉完成兩問．【證明】由條件（1）知．又由條件（2）知為常數(shù)，故為常數(shù)．若中有個奇數(shù)，則對上式兩邊關于模8求同余時，有，．可見，中奇數(shù)的個數(shù)是4的倍數(shù)．例6【解析】（1）考慮下標集合的任一元子集，在中任取一個元素，這就建立了從下標到元素的一個映射，并且不同的原像其像也不同，否則不同的，對應同一個時，必有個子集其交不空，與題設矛盾．這說明．（2）考慮任一，在中任取其余個集，它們的交集至少有一個元素（不空），而此交集與的交為空集．所以中至少含有中的個不同元素，有．當時，．①另一方面，與中任選個其余的集取交，交集至少有一個元素，則有種不同取法，可知至少有個不同元素，．②由①，②可得．例7【解析】中的子集最多含4個元素．假設有一個含5個元素以上的子集也符合條件，則這5個元素中至少有3個的第一位數(shù)碼相同．不妨設，，這三個元素的第一位數(shù)碼相同．同樣，在，，中，第二、三、四、五個數(shù)碼上，每一位都至少有兩個元素的對應數(shù)碼相同．但，，三元素兩兩分組只有3組，故至少有兩個元素，它們除第一數(shù)碼相同外，至少還有兩位數(shù)碼相同，不妨設這兩個元素為與，則，的距離不大于2，矛盾．故子集系中子集的元素不多于4個．例8【解析】設共加了把鎖，記為集合，并以分別記這11個人所打不開的鎖的集合．依題意，每5個子集的交集非空，每6個子集的交集為空集，由例6知，即至少要裝把鎖．具體分配辦法是：先將鎖依次編號為再將11個人的所有不同的5人組合方式也依次編號為.于是每一個人都屬于個不同的5人組，它們各自都有一個號碼．我們只要不將這些號碼的鎖的鑰匙發(fā)給該人，而將其余號碼的鎖的鑰匙都發(fā)給他就行了．例9．【解析】若，則

設集合分為兩組和,且和不滿足題中條件．如果,那么,這不可能，從而推得.如果，那么,這不可能，從而推得如果那么,這不可能，從而推得于是這時中三個元素滿足矛盾．這表明當時，把集合任意分為兩組，總有某個組具有題中性質(zhì)，即所求的最小值不超過另一方面，取,且設或,則,而且和都不其有題中性質(zhì)．當時，將分為兩組和,則和也都不具有題中性質(zhì)．故滿足條件的的最小值為例10．【解析】根據(jù)題意，稱的某些非空子集為偶數(shù)集，如果其中所有數(shù)的和為偶數(shù)。記,對于的每一個奇子集，當時，取;當時．取,則為的偶子集．所以均為該集合子集的一半，從而共有個奇子集．例11【解析】若取,此時且中任三數(shù)之和大于即不在中．故.另一方面，作三元子集列

則.對于的任一個元子集.必包含有某個.若,則其中有元素；若某個,則其中有元素.于是，.因此1．【答案】2．【答案】3．【解析】對于中的任一非空子集，令，這樣是的子集的全體到自身的一一映射．顯然中的最大數(shù)和最小數(shù)就是中的最小數(shù)和最大數(shù)，中最大（?。┑臄?shù)與中最?。ù螅┑臄?shù)相加得，因此，所有的算術平均值．4．【解析】將分成以下類，，…，，其中元素除以后余數(shù)為，即，，，，，，．中最多包含的一個元素，若包含其他任何一個子集的一個元素，則它必可包含這個子集內(nèi)的全部元素，不能同時包含與或與或與的元素．所以，最大子集包含個元素．5．【答案】6．【解析】由已知，元素的個數(shù)是．滿足（1）的集合個數(shù)為，在此集合中，不滿足（2）的集合的個數(shù)是，所以所求集合的個數(shù)為．7．設中各數(shù)之和為，則，，中各數(shù)之和依次為，，，總和為，是一個偶數(shù)．但中各數(shù)之和為，是一個奇數(shù)．由奇數(shù)不等于偶數(shù)知，這樣的劃分無法實現(xiàn)．8．【解析】若中有多于個元素的，我們?nèi)?，并把去掉后的集合記為，由于，故與不會同時出現(xiàn)在子集系，，…，中．我們將換成并不影響，，…，的性質(zhì)，這種操作一直進行下去，可以使，，…，中每一個子集的元素不大于．而滿足之一的任意顯然滿足條件，故知的最大值為全體一元，二元，三元子集數(shù)的總和，即．9．【解析】設的所有含偶數(shù)個元素的子集的全體為，即，同樣地，設，現(xiàn)在來建立到上的一一對應，將中的元素分為兩類：第一類中的含元素．第二類中的不含元素，定義到上的映射．顯然，是含有奇數(shù)個元素的集合，即是到的映射．容易驗證，是一一對應的，而的所有子集個數(shù)為，所以．（上面的結論對于一般集合也是適合的．）10．【解析】記為個學生組成的集合，每個運動隊就是的一個非空子集，，…，．由已知條件知，與之間互不包含，當每隊人時可以取到的最大值，共可組成個運動隊．11．【解析】因為，，所以，我們要將個數(shù)排成行，列，每列的數(shù)字和為．第一步，先把至的個數(shù)排成行，第行，從左到右依次寫；第行由右至左，隔位寫，再在所空位置上從右至左寫；第行由右至左，從右端第二個位置起隔位寫，再在所空位置上從右至左寫，這就得到表11． 其中每列數(shù)字和都等于.現(xiàn)對中其余的數(shù)兩行兩行往上添，取至共個數(shù)，先把至從左到右排在第行，然后取至從右到左寫在第行.這樣，增添兩行后每行元素和仍相等.依此類推，得出行中各列的元素之和均相等.取每一列為一個子集，便可得個子集，每個子集含有個元素，各個子集中各元素之和相等.類似地，可將分為個集合，每個集合包含個數(shù)，各個集合的元素之和相等，并且分法不唯一. 12.【答案】【解析】將種諾言構成集合，則每個政黨所作的諾言構成了的一個子集.依題意這是中的不同子集，又由于任何兩黨都至少有一種公共諾言，所以，絕不可能有某兩黨的諾言剛好構成一對互補的子集.這就告訴我們，在每對具有互補關系的子集中，至多只有一個可以成為某個政黨的諾言集合，所以政黨的數(shù)目不超過的子集的一半.13.【答案】【解析】取中含的個子集，將每一個去掉后得出的個子集記為，除當中去掉后得出的空集外，其余的集合均可由與配對，得，而是中子集元素的積，對遍歷求和，有. 于是 有 得14.【答案】 【解析】設聯(lián)歡節(jié)持續(xù)了天，記，以表示第位演員作觀眾的時間的集合，.例如表示第位演員在第天作觀眾，而其余的第天均作演出.則為的非空子集，且由每一位演員均觀看過其他演員的演出知，對任意的，與互不包含，由例知，這樣的子集最長為.這就是要求 但，，，，，故知，即聯(lián)歡節(jié)至少持續(xù)了天. 15.【答案】 【解析】設，，…，中元素最少的有個，共個元子集.添加中的一個元素到這些元子集中，使它們成為元子集，對每個子集來說，都有種添法，每個元子集至多可由個元子集添加而得，所以，經(jīng)過添加后至少產(chǎn)生個元子集.由于，，…，互不包含，這些元子集與，，…，均不相同，當時，.① 所以，將，，…，中的元子集換成添加一個元素后得