2023年高考金榜預(yù)測數(shù)學(xué)試卷二（解析版）

2023年高考金榜預(yù)測卷（二）（新高考卷）

數(shù)學(xué)

一、單項選擇題

/11??/??

(?-?)-+—?

1.復(fù)數(shù)Z=——IL人則回=()?

??v?.

22

A.√2B.2C.4D.8

K答案HA

故選：A.

2.已知集合A=k∣χ2-5x+6≤θ},集合B=WV=Jlog?則AUB=()

A.(1,3]B.(l,+∞)C.[2,+∞)D.[2,3]

K答案Uc

K解析?A={Λ*-5x+6≤θ}={x∣2≤x≤3}

B=卜,=JIog2(*-1)}={巾≥2}

則AUB={x∣2≤X≤3}u{x∣X≥2}={x∣x>2}

故選：C

3.設(shè)“，OeR,則“l(fā)n@>0"是“l(fā)nα>lnb”的()

b

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

K答案》B

K解析』ln→O,則f>l,當(dāng)a=-2,b=T時，滿足￡>1,但此時lna,ln匕無意義，故

bbb

充分性不成立，

若lna>ln6,則ln“-Inb=Inq>0,故必要性成立,

b

則“In：>0”是“Inα>Inb”的必要不充分條件.

b

故選：B

4.某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為0.1%,現(xiàn)用甲胎蛋白法進(jìn)行普查，醫(yī)學(xué)研究表明，化驗結(jié)

果是可能存有誤差的.已知患有肝癌的人其化驗結(jié)果99.9%呈陽性，而沒有患肝癌的人其

化驗結(jié)果0.1%呈陽性，現(xiàn)在某人的化驗結(jié)果呈陽性，則他真的患肝癌的概率是()

A.0.999B.0.9C.0.5D.0.1

K答案2C

K解析》記事件A:某人患肝癌，事件8:化驗結(jié)果呈陽性，

由題意可知P(A)=」一，P(BIA)=絲■,尸(8同=—,

所以，P(B)=P(A)?P(B∣A)+P(孫P(B同=篝?2詈4,

現(xiàn)在某人的化驗結(jié)果呈陽性，則他真的患肝癌的概率是

999

⑶，(砌一P(A)?P(8∣A)一IOrl

(IP(B)~P(B)999~2?

505

故選：C.

5.已知a=(sinα,l-4cos2<z),b=(l,3sina-2),a,若，則tan[ɑ-?)=

()

A.-B.—C.-D.—

7777

K答案DB

K解析H因為W/0,

所以1—4CoS2α=Sina(3Sina-2),

l-4(l-2sin26r)=3sin2a-2si∏6Z,

5sin2cr+2sinσ-3=0,

又α∈(θ,g[,所以Sina=∣,

3

所以tanl=—，

4

W1

tana-1

所以tan(ɑ-?4_=_1

1+tana1+37,

4

故選：B.

6.設(shè)地球的半徑為R,若甲地位于北緯45°東經(jīng)120°,乙地位于南緯75°東經(jīng)1200,則甲、

乙兩地的球面距離為()

A.垂RB.-RC.—RD.—R

I663

K答案》D

K解析H甲、乙兩地在東經(jīng)120°線上，所對圓心角為75°+45°=120°,所以甲、乙兩地的

球面距離為球面大圓周周長的：，為一兀R,故選：D.

33

x。+X,—2≤x≤-1,、/、,、

7.已知定義在~2,2]上的函數(shù)/(力=伍("τ<χ<2,若g(x)=∕(x)i(x+l)的圖像

與X軸有4個不同的交點，則實數(shù)。的取值范圍是()

K答案》A

K解析》因為g(x)=∕(x)-α(x+l)的圖像與X軸有4個不同的交點，所以與

易知直線y="(x+l)恒過定點A(TO)，斜率為”,

當(dāng)直線與/(x)相切時是一種臨界狀態(tài)，設(shè)此時切點的坐標(biāo)為C(Λn,%),則

a=y=------U

,?+1，解得??，所以切線為y=-(χ+l),此時有三個交點；

^(x0+l)=ln(x0+l)[-e

/、.In3In3

當(dāng)直線過點B(2,ln3)時，L=訐司=亍，此時有四個交點；

綜上所述：

3e

故選：A.

22

8.設(shè)耳，尸2分別為雙曲線C：'-方=l(a>O力>0)的左、右焦點，A為雙曲線的左頂

點，以耳行為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于M,N兩點，且NM4N=135。，(如

圖)，則該雙曲線的離心率為()

A.√2

K答案》D

K解析》依題意得，以線段為直徑的圓的方程為X2+/=C2,

雙曲線C的一條漸近線的方程為y=-x.

以及/+從=。2,

X=-a,

y=-b.

不妨取M(α,8),則N[-a-b).

因為A(-α,0),∕M4N=135,

所以ZMAO?45,

b

又∠

tanfΛ∕AO五

b

所以

2a

所以b=2a,

所以該雙曲線的離心率

故選：D.

二、多項選擇題

9.設(shè)，",，?是兩條不同的直線，ɑ,夕是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）

A.若加_1_〃，∕n±<z,nVβ,則a_L/B.若InUa,aI/β,則加〃尸

C.若，〃_1_〃，mLa,nJ/β,則a_L/?D.若αβ=I,mlIa,mlIβ,則m〃/

K答案XABD

R解析IIA選項：若加_L",ιnYa,〃工β,則a，夕，故A正確；

B選項：由面面平行的性質(zhì)可得若根ua,allβ,則機(jī)//月，故B正確：

C選項：若加，〃，n∕∕β,則a與P可能平行，也可能相交，故C錯誤；

D選項：過“作平面/,使得/a=a,過加作平面使得5c"=b,

因為〃“∕a,mu∕,γc=a,

則。〃加，同理b∕∕w,

故a∕∕b,又acB,bup,

所以。///，又qua,aβ=l,

a/H,又a∕Λn,

所以加/〃，故D正確.

故選：ABD.

10.設(shè)函數(shù)/（X）=CoSlX+；）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.f(χ)的一個周期為一2兀B.y=∕(χ)的圖象關(guān)于直線X=W對稱

C./(X+兀)的一個零點為X.D.F(X)在(∣?,j上單調(diào)遞減

K答案HABC

K解析》對于A項，函數(shù)的周期為2Aπ,?∈ZΛ≠O,當(dāng)Z=T時，周期T=一2兀，故A

項正確；

對于B項，當(dāng)X=當(dāng)時，COS(X+1)=COS停+1)=COS與-CoS3π=cosπ=-l為最小值，此時

y=/(χ)的圖象關(guān)于直線X='對稱，故B項正確；

對于C項，/(χ+))=cos(x+g?),cos[^+y]=cosy=0-所以/(χ+萬)的一個零點

TT

為X=N故C項正確；

6

πSTTTr4TT

對于D項，當(dāng)上<x<π時，—<x+?<-,此時函數(shù)/(χ)有增有減，不是單調(diào)函

2633

數(shù)，故D項錯誤.

故選：ABC.

11.設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的公比為4,其前“項和為5“，前，項積為且滿足條件4>1,

?2??>1.(?22-l)?(?-l)<0,則下列選項正確的是()

A.｛a,,｝為遞減數(shù)列B.$022+1<§2023

是數(shù)歹｛方｝中的最大項

C.IJD.T4n45>1

R答案HAC

?022-l>0

K解析H由(％022-1卜(%)23-1)<?？傻茫害?O22-1和,?23-l異號，即.八或

“2023—1<°

。2022-1<。

〃2023一1>°

而〃I>1,。2022,〃2023>1，可得“2022和“2023問號,且一個大于?，一，個小于1.

因為q>l,所有〃2022>1，。2023<1，即數(shù)列｛4｝的前2022項大于1,而從第2023項開始

都小于1.

對于A：公比4=因為所以α,,=""i為減函數(shù)，所以｛凡｝為遞減數(shù)列.故

a2O22

A正確；

對于B：因為。2023<1，所以“2023=*^2O23-?22<］，所以,^2022+1>,^2023.故B錯誤；

對于C：等比數(shù)列｛%｝的前"項積為［，且數(shù)列｛4｝的前2022項大于1,而從第2023項

開始都小于1,所以與β2是數(shù)列｛乃”中的最大項.故C正確；

對于D：T4w5=ala2aiaw5

20w

=αl(α1√)(α,√)(α1√')

4045x1+2+3+4044

4045x,2022x4045

4O4

因為?023<l,所以<?35<1,即n045<l?故D錯誤.

故選：AC

12.若函數(shù)y=∕(x)滿足對VXeR,都有/(x)+∕(2-x)=2,且y=√(x)-l為R上的奇

函數(shù)，當(dāng)Xe(TI)時，"x)=2*-L+sin?x+l,貝IJ()

26

A."3)=1

B./(x)是周期為1的周期函數(shù)

C.當(dāng)x∈(T,l)時,/(x)單調(diào)遞增

D.集合4=卜|/(X)=IOg3.中的元素個數(shù)為13

K答案HACD

R解析』因為y=∕(χ)-l為R上的奇函數(shù)，所以/(τ)-1=—/(χ)+ι,即

/(-x)+∕(x)=2,又/(x)+∕(2-x)=2,所以/(τ)=f(2-x),則2是“x)的一個周

期，故B錯;

,九

￡確；?y=sm%

「fffT.一.

增，故C正版Tf

II

產(chǎn)…Ie

它的”兇心,元和故口正陶

二……

個交急，

?°g∕的舀象有'3

y=IUE>3

故選:ACD.

二、填空題Ctl式的系數(shù)為1.

:的舒式中‘

B在H"

Wq,故只有

建會136°

二毋式展開頊…

哪柝N由二

LQKC一

CX

TLA,'為SiU-?

產(chǎn)3為……

又H

J”……

戰(zhàn)當(dāng)mQi…耐"'

故療

?4?

一——.

田??"?5

K解析H因為48=DC,所以四邊形ABCD是平行四邊形,

所以AC?4B=(AB+4O)?AB=AB2+AB?AO,

因為網(wǎng)=2∣ADl=2,ABAD=1>所以AC?A8=4+1=5,

故K答案H為：5

41

15.已知正實數(shù)“涉滿足一+L=1,則α+勿的最小值為_________.

Cl+bΓ?+l

R答案』8

因為￡+擊U

WI>+6)+("l)T

所以α+2b=

4(?+l)a+bλCU(?÷l)a+bo

=4+1—1+1——l+------≥4+2jJ——l--------=8，

a+h?+lVa+b?÷1

當(dāng)且僅當(dāng)坐±D=”2,即。=4方=2時，取等號，

a+b?+l

所以α+2b的最小值為8.

故K答案H為：8.

16.已知雙曲線后:,為=1(4>°，6>°)的左、右焦點分別為斗心山川=4,若線段

x-y+4=0(-2≤x≤8)上存在點M,使得線段M6與E的一條漸近線的交點N滿足:

IENl=:內(nèi)M,則E的離心率的取值范圍是.

…,?√5底

K答案Uγ,2y-

R解析力設(shè)M(Xo，/+4),(-2≤x0≤8),1(2,0),

?F2N?=^?F2M?,則F2N=^F2M=i(xy-2,x0+4),

(XM-2,%)=；00-2,%+4)，貝IJXN=爸9yN=??+4

4，

b.

-2≤x0≤8,則XN>0,‰>θ.N點在漸近線yL上,

所以W="W=]__J,

,

4α4aXo+6x0+6

1,2-4工，所以;又J-

由一2≤%≤8得尹mGF'ι=4,

2?7a1Cr

所以∣≤∕≤K'所以*≤e≤半.

故K答案H為：I岑,半］.

四、解答題

17.已知數(shù)列{〃〃}滿足4=1,nan+l=(π+?)an+n(n+1).

(1)證明：數(shù)列{?}為等差數(shù)列:

設(shè)數(shù)列也｝滿足求數(shù)列｛｝的前”項和

(2)b“=In%L,4S”.

冊

(1)證明：法1：由也計|=("+ι)%+"5+ι),

兩邊同除以"5+1)得，—=%+1,也一殳=1(“≥1)為常數(shù),

n+1nn+ιn

???數(shù)列圖

為等差數(shù)列，首項;=1,公差為1,

∏+1/

法2：由〃4+∣=(〃+1)4+〃(〃+1)得6L+("+1)，

%a〃

空+1--?(71≥1)為常數(shù),

72+1nnn

.?.數(shù)列為等差數(shù)列，首項牛=I,公差為1.

(2)解：由"=4?+("-l)xl=",.?.ɑ,,="

n1

法1：a=In-=In"2

?〃

K'JS,,=ln∣÷ln∣+÷1∏?^

23n+1

=21n-X-XX---------

12n

=21n(∕ι+l).

L2

法2：bll=In%=In依孚-=ln+11-Inzt,

則S“=(ln22-lnl2)+(ln32-ln22)+÷[ln(π+l)2-Inn2J

In(Tl+1)2-Inl2

=21n(n+l).

18.在一AgC中，角A,B,C所對的邊分別是α,b,c.已知卑+您0+竿4=（）.

abacbe

(1)求A；

（2）若α=2√L求JWC的周長的取值范圍.

cosBcosC2cosA

解：（1）由-------+---------F------=---0,

abacbe

得-2tzcosA=coosB+?cosC,

由正弦定理得一2SinAcosA=sinCcos8+cosCsinB,

所以一2sinAcosA=sin(B+C)=sinA,

又因為SinA>0,所以CoSA=-g,

由于:<A<π,所以角A=g；

(2)由⑴知A4，所以8+C4,貝IJC=TTO<B<g

26_?_C

由正弦定理：=ci2πSinB.(π

sinΛsinBsinCSinsin-----B

3【3)

所以6=4SinB,c=4sin(g-B)=2Gcos8-2sinB.

所以匕+c=4sin8+2>∕3cosB-2sin8=2sinB+2yβcosB

f?出、

=4—sinβ+—-cosB

I22J=4siV+i?

因為O<B<g,所以等<sin（8+'）≤l.

所以275<4sin（B+1）44.

所以46<α+b+cW4+2√5,

所以一ABC周長的取值范圍為（46,4+26].

19.某選手參加套圈比賽，共有3次機(jī)會，滿足“假設(shè)第上次套中的概率為P.當(dāng)?shù)贏次套中

時，第后+1次也套中的概率仍為P：當(dāng)?shù)?次未套中時，第&+1次套中的概率為已知

該選手第1次套中的概率為;.

（1）求該選手參加比賽至少套中1次的概率;

(2)求該選手本次比賽平均套中多少次?

(1)解：設(shè)事件A：該選手參加比賽至少套中1次，

則咽十J?弓，故P(A)=1-明=看

(2)解：設(shè)X為套中的次數(shù)，則X的可能取值有0、1、2、3,

21

p(x=°)=區(qū)'

n/Vc?1111111117/c、1‰1,

P(X=2)=-×-×-+-×-×-+-×-×-=—,p(χ=3]=

`722222424432'728

所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:

X0123

21217?

P

6464328

91217173

因此，E(X)=Ox-÷1×-+2×-+3×-=-

v'646432864

即該選手本次比賽平均套中—次.

20.如圖①在平行四邊形ABa)中，AEYDC,AD=4,Ae=3,NAoE=60。，將

VADE沿AE折起，使平面4)EJ_平面ABCE,得到圖②所示幾何體.

D

(1)若M為B。的中點，求四棱錐M-ASCE的體積VMrz(CE;

(2)在線段DB上，是否存在一點M,使得平面MAC與平面ABCE所成銳二面角的余弦

值為乎，如果存在，求直線EM與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，說明理

由.

解：(1)由圖①知，AELDC,所以。E_LAE,在VAOE中，因為Ar)=4,乙M)E=60。,

AE=2y∕'3>DE=2,所以EC=I.

由圖②知，平面4)EJ_平面ABCE,DEU平面AQ￡,平面4Z>E平面ΛBCE=AE,因

為DELAE,所以DEl平面ABCE,

因為M為8。的中點，

所以乙-??！?4匕，-/8?！?；*9*5*88*?！?:*〈*(1+3)*2石*2=^^.

Z23OZ?

(2)由(1)知E4,EC,E￡>三者兩兩垂直，以點E為原點，

EA>EC，Eo的方向分別為X軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).

則E(0,0,0),D(0,0,2),C(O,1,O),A(2^,0,0),β(2√3,3,θ),DB=(2√3,3,-2),

AC=(-2√3,l,θ),

τ^DM=λDB=(2√3Λ,3Λ,-2λ),O<λ<I,

EM=ED+DM=(0,0,2)+(2√3Λ,3Λ,-2Λ)=(2√3Λ,32,2-22),

BPM(2√3Λ,3Λ,2-2∕l),

所以CM=(2同3；I-1,2-22),

設(shè)平面ACM的法向量為加=(X,y,z),

m?AC=O-2>∕3x+y=O

所以，則

m?CM=O2√3Λx+(32-l)y+(2-2λ)z=0

令.1,得m=[l,2"空產(chǎn)，

Λ-i

設(shè)平面ΛBCE的法向量為〃=(0,0,1),

4λ^Λ-√3

￥，解得彳=；.

λ-?

l2+(4&二研

1×f

Λ-l

所以平面ACM的法向量為〃?=(1,26,-26),

設(shè)EN與平面M4C所成角為凡

4√3

所以SinO=卜os（團(tuán),EM）I=ιn?EM

∣w∣?∣EM∣^25^

所以EM與平面MAC所成角的正弦值為迪.

25

21.已知P∣?∣,g^)是橢圓C：0+方=l(a>6>0)與拋物線E：

丁=2px(°>0)的一個

公共點，且橢圓與拋物線具有一個相同的焦點F.

(1)求橢圓C及拋物線E的方程；

3

(2)45是橢圓C上的兩個不同點，若直線04,OB的斜率之積為-;(注：。為坐標(biāo)

4

IBMI

原點)，點M是線段。4的中點，連接BM并延長交橢圓C于點N,求扁的值.

(22J∑λ

解：m'：Pi,3是拋物線E：V=2pχ(p>0)上一點,

\/

：.P=2,即拋物線E的方程為丁=4x,焦點F(1,O),

?*?cr-b2=1,

又M1，叫在橢圓C1+a上,

結(jié)合"一/=1知從=3,/=4,

???橢圓C的方程為工+二=1,拋物線E的方程為V=4x?

43

/、Z、Z、仍M/\

(2)設(shè)AaM,B(Λ?,%),N(Λ3,%),∣^i=Λ(2>0),

Y點M是線段。4的中點，.?.M伍母)，

2'?^-%J,BN=(W_肛為_必)，BN=2BM，

,

..(x3-x2,γ3-y2)=>

鼻=：玉+(1-2)馬

V

%=(當(dāng)+(1-彳)%

?.?點N(xp%)在橢圓C上,

；12「]

χ

2ι+(ι-4)????i÷(?-^)y2

------------------=L+L------------------

叩2口，%2q)、+φT)(/竽+弩)、=1

÷(I-肛z

4(43J

二點AG?,yj,B(Λ2,9)在橢圓C上,

3

又?.?OA,。8斜率之積為-二，

4

.?X+A=1,MK=1,?÷≡=o,

434343

o20

Λ-+(1-Λ)2=1,Λ5λ2-8λ=O,ΛΛ=-^A=O(舍),

45

.∣gΛ^[8.IBM_5

工畫=7同=§.

22.已知函數(shù)/(x)=e'-atanx-l

(1)當(dāng)α=l時，求曲線y="x)在(OJ(O))處的切線方程；

⑵若“X)在區(qū)間,會0),(0,9各恰有一個零點，求”的取值范圍.

解：(1)當(dāng)α=l時，/(x)=e'-tanx-l,貝IJr(X)=e'--V

COSX

則f'(O)=e°--?=0,又/(0)=e°TanO-I=O

cos0

則曲線y=∕(χ)在(Oj(O))處的切線方程為y=o

(2)f(x)=ex-atanx-?,∣J∣∣Jf,(x)=ev-------=